कक्षा 10 गणित अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. दृष्टि-रेखा को परिभाषित कीजिए।

उत्तर: प्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु के बिंदु तक खींची गई रेखा दृष्टि-रेखा कहलाती है।

प्र. उन्नयन कोण की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर हो और सिर ऊपर उठाकर देखना पड़े, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण उन्नयन कोण कहलाता है।

प्र. अवनमन कोण की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे हो और सिर नीचे झुकाकर देखना पड़े, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण अवनमन कोण कहलाता है।

प्र. $\tan 45°$ का मान लिखिए।

उत्तर: $\tan 45° = 1$।

प्र. समकोण त्रिभुज की कर्ण भुजा किसे कहते हैं, एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: समकोण के ठीक सामने वाली भुजा कर्ण कहलाती है।

प्र. उन्नयन कोण और अवनमन कोण, दोनों किससे मापे जाते हैं, एक वाक्य में बताइए।

उत्तर: दोनों कोण दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच मापे जाते हैं।

प्र. $\cot\theta$ का सूत्र (भुजाओं के अनुपात के रूप में) लिखिए।

उत्तर: $\cot\theta = \dfrac{\text{आधार}}{\text{सम्मुख}}$।

प्र. किसी शब्द-समस्या में समकोण त्रिभुज का समकोण कहाँ बनता है, एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजा और क्षैतिज भुजा मिलती हैं; प्रेक्षक भूमि पर हो तो यह वस्तु का पाद-बिंदु होता है, पर उदाहरण 3 में यह चिमनी पर आँख के स्तर वाला बिंदु E है।

प्र. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी वस्तु का उन्नयन कोण 45° है, तो वस्तु की ऊँचाई और प्रेक्षक की वस्तु के पाद-बिंदु से क्षैतिज दूरी बराबर होती हैं।

उत्तर: मान लीजिए वस्तु की ऊँचाई $h$ और प्रेक्षक की वस्तु के पाद-बिंदु से क्षैतिज दूरी $d$ है। $\tan 45° = \dfrac{h}{d}$, और चूँकि $\tan45°=1$, इसलिए $h=d$, अर्थात दोनों बराबर होती हैं।

प्र. एक मीनार से 12 मी दूर बिंदु से उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan45°=\dfrac{h}{12}=1 \Rightarrow h=12$ मी। अतः मीनार की ऊँचाई 12 मी है।

प्र. $\sin30°$, $\cos30°$ और $\tan30°$ के मान लिखकर सत्यापित कीजिए कि $\sin^230°+\cos^230°=1$ होता है।

उत्तर: $\sin30°=\dfrac12$, $\cos30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan30°=\dfrac{1}{\sqrt3}$। $\sin^230°+\cos^230° = \dfrac14+\dfrac34 = 1$, अतः सत्यापित हुआ।

प्र. किसी खंभे से $8\sqrt3$ मी दूर बिंदु से उन्नयन कोण 30° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan30°=\dfrac{h}{8\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow h = \dfrac{8\sqrt3}{\sqrt3} = 8$ मी। अतः खंभे की ऊँचाई 8 मी है।

प्र. उन्नयन कोण और अवनमन कोण में अंतर लिखिए, और पुस्तक से प्रत्येक का एक उदाहरण दीजिए।

उत्तर: अंतर: उन्नयन कोण तब बनता है जब देखा गया बिंदु क्षैतिज रेखा से ऊपर हो (सिर ऊपर उठाना पड़े); अवनमन कोण तब बनता है जब देखा गया बिंदु क्षैतिज रेखा से नीचे हो (सिर नीचे झुकाना पड़े)। दोनों दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच मापे जाते हैं। उदाहरण: (1) मैदान में खड़ा छात्र मीनार के शिखर को देखता है, यह उन्नयन कोण है (आकृति 9-1)। (2) बालकनी में बैठी लड़की मंदिर की सीढ़ी पर रखे गमले को नीचे देखती है, यह अवनमन कोण है।

प्र. यदि किसी मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नतांश (altitude) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan\theta = \dfrac{h}{h} = 1 \Rightarrow \theta = 45°$। अतः सूर्य का उन्नतांश 45° है।

प्र. किसी खंभे से 15 मी दूर बिंदु से उन्नयन कोण 60° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan60°=\dfrac{h}{15}=\sqrt3 \Rightarrow h = 15\sqrt3$ मी $\approx 25.98$ मी।

प्र. दो त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए जो ‘सम्मुख’ और ‘कर्ण’ दोनों भुजाओं से संबंधित हों।

उत्तर: $\sin\theta = \dfrac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}$ और $\text{cosec}\,\theta = \dfrac{\text{कर्ण}}{\text{सम्मुख}}$।

प्र. एक भवन के पाद-बिंदु P से, सामने खड़ी एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। उसी भवन में P के ठीक ऊपर 10 मी की ऊँचाई पर एक खिड़की Q है, जिससे मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई तथा भवन और मीनार के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt3 = 1.732$ लीजिए)

उत्तर: दिया है: मीनार $AB=h$ मी (B पाद, A शिखर), भवन से मीनार की दूरी $PB=d$ मी, खिड़की की ऊँचाई $PQ=10$ मी। Q से मीनार पर क्षैतिज रेखा QC खींचिए। तब $QC=PB=d$ और $BC=PQ=10$ मी, इसलिए $AC=h-10$।
समकोण $\triangle ABP$ में: $\tan60°=\dfrac{AB}{PB} \Rightarrow \sqrt3=\dfrac{h}{d} \Rightarrow h=\sqrt3\,d$ … (1)
समकोण $\triangle ACQ$ में: $\tan45°=\dfrac{AC}{QC} \Rightarrow 1=\dfrac{h-10}{d} \Rightarrow h=d+10$ … (2)
(1) और (2) से: $\sqrt3\,d=d+10 \Rightarrow d(\sqrt3-1)=10 \Rightarrow d=\dfrac{10}{\sqrt3-1}=\dfrac{10(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\dfrac{10(\sqrt3+1)}{2}=5(\sqrt3+1)$ मी।
अब $\sqrt3=1.732$ लेने पर: $d=5\times2.732=13.66$ मी, और (2) से $h=13.66+10=23.66$ मी।
जाँच: (1) से $h=\sqrt3\,d=5(3+\sqrt3)=15+5\sqrt3=15+8.66=23.66$ मी, वही उत्तर।
अतः मीनार की ऊँचाई $5(3+\sqrt3) \approx 23.66$ मी है और भवन से मीनार की दूरी $5(\sqrt3+1) \approx 13.66$ मी है।

प्र. एक खंभे की चोटी से भूमि तक एक डोर (18 मी) बंधी है, जो भूमि से 45° का कोण बनाती है। खंभे की ऊँचाई और डोर के पाद की खंभे से दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: डोर (कर्ण) $=18$ मी, कोण $=45°$। $\sin45°=\dfrac{h}{18}=\dfrac{1}{\sqrt2} \Rightarrow h=\dfrac{18}{\sqrt2}=9\sqrt2 \approx 12.73$ मी। साथ ही $\cos45°=\dfrac{d}{18}=\dfrac{1}{\sqrt2} \Rightarrow d=9\sqrt2 \approx 12.73$ मी (45° पर ऊँचाई और आधार बराबर होते हैं)। अतः खंभे की ऊँचाई और पाद की दूरी, दोनों लगभग 12.73 मी हैं।

प्र. एक 15 मी ऊँचे भवन पर एक एंटीना लगा है। भवन के शिखर का उन्नयन कोण भूमि के एक बिंदु से 30° है, और उसी बिंदु से एंटीना के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। एंटीना की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: $AB=15$ मी, $\angle APB=30°$, $\angle APD=45°$। $\tan30°=\dfrac{15}{AP} \Rightarrow AP=15\sqrt3$ मी। मान लीजिए एंटीना $BD=x$, तो $AD=15+x$। $\tan45°=\dfrac{15+x}{15\sqrt3}=1 \Rightarrow x=15\sqrt3-15=15(\sqrt3-1) \approx 10.98$ मी। अतः एंटीना की लंबाई लगभग 10.98 मी है।

प्र. एक 18 मी ऊँचे भवन पर जल-मीनार लगी है। भवन के शिखर का उन्नयन कोण भूमि के एक बिंदु से 45° है, और उसी बिंदु से जल-मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। जल-मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: $AB=18$ मी, $\angle APB=45°$, $\angle APD=60°$। $\tan45°=\dfrac{18}{AP}=1 \Rightarrow AP=18$ मी। मान लीजिए मीनार $BD=x$, तो $AD=18+x$। $\tan60°=\dfrac{18+x}{18}=\sqrt3 \Rightarrow 18+x=18\sqrt3 \Rightarrow x=18(\sqrt3-1) \approx 13.18$ मी। अतः जल-मीनार की ऊँचाई लगभग 13.18 मी है।

प्र. एक महिला एक 45 मी ऊँची मीनार की ओर चलती है। शुरू में उसकी आँख से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है; कुछ चलने के बाद यह कोण 60° हो जाता है। महिला कितनी दूरी चलकर गई? (महिला की आँख की ऊँचाई नगण्य मान लीजिए।)

उत्तर: दिया है: मीनार $AB=45$ मी, शुरुआती कोण $30°$ (बिंदु P से), अंतिम कोण $60°$ (बिंदु Q से)। $\tan30°=\dfrac{AB}{BP}=\dfrac{45}{BP}=\dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow BP=45\sqrt3$ मी। $\tan60°=\dfrac{45}{BQ}=\sqrt3 \Rightarrow BQ=\dfrac{45}{\sqrt3}=15\sqrt3$ मी। चली गई दूरी $PQ=BP-BQ=45\sqrt3-15\sqrt3=30\sqrt3 \approx 51.96$ मी।

प्र. एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई से $\sqrt3$ गुना लंबी पाई जाती है। सूर्य का उन्नतांश (altitude) ज्ञात कीजिए, और स्पष्ट कीजिए कि आपने कौन-सा अनुपात प्रयोग किया।

उत्तर: दिया है: छाया $=\sqrt3 \times$ ऊँचाई, अर्थात $x=\sqrt3 h$। $\tan\theta=\dfrac{h}{x}=\dfrac{h}{\sqrt3h}=\dfrac{1}{\sqrt3}$। मानक कोणों की सारणी से $\tan30°=\dfrac{1}{\sqrt3}$, इसलिए सूर्य का उन्नतांश $\theta=30°$। यहाँ $\tan\theta$ का प्रयोग किया गया क्योंकि सम्मुख (ऊँचाई) और आधार (छाया) दोनों भुजाओं का संबंध दिया गया था।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$ होता है, और इसका प्रयोग करके $\cot60°$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan\theta=\dfrac{\text{सम्मुख}}{\text{आधार}}$ और $\cot\theta=\dfrac{\text{आधार}}{\text{सम्मुख}}$, इसलिए $\tan\theta \cdot \cot\theta = \dfrac{\text{सम्मुख}}{\text{आधार}} \times \dfrac{\text{आधार}}{\text{सम्मुख}} = 1$। इससे $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$, और $\tan60°=\sqrt3$ होने से $\cot60°=\dfrac{1}{\sqrt3}$।

प्र. एक 40 मी ऊँची मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है, और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: मीनार $CD=40$ मी। मीनार के पाद C से भवन के शिखर A का कोण 30°, भवन के पाद B से मीनार के शिखर D का कोण 45°। समकोण $\triangle DCB$ में $\tan45°=\dfrac{CD}{CB}=1 \Rightarrow CB=40$ मी (मीनार और भवन के बीच की दूरी)। अब समकोण $\triangle ABC$ में $\tan30°=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow AB=\dfrac{40}{\sqrt3}=\dfrac{40\sqrt3}{3} \approx 23.09$ मी। अतः भवन की ऊँचाई लगभग 23.09 मी है।

प्र. एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर से एक मोबाइल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है, और टॉवर के पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: भवन $PA=10$ मी (P शिखर)। टॉवर के शिखर C का उन्नयन कोण 30°, पाद D का अवनमन कोण 45°, दोनों P से मापे गए। भवन के शिखर से एक क्षैतिज रेखा खींचिए। समकोण त्रिभुज में अवनमन कोण 45° से (एकांतर कोण द्वारा) क्षैतिज दूरी $AD=PA=10$ मी प्राप्त होती है (चूँकि $\tan45°=1$)। अब उन्नयन कोण 30° वाले त्रिभुज में, टॉवर के शिखर की क्षैतिज रेखा से ऊँचाई $=10\tan30°=\dfrac{10}{\sqrt3}$ मी। टॉवर की कुल ऊँचाई $CD = 10 + \dfrac{10}{\sqrt3} \approx 10+5.77=15.77$ मी।

प्र. समुद्र-तल से 60 मी ऊँचे लाइटहाउस के शिखर से देखने पर दो नावों के अवनमन कोण 45° और 30° हैं, दोनों लाइटहाउस के एक ही ओर, एक-दूसरे के ठीक पीछे। दोनों नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया है: लाइटहाउस $DP=60$ मी। पास वाली नाव का अवनमन कोण 45°, दूर वाली नाव का 30°। समकोण त्रिभुज में $\tan45°=\dfrac{60}{d_1}=1 \Rightarrow d_1=60$ मी। $\tan30°=\dfrac{60}{d_2}=\dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow d_2=60\sqrt3$ मी। दोनों नावों के बीच की दूरी $=d_2-d_1=60\sqrt3-60=60(\sqrt3-1) \approx 43.92$ मी।

प्र. सिद्ध कीजिए: यदि किसी मीनार से क्रमशः $x$ और $y$ दूरी ($x \lt y$) पर उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ ($\alpha>\beta$) हों, तो मीनार की ऊँचाई $h$ के लिए एक सामान्य सूत्र स्थापित कीजिए, $\tan\alpha$ और $\tan\beta$ के पदों में।

उत्तर: पहले त्रिभुज में $\tan\alpha=\dfrac{h}{x} \Rightarrow x=\dfrac{h}{\tan\alpha}$ … (1)। दूसरे त्रिभुज में $\tan\beta=\dfrac{h}{y} \Rightarrow y=\dfrac{h}{\tan\beta}$ … (2)। दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $y-x = \dfrac{h}{\tan\beta}-\dfrac{h}{\tan\alpha} = h\left(\dfrac{1}{\tan\beta}-\dfrac{1}{\tan\alpha}\right) = h(\cot\beta-\cot\alpha)$। इसलिए $h = \dfrac{y-x}{\cot\beta-\cot\alpha}$, यही सामान्य सूत्र है, जिसमें $x$, $y$ ज्ञात दूरियाँ और $\alpha$, $\beta$ ज्ञात कोण होने पर $h$ ज्ञात किया जा सकता है।

प्र. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी मीनार की ऊँचाई $h$ हो और उससे $a$ व $b$ दूरी ($a \lt b$) पर, विपरीत दिशाओं में, उन्नयन कोण परस्पर पूरक (योग 90°) हों, तो $h=\sqrt{ab}$ होता है।

उत्तर: मान लीजिए एक ओर के बिंदु से कोण $\theta$ है, तो दूरी $a$ के लिए $\tan\theta=\dfrac{h}{a}$। दूसरी ओर के बिंदु से कोण पूरक अर्थात $(90°-\theta)$ है, तो दूरी $b$ के लिए $\tan(90°-\theta)=\cot\theta=\dfrac{h}{b}$। दोनों समीकरणों को गुणा करने पर $\tan\theta \cdot \cot\theta = \dfrac{h}{a}\times\dfrac{h}{b}=\dfrac{h^2}{ab}$। चूँकि $\tan\theta\cdot\cot\theta=1$ (सिद्ध पहले किया जा चुका है), इसलिए $\dfrac{h^2}{ab}=1 \Rightarrow h^2=ab \Rightarrow h=\sqrt{ab}$।