समांतर श्रेढ़ियाँ

प्र. AP: $\tfrac32,\ \tfrac12,\ -\tfrac12,\ -\tfrac32,\ \ldots$ के लिए प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ लिखिए।

हल: $a=\tfrac32$, $d=\tfrac12-\tfrac32=$ $-1$। याद रखिए, यदि यह ज्ञात हो जाए
कि संख्याएँ AP में हैं, तो किन्हीं भी दो क्रमागत पदों से $d$ ज्ञात किया जा सकता है।

प्र. इनमें से कौन-कौन सी सूचियाँ AP नहीं हैं? जो AP हैं, उनके अगले दो पद लिखिए:
(i) 4, 10, 16, 22, . . . (ii) 1, −1, −3, −5, . . . (iii) −2, 2, −2, 2, −2, . . . (iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . .

हल: (i) $a_2-a_1=6$, $a_3-a_2=6$, $a_4-a_3=6$: हर बार समान। यह
AP है, $d=6$, अगले दो पद $22+6=28$ और $28+6=34$।
(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$, $a_3-a_2=-3-(-1)=-2$, $a_4-a_3=-5-(-3)=-2$: हर बार समान। यह
AP है, $d=-2$, अगले दो पद $-5+(-2)=-7$ और $-7+(-2)=-9$।
(iii) $a_2-a_1 = 2-(-2)=4$, $a_3-a_2=-2-2=-4$: बराबर नहीं। यह
AP नहीं है।
(iv) $a_2-a_1=0$, $a_3-a_2=0$, पर $a_4-a_3=2-1=1$: बराबर नहीं। यह
AP नहीं है।

$a=2$, $d=7-2=5$, $n=10$। सूत्र में रखने पर: $a_{10} = 2+(10-1)\times5 = 2+45 =$
47।

प्र. AP: 21, 18, 15, . . . का कौन-सा पद −81 है? क्या इस AP का कोई पद शून्य है?

हल: $a=21$, $d=18-21=-3$। $a_n=-81$ रखने पर: $-81 = 21+(n-1)(-3) \Rightarrow -105 = -3n \Rightarrow n=35$। अतः 35वाँ पद −81 है।
अब $a_n=0$ रखने पर: $21+(n-1)(-3)=0 \Rightarrow 3(n-1)=21 \Rightarrow n=8$। अतः
8वाँ पद शून्य है।

प्र. क्या संख्याओं की सूची 5, 11, 17, 23, . . . का कोई पद 301 है? क्यों?

हल: $a_2-a_1=6$, $a_3-a_2=6$, $a_4-a_3=6$, अतः सूची AP है, $a=5$, $d=6$।
मान लीजिए $a_n=301$: $301=5+(n-1)\times6 \Rightarrow 301=6n-1 \Rightarrow n=\dfrac{302}{6}=\dfrac{151}{3}$।
परंतु $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए 301 इस सूची का पद नहीं है।

प्र. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

हल: 3 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ 12, 15, 18, . . ., 99 हैं, जो AP है:
$a=12$, $d=3$, $a_n=99$। $99=12+(n-1)3 \Rightarrow 87=3(n-1) \Rightarrow n-1=29 \Rightarrow n=30$।
अतः 30 संख्याएँ हैं। (तरीक़ा: पहली और अंतिम विभाज्य संख्या ढूँढ़ें, फिर $n$ निकालें।)

प्र. वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और सातवाँ पद 9 है।

हल: $a_3 = a+2d = 5$ …(1), $a_7 = a+6d = 9$ …(2)। (2) में से (1) घटाने पर:
$4d = 4 \Rightarrow d=1$; (1) में रखने पर $a=3$। अतः वांछित
AP: 3, 4, 5, 6, 7, . . . है।

प्र. AP: 10, 7, 4, . . ., −62 का अंतिम पद से 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल (विधि 1): पहले कुल पद ज्ञात करें: $a=10,d=-3,a_n=-62 \Rightarrow -62=10+(n-1)(-3) \Rightarrow n=25$। अंतिम पद से 11वाँ पद = 15वाँ पद (25वें में से 10 पीछे,
यानी $25-11+1=15$)। $a_{15}=10+14(-3)=$ −32।

विधि 2 (आसान): श्रेढ़ी को उलट दें, अब $a=-62, d=3$, और प्रश्न बन जाता है 11वाँ
पद ज्ञात करना: $a_{11}=-62+10(3)=$ −32। दोनों विधियों से उत्तर
समान है।

$S_{21} = \dfrac{21}{2}\big[2(100)+(21-1)(50)\big] = \dfrac{21}{2}\big[200+1000\big] = \dfrac{21}{2}(1200) =$ ₹12,600।

प्र. AP: 8, 3, −2, . . . के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल: $a=8$, $d=3-8=-5$, $n=22$। $S_{22}=\dfrac{22}{2}\big[2(8)+(22-1)(-5)\big]=11\big[16-105\big]=11(-89)=$
−979। अतः प्रथम 22 पदों का योग −979 है।

प्र. संख्याओं की उस सूची के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका $n$वाँ पद $a_n=3+2n$ है।

हल: $a_1=3+2=5$, $a_2=3+4=7$, $a_3=3+6=9$, . . . यानी सूची 5, 7, 9, 11, . . . है। अंतर $7-5=9-7=2$
हर बार समान है, अतः यह AP है: $a=5$, $d=2$, $n=24$।
$S_{24}=\dfrac{24}{2}[2\times5+(24-1)\times2]=12[10+46]=$ 672।

प्र. यदि किसी AP के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n=4n-n^2$ है, तो प्रथम पद, दूसरा पद और $n$वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल: प्रथम पद $a_1=S_1=4-1=3$। $S_2=8-4=4$, अतः $a_2=S_2-S_1=4-3=1$।
$a_n=S_n-S_{n-1}=(4n-n^2)-[4(n-1)-(n-1)^2]=(4n-n^2)-(-n^2+6n-5)=$ $5-2n$।
(जाँच: $n=1$ रखने पर $3$, $n=2$ रखने पर $1$।)

प्र. यदि किसी AP के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है और प्रथम पद 10 है, तो 20वाँ
पद ज्ञात कीजिए।

हल: $S_{14}=1050,\ n=14,\ a=10$। सूत्र में रखने पर:
$1050 = \dfrac{14}{2}\big[20+13d\big] = 140+91d \Rightarrow 910=91d \Rightarrow d=10$।
अतः $a_{20} = 10+(20-1)(10) =$ 200।

प्र. AP: 24, 21, 18, . . . के कितने पद लें कि उनका योग 78 हो?

हल: $a=24,d=-3,S_n=78$। $78=\dfrac{n}{2}\big[48+(n-1)(-3)\big] \Rightarrow 156 = n(51-3n) \Rightarrow 3n^2-51n+156=0 \Rightarrow n^2-17n+52=0 \Rightarrow (n-4)(n-13)=0 \Rightarrow n=4$ या $13$। दोनों मान्य हैं, 5वें से 13वें पद
तक का योग शून्य होता है (यहाँ $a$ धनात्मक और $d$ ऋणात्मक है, जिससे कुछ पद धनात्मक और कुछ
ऋणात्मक होकर आपस में कट जाते हैं), इसलिए
प्रथम 4 पदों का योग और प्रथम 13 पदों का योग दोनों ही 78 हैं।

प्र. एक निर्माता ने तीसरे वर्ष 600 और सातवें वर्ष 700 टी.वी. सेट बनाए। यदि उत्पादन हर
साल एक समान संख्या से बढ़ता है, तो ज्ञात कीजिए: (i) पहले वर्ष का उत्पादन (ii) 10वें वर्ष
का उत्पादन (iii) प्रथम 7 वर्षों का कुल उत्पादन।

हल: उत्पादन एक AP बनाता है। $a_3=a+2d=600$, $a_7=a+6d=700$। घटाने पर
$4d=100 \Rightarrow d=25$, फिर $a=550$।
(i) पहले वर्ष का उत्पादन = 550 सेट।
(ii) $a_{10}=a+9d=550+225=$ 775 सेट।
(iii) $S_7=\dfrac{7}{2}[2(550)+6(25)] = \dfrac{7}{2}(1250) =$ 4375 सेट।

प्र. एक फूलों की क्यारी में पहली पंक्ति में 23, दूसरी में 21, तीसरी में 19 पौधे हैं, और
यह क्रम आगे भी चलता है। अंतिम पंक्ति में 5 पौधे हैं। क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

हल: पौधों की संख्या AP बनाती है: $a=23,\ d=21-23=-2,\ a_n=5$।
$5=23+(n-1)(-2) \Rightarrow -18=(n-1)(-2) \Rightarrow n=10$। अतः क्यारी में
10 पंक्तियाँ हैं।

प्र. 200 लट्ठों को ढेर में इस प्रकार रखा गया है: सबसे नीचे की पंक्ति में 20, उससे अगली में 19,
फिर 18, इत्यादि। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं, और सबसे ऊपर की पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

हल: $a=20$, $d=-1$, $S_n=200$। $200=\dfrac{n}{2}[40+(n-1)(-1)]=\dfrac{n}{2}(41-n) \Rightarrow n^2-41n+400=0 \Rightarrow (n-16)(n-25)=0 \Rightarrow n=16$ या $25$।
$n=25$ पर $a_{25}=20-24=-4$, लट्ठों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $n=25$ अस्वीकार।
अतः 16 पंक्तियाँ, और सबसे ऊपर $a_{16}=20-15=$ 5 लट्ठे।
(ध्यान दें: 24, 21, 18 वाले उदाहरण में दोनों मूल मान्य थे; यहाँ एक मूल अमान्य है। हर बार जाँचें।)

प्र. एक स्कूल में हर कक्षा का हर अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा (कक्षा I का
एक अनुभाग 1 पेड़, कक्षा II का 2, . . ., कक्षा XII का 12)। हर कक्षा के तीन अनुभाग हैं। कुल कितने पेड़ लगेंगे?

हल: कक्षा I से XII तक, हर कक्षा के एक अनुभाग के पेड़ 1, 2, . . ., 12 (AP, $a=1$, $l=12$, $n=12$): $S_{12}=\dfrac{12}{2}(1+12)=78$।
तीन अनुभाग होने से कुल $3\times78=$ 234 पेड़।

प्र. सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200
की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹7000 हो गया?

हल: $a=5000,\ d=200,\ a_n=7000$। $7000=5000+(n-1)(200) \Rightarrow 2000=200(n-1) \Rightarrow n-1=10 \Rightarrow n=11$। अतः 11वें वर्ष, यानी
1995 से 10 वर्ष बाद, सन् 2005 में उसका वेतन ₹7000 हो गया।

प्र. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹50 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹17.5
बढ़ाती गई। यदि $n$वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹207.50 हो जाती है, तो $n$ ज्ञात कीजिए।

हल: $a=50,\ d=17.5,\ a_n=207.5$। $207.5=50+(n-1)(17.5) \Rightarrow 157.5=17.5(n-1) \Rightarrow n-1=9 \Rightarrow$ $n=10$।

प्र. ₹1000 की धनराशि 8% वार्षिक साधारण ब्याज पर निवेश की जाती है। प्रत्येक वर्ष के अंत में ब्याज
परिकलित कीजिए। क्या ये ब्याज एक AP बनाते हैं? यदि हाँ, तो 30 वर्षों के अंत में ब्याज परिकलित कीजिए।

हल: साधारण ब्याज $=\dfrac{P\times R\times T}{100}$। पहले वर्ष $\dfrac{1000\times8\times1}{100}=₹80$,
दूसरे वर्ष ₹160, तीसरे वर्ष ₹240, . . . सूची 80, 160, 240, . . . में हर बार 80 का अंतर है, अतः यह AP है,
$a=80$, $d=80$। $a_{30}=80+29\times80=$ ₹2400।
(चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन हर वर्ष गुणा होकर बढ़ता है, इसलिए वह AP नहीं बनता।)

प्र. 1 किसी ठेके में विलंब पर जुर्माना पहले दिन ₹200, दूसरे दिन ₹250, तीसरे दिन ₹300, इत्यादि है
(हर दिन ₹50 अधिक)। 30 दिन के विलंब पर कुल जुर्माना कितना होगा?

हल: $a=200,\ d=50,\ n=30$। $S_{30}=\dfrac{30}{2}[400+29\times50]=15\times1850=$ ₹27,750।

प्र. 2 ₹700 की राशि से 7 नकद पुरस्कार दिए जाने हैं, हर पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है।
प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

हल: $n=7,\ d=-20,\ S_7=700$। $700=\dfrac72[2a+6(-20)] \Rightarrow 200=2a-120 \Rightarrow a=160$।
पुरस्कार: ₹160, ₹140, ₹120, ₹100, ₹80, ₹60, ₹40।

प्र. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm,
1.5 cm, 2.0 cm, . . . वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल बनाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से
बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? ($\pi=\tfrac{22}{7}$ लीजिए)

हल: त्रिज्या $r$ वाले अर्धवृत्त की लंबाई $\pi r$ है। लंबाइयाँ $l_1, l_2, l_3, \ldots$ = $\pi(0.5), \pi(1.0), \pi(1.5), \ldots$
एक AP है। कुल लंबाई $=\pi(0.5+1.0+\ldots+6.5)=\pi\times\dfrac{13}{2}(0.5+6.5)=\dfrac{22}{7}\times45.5=$
143 cm।