कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. समांतर श्रेढ़ी के सार्व अंतर की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: AP में प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है; यह निश्चित संख्या सार्व अंतर $d$ कहलाती है।

प्र. समांतर श्रेढ़ी का व्यापक रूप लिखिए।

उत्तर: $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$, जहाँ $a$ प्रथम पद और $d$ सार्व अंतर है।

प्र. यदि किसी AP का प्रथम पद 5 और सार्व अंतर 3 है, तो चौथा पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a_4 = 5+(4-1)(3) = 5+9 = 14$।

प्र. AP के $n$वें पद का सूत्र लिखिए।

उत्तर: $a_n = a+(n-1)d$।

प्र. AP: 2, 4, 6, 8, . . . का सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $d = 4-2 = 2$।

प्र. प्रथम $n$ पदों के योग का वह सूत्र लिखिए जो अंतिम पद $l$ ज्ञात होने पर प्रयोग होता है।

उत्तर: $S_n = \dfrac{n}{2}(a+l)$।

प्र. क्या सूची 1, 4, 9, 16, . . . समांतर श्रेढ़ी है? कारण सहित उत्तर दीजिए।

उत्तर: नहीं, यह वर्ग संख्याओं की सूची है और इसके लगातार पदों का अंतर (3, 5, 7, . . .) स्थिर नहीं है।

प्र. AP: 7, 3, -1, . . . का अगला पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $d = 3-7 = -4$, अगला पद $= -1+(-4) = -5$।

प्र. AP: -5, -1, 3, 7, . . . के लिए प्रथम पद और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रथम पद $a=-5$। सार्व अंतर $d = -1-(-5) = 4$।

प्र. AP: 10, 7, 4, . . . का 8वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a=10, d=-3$। $a_8 = 10+(8-1)(-3) = 10-21 = -11$।

प्र. जाँचिए कि सूची $a, 2a, 3a, 4a, \ldots$ ($a \ne 0$) समांतर श्रेढ़ी है या नहीं। यदि है, तो सार्व अंतर बताइए।

उत्तर: $a_2-a_1 = 2a-a=a$, $a_3-a_2=3a-2a=a$, दोनों बराबर हैं, अतः यह AP है, जिसका सार्व अंतर $d=a$ है।

प्र. दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि पहली AP का 5वाँ पद 20 और दूसरी AP का 5वाँ पद 30 है, तो दोनों के 20वें पदों का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सार्व अंतर समान होने पर दोनों AP के संगत पदों का अंतर सदैव स्थिर रहता है (5वें पद पर यह 30-20=10 है), इसलिए 20वें पदों का अंतर भी $10$ ही होगा।

प्र. प्रथम 15 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{15\times16}{2} = 120$।

प्र. AP: 3, 8, 13, 18, . . . का कौन-सा पद 78 है?

उत्तर: $a=3,d=5$। $78=3+(n-1)5 \Rightarrow n-1=15 \Rightarrow n=16$, अतः 16वाँ पद।

प्र. यदि किसी AP का 17वाँ पद, 10वें पद से 7 अधिक है, तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a_{17}-a_{10} = 7d = 7 \Rightarrow d=1$।

प्र. 8 के प्रथम 8 गुणजों (multiples) का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूची 8, 16, 24, . . ., 64 एक AP है, $a=8,d=8,n=8$। $S_8 = \dfrac{8}{2}[16+7(8)] = 4(72) = 288$।

प्र. यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $S_7=49 \Rightarrow a+3d=7$ (1)। $S_{17}=289 \Rightarrow a+8d=17$ (2)। (2)-(1): $5d=10 \Rightarrow d=2$, फिर $a=1$। $S_n = \dfrac n2[2(1)+(n-1)(2)] = \dfrac n2(2n) = n^2$। अतः $S_n = n^2$।

प्र. एक निर्माण कार्य में देरी पर जुर्माना पहले दिन ₹200, फिर हर अगले दिन ₹50 अधिक लगता है। यदि ठेकेदार ने काम 30 दिन देर से पूरा किया, तो उसे कुल कितना जुर्माना देना होगा?

उत्तर: जुर्माना AP बनाता है: $a=200,d=50,n=30$। $S_{30} = \dfrac{30}{2}[400+29(50)] = 15(400+1450) = 15(1850) = 27750$। अतः ठेकेदार को कुल ₹27,750 जुर्माना देना होगा।

प्र. AP: 8, 3, -2, . . . के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a=8,d=-5,n=22$। $S_{22} = \dfrac{22}{2}[16+21(-5)] = 11(16-105) = 11(-89) = -979$।

प्र. यदि किसी AP के तीसरे और 9वें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो ज्ञात कीजिए कि इस AP का कौन-सा पद शून्य है।

उत्तर: $a+2d=4$ (1), $a+8d=-8$ (2)। (2)-(1): $6d=-12 \Rightarrow d=-2$, फिर $a=8$। $a_n=0$: $8+(n-1)(-2)=0 \Rightarrow n-1=4 \Rightarrow n=5$। अतः इस AP का 5वाँ पद शून्य है।

प्र. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹17.5 बढ़ाती गई। यदि $n$वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹207.50 हो जाती है, तो $n$ ज्ञात कीजिए। साथ ही $n$वें सप्ताह तक की कुल बचत भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $n$ ज्ञात करना: $a=50,d=17.5,a_n=207.5$। $207.5=50+(n-1)(17.5) \Rightarrow 157.5=(n-1)(17.5) \Rightarrow n-1=9 \Rightarrow n=10$।
कुल बचत: $S_{10}=\dfrac{10}{2}(a+a_{10}) = 5(50+207.5) = 5(257.5) = 1287.5$। अतः $n=10$वें सप्ताह तक रामकली की कुल बचत ₹1287.50 है।

प्र. एक स्कूल में विद्यार्थियों ने वृक्षारोपण की योजना बनाई: हर कक्षा के हर अनुभाग में उतने ही पेड़ लगाए जाएँगे जितनी वह कक्षा है (कक्षा I के एक अनुभाग में 1 पेड़, कक्षा II के एक अनुभाग में 2 पेड़, . . . कक्षा XII तक)। हर कक्षा में 3 अनुभाग हैं। कुल कितने पेड़ लगाए जाएँगे?

उत्तर: एक अनुभाग द्वारा लगाए पेड़ों की संख्या AP बनाती है: $1,2,3,\ldots,12$, यहाँ $a=1,d=1,n=12$। $S_{12}=\dfrac{12}{2}(1+12) = 6(13) = 78$। चूँकि हर कक्षा के 3 अनुभाग हैं, कुल पेड़ $= 3 \times 78 = 234$। अतः स्कूल में कुल 234 पेड़ लगाए जाएँगे।

प्र. AP: 4, 9, 14, . . ., 254 का अंतिम पद से 10वाँ पद दोनों विधियों से ज्ञात कीजिए।

उत्तर: विधि 1 (कुल पद गिनकर): $a=4,d=5,a_n=254$। $254=4+(n-1)5 \Rightarrow n-1=50 \Rightarrow n=51$। अंतिम पद से 10वाँ पद $=(51-10+1)$वाँ $=42$वाँ पद $= 4+41(5) = 209$।
विधि 2 (श्रेढ़ी उलटकर): उलटी श्रेढ़ी 254, 249, 244, . . . में $a=254,d=-5$। 10वाँ पद $=254+9(-5)=254-45=209$।
दोनों विधियों से अंतिम पद से 10वाँ पद 209 है।

प्र. किसी स्कूल में ₹1600 की राशि से दस नकद पुरस्कार दिए जाने हैं। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पुरस्कार एक AP बनाते हैं: $n=10$, $d=-20$, $S_{10}=1600$। मान लीजिए पहला पुरस्कार ₹$a$ है।
$1600=\dfrac{10}{2}[2a+9(-20)] = 5(2a-180) \Rightarrow 320 = 2a-180 \Rightarrow a=250$।
अतः पुरस्कार हैं: ₹250, ₹230, ₹210, ₹190, ₹170, ₹150, ₹130, ₹110, ₹90 और ₹70। (जाँच: $\dfrac{10}{2}(250+70) = 5 \times 320 = 1600$।)

प्र. AP: 24, 21, 18, . . . के कितने पद लिए जाएँ कि उनका योग 78 हो? समझाइए कि दो उत्तर संभव क्यों हैं।

उत्तर: $a=24,d=-3$। $78=\dfrac n2[48+(n-1)(-3)] \Rightarrow 3n^2-51n+156=0 \Rightarrow n^2-17n+52=0 \Rightarrow (n-4)(n-13)=0 \Rightarrow n=4$ या $n=13$। दोनों मान्य हैं क्योंकि 5वें से 13वें पद तक के पदों का योग शून्य है (यहाँ $a$ धनात्मक और $d$ ऋणात्मक है, जिससे कुछ पद धनात्मक और कुछ ऋणात्मक होकर आपस में कट जाते हैं), इसलिए प्रथम 4 और प्रथम 13 पदों का योग दोनों ही 78 हैं।

प्र. 200 लट्ठों को इस प्रकार रखा गया है: सबसे नीचे की पंक्ति में 20, अगली में 19, फिर 18, इसी क्रम में। कितनी पंक्तियों में सभी 200 लट्ठे रखे जाएँगे, और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में कितने लट्ठे होंगे?

उत्तर: $a=20,d=-1,S_n=200$। $200=\dfrac n2[40-(n-1)] \Rightarrow n^2-41n+400=0 \Rightarrow n=16$ या $n=25$। $n=25$ से ऋणात्मक लट्ठे बनेंगे (अमान्य), इसलिए $n=16$ पंक्तियाँ हैं। सबसे ऊपर वाली पंक्ति (16वीं): $a_{16}=20+15(-1)=5$ लट्ठे।

प्र. गॉस की विधि (जोड़कर, उलटकर जोड़ने) का प्रयोग करते हुए $S_n = \dfrac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ की पूरी व्युत्पत्ति लिखिए, और इससे यह भी दिखाइए कि $S_n = \dfrac{n}{2}(a+l)$।

उत्तर: व्युत्पत्ति: मान लें $S_n = a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+[a+(n-1)d]$ …(1)। इसे उलटे क्रम में लिखें: $S_n = [a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+\ldots+(a+d)+a$ …(2)। (1) और (2) को पद-दर-पद जोड़ने पर हर जोड़ी $[2a+(n-1)d]$ देती है, और ऐसी $n$ जोड़ियाँ हैं, इसलिए $2S_n = n[2a+(n-1)d]$, अतः $S_n = \dfrac n2[2a+(n-1)d]$।
वैकल्पिक रूप: इसे $S_n=\dfrac n2[a+\{a+(n-1)d\}]$ भी लिखा जा सकता है। चूँकि अंतिम पद $l=a_n=a+(n-1)d$ है, इसलिए $S_n = \dfrac n2(a+l)$।

प्र. किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 63 है और उसके अगले 7 पदों का योग 161 है। इस AP का 28वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रथम 7 पदों का योग: $S_7=\dfrac{7}{2}(2a+6d)=63 \Rightarrow 2a+6d=18 \Rightarrow a+3d=9$ …(1)।
प्रथम 14 पदों का योग $=63+161=224$: $S_{14}=\dfrac{14}{2}(2a+13d)=224 \Rightarrow 2a+13d=32$ …(2)।
(1) से $a=9-3d$; (2) में रखने पर $18-6d+13d=32 \Rightarrow 7d=14 \Rightarrow d=2$, और $a=3$।
$a_{28}=3+27(2)=57$। अतः 28वाँ पद 57 है।