त्रिभुज

प्र. यदि एक रेखा त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $D$ और
$E$ पर प्रतिच्छेद करे और $BC$ के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$।

हल: $DE \parallel BC$ दिया है, इसलिए प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$।
दोनों पक्षों को उलटने पर $\dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$, दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
$\dfrac{DB}{AD}+1=\dfrac{EC}{AE}+1 \Rightarrow \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$, अर्थात
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$।

मान लीजिए $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ है पर $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है।
तब $D$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा $DE'$ खींचिए ($E'$, $AC$ पर)। अब $DE' \parallel BC$
है, इसलिए प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE'}{E'C}$। पर दिया है
$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$, इसलिए $\dfrac{AE'}{E'C}=\dfrac{AE}{EC}$। दोनों
पक्षों में 1 जोड़ने पर $\dfrac{AC}{E'C}=\dfrac{AC}{EC}$, अर्थात $E'C = EC$। यह तभी
संभव है जब $E'$ और $E$ एक ही बिंदु हों। अतः $DE$ ही $DE'$ है और $DE \parallel BC$।

प्र. समलंब $ABCD$ में $AB \parallel DC$ है। असमांतर भुजाओं $AD$ और $BC$
पर क्रमशः $E$ और $F$ इस प्रकार हैं कि $EF \parallel AB$। दिखाइए
$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$।

हल: विकर्ण $AC$ खींचकर उसे $EF$ से $G$ पर मिलने दीजिए। $AB \parallel DC$
और $EF \parallel AB$, इसलिए $EF \parallel DC$। $\triangle ADC$ में $EG \parallel DC$,
प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AG}{GC}$ … (1)। इसी तरह $\triangle CAB$ में
$GF \parallel AB$, प्रमेय 6.1 से $\dfrac{CG}{GA}=\dfrac{CF}{FB}$, यानी
$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BF}{FC}$ … (2)। (1) और (2) से $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BF}{FC}$।

प्र. यदि $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ और $\angle PST = \angle PRQ$
हों, तो सिद्ध कीजिए कि $\triangle PQR$ समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल: $\dfrac{PS}{SQ}=\dfrac{PT}{TR}$ दिया है, इसलिए प्रमेय 6.2 से
$ST \parallel QR$। अतः $\angle PST = \angle PQR$ (संगत कोण) … (1)। साथ ही दिया
है $\angle PST = \angle PRQ$ … (2)। (1) और (2) से $\angle PRQ = \angle PQR$,
इसलिए बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं, अर्थात
$PQ = PR$, यानी $\triangle PQR$ समद्विबाहु त्रिभुज है।

$\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$,
$\angle C=\angle F$ दिया है। $DE$ पर $DP=AB$ और $DF$ पर $DQ=AC$ काटकर $PQ$
जोड़िए (चित्र 4)। तब $\triangle ABC \cong \triangle DPQ$ (SAS से, क्योंकि $AB=DP$,
$\angle A=\angle D$, $AC=DQ$)। इससे $\angle B=\angle P$ मिलता है, और दिया है
$\angle B=\angle E$, इसलिए $\angle P=\angle E$। ये $DE$ पर संगत कोण हैं, इसलिए
$PQ \parallel EF$। प्रमेय 6.1 लगाने पर $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$।
व्युत्क्रम लेने पर $\dfrac{PE}{DP}=\dfrac{QF}{DQ}$, और दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
$\dfrac{DE}{DP}=\dfrac{DF}{DQ}$ (क्योंकि $DP+PE=DE$, $DQ+QF=DF$), अर्थात्
$\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$, यानी $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$। इसी तरह
($E$ पर $ED$ से $BA$ के बराबर और $EF$ से $BC$ के बराबर भाग काटकर यही रचना दोहराने पर)
$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$ भी सिद्ध होता है। अतः $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$।

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$ दिया है (माना यह अनुपात $1$ से कम है;
अन्यथा दोनों त्रिभुजों की भूमिकाएँ बदल दीजिए)। पहले जैसे ही $DP=AB$, $DQ=AC$ काटकर $PQ$ जोड़िए। दिए हुए अनुपात से
$\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$, अर्थात् $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$ (व्युत्क्रम लेकर
और 1 घटाकर), इसलिए प्रमेय 6.2 से $PQ \parallel EF$, अतः
$\angle P=\angle E$, $\angle Q=\angle F$ और $\triangle DPQ \sim \triangle DEF$ (AA से),
इसलिए $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{PQ}{EF}$।
दिए हुए अनुपात से $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$, अतः $PQ=BC$। अब तीनों भुजाएँ
बराबर होने से $\triangle ABC \cong \triangle DPQ$ (SSS से), जिससे
$\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$।

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$ और $\angle A=\angle D$ दिया है। पहले जैसे ही
$DP=AB$, $DQ=AC$ काटकर $PQ$ जोड़िए। $\triangle ABC \cong \triangle DPQ$ (SAS से,
क्योंकि $AB=DP$, $\angle A=\angle D$, $AC=DQ$)। साथ ही दिए हुए अनुपात से
$\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$, अर्थात् $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$, इसलिए प्रमेय 6.2 से $PQ \parallel EF$, अतः
$\angle B=\angle P=\angle E$ और $\angle C=\angle Q=\angle F$।
अतः $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

प्र. रेखाखंड $PS$ और $QR$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $PQ \parallel RS$ हो, तो सिद्ध कीजिए $\triangle POQ \sim \triangle SOR$।

हल: $PQ \parallel RS$ दिया है, इसलिए $\angle P = \angle S$ (एकांतर कोण) और
$\angle Q = \angle R$ (एकांतर कोण)। साथ ही $\angle POQ = \angle SOR$ (शीर्षाभिमुख
कोण)। अतः $\triangle POQ \sim \triangle SOR$ (AAA कसौटी)।

प्र. $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में $AB=3.8$, $BC=6$, $CA=3\sqrt3$ और
$RQ=7.6$, $QP=12$, $PR=6\sqrt3$ हैं। यदि $\angle A=80°$, $\angle B=60°$ हों, तो
$\angle P$ ज्ञात कीजिए।

हल: $\dfrac{AB}{RQ}=\dfrac{3.8}{7.6}=\dfrac12$, $\dfrac{BC}{QP}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12$,
$\dfrac{CA}{PR}=\dfrac{3\sqrt3}{6\sqrt3}=\dfrac12$। तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए
$\triangle ABC \sim \triangle RQP$ (SSS कसौटी), अतः $\angle C = \angle P$ (संगत
कोण)। कोण-योग गुण से $\angle C = 180° – 80° – 60° = 40°$, इसलिए
$\angle P = 40°$।

प्र. चित्र 6 में, $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ है (बिंदु का अर्थ गुणा है)।
दर्शाइए कि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।

हल: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ (दिया है)। दोनों पक्षों को $OC \cdot OB$ से
भाग देने पर, $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OD}{OB}$ … (1)। साथ ही
$\angle AOD = \angle COB$ (शीर्षाभिमुख कोण) … (2)। अतः (1) और (2) से
$\triangle AOD \sim \triangle COB$ (SAS समरूपता कसौटी)। इसलिए
$\angle A = \angle C$ और $\angle D = \angle B$
(समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)।

प्र. 90 cm लंबी एक लड़की एक लैम्प-पोस्ट के आधार से 1.2 m/s की चाल से दूर
जा रही है। यदि लैम्प ज़मीन से 3.6 m ऊँचा है, तो 4 सेकंड बाद उसकी छाया की लंबाई
ज्ञात कीजिए।

प्र. $CM$ और $RN$ क्रमशः $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ की माध्यिकाएँ
हैं। यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ हो, तो सिद्ध कीजिए (i) $\triangle AMC \sim \triangle PNR$
(ii) $\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{AB}{PQ}$ (iii) $\triangle CMB \sim \triangle RNQ$।

हल: $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ से $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{CA}{RP}$
और $\angle A=\angle P$। माध्यिका होने से $AB=2AM$, $PQ=2PN$, इसलिए
$\dfrac{AM}{PN}=\dfrac{CA}{RP}$। साथ ही $\angle MAC=\angle NPR$ (वही $\angle A=\angle P$),
अतः $\triangle AMC \sim \triangle PNR$ (SAS)। इससे
$\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{CA}{RP}=\dfrac{AB}{PQ}$, यानी
$\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{AB}{PQ}$ मिल गया। यही अनुपात
$\dfrac{BC}{QR}$ के भी बराबर है (मूल समानुपात से)। साथ ही $AB=2BM$, $PQ=2QN$
(M और N मध्यबिंदु हैं), इसलिए $\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{2BM}{2QN}=\dfrac{BM}{QN}$।
अतः $\dfrac{CM}{RN}=\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{BM}{QN}$, और
$\triangle CMB \sim \triangle RNQ$ (SSS)।