कक्षा 10 गणित अध्याय 10 वृत्त NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

प्र. ऊपर दी गई स्थितियों के अतिरिक्त क्या वृत्त के सापेक्ष रेखा की कोई अन्य स्थिति हो सकती है?

उत्तर: नहीं। एक वृत्त और एक रेखा में या तो कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता (अप्रतिच्छेदी रेखा), या दो उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं (छेदक रेखा), या एक और केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है (स्पर्श रेखा)। पुस्तक के अनुसार इन स्थितियों के अतिरिक्त रेखा की वृत्त के सापेक्ष कोई अन्य स्थिति नहीं हो सकती है।

क्रियाकलाप: एक वृत्ताकार तार लीजिए तथा वृत्ताकार तार के एक बिंदु P पर एक सीधा तार AB इस प्रकार जोड़िए कि वह बिंदु P के परितः एक समतल में घूम सके। इस प्रणाली को एक मेज़ पर रखिए तथा तार AB को बिंदु P के परितः धीमे-धीमे घुमाइए जिससे सीधे तार की विभिन्न अवस्थाएँ प्राप्त हो सकें [देखिए आकृति 10.3(i)]।

प्रेक्षण: अधिकतर स्थितियों में सीधा तार, वृत्ताकार तार को बिंदु P एवं एक अन्य बिंदु $Q_1$ या $Q_2$ या $Q_3$ आदि पर प्रतिच्छेदित करता है। केवल एक स्थिति $A'B'$ में वह वृत्त को केवल एक बिंदु P पर ही प्रतिच्छेदित करता है। पुनः घुमाने पर वह वृत्त को बिंदु P तथा एक अन्य बिंदु $R_1$ या $R_2$ या $R_3$ आदि पर प्रतिच्छेद करता है। जैसे-जैसे AB स्थिति $A'B'$ की ओर बढ़ती है, उभयनिष्ठ बिंदु $Q_1$, बिंदु P के निकट आता जाता है और अंततः P के संपाती हो जाता है; दूसरी ओर घुमाने पर $R_3$ भी धीरे-धीरे P की ओर बढ़कर उसके संपाती हो जाता है।

परिणाम: वृत्त के एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा का अस्तित्व है, और वृत्त के एक बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है। साथ ही, किसी वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशिष्ट दशा है जब संगत जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जाएँ।

क्रियाकलाप: एक कागज पर एक वृत्त और वृत्त की छेदक रेखा PQ खींचिए। छेदक रेखा के समांतर दोनों ओर अनेक रेखाएँ खींचिए [देखिए आकृति 10.3(ii)]।

प्रेक्षण: कुछ चरणों के बाद रेखाओं द्वारा काटी गई जीवा की लंबाई धीरे-धीरे कम होती जाती है, अर्थात् रेखा तथा वृत्त के दोनों प्रतिच्छेद बिंदु पास आते जाते हैं। एक स्थिति में छेदक रेखा के एक ओर यह लंबाई शून्य हो जाती है और दूसरी स्थिति में दूसरी ओर। ये आकृति 10.3(ii) की स्थितियाँ $P'Q'$ तथा $P''Q''$ हैं।

परिणाम: $P'Q'$ तथा $P''Q''$ दी गई छेदक रेखा PQ के समांतर वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं, इसलिए एक छेदक रेखा के समांतर वृत्त की दो से अधिक स्पर्श रेखाएँ नहीं होती हैं। इस क्रियाकलाप से यह निष्कर्ष भी निकलता है कि स्पर्श रेखा छेदक रेखा की एक विशेष स्थिति है जब उसकी संगत जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जाएँ।

प्र. किसी चलती हुई साइकिल अथवा बैलगाड़ी के पहियों की ओर देखिए। एक पहिए की सभी तीलियाँ इसकी त्रिज्याओं के अनुरूप हैं। अब धरती पर पहिए की गति के सापेक्ष उसकी स्थिति देखिए। क्या आपको कहीं स्पर्श रेखा दिखती है?

उत्तर: हाँ। धरती पहिए की स्पर्श रेखा है: पहिया एक रेखा के अनुदिश गति करता है जो पहिये को निरूपित करने वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है, और किसी भी क्षण वह पहिए को केवल एक बिंदु पर छूती है। यह भी दिखता है कि सभी स्थितियों में धरती के स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या (तीली) स्पर्श रेखा पर लंब होती है। स्पर्श रेखा के इसी गुण को आगे प्रमेय 10.1 में सिद्ध किया गया है।

क्रियाकलाप: एक कागज़ पर एक वृत्त खींचिए। एक बिंदु P इसके अंदर लीजिए और उस बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचने का प्रयत्न कीजिए। पुनः, वृत्त पर एक बिंदु P लीजिए तथा इस बिंदु से स्पर्श रेखाएँ खींचिए। अंत में वृत्त के बाहर एक बिंदु P लीजिए और वृत्त पर इस बिंदु से स्पर्श रेखाएँ खींचने का प्रयत्न करिए। आप क्या प्रेक्षण करते हैं?

उत्तर:
P वृत्त के अंदर: P से खींची गई प्रत्येक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, इसलिए कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती [आकृति 10.6(i)]।
P वृत्त पर: इस बिंदु पर एक ही स्पर्श रेखा होती है [आकृति 10.6(ii)]।
P वृत्त के बाहर: इस बिंदु से वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं [आकृति 10.6(iii)]।

परिणाम: स्थिति 1: वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से जाने वाली वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं है। स्थिति 2: वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा है। स्थिति 3: वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से जाने वाली वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्र. आकृति 10.6 (iii) में $PT_1$ और $PT_2$ बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ हैं। लंबाइयों $PT_1$ और $PT_2$ में एक उभयनिष्ठ गुण है। क्या आप इसे प्राप्त कर सकते हैं? $PT_1$ और $PT_2$ को मापिए। क्या ये बराबर हैं?

उत्तर: हाँ, मापने पर $PT_1 = PT_2$ मिलता है। वास्तव में सदैव ऐसा ही होता है: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2)।

प्र. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

उत्तर: एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो
सकती हैं, क्योंकि वृत्त के हर एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है, और वृत्त पर
बिंदुओं की संख्या अनंत होती है। ध्यान दें कि वृत्त के किसी एक निश्चित बिंदु पर केवल एक ही
स्पर्श रेखा होती है (प्रमेय 10.1 की टिप्पणी 1)।

प्र. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ______ बिंदु(ओं) पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ______ कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की ______ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ______ कहते हैं।

उत्तर: (i) एक (ii) छेदक रेखा
(iii) अधिकतम दो (iv) स्पर्श बिंदु।

प्र. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक
रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है:
(A) 12 सेमी   (B) 13 सेमी   (C) 8.5 सेमी   (D) $\sqrt{119}$ सेमी

उत्तर: प्रमेय 10.1 से OP ⊥ PQ, इसलिए समकोण त्रिभुज OPQ में
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{144-25}=\sqrt{119}$ cm। सही विकल्प
(D) $\sqrt{119}$ cm है (ध्यान दें, यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है, इसलिए
उत्तर 13 cm नहीं है)।

प्र. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक
स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

उत्तर: रचना के चरण:
1. केंद्र O और किसी भी त्रिज्या (मान लीजिए 3 cm) का एक वृत्त खींचिए, और एक दी गई रेखा l लीजिए।
2. O से होकर l पर लंब एक रेखा खींचिए। यह वृत्त को बिंदुओं A और B पर काटती है, अर्थात AB,
l पर लंब एक व्यास है।
3. A पर OA के लंब एक रेखा m खींचिए। m और l दोनों AB पर लंब हैं, इसलिए m ∥ l। O से m की दूरी
OA (त्रिज्या) है, क्योंकि OA ⊥ m, और m का हर अन्य बिंदु O से OA से अधिक दूर है, इसलिए वृत्त के
बाहर है। अतः m वृत्त को केवल A पर मिलती है, यानी m स्पर्श रेखा है।
4. OA पर O और A के बीच कोई बिंदु M लीजिए और M से OA पर लंब एक रेखा n खींचिए। तब n ∥ l, और
M वृत्त के अंदर है, इसलिए n वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, यानी n छेदक रेखा है।
अतः m और n अभीष्ट स्पर्श रेखा और छेदक रेखा हैं, और दोनों दी गई रेखा l के समांतर हैं।
(ध्यान दें: व्यास l के लंब खींचना है, समांतर नहीं; l के समांतर व्यास के सिरे पर खींची
गई स्पर्श रेखा l पर लंब होगी, समांतर नहीं।)

प्र. किसी बिंदु Q से, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है और Q की केंद्र से दूरी
25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 7 cm   (B) 12 cm   (C) 15 cm   (D) 24.5 cm

उत्तर: प्रमेय 10.1 से त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब है, इसलिए समकोण त्रिभुज में
$r=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$ cm। सही विकल्प (A) 7 cm
है, कारण: पाइथागोरस प्रमेय, चूँकि त्रिज्या और स्पर्श रेखा एक दूसरे पर लंब होती हैं।

प्र. आकृति में, यदि TP और TQ किसी वृत्त (केंद्र O) पर इस प्रकार दो स्पर्श रेखाएँ हैं
कि ∠POQ = 110° है, तो ∠PTQ बराबर है:
(A) 60°   (B) 70°   (C) 80°   (D) 90°

उत्तर: चतुर्भुज OPTQ के कोणों का योग 360° होता है। ∠OPT = ∠OQT = 90° (प्रमेय 10.1)।
इसलिए $\angle PTQ=360°-90°-90°-110°=70°$। सही विकल्प (B) 70° है, कारण:
चतुर्भुज का कोण-योग गुण + प्रमेय 10.1।

प्र. यदि किसी बिंदु P से, केंद्र O वाले किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA, PB परस्पर 80°
के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
(A) 50°   (B) 60°   (C) 70°   (D) 80°

उत्तर: OP कोण APB का समद्विभाजक है (प्रमेय 10.2 की टिप्पणी 2), इसलिए
$\angle APO=80°/2=40°$। समकोण त्रिभुज OAP में $\angle POA=90°-40°=50°$। सही विकल्प
(A) 50° है, कारण: कोण-समद्विभाजन + प्रमेय 10.1 से समकोण त्रिभुज।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर
होती हैं।

उत्तर: माना AB वृत्त (केंद्र O) का व्यास है, अर्थात A, O, B एक ही सरल रेखा पर हैं।
प्रमेय 10.1 से A पर स्पर्श रेखा, OA पर लंब है, और B पर स्पर्श रेखा OB पर लंब है। चूँकि OA और OB
एक ही रेखा (व्यास AB) के भाग हैं, दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा पर बने दो लंब हैं। एक ही रेखा
पर बने दो लंब सदैव परस्पर समांतर होते हैं। इति सिद्धम्।

प्र. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर डाला गया लंब वृत्त के केंद्र से
होकर जाता है।

उत्तर: माना वृत्त की स्पर्श रेखा XY है, P स्पर्श बिंदु है, और P से XY पर डाला गया एक
लंब रेखा l है। प्रमेय 10.1 से त्रिज्या OP भी XY पर लंब है। किसी बिंदु P से किसी रेखा XY पर
केवल एक ही लंब खींचा जा सकता है, और OP पहले से ही ऐसा एक लंब है, इसलिए रेखा l अनिवार्यतः OP के
ही अनुदिश होनी चाहिए। अतः l केंद्र O से होकर गुज़रती है। इति सिद्धम्।

प्र. किसी वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर स्थित बिंदु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श
रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रमेय 10.1 से त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब है, इसलिए
$r=\sqrt{OA^2-\text{(स्पर्श रेखा)}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=$
3 cm।

प्र. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की
लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

उत्तर: माना जीवा AB, छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। OP मिलाइए; प्रमेय 10.1
से OP ⊥ AB, और केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AP = PB।
समकोण त्रिभुज OPA में $AP=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ cm। अतः जीवा
$AB=2\times4=8$ cm।

प्र. एक चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत इस प्रकार खींचा गया है (आकृति देखिए)। सिद्ध
कीजिए: AB + CD = AD + BC।

उत्तर: माना वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श
करता है। प्रमेय 10.2 से: शीर्ष A से AP = AS, शीर्ष B से BP = BQ, शीर्ष C से CR = CQ, शीर्ष D से
DR = DS। अब $AB+CD=(AP+PB)+(CR+RD)=(AS+BQ)+(CQ+DS)$। पुनर्व्यवस्थित करने पर
$=(AS+DS)+(BQ+CQ)=AD+BC$। अतः AB+CD = AD+BC सिद्ध हुआ। इति सिद्धम्।

प्र. आकृति में, XY तथा X′Y′ किसी वृत्त (केंद्र O) की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और
स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर तथा X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए
कि ∠AOB = 90° है।

उत्तर: OA और OB मिलाइए। बिंदु A से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं (XY का भाग, तथा AC) के
बीच OA समद्विभाजक है (प्रमेय 10.2 की टिप्पणी 2), अतः $\angle OAX=\angle OAC$, यानी
$\angle OAB=\tfrac12\angle XAB$। इसी तरह बिंदु B पर $\angle OBA=\tfrac12\angle X'BA$। चूँकि
XY ∥ X′Y′ और AB इन्हें काटने वाली तिर्यक रेखा है, सह-अंतःकोण संपूरक होते हैं:
$\angle XAB+\angle X'BA=180°$। दोनों पक्षों को आधा करने पर
$\angle OAB+\angle OBA=90°$। त्रिभुज OAB के कोण-योग गुण से
$\angle AOB=180°-(\angle OAB+\angle OBA)=180°-90°=$ 90°। इति सिद्धम्।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच
का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

उत्तर: माना बाह्य बिंदु P से वृत्त (केंद्र O) पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR खींची गई हैं,
जो क्रमशः Q, R पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध करना है $\angle QPR+\angle QOR=180°$। चतुर्भुज OQPR के
कोणों का योग 360° होता है, और प्रमेय 10.1 से ∠OQP = ∠ORP = 90°। अतः
$90°+\angle QPR+90°+\angle QOR=360°$, जिससे $\angle QPR+\angle QOR=180°$,
अर्थात दोनों कोण संपूरक हैं। इति सिद्धम्।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।

उत्तर: माना समांतर चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत है, जिसकी भुजाएँ वृत्त को
क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करती हैं। प्रश्न 8 के परिणाम (AB+CD=AD+BC) से, और ABCD समांतर
चतुर्भुज होने के कारण AB=CD तथा AD=BC (सम्मुख भुजाएँ बराबर)। इसलिए $AB+CD=AD+BC$ बनता है
$2AB=2BC$, अर्थात AB=BC। अतः चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD
समचतुर्भुज है। इति सिद्धम्।

प्र. 4 cm त्रिज्या के एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि भुजा
BC, स्पर्श बिंदु D द्वारा BD = 8 cm और DC = 6 cm में विभाजित होती है (आकृति देखिए)। भुजाएँ AB
और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना भुजा AB, AC वृत्त को क्रमशः E, F पर स्पर्श करती हैं और AE = AF = x
(प्रमेय 10.2)। BD = BE = 8 cm, CD = CF = 6 cm (उसी प्रमेय से)। अतः AB = x+8, AC = x+6,
BC = 14 cm, और अर्धपरिमाप $s=x+14$। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(x+14)(x)(8)(6)}=\sqrt{48x(x+14)}$। साथ ही क्षेत्रफल $=r\times s=4(x+14)$ भी है। दोनों
बराबर करने पर $16(x+14)^2=48x(x+14) \Rightarrow 16(x+14)=48x \Rightarrow 224=32x \Rightarrow x=7$।
अतः AB = 15 cm और AC = 13 cm।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक
कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: माना चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त (केंद्र O) के परिगत है, जो भुजाओं AB, BC, CD, DA
को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। सिद्ध करना है: $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$ और
$\angle AOD+\angle BOC=180^\circ$।

OP, OQ, OR, OS तथा OA, OB, OC, OD मिलाइए। त्रिभुज OAP और OAS में: OP = OS (एक ही वृत्त की
त्रिज्याएँ), AP = AS (प्रमेय 10.2, बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ), OA उभयनिष्ठ। अतः
$\triangle OAP \cong \triangle OAS$ (SSS), इसलिए $\angle AOP=\angle AOS$ (CPCT)। इनमें से प्रत्येक
को a मान लीजिए। इसी प्रकार $\angle BOP=\angle BOQ=b$, $\angle COQ=\angle COR=c$ और
$\angle DOR=\angle DOS=d$।

केंद्र O के चारों ओर ये आठ कोण मिलकर एक संपूर्ण कोण बनाते हैं:
$2a+2b+2c+2d=360^\circ$, अर्थात $a+b+c+d=180^\circ$। अब $\angle AOB=a+b$ और $\angle COD=c+d$,
इसलिए $\angle AOB+\angle COD=a+b+c+d=180^\circ$। इसी प्रकार
$\angle AOD=a+d$ और $\angle BOC=b+c$, इसलिए
$\angle AOD+\angle BOC=180^\circ$। अतः परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ
केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं। इति सिद्धम्।