कक्षा 10 गणित अध्याय 6 त्रिभुज NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

क्रियाकलाप: अपनी कक्षा के कमरे की छत के किसी बिंदु O पर प्रकाश युक्त बल्ब लगाइए तथा उसके ठीक नीचे एक मेज रखिए। एक समतल कार्डबोर्ड में से एक बहुभुज, मान लीजिए चतुर्भुज ABCD, काट लें तथा इस कार्डबोर्ड को भूमि के समांतर मेज और जलते हुए बल्ब के बीच में रखें। तब, मेज पर ABCD की एक छाया पड़ेगी। इस छाया की बाहरी रूपरेखा को $A'B'C'D'$ से चिह्नित कीजिए (देखिए आकृति 6.4)।

प्रेक्षण: प्रकाश सीधी रेखा में चलता है, इसलिए $A'$ किरण OA पर, $B'$ किरण OB पर, $C'$ किरण OC पर और $D'$ किरण OD पर स्थित है। छाया $A'B'C'D'$ चतुर्भुज ABCD का एक आकार परिवर्धन (या आवर्धन) है: दोनों चतुर्भुजों का आकार एक ही है, परंतु माप भिन्न-भिन्न हैं।

परिणाम: चतुर्भुज $A'B'C'D'$ चतुर्भुज ABCD के समरूप है (और ABCD भी $A'B'C'D'$ के समरूप है)। शीर्ष $A'$ शीर्ष A के संगत है, $B'$ शीर्ष B के, $C'$ शीर्ष C के और $D'$ शीर्ष D के; इन संगतताओं को $A' \leftrightarrow A$, $B' \leftrightarrow B$, $C' \leftrightarrow C$, $D' \leftrightarrow D$ से लिखते हैं। मापने पर $\angle A=\angle A'$, $\angle B=\angle B'$, $\angle C=\angle C'$, $\angle D=\angle D'$ और $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CD}{C'D'}=\dfrac{DA}{D'A'}$ मिलते हैं। अतः भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि उनके सभी संगत कोण बराबर हों तथा सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपात) में हों।

क्रियाकलाप: कोई कोण XAY खींचिए तथा उसकी एक भुजा AX पर कुछ बिंदु (मान लीजिए पाँच बिंदु) P, Q, D, R और B इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AP = PQ = QD = DR = RB$ हो। अब, बिंदु B से होती हुई कोई एक रेखा खींचिए, जो भुजा AY को बिंदु C पर काटे (देखिए आकृति 6.9)। साथ ही, बिंदु D से होकर BC के समांतर एक रेखा खींचिए, जो AC को E पर काटे। क्या आप अपनी रचनाओं से यह देखते हैं कि $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$ है? AE और EC मापिए। $\dfrac{AE}{EC}$ क्या है?

उत्तर: AD में पाँच बराबर भागों में से 3 भाग (AP, PQ, QD) हैं और DB में शेष 2 भाग (DR, RB), इसलिए $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{3}{2}$। AE और EC मापने पर $\dfrac{AE}{EC}$ भी $\dfrac{3}{2}$ के बराबर मिलता है।

परिणाम: त्रिभुज ABC में $DE \parallel BC$ है तथा $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$ है। यह संयोगवश नहीं है; यह आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय 6.1) के कारण है: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

क्रियाकलाप: अपनी अभ्यासपुस्तिका में एक कोण XAY खींचिए तथा किरण AX पर बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ और B इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B$ हो। इसी प्रकार, किरण AY पर बिंदु $C_1, C_2, C_3, C_4$ और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C$ हो। फिर $B_1C_1$ और BC को मिलाइए (देखिए आकृति 6.11)। इसी प्रकार $B_2C_2$, $B_3C_3$ और $B_4C_4$ को भी मिलाइए।

प्रेक्षण: हर रेखा $B_kC_k$ दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है, और हर रेखा BC के समांतर दिखती है:

परिणाम: यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। किसी अन्य माप का कोण XAY लेकर और कितने भी समान भाग अंकित कर यह क्रियाकलाप दोहराने पर हर बार यही परिणाम मिलता है। यही प्रमेय 6.2 है, जो प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का विलोम है।

क्रियाकलाप: भिन्न-भिन्न लंबाइयों, मान लीजिए 3 cm और 5 cm वाले क्रमशः दो रेखाखंड BC और EF खींचिए। फिर बिंदुओं B और C पर क्रमशः $\angle PBC$ और $\angle QCB$ किन्हीं दो मापों, मान लीजिए $60^\circ$ और $40^\circ$, के खींचिए। साथ ही, बिंदुओं E और F पर क्रमशः $\angle REF = 60^\circ$ और $\angle SFE = 40^\circ$ खींचिए (देखिए आकृति 6.23)। मान लीजिए किरण BP और CQ परस्पर बिंदु A पर तथा किरण ER और FS परस्पर बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती हैं। त्रिभुजों ABC और DEF की संगत भुजाओं के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

उत्तर: $\angle B=\angle E=60^\circ$ और $\angle C=\angle F=40^\circ$, इसलिए $\angle A=\angle D=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ$: सभी संगत कोण बराबर हैं। अब $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac35=0.6$ है। सही-सही खींची गई आकृति में शेष भुजाएँ लगभग $AB=1.96$ cm, $DE=3.26$ cm, $CA=2.64$ cm और $FD=4.40$ cm आती हैं, इसलिए $\dfrac{AB}{DE}\approx\dfrac{1.96}{3.26}\approx0.6$ और $\dfrac{CA}{FD}\approx\dfrac{2.64}{4.40}=0.6$ (मापन में कोई त्रुटि हो तो लगभग 0.6)।

परिणाम: $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{CA}{FD}$। यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं: समरूपता की AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी (प्रमेय 6.3)। दो कोण बराबर होने पर तीसरा कोण अपने-आप बराबर हो जाता है, इसलिए दो कोण ही पर्याप्त हैं: AA कसौटी।

क्रियाकलाप: दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि $AB = 3$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 8$ cm, $DE = 4.5$ cm, $EF = 9$ cm और $FD = 12$ cm हो (देखिए आकृति 6.25)। अब $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$, $\angle E$ और $\angle F$ को मापिए।

उत्तर: $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{3}{4.5}$, $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{6}{9}$, $\dfrac{CA}{FD}=\dfrac{8}{12}$, प्रत्येक $\dfrac23$ के बराबर है। सही-सही खींची गई आकृति में कोण लगभग $\angle A=\angle D\approx39.6^\circ$, $\angle B=\angle E\approx121.9^\circ$ और $\angle C=\angle F\approx18.6^\circ$ आते हैं। अर्थात् $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$ और $\angle C=\angle F$: दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं।

परिणाम: यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं और दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं: समरूपता की SSS (भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी (प्रमेय 6.4)।

क्रियाकलाप: दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि $AB = 2$ cm, $\angle A = 50^\circ$, $AC = 4$ cm, $DE = 3$ cm, $\angle D = 50^\circ$ और $DF = 6$ cm हो (देखिए आकृति 6.27)। अब $\angle B$, $\angle C$, $\angle E$ और $\angle F$ को मापिए।

उत्तर: $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac23$ और $\dfrac{AC}{DF}=\dfrac46=\dfrac23$ है, तथा अंतर्गत कोण बराबर हैं: $\angle A=\angle D=50^\circ$। सही-सही खींची गई आकृति में लगभग $\angle B=\angle E\approx100.6^\circ$ और $\angle C=\angle F\approx29.4^\circ$ आते हैं। अर्थात् $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$, इसलिए AAA समरूपता कसौटी से $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।

परिणाम: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं: समरूपता की SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी (प्रमेय 6.5)।

प्र. पर्वतों (जैसे माउंट एवरेस्ट) की ऊँचाइयाँ अथवा कुछ दूरस्थ वस्तुओं (जैसे चन्द्रमा) की दूरियाँ किस प्रकार ज्ञात की गई हैं? क्या इन्हें एक मापने वाले फीते से सीधा (प्रत्यक्ष) मापा गया है?

उत्तर: नहीं, इन्हें फीते से सीधे नहीं मापा गया। ये ऊँचाइयाँ और दूरियाँ अप्रत्यक्ष मापन (indirect measurement) से ज्ञात की गई हैं, जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धांत पर आधारित है (जैसे उदाहरण 7 और प्रश्नावली 6.3 का प्रश्न 15)।

प्र. आकृति 6.1 (i) के वृत्त: क्या ये सर्वांगसम हैं?

उत्तर: नहीं, क्योंकि इन सभी की त्रिज्या समान नहीं है। पर इन सभी का आकार समान है, इसलिए ये समरूप हैं।

प्र. क्या एक वृत्त और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिभुज और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं। (क्यों?)

उत्तर: नहीं। समरूप आकृतियों का आकार एक जैसा होना चाहिए। वृत्त की कोई भुजा या कोण नहीं होता जबकि वर्ग की चार बराबर भुजाएँ और चार समकोण होते हैं; त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं और वर्ग की चार। इसलिए इनके आकार एक जैसे नहीं हैं और ये समरूप नहीं हैं।

प्र. आकृति 6.2 के दो चतुर्भुजों ABCD और PQRS के बारे में आप क्या कह सकते हैं? क्या ये समरूप हैं?

उत्तर: ये समरूप-से प्रतीत होते हैं, पर केवल देखकर निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता। इसके लिए समरूपता की परिभाषा से जाँचना होगा: संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।

प्र. ताजमहल के भिन्न-भिन्न आमापों वाले चित्र (आकृति 6.3): क्या ये चित्र समरूप हैं? और एक ही व्यक्ति के एक ही आमाप वाले दो चित्र, एक 10 वर्ष की आयु का और दूसरा 40 वर्ष की आयु का: क्या ये समरूप हैं?

उत्तर: ताजमहल के चित्र समरूप हैं, क्योंकि उनका आकार एक जैसा है, केवल आमाप भिन्न है। व्यक्ति के दोनों चित्र समरूप नहीं हैं, क्योंकि इनका आमाप तो समान है पर आकार समान नहीं है।

प्र. जब कोई फ़ोटोग्राफ़र एक ही नेगेटिव से विभिन्न मापों के फ़ोटो प्रिंट निकालती है, तो वह क्या करती है?

उत्तर: वह छोटे आमाप (जैसे 35 mm) की फ़िल्म पर फ़ोटो खींचकर उसे बड़े आमाप (जैसे 45 mm या 55 mm) में आवर्धित करती है। छोटे चित्र का प्रत्येक रेखाखंड 35 : 45 (या 35 : 55) के अनुपात में बढ़ जाता है और संगत रेखाखंडों के बीच के कोण बराबर रहते हैं, इसलिए सभी प्रिंट समरूप होते हैं।

प्र. आप दो त्रिभुजों की समरूपता के बारे में क्या कह सकते हैं?

उत्तर: त्रिभुज भी एक बहुभुज है, इसलिए दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।

प्र. $DE'\parallel BC$ खींचने पर $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE'}{E'C}$ (क्यों?); इसलिए $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AE'}{E'C}$ (क्यों?); और E व E’ को अवश्य ही संपाती होना चाहिए (क्यों?)

उत्तर: पहला: $DE'\parallel BC$ है, इसलिए प्रमेय 6.1 से। दूसरा: दिया है $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$, और पहले परिणाम से $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE'}{E'C}$; दोनों का बायाँ पक्ष एक ही है। तीसरा: दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर $\dfrac{AC}{EC}=\dfrac{AC}{E'C}$, अतः $EC=E'C$; E और E’ दोनों भुजा AC पर हैं, इसलिए ये एक ही बिंदु हैं।

प्र. $DP=AB$, $DQ=AC$ काटने पर $\triangle ABC\cong\triangle DPQ$ (क्यों?); $\angle B=\angle P=\angle E$ और $PQ\parallel EF$ (कैसे?); $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$ (क्यों?); अर्थात् $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$ (क्यों?)

उत्तर: पहला: $AB=DP$, $\angle A=\angle D$, $AC=DQ$, इसलिए SAS सर्वांगसमता से। दूसरा: सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग होने से $\angle B=\angle P$, और दिया है $\angle B=\angle E$; अतः $\angle P=\angle E$, जो तिर्यक रेखा DE पर संगत कोण हैं, इसलिए $PQ\parallel EF$। तीसरा: $\triangle DEF$ में $PQ\parallel EF$ है, इसलिए प्रमेय 6.1 से। चौथा: व्युत्क्रम लेकर 1 जोड़ने पर $\dfrac{DE}{DP}=\dfrac{DF}{DQ}$, अर्थात् $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$; अब $DP=AB$, $DQ=AC$ रखिए।

प्र. $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$ और $PQ\parallel EF$ (कैसे?); $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$ (क्यों?); $BC=PQ$ (क्यों?); $\triangle ABC\cong\triangle DPQ$ (क्यों?); $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$ (कैसे?)

उत्तर: पहला: दिया है $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$, अर्थात् $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$; व्युत्क्रम लेकर 1 घटाने और फिर व्युत्क्रम लेने पर $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$, इसलिए प्रमेय 6.2 से $PQ\parallel EF$। दूसरा: $DP=AB$, $DQ=AC$ और दिया है $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$। तीसरा: $\angle P=\angle E$, $\angle Q=\angle F$ से (AA) $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{PQ}{EF}$ भी है; दोनों की तुलना से $\dfrac{PQ}{EF}=\dfrac{BC}{EF}$, अतः $BC=PQ$। चौथा: $AB=DP$, $AC=DQ$, $BC=PQ$, इसलिए SSS सर्वांगसमता से। पाँचवाँ: सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोणों से $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle P=\angle E$ और $\angle C=\angle Q=\angle F$।

प्र. $PQ\parallel EF$ और $\triangle ABC\cong\triangle DPQ$ (कैसे?); अतः $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ (क्यों?)

उत्तर: पहला: $AB=DP$, $\angle A=\angle D$, $AC=DQ$, इसलिए SAS सर्वांगसमता से $\triangle ABC\cong\triangle DPQ$; दिए गए अनुपात से $\dfrac{DP}{DE}=\dfrac{DQ}{DF}$, अर्थात् $\dfrac{DP}{PE}=\dfrac{DQ}{QF}$, इसलिए प्रमेय 6.2 से $PQ\parallel EF$। दूसरा: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle P=\angle E$ और $\angle C=\angle Q=\angle F$, इसलिए AAA समरूपता कसौटी से।

प्र. नीचे दिए गए कोष्ठक में से सही शब्द का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) सभी वृत्त ______ होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ______ होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी ______ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) समान भुजा-संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण ______ हों और
(b) उनकी संगत भुजाएँ ______ हों। (बराबर, समानुपाती)

उत्तर: (i) समरूप (ii) समरूप (iii) समबाहु (iv) (a) बराबर (b) समानुपाती।

प्र. (i) समरूप आकृतियों के, और (ii) असमरूप आकृतियों के, दो-दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए।

उत्तर: (i) समरूप आकृतियाँ: किन्हीं दो अलग-अलग आमाप वाले वर्ग (जैसे 2 cm और 5 cm भुजा
वाले वर्ग), किन्हीं दो अलग-अलग त्रिज्या वाले वृत्त। (ii) असमरूप आकृतियाँ: एक वर्ग और एक आयत
(कोण बराबर पर भुजाएँ समानुपाती नहीं), एक समबाहु त्रिभुज (कोण 60°, 60°, 60°) और एक
समद्विबाहु त्रिभुज जिसके कोण 40°, 70°, 70° हों (कोण बराबर नहीं)।

प्र. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं (आकृति 6.8: 1.5 cm भुजा वाला
समचतुर्भुज PQRS और 3 cm भुजा वाला वर्ग ABCD)।

उत्तर: दोनों चतुर्भुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: हर भुजा के लिए
$\dfrac{1.5}{3}=\dfrac12$, अर्थात भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं (बराबर नहीं)। परंतु संगत कोण
बराबर नहीं हैं: वर्ग ABCD का हर कोण 90° है, जबकि समचतुर्भुज PQRS के कोण 90° नहीं हैं।
बहुभुजों की समरूपता के लिए दोनों शर्तें (संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समानुपाती) पूरी होनी
चाहिए, केवल एक शर्त पर्याप्त नहीं है। अतः ये चतुर्भुज समरूप नहीं हैं।

प्र. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE ∥ BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

आकृति के आँकड़े (आकृति 6.17): D भुजा AB पर और E भुजा AC पर है। (i) $AD=1.5$ cm, $DB=3$ cm, $AE=1$ cm। (ii) $DB=7.2$ cm, $AE=1.8$ cm, $EC=5.4$ cm।

उत्तर: दोनों आकृतियों में DE ∥ BC है, इसलिए प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) से $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$।
(i) $\dfrac{1.5}{3}=\dfrac{1}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{1\times3}{1.5}=$ 2 cm।
(ii) $\dfrac{AD}{7.2}=\dfrac{1.8}{5.4}=\dfrac13 \Rightarrow AD=\dfrac{7.2}{3}=$ 2.4 cm।

प्र. E और F क्रमशः त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित
प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF ∥ QR है:
(i) PE=3.9 cm, EQ=3 cm, PF=3.6 cm, FR=2.4 cm
(ii) PE=4 cm, QE=4.5 cm, PF=8 cm, RF=9 cm
(iii) PQ=1.28 cm, PR=2.56 cm, PE=0.18 cm, PF=0.36 cm

उत्तर: (i) $\dfrac{PE}{EQ}=\dfrac{3.9}{3}=1.3$, $\dfrac{PF}{FR}=\dfrac{3.6}{2.4}=1.5$;
बराबर नहीं, अतः EF ∥ QR नहीं है। (ii) $\dfrac{PE}{EQ}=\dfrac{4}{4.5}=\dfrac{8}{9}$
और $\dfrac{PF}{FR}=\dfrac{8}{9}$; दोनों $\dfrac{8}{9}$ के बराबर, अतः EF ∥ QR
है। (iii) $QE=PQ-PE=1.10$, $\dfrac{PE}{QE}=\dfrac{0.18}{1.10}$; $FR=PR-PF=2.20$,
$\dfrac{PF}{FR}=\dfrac{0.36}{2.20}$; दोनों अनुपात बराबर ($=\dfrac{9}{55}$), अतः
EF ∥ QR है।

प्र. यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}$।

उत्तर: त्रिभुज ABC में LM ∥ CB है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AL}{LC}$।
व्युत्क्रम लेने पर $\dfrac{MB}{AM}=\dfrac{LC}{AL}$, दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
$\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AL}$, अर्थात् $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AL}{AC}$ … (1)। इसी प्रकार
त्रिभुज ACD में LN ∥ CD है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AN}{ND}=\dfrac{AL}{LC}$, और ऊपर की तरह
$\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{AL}{AC}$ … (2)। (1) और (2) से $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}$।

प्र. DE ∥ AC और DF ∥ AE हैं। सिद्ध कीजिए $\dfrac{BF}{FE}=\dfrac{BE}{EC}$।

उत्तर: त्रिभुज BCA में DE ∥ AC है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BE}{EC}$
… (1)। त्रिभुज BEA में DF ∥ AE है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BF}{FE}$ …
(2)। (1) और (2) से $\dfrac{BF}{FE}=\dfrac{BE}{EC}$।

प्र. DE ∥ OQ और DF ∥ OR हैं। दिखाइए कि EF ∥ QR है।

उत्तर: त्रिभुज POQ में DE ∥ OQ है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{PE}{EQ}=\dfrac{PD}{DO}$
… (1)। त्रिभुज POR में DF ∥ OR है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{PF}{FR}=\dfrac{PD}{DO}$ …
(2)। (1) और (2) से $\dfrac{PE}{EQ}=\dfrac{PF}{FR}$। त्रिभुज PQR में यह अनुपात बराबर होने से,
प्रमेय 6.2 (विलोम) से EF ∥ QR है।

प्र. A, B, C क्रमशः OP, OQ, OR पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि AB ∥ PQ और AC ∥ PR
हैं। दिखाइए कि BC ∥ QR है।

उत्तर: त्रिभुज OPQ में AB ∥ PQ है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{OA}{AP}=\dfrac{OB}{BQ}$
… (1)। त्रिभुज OPR में AC ∥ PR है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{OA}{AP}=\dfrac{OC}{CR}$ …
(2)। (1) और (2) से $\dfrac{OB}{BQ}=\dfrac{OC}{CR}$। त्रिभुज OQR में यह अनुपात बराबर होने से,
प्रमेय 6.2 (विलोम) से BC ∥ QR है।

प्र. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के
मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
(याद कीजिए, आपने इसे कक्षा 9 में सिद्ध किया था।)

उत्तर: त्रिभुज ABC में D, AB का मध्यबिंदु है (AD=DB), और D से BC के समांतर रेखा
खींची जो AC को E पर मिलती है। प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$। चूँकि
AD=DB, अतः $\dfrac{AD}{DB}=1$, इसलिए $\dfrac{AE}{EC}=1$, यानी AE=EC,
अर्थात E भी AC का मध्यबिंदु है।

प्र. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो
भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए, आपने
इसे कक्षा 9 में सिद्ध किया था।)

उत्तर: त्रिभुज ABC में D, AB का और E, AC का मध्यबिंदु है, यानी AD/DB=1 और
AE/EC=1, इसलिए $\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$। प्रमेय 6.2 (विलोम) से, चूँकि D और E रेखा
त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात (1:1) में बाँटती है, अतः DE ∥ BC
है।

प्र. ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है और इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर
प्रतिच्छेद करते हैं। दिखाइए कि $\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{CO}{DO}$ है।

उत्तर: O से होकर AB (और DC) के समांतर एक रेखा EO खींचिए जो AD को E पर मिले।
त्रिभुज ADC में EO ∥ DC है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AO}{OC}$ … (1)।
त्रिभुज ABD में EO ∥ AB है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BO}{OD}$ … (2)।
(1) और (2) से $\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{BO}{OD}$, जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर
$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{CO}{DO}$ मिलता है।

प्र. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं
कि $\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{CO}{DO}$ है। दिखाइए कि ABCD एक समलंब है।

उत्तर: O से होकर AB के समांतर एक रेखा OE खींचिए जो AD को E पर मिले। त्रिभुज ABD
में OE ∥ AB है, अतः प्रमेय 6.1 से $\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BO}{OD}$। दिया है
$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{CO}{DO}$, अर्थात $\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{AO}{OC}$, इसलिए
$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{AO}{OC}$। त्रिभुज ACD में E और O रेखा दो भुजाओं को एक ही अनुपात में
बाँटती है, अतः प्रमेय 6.2 (विलोम) से EO ∥ DC। चूँकि OE ∥ AB भी है, अतः AB ∥ DC, यानी
ABCD एक समलंब है।

प्र. बताइए कि दी गई आकृतियों में कौन-कौन से त्रिभुज-युग्म समरूप हैं। आपके द्वारा
प्रयुक्त समरूपता कसौटी लिखिए तथा समरूप त्रिभुज-युग्मों को प्रतीकात्मक रूप में भी लिखिए।

आकृति 6.34 के आँकड़े:
(i) $\triangle ABC$: $\angle A=60°$, $\angle B=80°$, $\angle C=40°$; $\triangle PQR$: $\angle P=60°$, $\angle Q=80°$, $\angle R=40°$।
(ii) $\triangle ABC$: $AB=2$, $BC=2.5$, $CA=3$; $\triangle PQR$: $PQ=6$, $QR=4$, $PR=5$।
(iii) $\triangle LMP$: $LM=2.7$, $MP=2$, $LP=3$; $\triangle DEF$: $DE=4$, $EF=5$, $DF=6$।
(iv) $\triangle MNL$: $\angle M=70°$, $MN=2.5$, $ML=5$; $\triangle PQR$: $\angle Q=70°$, $QP=5$, $QR=10$।
(v) $\triangle ABC$: $\angle A=80°$, $AB=2.5$, $BC=3$; $\triangle DEF$: $\angle F=80°$, $DF=5$, $EF=6$।
(vi) $\triangle DEF$: $\angle D=70°$, $\angle E=80°$; $\triangle PQR$: $\angle Q=80°$, $\angle R=30°$।

उत्तर:
(i) $\angle A=\angle P$, $\angle B=\angle Q$, $\angle C=\angle R$। अतः AAA कसौटी से $\triangle ABC \sim \triangle PQR$।
(ii) भुजाओं को छोटी से बड़ी के क्रम में मिलाइए: $\dfrac{AB}{QR}=\dfrac24=\dfrac12$, $\dfrac{BC}{RP}=\dfrac{2.5}{5}=\dfrac12$, $\dfrac{CA}{PQ}=\dfrac36=\dfrac12$। तीनों अनुपात बराबर हैं, अतः SSS कसौटी से $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ (B पर AB और BC मिलती हैं, R पर QR और RP मिलती हैं, इसलिए B↔R; इसी तरह A↔Q, C↔P)।
(iii) $\dfrac{MP}{DE}=\dfrac24=\dfrac12$ और $\dfrac{LP}{DF}=\dfrac36=\dfrac12$, परंतु $\dfrac{LM}{EF}=\dfrac{2.7}{5}=0.54\ne\dfrac12$। अतः ये त्रिभुज समरूप नहीं हैं।
(iv) $\dfrac{MN}{QP}=\dfrac{2.5}{5}=\dfrac12$ और $\dfrac{ML}{QR}=\dfrac{5}{10}=\dfrac12$, तथा इन भुजाओं के बीच के (अंतर्गत) कोण बराबर हैं: $\angle M=\angle Q=70°$। अतः SAS कसौटी से $\triangle MNL \sim \triangle QPR$।
(v) $\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{2.5}{5}=\dfrac12$ और $\dfrac{BC}{EF}=\dfrac36=\dfrac12$, परंतु AB और BC के बीच का कोण $\angle B$ है, जो दिया ही नहीं गया; दिया गया $\angle A$ इन भुजाओं के बीच का कोण नहीं है। इसलिए SAS कसौटी लागू नहीं होती, और ये त्रिभुज समरूप नहीं कहे जा सकते।
(vi) $\triangle DEF$ में $\angle F=180°-70°-80°=30°$ और $\triangle PQR$ में $\angle P=180°-80°-30°=70°$। अतः $\angle D=\angle P$, $\angle E=\angle Q$, $\angle F=\angle R$, और AAA कसौटी से $\triangle DEF \sim \triangle PQR$।

प्र. चित्र में $\triangle ODC \sim \triangle OBA$, $\angle BOC=125°$ और
$\angle CDO=70°$ है। $\angle DOC$, $\angle DCO$ और $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\angle DOC = 180° – \angle BOC = 180°-125°=$ 55°
(रैखिक युग्म, DOB एक सरल रेखा है)। त्रिभुज DOC में कोण-योग गुण से
$\angle DCO=180°-\angle DOC-\angle CDO=180°-55°-70°=$ 55°।
$\triangle ODC \sim \triangle OBA$ दिया है, इसलिए $\angle OAB=\angle OCD=$
55° (संगत कोण)।

प्र. AB ∥ DC वाले समलंब ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते
हैं। किसी समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$।

उत्तर: $\triangle OAB$ और $\triangle OCD$ में AB ∥ DC है, इसलिए $\angle OAB=\angle OCD$
और $\angle OBA=\angle ODC$ (एकांतर कोण), साथ ही $\angle AOB=\angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (AAA कसौटी), जिससे
$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$ (संगत भुजाओं का अनुपात)।

प्र. चित्र में $\dfrac{QR}{QS}=\dfrac{QT}{PR}$ और $\angle 1 = \angle 2$ है।
दिखाइए कि $\triangle PQS \sim \triangle TQR$ है।

आकृति 6.36: $\triangle PQR$ में S भुजा QR पर है, T भुजा QP को P से आगे बढ़ाने पर स्थित है; $\angle 1=\angle PQR$ (Q पर) और $\angle 2=\angle PRQ$ (R पर)।

उत्तर: $\triangle PQR$ में $\angle 1=\angle 2$, अर्थात $\angle PQR=\angle PRQ$, इसलिए
$PQ=PR$ (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) …(1)
दिया है $\dfrac{QR}{QS}=\dfrac{QT}{PR}$। (1) से $PR$ के स्थान पर $QP$ रखने पर
$\dfrac{QR}{QS}=\dfrac{QT}{QP}$, अर्थात $\dfrac{QS}{QR}=\dfrac{QP}{QT}$ …(2)
अब $\triangle PQS$ और $\triangle TQR$ में: $\dfrac{QP}{QT}=\dfrac{QS}{QR}$ ((2) से) और
$\angle PQS=\angle TQR$ (दोनों $\angle 1$ ही हैं, उभयनिष्ठ कोण, जो इन्हीं भुजाओं के बीच है)।
अतः SAS समरूपता कसौटी से $\triangle PQS \sim \triangle TQR$।

प्र. S और T, $\triangle PQR$ की भुजाओं PR और QR पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि
$\angle P = \angle RTS$ है। दिखाइए कि $\triangle RPQ \sim \triangle RTS$ है।

उत्तर: $\triangle RPQ$ और $\triangle RTS$ में $\angle P=\angle RTS$ (दिया है) और
$\angle R=\angle R$ (उभयनिष्ठ कोण)। अतः दो कोण बराबर होने से
$\triangle RPQ \sim \triangle RTS$ (AA समरूपता कसौटी)।

प्र. यदि $\triangle ABE \cong \triangle ACD$ हो, तो दिखाइए कि
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ है।

उत्तर: $\triangle ABE \cong \triangle ACD$ दिया है, इसलिए $AB=AC$ और $AE=AD$
(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)। अतः $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ (दोनों पक्षों को
पुनर्व्यवस्थित करने पर), और $\angle A=\angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)। अतः SAS कसौटी से
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$।

प्र. $\triangle ABC$ के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दिखाइए कि: (i) $\triangle AEP \sim \triangle CDP$ (ii) $\triangle ABD \sim \triangle CBE$
(iii) $\triangle AEP \sim \triangle ADB$ (iv) $\triangle PDC \sim \triangle BEC$।

उत्तर: (i) $\angle AEP=\angle CDP=90°$ (दोनों शीर्षलंब से बने समकोण) और
$\angle APE=\angle CPD$ (शीर्षाभिमुख कोण), अतः AA से $\triangle AEP \sim \triangle CDP$।
(ii) $\angle ADB=\angle CEB=90°$ और $\angle B=\angle B$ (उभयनिष्ठ), अतः AA से
$\triangle ABD \sim \triangle CBE$। (iii) $\angle AEP=\angle ADB=90°$
और $\angle A=\angle A$ (उभयनिष्ठ), अतः AA से $\triangle AEP \sim \triangle ADB$।
(iv) $\angle PDC=\angle BEC=90°$ और $\angle C=\angle C$ (उभयनिष्ठ), अतः AA से
$\triangle PDC \sim \triangle BEC$।

प्र. समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD को बढ़ाने पर उस पर स्थित एक बिंदु E है, और
BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। दिखाइए कि $\triangle ABE \sim \triangle CFB$ है।

उत्तर: $\triangle ABE$ और $\triangle CFB$ में: $\angle A=\angle C$, अर्थात
$\angle BAE=\angle FCB$ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं), और
$\angle AEB=\angle CBF$ (एकांतर कोण: AE, भुजा AD पर ही है और AD ∥ BC, इसलिए AE ∥ BC;
BE तिर्यक रेखा है)। अतः दो कोण बराबर होने से
$\triangle ABE \sim \triangle CFB$ (AA समरूपता कसौटी)।

प्र. $\triangle ABC$ और $\triangle AMP$ दो समकोण त्रिभुज हैं, जो क्रमशः B और M
पर समकोण हैं। सिद्ध कीजिए: (i) $\triangle ABC \sim \triangle AMP$ (ii)
$\dfrac{CA}{PA}=\dfrac{BC}{MP}$।

उत्तर: (i) $\triangle ABC$ और $\triangle AMP$ में $\angle B=\angle M=90°$ (दिया
है) और $\angle A=\angle A$ (उभयनिष्ठ कोण)। अतः AA कसौटी से
$\triangle ABC \sim \triangle AMP$। (ii) समरूप त्रिभुजों की संगत
भुजाएँ समानुपाती होती हैं, इसलिए $\dfrac{CA}{PA}=\dfrac{BC}{MP}$।

प्र. CD और GH क्रमशः $\angle ACB$ और $\angle EGF$ के समद्विभाजक हैं, जहाँ D और H
क्रमशः भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि $\triangle ABC \sim \triangle FEG$ हो, तो दिखाइए:
(i) $\dfrac{CD}{GH}=\dfrac{AC}{FG}$ (ii) $\triangle DCB \sim \triangle HGE$ (iii)
$\triangle DCA \sim \triangle HGF$।

उत्तर: $\triangle ABC \sim \triangle FEG$ दिया है, इसलिए $\angle A=\angle F$,
$\angle ACB=\angle FGE$ और $\dfrac{AC}{FG}=\dfrac{BC}{EG}$। CD और GH समद्विभाजक हैं, इसलिए
$\angle ACD=\angle DCB=\dfrac12\angle ACB$ और $\angle FGH=\angle HGE=\dfrac12\angle FGE$,
अतः $\angle ACD=\angle FGH$। (iii) $\triangle DCA$ और $\triangle HGF$ में $\angle A=\angle F$
और $\angle ACD=\angle FGH$, अतः AA से $\triangle DCA \sim \triangle HGF$,
जिससे $\dfrac{CD}{GH}=\dfrac{AC}{FG}$ मिलता है, यही (i) है। (ii) इसी तरह $\triangle DCB$ और
$\triangle HGE$ में $\angle B=\angle E$ (मूल समरूपता से) और $\angle DCB=\angle HGE$, अतः AA से
$\triangle DCB \sim \triangle HGE$।

प्र. $AB=AC$ वाले समद्विबाहु त्रिभुज ABC की भुजा CB को बढ़ाने पर उस पर एक बिंदु
E स्थित है। यदि $AD \perp BC$ और $EF \perp AC$ हों, तो सिद्ध कीजिए $\triangle ABD \sim \triangle ECF$।

उत्तर: $AB=AC$ (समद्विबाहु) होने से $\angle B=\angle ACB$ (बराबर भुजाओं के सम्मुख
कोण बराबर)। E भुजा CB को B से आगे बढ़ाने पर स्थित है, इसलिए किरण CE और किरण CB एक ही हैं;
F भुजा AC पर है, इसलिए किरण CF और किरण CA एक ही हैं। अतः $\angle ECF=\angle BCA$, और इसलिए
$\angle ABD=\angle ABC=\angle ACB=\angle ECF$। साथ ही
$\angle ADB=\angle EFC=90°$ (दिया है)। अतः दो कोण बराबर होने से
$\triangle ABD \sim \triangle ECF$ (AA समरूपता कसौटी)।

प्र. $\triangle ABC$ की भुजाएँ AB, BC और माध्यिका AD क्रमशः $\triangle PQR$ की
भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दिखाइए कि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है।

उत्तर: D और M क्रमशः BC और QR के मध्यबिंदु हैं, इसलिए $BD=\dfrac{BC}{2}$ और
$QM=\dfrac{QR}{2}$, अतः $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BD}{QM}=\dfrac{AD}{PM}$ (दिया हुआ अनुपात
माध्यिका तक बढ़ाया गया)। इससे $\triangle ABD \sim \triangle PQM$ (SSS कसौटी), जिससे
$\angle ABD=\angle PQM$, अर्थात $\angle B=\angle Q$। अब $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$
में $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}$ (दिया है) और $\angle B=\angle Q$ (अभी सिद्ध किया), अतः
SAS कसौटी से $\triangle ABC \sim \triangle PQR$।

प्र. D, $\triangle ABC$ की भुजा BC पर इस प्रकार स्थित बिंदु है कि
$\angle ADC = \angle BAC$ है। दिखाइए कि $CA^2 = CB \cdot CD$ है।

उत्तर: $\triangle ACD$ और $\triangle BCA$ में $\angle ADC=\angle BAC$ (दिया है) और
$\angle ACD=\angle BCA$ (उभयनिष्ठ कोण, दोनों में कोण C ही है)। अतः AA कसौटी से
$\triangle ACD \sim \triangle BCA$, जिससे $\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CD}{CA}$, अर्थात
$CA^2=CB \cdot CD$।

प्र. $\triangle ABC$ की भुजाएँ AB, AC और माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की
भुजाओं PQ, PR और माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दिखाइए कि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है।

उत्तर: माध्यिका AD को E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि $AD=DE$ हो, और B व E को मिलाइए;
इसी तरह PM को S तक बढ़ाकर $PM=MS$ लीजिए और Q व S को मिलाइए। ABEC और PQSR दोनों समांतर
चतुर्भुज बन जाते हैं (विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)। इससे $AB=CE$ और $PQ=RS$ मिलता है।
दिए गए अनुपात $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{AD}{PM}=\dfrac{2AD}{2PM}=\dfrac{AE}{PS}$ और
$\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{AC}{PR}$ से $\dfrac{AE}{PS}=\dfrac{AC}{PR}=\dfrac{CE}{RS}$ (चूँकि
CE=AB, RS=PQ), अतः $\triangle AEC \sim \triangle PSR$ (SSS कसौटी), जिससे $\angle CAE=\angle RPS$
मिलता है। इसी तरह समांतर चतुर्भुजों से $BE=AC$ और $QS=PR$, इसलिए $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BE}{QS}=\dfrac{AE}{PS}$,
अतः $\triangle ABE \sim \triangle PQS$ (SSS कसौटी) और $\angle BAE=\angle QPS$; दोनों जोड़ने पर $\angle A=\angle P$।
अब $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{AC}{PR}$ और $\angle A=\angle P$ से SAS कसौटी द्वारा
$\triangle ABC \sim \triangle PQR$।

प्र. 6 m लंबाई वाला एक ऊर्ध्वाधर खंभा ज़मीन पर 4 m लंबी छाया डालता है, और उसी समय
एक मीनार की छाया 28 m लंबी है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

प्र. यदि AD और PM क्रमशः $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ की माध्यिकाएँ हैं, जहाँ
$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{AD}{PM}$।

उत्तर: $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ दिया है, इसलिए $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}$
और $\angle B=\angle Q$। D और M क्रमशः BC और QR के मध्यबिंदु हैं, इसलिए
$BD=\dfrac{BC}{2}$, $QM=\dfrac{QR}{2}$, अतः $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BD}{QM}$ भी सत्य है। अब
$\triangle ABD$ और $\triangle PQM$ में $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BD}{QM}$ और $\angle B=\angle Q$
(अंतर्गत कोण), अतः SAS कसौटी से $\triangle ABD \sim \triangle PQM$, जिससे
$\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{AD}{PM}$ (संगत भुजाओं का अनुपात)।