कक्षा 10 गणित अध्याय 2 बहुपद महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. $p(x)=3x-5$ के लिए $p(2)$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $p(2)=3(2)-5=1$।

प्र. बहुपद $x^2-4$ का एक शून्यक लिखिए।

उत्तर: $2$ (या $-2$), क्योंकि $x^2-4=(x-2)(x+2)$।

प्र. द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं।

प्र. त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: अधिकतम 3 शून्यक हो सकते हैं।

प्र. यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिल्कुल नहीं काटता, तो उसके कितने वास्तविक शून्यक हैं?

उत्तर: कोई वास्तविक शून्यक नहीं (0)।

प्र. रैखिक बहुपद $ax+b$ ($a \ne 0$) का शून्यक किस सूत्र से मिलता है?

उत्तर: शून्यक $= -b/a$।

प्र. द्विघात बहुपद $ax^2+bx+c$ में शून्यकों के गुणनफल का सूत्र लिखिए।

उत्तर: गुणनफल $= c/a$।

प्र. “quadratic” (द्विघात) शब्द किस शब्द से बना है और इसका क्या अर्थ है?

उत्तर: “quadrate” शब्द से, जिसका अर्थ है वर्ग।

प्र. जाँच कीजिए कि $x=1$, $p(x)=2x^2-x-1$ का शून्यक है या नहीं।

उत्तर: $p(1)=2(1)^2-1-1=2-1-1=0$। हाँ, $x=1$ इसका शून्यक है।

प्र. बहुपद $5x+7$ का शून्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $5x+7=0 \Rightarrow x=-7/5$।

प्र. द्विघात बहुपद $x^2-5$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x^2-5=(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)$, शून्यक $\sqrt5$ और $-\sqrt5$ हैं।

प्र. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग $6$ और गुणनफल $8$ है, तो वह बहुपद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुपद $=x^2-(\text{योग})x+\text{गुणनफल}=x^2-6x+8$।

प्र. $p(x)=x^2+1$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या बताइए और कारण दीजिए।

उत्तर: 0 वास्तविक शून्यक हैं, क्योंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $x^2+1$ सदैव धनात्मक रहता है, कभी शून्य नहीं होता; इसका ग्राफ सदा x-अक्ष के ऊपर रहता है।

प्र. किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है। इस बहुपद की न्यूनतम घात क्या होगी और क्यों?

उत्तर: न्यूनतम घात 2 होगी, क्योंकि रैखिक बहुपद (घात 1) का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक ही बिंदु पर काट सकता है, दो बिंदुओं पर नहीं।

प्र. $p(x)=x^3-3x^2+2x$ के शून्यक गुणनखंड द्वारा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$, शून्यक $0, 1, 2$ हैं।

प्र. $x^2-2x-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$, शून्यक $3$ और $-1$ हैं।

प्र. $p(x)=2x^2+3x-2$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक-गुणांक संबंध सत्यापित कीजिए।

उत्तर: मध्य पद विभाजन से: $2x^2+3x-2=2x^2+4x-x-2=2x(x+2)-1(x+2)=(2x-1)(x+2)$। शून्यक $x=1/2$ और $x=-2$। योग $=1/2+(-2)=-3/2=-b/a=-3/2$ ✓। गुणनफल $=1/2\times(-2)=-1=c/a=-2/2=-1$ ✓।

प्र. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग $0$ और गुणनफल $-9$ हो, फिर उसके शून्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुपद $=x^2-0\cdot x+(-9)=x^2-9$। $x^2-9=(x-3)(x+3)$, शून्यक $3$ और $-3$ हैं।

प्र. $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$ के शून्यक $1, 2, 3$ हैं। तीनों संबंधों ($\alpha+\beta+\gamma$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$, $\alpha\beta\gamma$) को सत्यापित कीजिए।
(अभ्यास के लिए: पुस्तक में ऐसे ही उदाहरण 5 पर पाद-टिप्पणी है “यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।” CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में शून्यकों और गुणांकों का संबंध द्विघात बहुपदों के लिए दिया गया है।)

उत्तर: $a=1,b=-6,c=11,d=-6$। योग $=1+2+3=6=-(-6)/1$ ✓। दो-दो का गुणनफल-योग $=(1)(2)+(2)(3)+(3)(1)=2+6+3=11=c/a=11/1$ ✓। तीनों का गुणनफल $=1\times2\times3=6=-d/a=-(-6)/1=6$ ✓।

प्र. रैखिक बहुपद $p(x)=ax+b$ का ग्राफ बिंदुओं $(1,5)$ और $(2,9)$ से गुज़रता है। $a$ और $b$ ज्ञात कर बहुपद का शून्यक बताइए।

उत्तर: $a+b=5$ और $2a+b=9$। घटाने पर $a=4$, फिर $b=1$। बहुपद $p(x)=4x+1$। शून्यक $=-b/a=-1/4$।

प्र. द्विघात बहुपद $x^2-(\sqrt3+1)x+\sqrt3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और संबंध सत्यापित कीजिए।

उत्तर: $x^2-(\sqrt3+1)x+\sqrt3=(x-1)(x-\sqrt3)$, शून्यक $1$ और $\sqrt3$। योग $=1+\sqrt3=-b/a=\sqrt3+1$ ✓। गुणनफल $=\sqrt3=c/a=\sqrt3$ ✓।

प्र. यदि द्विघात बहुपद $kx^2+4x+4$ का एक शून्यक $2$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $k(2)^2+4(2)+4=0 \Rightarrow 4k+8+4=0 \Rightarrow 4k=-12 \Rightarrow k=-3$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि बहुपद $p(x)=x^2+x+1$ का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

उत्तर: $p(x)=x^2+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^2+\tfrac34$। चूँकि किसी वर्ग का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, $p(x)$ सदैव $\tfrac34$ से अधिक या बराबर रहता है, कभी शून्य नहीं होता। अतः कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

प्र. $p(x)=x^3+x^2-4x-4$ के शून्यक $-1, 2, -2$ सत्यापित कीजिए और शून्यक-गुणांक संबंध जाँचिए।
(अभ्यास के लिए: पुस्तक में ऐसे ही उदाहरण 5 पर पाद-टिप्पणी है “यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।” CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में शून्यकों और गुणांकों का संबंध द्विघात बहुपदों के लिए दिया गया है।)

उत्तर: $p(-1)=-1+1+4-4=0$ ✓, $p(2)=8+4-8-4=0$ ✓, $p(-2)=-8+4+8-4=0$ ✓। $a=1,b=1,c=-4,d=-4$। योग $=-1+2-2=-1=-b/a=-1$ ✓। दो-दो गुणनफल-योग $=(-1)(2)+(2)(-2)+(-2)(-1)=-2-4+2=-4=c/a=-4$ ✓। तीनों गुणनफल $=(-1)(2)(-2)=4=-d/a=-(-4)/1=4$ ✓।

प्र. (क) स्पष्ट कीजिए कि रैखिक बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक एक ही बिंदु पर क्यों काटता है।
(ख) द्विघात बहुपद $x^2-4x+4$ किस स्थिति (I, II या III) में आता है, यह बताते हुए इसका शून्यक ज्ञात कीजिए।
(ग) कोई ऐसा द्विघात बहुपद लिखिए जिसका कोई वास्तविक शून्यक न हो, और कारण दीजिए।

उत्तर: (क) रैखिक बहुपद $ax+b$ का ग्राफ एक सरल रेखा है, और एक सरल रेखा (जो x-अक्ष के समांतर न हो) x-अक्ष को ज्यामितीय रूप से केवल एक ही बिंदु पर काट सकती है, इसलिए ठीक एक शून्यक होता है।
(ख) $x^2-4x+4=(x-2)^2$, यह स्थिति II में आता है (परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है)। शून्यक $x=2$ (दोहरा) है।
(ग) $x^2+2$। किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$, अतः $x^2+2 \ge 2 > 0$, यह कभी शून्य नहीं होता। इसका परवलय पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर रहता है (स्थिति III), इसलिए इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

प्र. $p(x)=2x^3-3x^2-11x+6$ के शून्यक $3, -2, 1/2$ दिए गए हैं।
(क) प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित कीजिए कि ये वास्तव में शून्यक हैं।
(ख) तीनों शून्यक-गुणांक संबंधों को सत्यापित कीजिए।
(अभ्यास के लिए: पुस्तक में ऐसे ही उदाहरण 5 पर पाद-टिप्पणी है “यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।” CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में शून्यकों और गुणांकों का संबंध द्विघात बहुपदों के लिए दिया गया है।)

उत्तर: (क) $p(3)=2(27)-3(9)-33+6=54-27-33+6=0$ ✓। $p(-2)=2(-8)-3(4)+22+6=-16-12+22+6=0$ ✓। $p(1/2)=2(1/8)-3(1/4)-11/2+6=1/4-3/4-11/2+6=0$ ✓।
(ख) $a=2,b=-3,c=-11,d=6$। योग $=3-2+1/2=3/2=-b/a=3/2$ ✓। दो-दो गुणनफल-योग $=(3)(-2)+(-2)(1/2)+(1/2)(3)=-6-1+1.5=-5.5=c/a=-11/2=-5.5$ ✓। तीनों गुणनफल $=3\times(-2)\times(1/2)=-3=-d/a=-6/2=-3$ ✓।

प्र. यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $x^2-5x+k$ के शून्यक हैं तथा $\alpha-\beta=1$ है, तो
(क) $k$ का मान ज्ञात कीजिए।
(ख) बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए।
(ग) वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।

उत्तर: (क) $\alpha+\beta=-b/a=5$ और $\alpha\beta=c/a=k$। सर्वसमिका $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ से: $1=25-4k$, अतः $4k=24$ और $k=6$।
(ख) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, अतः शून्यक $3$ और $2$ हैं (जाँच: $3-2=1$ ✓)।
(ग) योग $=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{5}{6}$; गुणनफल $=\frac{1}{\alpha\beta}=\frac{1}{6}$। बहुपद $=x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}$; 6 से गुणा करने पर $6x^2-5x+1$। जाँच: $6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)$, शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ हैं, जो $\frac{1}{\beta}$ और $\frac{1}{\alpha}$ ही हैं ✓।