प्रायिकता

प्र. एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। साथ
ही, पट प्राप्त करने की भी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणामों की संख्या = 2 (चित H और पट T)। मान लीजिए E = “चित प्राप्त करना”।
E के अनुकूल परिणाम = 1। अतः $P(E) = P(\text{चित}) = \dfrac{1}{2}$।
इसी प्रकार यदि F = “पट प्राप्त करना” है, तो $P(F) = P(\text{पट}) = \dfrac{1}{2}$।

प्र. एक थैले में एक लाल, एक नीली और एक पीली गेंद है, तीनों आकार में समान हैं। कृतिका
बिना देखे एक गेंद निकालती है। (i) पीली (ii) लाल (iii) नीली गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणाम = 3, और तीनों समप्रायिक हैं। मान लीजिए Y, R, B क्रमशः पीली, लाल, नीली
गेंद निकलने की घटनाएँ हैं। हर घटना के अनुकूल परिणाम = 1। अतः $P(Y) = P(R) = P(B) = \dfrac{1}{3}$।

प्र. एक पासा एक बार फेंका जाता है। (i) 4 से बड़ी संख्या आने की और (ii) 4 से छोटी या
उसके बराबर संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणाम = 6 (1,2,3,4,5,6)। (i) E = “4 से बड़ी संख्या” के अनुकूल परिणाम 5, 6
यानी 2 हैं। $P(E) = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$।
(ii) F = “4 से छोटी या बराबर” के अनुकूल परिणाम 1,2,3,4 यानी 4 हैं। $P(F)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$।
ध्यान दीजिए “4 से बड़ी नहीं” और “4 से छोटी या बराबर” एक ही बात है, यानी F वास्तव में “E नहीं” है।

प्र. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात
कीजिए कि पत्ता (i) इक्का है (ii) इक्का नहीं है।

हल: फेंटना (well-shuffling) सुनिश्चित करता है कि सभी 52 परिणाम समप्रायिक हैं। गड्डी में 4
इक्के हैं। E = “पत्ता इक्का है” -> $P(E) = \dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$।
(ii) F = “पत्ता इक्का नहीं है”, अनुकूल परिणाम = 52-4=48 -> $P(F)=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13}$।
ध्यान दीजिए F वास्तव में $\overline{E}$ ही है, इसलिए $P(F)=1-P(E)=1-\dfrac1{13}=\dfrac{12}{13}$ से भी
सीधे मिल जाता है, प्रत्यक्ष गिनती नहीं भी करनी पड़ती।

प्र. संगीता और रेशमा टेनिस मैच खेलती हैं। संगीता के जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा के
जीतने की प्रायिकता क्या है?

हल: S और R क्रमशः संगीता व रेशमा के जीतने की घटनाएँ हैं। $P(S)=0.62$। चूँकि S और R
पूरक घटनाएँ हैं (कोई एक ज़रूर जीतेगा, दोनों साथ नहीं जीत सकतीं): $P(R) = 1-P(S) = 1-0.62 = 0.38$।

प्र. सविता और हमीदा सहेलियाँ हैं। (i) दोनों के जन्मदिन अलग होने की और (ii) एक ही होने
की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (लीप वर्ष को नज़रअंदाज़ करते हुए)।

हल: वर्ष में 365 दिन, सभी समप्रायिक मान लिए। हमीदा का जन्मदिन सविता से अलग होने के
अनुकूल परिणाम = 365-1=364। अतः $P(\text{अलग जन्मदिन}) = \dfrac{364}{365}$।
(ii) “एक ही जन्मदिन” घटना, “अलग जन्मदिन” घटना की पूरक है, इसलिए
$P(\text{एक ही जन्मदिन}) = 1-\dfrac{364}{365}=\dfrac{1}{365}$।

प्र. कक्षा 10 में 40 विद्यार्थी हैं, जिनमें 25 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। कक्षा-प्रतिनिधि चुनने के
लिए हर विद्यार्थी के नाम की एक-एक पर्ची डिब्बे में डालकर एक पर्ची यादृच्छया निकाली जाती है। (i)
लड़की का नाम निकलने और (ii) लड़के का नाम निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणाम = 40। (i) लड़की के अनुकूल परिणाम = 25, अतः $P(\text{लड़की})=\dfrac{25}{40}=\dfrac58$।
(ii) लड़के के अनुकूल परिणाम = 15, अतः $P(\text{लड़का})=\dfrac{15}{40}=\dfrac38$। (जाँच: $P(\text{लड़का})$
पूरक विधि से भी $1-\dfrac58=\dfrac38$ मिलता है।)

प्र. एक डिब्बे में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे हैं। यादृच्छया निकाले गए कंचे के (i) सफेद
(ii) नीले (iii) लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: कुल कंचे = 3+2+4 = 9, सभी समप्रायिक। $P(\text{सफेद})=\dfrac29$,
$P(\text{नीला})=\dfrac39=\dfrac13$, $P(\text{लाल})=\dfrac49$। जाँच: $\dfrac29+\dfrac39+\dfrac49=\dfrac99=1$।

प्र. हरप्रीत दो अलग-अलग सिक्के (₹1 और ₹2 के) एक साथ उछालती है। कम से कम एक चित
आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणाम (H,H), (H,T), (T,H), (T,T), कुल 4, सभी समप्रायिक। E = “कम से कम
एक चित” के अनुकूल परिणाम (H,H), (H,T), (T,H) यानी 3। अतः $P(E)=\dfrac34$।
वैकल्पिक (पूरक) विधि: “कम से कम एक चित नहीं” का मतलब है “कोई चित नहीं”, यानी सिर्फ
(T,T)। $P(\text{कोई चित नहीं})=\dfrac14$। अतः $P(\text{कम से कम एक चित})=1-\dfrac14=\dfrac34$।

प्र. एक डिब्बे में 100 कमीजें हैं, जिसमें से 88 अच्छी हैं तथा 8 में थोड़ी सी खराबी है और 4 में
अधिक खराबी है। एक व्यापारी जिम्मी वे ही कमीजें स्वीकार करता है जो अच्छी हैं, जबकि एक अन्य
व्यापारी सुजाता उन्हीं कमीजों को अस्वीकार करती है जिनमें खराबी अधिक है। इस डिब्बे में से एक कमीज
को यादृच्छया रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कमीज (i) जिम्मी को स्वीकार हो?
(ii) सुजाता को स्वीकार हो?

हल: 100 कमीजों में से एक कमीज यादृच्छया निकाली जाती है, अतः 100 समप्रायिक परिणाम हैं।
(i) जिम्मी केवल 88 अच्छी कमीजें स्वीकार करता है, अतः अनुकूल परिणाम = 88।
$P(\text{कमीज जिम्मी को स्वीकार है}) = \dfrac{88}{100} = 0.88$।
(ii) सुजाता केवल अधिक खराबी वाली 4 कमीजें अस्वीकार करती है, यानी अच्छी और थोड़ी सी खराबी वाली,
दोनों तरह की कमीजें उसे स्वीकार हैं: अनुकूल परिणाम = 88 + 8 = 96।
$P(\text{कमीज सुजाता को स्वीकार है}) = \dfrac{96}{100} = 0.96$।
ध्यान दीजिए: “किसे क्या स्वीकार है” ध्यान से पढ़िए। (ii) को पूरक विधि से भी निकाल सकते हैं:
$1 – \dfrac{4}{100} = 0.96$।

प्र. दो पासों के अंकों का योग (i) 8 (ii) 13 (iii) 12 से कम या बराबर होने की प्रायिकता
ज्ञात कीजिए।

हल: संभव परिणाम = 36। (i) योग 8 वाले परिणाम: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) यानी 5,
अतः $P=\dfrac{5}{36}$।
(ii) योग 13 एक भी परिणाम में संभव नहीं (अधिकतम योग 12 है), अतः $P=\dfrac{0}{36}=0$ (असंभव घटना)।
(iii) योग सदैव 12 या उससे कम ही होता है, अतः सभी 36 परिणाम अनुकूल हैं: $P=\dfrac{36}{36}=1$ (निश्चित घटना)।