कक्षा 10 गणित अध्याय 13 सांख्यिकी NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

क्रियाकलाप: सारणी 13.3 से, प्रत्येक $x_i$ (17.5, 32.5, इत्यादि) को ‘a’ मानकर माध्य परिकलित कीजिए। आप क्या देखते हैं? (क्यों?)

उत्तर: सारणी 13.3 में $\sum f_i = 30$ और $\sum f_i x_i = 1860$ है। ‘a’ का कोई भी मान लें, $\sum f_i d_i = \sum f_i (x_i – a) = 1860 – 30a$ होगा, और $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$:

प्रत्येक स्थिति में माध्य एक ही, अर्थात् 62 आता है।

क्यों? $\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i (x_i – a)}{\sum f_i} = a + \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} – \dfrac{a\sum f_i}{\sum f_i} = a + \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} – a = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$। शुरू में जोड़ा गया $a$, हर विचलन में से घटाए गए $a$ से ठीक कट जाता है, इसलिए प्राप्त माध्य का मान चुने हुए ‘a’ के मान पर निर्भर नहीं करता। बीच वाला $x_i$ चुनने से केवल संख्याएँ छोटी हो जाती हैं और परिकलन आसान हो जाता है।

क्रियाकलाप: अपनी कक्षा के विद्यार्थियों को तीन समूहों में बाँटिए और प्रत्येक समूह से निम्नलिखित में से एक क्रियाकलाप करने को कहिए:
1. आपके स्कूल द्वारा हाल ही में ली गई परीक्षा में, अपनी कक्षा के सभी विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त किए गए अंक एकत्रित कीजिए। इस प्रकार प्राप्त आँकड़ों की एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
2. अपने शहर में 30 दिन के रिकॉर्ड किए गए दैनिक अधिकतम तापमान एकत्रित कीजिए। इन आँकड़ों को एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में प्रस्तुत कीजिए।
3. अपनी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ (cm में) मापिए और उनकी एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
जब सभी समूह आँकड़े एकत्रित करके अपनी वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणियाँ बना लें, तब प्रत्येक समूह अपने बारंबारता बंटन का माध्य उस विधि से निकाले जो वह उपयुक्त समझे।

उत्तर: हर समूह अपने वास्तविक आँकड़ों से काम करता है, इसलिए कोई एक निश्चित उत्तर नहीं है। चरण ये हैं: (1) बराबर माप वाले, एक-दूसरे पर न चढ़ने वाले वर्ग चुनिए जिनमें सभी मान आ जाएँ (अंकों के लिए जैसे 0 – 10, 10 – 20, …; तापमान के लिए 2 °C या 3 °C के वर्ग; ऊँचाइयों के लिए 5 cm के वर्ग) और हर वर्ग की बारंबारता $f_i$ गिनिए; (2) वर्ग चिह्न $x_i$ ज्ञात कीजिए; (3) विधि चुनिए: $x_i$ और $f_i$ छोटे हों तो प्रत्यक्ष विधि, बड़े हों तो कल्पित माध्य विधि, और सभी विचलनों $d_i$ में कोई सार्व गुणनखंड (प्रायः वर्ग माप $h$) हो तो पग-विचलन विधि।

नमूना आँकड़ों से हल किया गया उदाहरण (30 विद्यार्थियों की उदाहरण के लिए ली गई ऊँचाइयाँ, पुस्तक से नहीं; आप अपनी कक्षा के आँकड़े लीजिए):

पग-विचलन विधि से, $a = 152.5$, $h = 5$: $\bar{x} = 152.5 + \left(\dfrac{13}{30}\right)\times 5 = 152.5 + 2.17 = \;$154.67 cm।

क्रियाकलाप: क्रियाकलाप 2 में बनाए गए समूहों और उनको निर्दिष्ट किए कार्यों के साथ क्रियाकलाप जारी रखिए। प्रत्येक समूह से आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने को कहिए। उनसे इसकी तुलना माध्य से करने को कहिए तथा दोनों के अर्थों की व्याख्या करने को कहिए।

उत्तर: ऊपर के नमूना आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 9 है, इसलिए बहुलक वर्ग 150 – 155 है, जिसमें $l = 150$, $f_1 = 9$, $f_0 = 5$, $f_2 = 8$, $h = 5$:

बहुलक $= l + \left(\dfrac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right)\times h = 150 + \left(\dfrac{9 – 5}{18 – 5 – 8}\right)\times 5 = 150 + 4 = \;$154 cm।

तुलना और अर्थ: यहाँ बहुलक (154 cm) माध्य (154.67 cm) से थोड़ा कम है। माध्य पूरी कक्षा की औसत ऊँचाई है: सभी ऊँचाइयों का योग 30 विद्यार्थियों में बराबर बाँटने पर मिलने वाला मान। बहुलक वह ऊँचाई है जिसके आसपास सबसे अधिक विद्यार्थी हैं, अर्थात् सबसे अधिक बार आने वाली ऊँचाई। हर समूह अपने दोनों मानों की तुलना इसी प्रकार करे: जब सभी मानों का औसत चाहिए (कक्षा के औसत अंक) तब माध्य, और जब अधिकतर का साझा मान चाहिए (अधिकतर विद्यार्थियों को मिले अंक, सबसे अधिक बार आने वाला तापमान) तब बहुलक। बहुलक माध्य से कम, बराबर या अधिक भी हो सकता है।

प्र. विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण
किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े
एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए। माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि
का प्रयोग किया और क्यों?

उत्तर: वर्ग चिह्न: 1,3,5,7,9,11,13। $\sum f_i=20$, $\sum f_i x_i=162$। प्रत्यक्ष विधि से
माध्य $=\dfrac{162}{20}=$ 8.1। संख्याएँ छोटी होने के कारण प्रत्यक्ष विधि
प्रयोग की।

प्र. किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए। एक
उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 510,530,550,570,590। $\sum f_i=50$, $\sum f_i x_i=27260$। माध्य
$=\dfrac{27260}{50}=$ ₹545.20।

प्र. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च ₹18
है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 12,14,16,18,20,22,24। ज्ञात भाग का $\sum f_i x_i=752$ और
$\sum f_i=44+f$। $18=\dfrac{752+20f}{44+f}$ से $18(44+f)=752+20f$, $792+18f=752+20f$,
$2f=40$, अतः $f=20$।

प्र. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन
(beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के
हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 66.5,69.5,72.5,75.5,78.5,81.5,84.5। $\sum f_i=30$, $\sum f_i x_i=2277$।
माध्य $=\dfrac{2277}{30}=$ 75.9।

प्र. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में
आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था। एक पेटी
में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?

उत्तर: वर्ग चिह्न: 51, 54, 57, 60, 63 (वर्ग चिह्न वही रहते हैं, चाहे वर्गों को सतत
बनाया जाए या नहीं)। बारंबारताएँ बड़ी हैं, इसलिए पग-विचलन विधि प्रयोग की: $a=57$, $h=3$।
$u_i$: $-2, -1, 0, 1, 2$; $f_i u_i$: $-30, -110, 0, 115, 50$; $\sum f_i=400$, $\sum f_i u_i=25$।
माध्य $=57+3\times\dfrac{25}{400}=57+0.1875=57.1875\approx$ 57.19।
(जाँच: प्रत्यक्ष विधि से भी $\dfrac{22875}{400}=57.19$ आता है।)

प्र. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती
है। एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 125,175,225,275,325। $\sum f_i=25$, $\sum f_i x_i=5275$। माध्य
$=\dfrac{5275}{25}=$ ₹211।

प्र. वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के
लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है। वायु में
SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 0.02,0.06,0.10,0.14,0.18,0.22। $\sum f_i=30$, $\sum f_i x_i=2.96$।
माध्य $=\dfrac{2.96}{30}=$ 0.099 ppm (लगभग)।

प्र. किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की
अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका
माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 3,8,12,17,24,33,39। $\sum f_i=40$, $\sum f_i x_i=499$। माध्य
$=\dfrac{499}{40}=$ 12.48 दिन (लगभग)।

प्र. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता
दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वर्ग चिह्न: 50,60,70,80,90। $\sum f_i=35$, $\sum f_i x_i=2430$। माध्य
$=\dfrac{2430}{35}=$ 69.43% (लगभग)।

प्र. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को
दर्शाती है।
उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए
और उनकी व्याख्या कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 35-45 (सबसे अधिक बारंबारता 23)। $l=35,h=10,f_1=23,f_0=21,f_2=14$।
बहुलक $=35+\dfrac{23-21}{2(23)-21-14}\times10=$ 36.8 वर्ष (लगभग)। माध्य
(वर्ग चिह्न 10,20,…,60 से) $=\dfrac{2830}{80}=35.375\approx$ 35.38 वर्ष।
(NCERT के उत्तर में 35.37 वर्ष छपा है: यह 35.375 को दो दशमलव स्थानों के बाद काटकर लिखा गया मान है,
पूर्णांकन से 35.38 आता है।)
व्याख्या: सबसे अधिक रोगी 35-45 वर्ष वाले वर्ग में हैं और बहुलक आयु लगभग 36.8 वर्ष (अनुमानित
मान) है, जबकि औसतन भर्ती किए गए रोगियों की आयु लगभग 35.38 वर्ष है (माध्य)। यहाँ बहुलक, माध्य से
थोड़ा बड़ा है।

प्र. निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते
हैं। उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 60-80 (बारंबारता 61)। $l=60,h=20,f_1=61,f_0=52,f_2=38$। बहुलक
$=60+\dfrac{61-52}{2(61)-52-38}\times20=60+\dfrac{9}{32}\times20=60+5.625=$ 65.625 घंटे।

प्र. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को
दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 1500-2000 (बारंबारता 40)। $l=1500,h=500,f_1=40,f_0=24,f_2=33$। बहुलक
$=1500+\dfrac{40-24}{2(40)-24-33}\times500=$ ₹1847.83 (लगभग)। वर्ग चिह्नों
1250,1750,…,4750 से माध्य $=\dfrac{532500}{200}=$ ₹2662.50।

प्र. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी
अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 30-35 (बारंबारता 10)। $l=30,h=5,f_1=10,f_0=9,f_2=3$। बहुलक
$=30+\dfrac{10-9}{2(10)-9-3}\times5=$ 30.6 (लगभग)। माध्य
$=\dfrac{1022.5}{35}=$ 29.2 (लगभग)। 35 राज्यों/संघीय क्षेत्रों में से सबसे अधिक
(10) में अनुपात 30-35 के बीच है (बहुलक वर्ग) और बहुलक लगभग 30.6 है, जबकि माध्य 29.2 बताता है कि कुछ राज्यों के कम अनुपात ने औसत को थोड़ा नीचे
खींचा है।

प्र. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाज़ों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट
मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 4000-5000 (बारंबारता 18)। $l=4000,h=1000,f_1=18,f_0=4,f_2=9$। बहुलक
$=4000+\dfrac{18-4}{2(18)-4-9}\times1000=$ 4608.7 रन (लगभग)।

प्र. एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं
और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के
अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर
प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुलक वर्ग 40-50 (बारंबारता 20)। $l=40,h=10,f_1=20,f_0=12,f_2=11$। बहुलक
$=40+\dfrac{20-12}{2(20)-12-11}\times10=$ 44.7 (लगभग)।

प्र. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत
दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

उत्तर: संचयी बारंबारता: 4,9,22,42,56,64,68। $n=68,\dfrac{n}{2}=34$; वर्ग 125-145 की cf(42)
पहली बार 34 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 125-145। $l=125,cf=22,f=20,h=20$। माध्यक
$=125+\dfrac{34-22}{20}\times20=$ 137। माध्य (वर्ग चिह्न से)
$=\dfrac{9320}{68}=137.058\ldots\approx$ 137.06 इकाई। बहुलक वर्ग 125-145: बहुलक
$=125+\dfrac{20-13}{2(20)-13-14}\times20=125+\dfrac{140}{13}=135.769\ldots\approx$ 135.77 इकाई।
(NCERT के उत्तर में माध्य 137.05 और बहुलक 135.76 छपे हैं: ये दो दशमलव स्थानों के बाद काटकर लिखे
मान हैं, पूर्णांकन से 137.06 और 135.77 आते हैं।)
तुलना: माध्यक 137, माध्य लगभग 137.06 और बहुलक लगभग 135.77 इकाई है: इस स्थिति में ये तीनों
मापक लगभग समान हैं।

प्र. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माध्यक 28.5, वर्ग 20-30 में स्थित है (क्योंकि माध्यक हमेशा माध्यक वर्ग की सीमाओं
के बीच होता है), अतः माध्यक वर्ग 20-30। $n=60$, अतः $5+x+20+15+y+5=60 \Rightarrow x+y=15$
…(1)। $l=20,h=10,f=20,cf=5+x$ (वर्ग 10-20 की संचयी बारंबारता, $\dfrac{n}{2}=30$)।
$28.5=20+\dfrac{30-(5+x)}{20}\times10 \Rightarrow 8.5=\dfrac{25-x}{2} \Rightarrow 17=25-x \Rightarrow x=8$।
समीकरण (1) से $y=15-8=7$। अतः $x=8,\;y=7$।

प्र. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता
है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष
या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

उत्तर: सारणी में 18 वर्ष से कम आयु वालों की संख्या अलग से नहीं दी गई है; अतः मान लिया
गया है कि 20 वर्ष से कम आयु के सभी 2 धारक 18 वर्ष या उससे अधिक आयु के हैं, यानी सभी 100 धारक
पात्र हैं। 18-60 की सीमा में वर्ग बनाते हुए साधारण बारंबारता: 18-20:2, 20-25:4, 25-30:18,
30-35:21, 35-40:33, 40-45:11, 45-50:3, 50-55:6, 55-60:2। संचयी बारंबारता: 2,6,24,45,78,89,92,98,100।
$n=100,\dfrac{n}{2}=50$; वर्ग 35-40 की cf(78) पहली बार 50 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 35-40।
$l=35,cf=45,f=33,h=5$। माध्यक $=35+\dfrac{50-45}{33}\times5=$ 35.76 वर्ष
(लगभग)।

प्र. एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त
आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
(संकेत: माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में
वर्ग अंतरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग 117.5-126.5, 126.5-135.5, …, 171.5-180.5 में बदल
जाते हैं।)

उत्तर: सतत वर्गों में संचयी बारंबारता: 3,8,17,29,34,38,40। $n=40,\dfrac{n}{2}=20$; वर्ग
144.5-153.5 की cf(29) पहली बार 20 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 144.5-153.5। $l=144.5,cf=17,f=12,h=9$।
माध्यक $=144.5+\dfrac{20-17}{12}\times9=$ 146.75 mm।

प्र. निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है।
एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संचयी बारंबारता: 14,70,130,216,290,352,400। $n=400,\dfrac{n}{2}=200$; वर्ग
3000-3500 की cf(216) पहली बार 200 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 3000-3500। $l=3000,cf=130,f=86,h=500$।
माध्यक $=3000+\dfrac{200-130}{86}\times500=$ 3406.98 घंटे (लगभग)।

प्र. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त
अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ। कुलनामों में
माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही,
कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संचयी बारंबारता: 6,36,76,92,96,100। $n=100,\dfrac{n}{2}=50$; वर्ग 7-10 की cf(76)
पहली बार 50 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 7-10। $l=7,cf=36,f=40,h=3$। माध्यक
$=7+\dfrac{50-36}{40}\times3=$ 8.05। वर्ग चिह्नों से माध्य
$=\dfrac{832}{100}=$ 8.32। बहुलक वर्ग 7-10 (बारंबारता 40): बहुलक
$=7+\dfrac{40-30}{2(40)-30-16}\times3=$ 7.88 (लगभग)।

प्र. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का
माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संचयी बारंबारता: 2,5,13,19,25,28,30। $n=30,\dfrac{n}{2}=15$; वर्ग 55-60 की cf(19)
पहली बार 15 से बड़ी, अतः माध्यक वर्ग 55-60। $l=55,cf=13,f=6,h=5$। माध्यक
$=55+\dfrac{15-13}{6}\times5=$ 56.67 kg (लगभग)।