कक्षा 10 गणित अध्याय 4 द्विघात समीकरण महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. द्विघात समीकरण की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: चर $x$ में एक समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के रूप की हो, जहाँ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a\neq0$, द्विघात समीकरण कहलाती है।

प्र. द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का विविक्तकर लिखिए।

उत्तर: विविक्तकर $D=b^2-4ac$।

प्र. द्विघात समीकरण के ‘मूल’ से क्या अभिप्राय है?

उत्तर: एक वास्तविक संख्या $\alpha$ जिसके लिए $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ हो, समीकरण का मूल कहलाती है।

प्र. द्विघात समीकरण के अधिकतम कितने मूल हो सकते हैं?

उत्तर: अधिक से अधिक दो मूल हो सकते हैं।

प्र. समीकरण $5x^2-2x+3=0$ में $a,b,c$ के मान लिखिए।

उत्तर: $a=5$, $b=-2$, $c=3$।

प्र. यदि $D=0$ है, तो द्विघात समीकरण के मूल किस राशि के बराबर होते हैं?

उत्तर: दोनों मूल $-\dfrac{b}{2a}$ के बराबर होते हैं।

प्र. यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?

उत्तर: समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे।

प्र. द्विघाती सूत्र वास्तविक मूल कब देता है?

उत्तर: जब $b^2-4ac\geq0$ हो, तभी द्विघाती सूत्र वास्तविक मूल देता है।

प्र. गुणनखंडन विधि से $x^2+3x-4=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x^2+3x-4=x^2+4x-x-4=x(x+4)-1(x+4)=(x+4)(x-1)$। अतः $x=-4$ या $x=1$।

प्र. गुणनखंडन विधि से $3x^2-5x+2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $3x^2-5x+2=3x^2-3x-2x+2=3x(x-1)-2(x-1)=(3x-2)(x-1)$। अतः $x=\dfrac23$ या $x=1$।

प्र. $4x^2-4x+1=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए (केवल विविक्तकर से, मूल न निकालें)।

उत्तर: $D=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$। चूँकि $D=0$, समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।

प्र. $x^2+x+1=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $D=1^2-4(1)(1)=1-4=-3$। चूँकि $D\lt0$, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

प्र. एक पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की तीन गुनी से 2 वर्ष अधिक है। यदि पुत्र की आयु $x$ वर्ष मान ली जाए और दोनों की आयु का गुणनफल 320 हो, तो समीकरण बनाइए (हल न करें)।

उत्तर: पिता की आयु $=(3x+2)$ वर्ष। गुणनफल की शर्त से $x(3x+2)=320$, यानी $3x^2+2x-320=0$।

प्र. एक आयताकार बगीचे की लंबाई, उसकी चौड़ाई से 4 मी अधिक है। यदि क्षेत्रफल 96 वर्ग मी हो, तो चौड़ाई $x$ मी मानकर समीकरण बनाइए (हल न करें)।

उत्तर: लंबाई $=(x+4)$ मी। क्षेत्रफल की शर्त से $x(x+4)=96$, यानी $x^2+4x-96=0$।

प्र. दो संख्याओं का योग 27 और गुणनफल 182 है। इनके लिए द्विघात समीकरण बनाइए (हल न करें)।

उत्तर: माना एक संख्या $x$ है, दूसरी $(27-x)$। गुणनफल की शर्त से $x(27-x)=182$, यानी $x^2-27x+182=0$।

प्र. जाँच कीजिए कि $x=2$ और $x=3$ समीकरण $x^2-5x+6=0$ के मूल हैं या नहीं।

उत्तर: $x=2$: $4-10+6=0$ ✓। $x=3$: $9-15+6=0$ ✓। दोनों ही समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए दोनों मूल हैं।

प्र. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

उत्तर: माना पहला पूर्णांक $x$ है, दूसरा $(x+1)$। शर्त से $x^2+(x+1)^2=365$, यानी $2x^2+2x+1=365$, अर्थात् $2x^2+2x-364=0$, यानी $x^2+x-182=0$। गुणनखंडन से $(x-13)(x+14)=0$, इसलिए $x=13$ (ऋणात्मक मूल $-14$ अस्वीकार्य, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक है)। अतः संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्र. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (आधार से लंबवत भुजा) उसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना आधार $x$ सेमी है, तब ऊँचाई $(x-7)$ सेमी। पाइथागोरस प्रमेय से $x^2+(x-7)^2=13^2$, यानी $2x^2-14x+49=169$, अर्थात् $2x^2-14x-120=0$, यानी $x^2-7x-60=0$। गुणनखंडन से $(x-12)(x+5)=0$, इसलिए $x=12$ (ऋणात्मक मूल अस्वीकार्य)। आधार $=12$ सेमी, ऊँचाई $=12-7=5$ सेमी।

प्र. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ मिट्टी के बर्तन बनाता है। एक दिन देखा गया कि प्रत्येक बर्तन की निर्माण लागत (₹ में), उस दिन बने बर्तनों की संख्या की दुगुनी से 3 अधिक थी। यदि उस दिन कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो उस दिन बने बर्तनों की संख्या और प्रत्येक बर्तन की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना उस दिन $x$ बर्तन बने। तब प्रत्येक बर्तन की लागत $(2x+3)$ रुपये। कुल लागत $x(2x+3)=90$, यानी $2x^2+3x-90=0$। गुणनखंडन से $2x^2+15x-12x-90=0 \Rightarrow x(2x+15)-6(2x+15)=0 \Rightarrow (2x+15)(x-6)=0$, इसलिए $x=6$ (ऋणात्मक मूल अस्वीकार्य)। अतः 6 बर्तन बने, और प्रत्येक की लागत $=2(6)+3=15$ रुपये।

प्र. $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $2x^2+kx+3=0$ के दो बराबर मूल हों।

उत्तर: दो बराबर मूल के लिए $D=0$ होना चाहिए। यहाँ $a=2$, $b=k$, $c=3$, इसलिए $D=k^2-4(2)(3)=k^2-24$। $k^2-24=0 \Rightarrow k^2=24 \Rightarrow k=\pm2\sqrt6$।

प्र. $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $kx(x-2)+6=0$ के दो बराबर मूल हों।

उत्तर: समीकरण को मानक रूप में लिखने पर $kx^2-2kx+6=0$। यहाँ $a=k$, $b=-2k$, $c=6$। दो बराबर मूल के लिए $D=0$: $(-2k)^2-4(k)(6)=0 \Rightarrow 4k^2-24k=0 \Rightarrow 4k(k-6)=0$। अतः $k=0$ या $k=6$। परंतु $k=0$ होने पर समीकरण द्विघात ही नहीं रहती ($a\neq0$ शर्त टूटती है), इसलिए $k=6$ ही मान्य उत्तर है।

प्र. क्या ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दुगुनी हो और क्षेत्रफल 800 वर्ग मी हो? यदि हाँ, तो लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना चौड़ाई $x$ मी है, तब लंबाई $2x$ मी। क्षेत्रफल की शर्त से $2x\cdot x=800 \Rightarrow 2x^2-800=0 \Rightarrow x^2=400 \Rightarrow x=\pm20$। चूँकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=20$। अतः यह संभव है: चौड़ाई $=20$ मी, लंबाई $=40$ मी।

प्र. क्या 80 मी परिमाप और 400 वर्ग मी क्षेत्रफल वाला एक आयताकार पार्क बनाना संभव है? यदि हाँ, तो लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परिमाप $=80$ मी, इसलिए लंबाई $+$ चौड़ाई $=40$ मी। माना लंबाई $x$ मी है, तब चौड़ाई $(40-x)$ मी। क्षेत्रफल की शर्त से $x(40-x)=400 \Rightarrow -x^2+40x-400=0 \Rightarrow x^2-40x+400=0 \Rightarrow (x-20)^2=0 \Rightarrow x=20$। अतः यह संभव है: लंबाई $=$ चौड़ाई $=20$ मी, यानी पार्क वर्गाकार निकलता है (दोनों मूल बराबर होने के कारण एक ही हल है)।

प्र. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। इन्हें ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना छोटा पूर्णांक $x$ है, दूसरा $(x+1)$। शर्त से $x(x+1)=306 \Rightarrow x^2+x-306=0$। गुणनखंडन से $(x-17)(x+18)=0$, इसलिए $x=17$ (ऋणात्मक मूल अस्वीकार्य)। अतः पूर्णांक 17 और 18 हैं।

प्र. एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है। भूखंड की लंबाई, चौड़ाई की दुगुनी से एक मीटर अधिक है। भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए, पूरा हल दिखाते हुए।

उत्तर: माना चौड़ाई $x$ मी है। शर्त के अनुसार लंबाई $=(2x+1)$ मी। क्षेत्रफल की शर्त से:
$x(2x+1)=528$
$2x^2+x-528=0$
गुणनखंडन विधि से मध्य पद तोड़ते हुए: $2x^2+33x-32x-528=0$
$x(2x+33)-16(2x+33)=0$
$(2x+33)(x-16)=0$
अतः $x=16$ या $x=-\dfrac{33}{2}$। चूँकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=16$। इसलिए चौड़ाई $=16$ मी और लंबाई $=2(16)+1=33$ मी। सत्यापन: $16\times33=528$ वर्ग मी ✓।

प्र. एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि चाल 8 किमी/घंटा कम होती, तो वही दूरी तय करने में 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए, पूरा हल दिखाते हुए।

उत्तर: माना रेलगाड़ी की चाल $x$ किमी/घंटा है। सामान्य समय $=\dfrac{480}{x}$ घंटे। यदि चाल $(x-8)$ किमी/घंटा होती, तो समय $\dfrac{480}{x-8}$ घंटे लगता, जो सामान्य समय से 3 घंटे अधिक है:
$\dfrac{480}{x-8}-\dfrac{480}{x}=3$
दोनों पक्षों को $x(x-8)$ से गुणा करने पर: $480x-480(x-8)=3x(x-8)$
$480x-480x+3840=3x^2-24x$
$3840=3x^2-24x$
$x^2-8x-1280=0$
द्विघाती सूत्र से: $x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+5120}}{2}=\dfrac{8\pm\sqrt{5184}}{2}=\dfrac{8\pm72}{2}$
अतः $x=40$ या $x=-32$। चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=-32$ अस्वीकार्य है। इसलिए रेलगाड़ी की चाल $=40$ किमी/घंटा।

प्र. 13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर एक खंभा इस तरह गाड़ना है कि पार्क के एक व्यास के दोनों सिरों पर बने फाटक A और B से खंभे की दूरियों का अंतर 7 मीटर हो, और खंभा फाटक A से फाटक B की अपेक्षा अधिक दूर हो। क्या यह संभव है? यदि हाँ, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरी पर, पूरा हल दिखाते हुए बताइए।

उत्तर: माना खंभे की स्थिति P है और फाटक B से इसकी दूरी $x$ मी है, यानी $BP=x$। दिया है $AP-BP=7$, इसलिए $AP=(x+7)$ मी। चूँकि AB एक व्यास है, कोण $\angle APB=90°$ (अर्धवृत्त में बना कोण)। पाइथागोरस प्रमेय से:
$AP^2+BP^2=AB^2$
$(x+7)^2+x^2=13^2$
$x^2+14x+49+x^2=169$
$2x^2+14x-120=0$
$x^2+7x-60=0$
यह संभव है या नहीं जानने के लिए विविक्तकर देखिए: $D=7^2-4(1)(-60)=49+240=289\gt0$। चूँकि $D\gt0$, दो वास्तविक मूल हैं, इसलिए खंभा गाड़ना संभव है। द्विघाती सूत्र से:
$x=\dfrac{-7\pm\sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7\pm17}{2}$
अतः $x=5$ या $x=-12$। चूँकि $x$ एक दूरी है, यह धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए $x=-12$ अस्वीकार्य है। अतः खंभा फाटक B से 5 मी और फाटक A से 12 मी दूरी पर गाड़ा जाएगा।

प्र. क्या निम्नलिखित स्थिति संभव है? यदि हाँ, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पहले उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

उत्तर: माना एक मित्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है, तब दूसरे की $(20-x)$ वर्ष। चार वर्ष पहले उनकी आयु क्रमशः $(x-4)$ और $(16-x)$ वर्ष थी। शर्त से:
$(x-4)(16-x)=48$
$16x-x^2-64+4x=48$
$-x^2+20x-64=48$
$-x^2+20x-112=0$
$x^2-20x+112=0$
विविक्तकर $D=(-20)^2-4(1)(112)=400-448=-48$। चूँकि $D\lt0$, इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः दी गई स्थिति संभव नहीं है, यानी ऐसी कोई वास्तविक आयु नहीं हो सकती जो दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करे।