निर्देशांक ज्यामिति

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1भूमिका
2दूरी सूत्र (Distance Formula)
2.1 अक्षों पर स्थित बिंदुओं की दूरी
2.2 व्यापक दूरी सूत्र
2.3 दूरी सूत्र के अनुप्रयोग
3विभाजन सूत्र (Section Formula)
3.1 व्यापक विभाजन सूत्र
3.2 विभाजन सूत्र के अनुप्रयोग
इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे
  • दो बिंदुओं के बीच की दूरी, पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न दूरी सूत्र का प्रयोग करके ज्ञात करना
  • दूरी सूत्र से त्रिभुज और चतुर्भुज का प्रकार पहचानना, और तीन बिंदुओं की संरेखता जाँचना
  • किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक, विभाजन सूत्र से ज्ञात करना
  • मध्यबिंदु सूत्र (विभाजन सूत्र की विशेष स्थिति) का प्रयोग करना
  • दूरी और विभाजन सूत्र पर आधारित शब्द-प्रश्न (जैसे टेलीफोन कंपनी का प्रसारण टॉवर) हल करना
दूरी सूत्रविभाजन सूत्रमध्यबिंदु सूत्र
संरेखतामूलबिंदु से दूरीसम-त्रिभाजन बिंदु

1भूमिका

कक्षा 9 में आपने पढ़ा था कि किसी तल पर किसी बिंदु की स्थिति बताने के लिए दो लांबिक
(perpendicular) अक्षों की ज़रूरत होती है। किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उसका
x-निर्देशांक या भुज (abscissa) कहलाती है, और उसकी x-अक्ष से दूरी
उसका y-निर्देशांक या कोटि (ordinate) कहलाती है। x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु
के निर्देशांक (x,0)(x, 0) के रूप के होते हैं, और y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक
(0,y)(0, y) के रूप के होते हैं।

निर्देशांक ज्यामिति क्यों उपयोगी है

आप पहले भी देख चुके हैं कि ax+by+c=0ax+by+c=0 (जहाँ aa और bb एक साथ शून्य न हों) के रूप की दो चरों वाली
एक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होता है, और (अध्याय 2 में) y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c (a≠0a\ne0) का आलेख एक
परवलय (parabola) होता है। निर्देशांक
ज्यामिति बीजगणित की मदद से ज्यामिति समझने और ज्यामिति की मदद से बीजगणित समझने का एक
साधन है, इसीलिए इसका प्रयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, नौ-गमन (navigation), भूकंप-शास्त्र
(seismology) और कला जैसे कई क्षेत्रों में होता है। इस अध्याय में हम दो नई चीज़ें सीखेंगे: दो दिए हुए बिंदुओं के
बीच की दूरी, और किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक।

2दूरी सूत्र (Distance Formula)

एक शहर B, दूसरे शहर A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर की ओर है। बिना सीधे मापे, आप
शहर A से शहर B की दूरी कैसे ज्ञात करेंगे? यही सवाल इस भाग की शुरुआत है, और इसका जवाब
है: पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके।

2.1 अक्षों पर स्थित बिंदुओं की दूरी

पहले सबसे आसान स्थिति देखें: दो बिंदु एक ही अक्ष पर हों। मान लीजिए A(4, 0) और
B(6, 0) x-अक्ष पर स्थित हैं। चित्र से OA = 4 मात्रक और OB = 6 मात्रक, इसलिए
AB=OB−OA=6−4=2AB = OB – OA = 6-4 = 2 मात्रक। इसी तरह y-अक्ष पर स्थित C(0, 3) और D(0, 8) के लिए
CD=8−3=5CD = 8-3 = 5 मात्रक। अगर A और C को जोड़ें (एक x-अक्ष पर, एक y-अक्ष पर), तो समकोण
△OAC\triangle OAC में पाइथागोरस प्रमेय से AC=32+42=5AC=\sqrt{3^2+4^2}=5 मात्रक। इसी प्रकार D से B की दूरी
BD=62+82=10BD=\sqrt{6^2+8^2}=10 मात्रक।

चित्र 1: x-अक्ष पर A, B और y-अक्ष पर C, D की दूरी घटाव से (AB = 2, CD = 5), और A से C की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से (3²+4²=5², इसलिए AC = 5)।
चित्र 1: x-अक्ष पर A, B और y-अक्ष पर C, D की दूरी घटाव से (AB = 2,
CD = 5), और A से C की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से (32+42=523^2+4^2=5^2, इसलिए AC = 5)।

2.2 व्यापक दूरी सूत्र

पुस्तक के दो उदाहरण (अक्षों से बाहर के बिंदु)

(क) प्रथम चतुर्थांश: P(4,6)P(4, 6) और Q(6,8)Q(6, 8)। P और Q से x-अक्ष पर लंब PR और QS, तथा P से
QS पर लंब PT खींचिए। R(4,0)R(4,0), S(6,0)S(6,0) से RS=2RS=2, इसलिए PT=2PT=2; QS=8QS=8, TS=PR=6TS=PR=6, इसलिए QT=2QT=2।
PQ2=PT2+QT2=22+22=8PQ^2=PT^2+QT^2=2^2+2^2=8, अतः PQ=22PQ=2\sqrt2 मात्रक।

(ख) भिन्न चतुर्थांश: P(6,4)P(6, 4) और Q(−5,−3)Q(-5, -3)। यहाँ PT=6−(−5)=11PT=6-(-5)=11 मात्रक और
QT=4−(−3)=7QT=4-(-3)=7 मात्रक, इसलिए समकोण त्रिभुज PTQ में PQ=112+72=121+49=170PQ=\sqrt{11^2+7^2}=\sqrt{121+49}=\sqrt{170} मात्रक।

अब मान लीजिए दोनों बिंदु किसी भी अक्ष पर नहीं, बल्कि तल में कहीं भी स्थित हैं। दो बिंदु
P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) लीजिए। P और Q से x-अक्ष पर लंब PR और QS खींचिए, और P से QS
पर एक और लंब खींचकर उसे T पर मिलाइए (देखिए चित्र 2)।

चित्र 2: PT = RS = x₂ − x₁ और QT = y₂ − y₁, इसलिए समकोण त्रिभुज PTQ में पाइथागोरस प्रमेय से PQ² = PT²+QT², जिससे दूरी सूत्र मिलता है (चटक हरी रेखा PQ है, धराशायी रेखाएँ लंब हैं)।
चित्र 2: PT = RS = x₂ − x₁ और QT = y₂ − y₁, इसलिए समकोण त्रिभुज PTQ में
पाइथागोरस प्रमेय से PQ2=PT2+QT2PQ^2 = PT^2+QT^2, जिससे दूरी सूत्र मिलता है (चटक हरी रेखा PQ है,
धराशायी रेखाएँ लंब हैं)।
OR=x1, OS=x2OR=x_1,\ OS=x_2, इसलिए RS=x2−x1=PTRS=x_2-x_1=PTR और S की x-अक्ष पर स्थिति से
SQ=y2, ST=PR=y1SQ=y_2,\ ST=PR=y_1, इसलिए QT=y2−y1QT=y_2-y_1Q और P की ऊँचाई से
PQ2=PT2+QT2=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ^2=PT^2+QT^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2समकोण त्रिभुज PTQ में पाइथागोरस प्रमेय
PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}दूरी हमेशा ऋणेतर होती है, इसलिए केवल धनात्मक वर्गमूल लिया जाता है
सूत्र: दूरी सूत्र
PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
यह भी लिखा जा सकता है PQ=(x1−x2)2+(y1−y2)2PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}, क्योंकि दोनों पदों का वर्ग किया जाता है, इसलिए क्रम मायने नहीं रखता
सूत्र: मूलबिंदु से दूरी
OP=x2+y2OP=\sqrt{x^2+y^2}
बिंदु P(x,y)P(x, y) की मूलबिंदु O(0,0)O(0, 0) से दूरी, दूरी सूत्र में x1=y1=0x_1=y_1=0 रखने पर
परीक्षा संकेत

दूरी सूत्र का प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय से दिया गया है: चित्र बनाकर PT और QT को
x₁, x₂, y₁, y₂ में लिखिए, फिर समकोण त्रिभुज PTQ में PQ2=PT2+QT2PQ^2=PT^2+QT^2 लिखिए।

2.3 दूरी सूत्र के अनुप्रयोग

उदाहरण 1 (त्रिभुज का प्रकार)

प्र. क्या बिंदु (3,2)(3, 2), (−2,−3)(-2, -3) और (2,3)(2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ,
तो त्रिभुज का प्रकार बताइए।

हल: मान लीजिए P(3,2)P(3,2), Q(−2,−3)Q(-2,-3), R(2,3)R(2,3)।

PQ=(3+2)2+(2+3)2=25+25=50≈7.07PQ=\sqrt{(3+2)^2+(2+3)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\approx7.07

QR=(−2−2)2+(−3−3)2=16+36=52≈7.21QR=\sqrt{(-2-2)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}\approx7.21

PR=(3−2)2+(2−3)2=1+1=2≈1.41PR=\sqrt{(3-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1.41

इन तीनों में से किन्हीं भी दो दूरियों का योग तीसरी दूरी से बड़ा है, इसलिए
P, Q, R एक त्रिभुज बनाते हैं। साथ ही
PQ2+PR2=50+2=52=QR2PQ^2+PR^2=50+2=52=QR^2, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से ∠P=90°\angle P=90°, अतः
△PQR\triangle PQR एक समकोण त्रिभुज है।

उदाहरण 2 (चतुर्भुज पहचानना)

प्र. दिखाइए कि बिंदु A(1,7)A(1,7), B(4,2)B(4,2), C(−1,−1)C(-1,-1) और D(−4,4)D(-4,4) एक वर्ग के
शीर्ष हैं।

हल: चारों भुजाएँ और दोनों विकर्ण ज्ञात कीजिए।

AB=(1−4)2+(7−2)2=9+25=34AB=\sqrt{(1-4)^2+(7-2)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34},
BC=(4+1)2+(2+1)2=25+9=34BC=\sqrt{(4+1)^2+(2+1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

CD=(−1+4)2+(−1−4)2=9+25=34CD=\sqrt{(-1+4)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34},
DA=(1+4)2+(7−4)2=25+9=34DA=\sqrt{(1+4)^2+(7-4)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

AC=(1+1)2+(7+1)2=4+64=68AC=\sqrt{(1+1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68},
BD=(4+4)2+(2−4)2=64+4=68BD=\sqrt{(4+4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}

चारों भुजाएँ बराबर (AB=BC=CD=DA=34AB=BC=CD=DA=\sqrt{34}) हैं और दोनों विकर्ण बराबर
(AC=BD=68AC=BD=\sqrt{68}) हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है। (वैकल्पिक रूप से:
AD2+DC2=34+34=68=AC2AD^2+DC^2=34+34=68=AC^2, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से ∠D=90°\angle D=90°, और सभी
भुजाएँ बराबर + एक कोण 90° होने पर चतुर्भुज वर्ग होता है।)

उदाहरण 3 (संरेखता जाँचना)

प्र. एक कक्षा में डेस्क की व्यवस्था में आशिमा, भारती और कैमिला क्रमशः
A(3,1)A(3,1), B(6,4)B(6,4) और C(8,6)C(8,6) पर बैठी हैं। क्या वे एक सीधी रेखा में बैठी हैं?

हल: AB=(6−3)2+(4−1)2=9+9=18=32AB=\sqrt{(6-3)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt2

BC=(8−6)2+(6−4)2=4+4=8=22BC=\sqrt{(8-6)^2+(6-4)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2

AC=(8−3)2+(6−1)2=25+25=50=52AC=\sqrt{(8-3)^2+(6-1)^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2

चूँकि AB+BC=32+22=52=ACAB+BC=3\sqrt2+2\sqrt2=5\sqrt2=AC, अतः
A, B, C संरेखी (collinear) हैं, यानी वे एक सीधी रेखा में बैठी हैं।

संरेखता जाँचने का नियम (इस अध्याय का)

तीन बिंदु P, Q, R संरेखी हैं यदि तीनों के बीच की दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी
दूरी के बराबर हो (जैसे AB+BC=ACAB+BC=AC ऊपर)। यही इस अध्याय की संरेखता जाँचने की विधि है;
निर्देशांकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस पुस्तक के अध्याय 7 में नहीं दिया गया है।

उदाहरण 4 (समदूरस्थ बिंदु का संबंध)

प्र. xx और yy में ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x,y)(x, y), बिंदुओं (7,1)(7, 1)
और (3,5)(3, 5) से समदूरस्थ हो।

हल: मान लीजिए P(x,y)P(x,y), A(7,1)A(7,1) और B(3,5)B(3,5) से समदूरस्थ है, अर्थात्
AP=BPAP=BP, इसलिए AP2=BP2AP^2=BP^2।

(x−7)2+(y−1)2=(x−3)2+(y−5)2(x-7)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-5)^2

x2−14x+49+y2−2y+1=x2−6x+9+y2−10y+25x^2-14x+49+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-10y+25

−14x−2y+50=−6x−10y+34⇒−8x+8y=−16⇒-14x-2y+50=-6x-10y+34 \Rightarrow -8x+8y=-16 \Rightarrow
x−y=2x-y=2

टिप्पणी: समीकरण x−y=2x-y=2 का आलेख एक रेखा होता है। जो बिंदु दो दिए हुए बिंदुओं A और B से
समदूरस्थ होता है, वह रेखाखंड AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है। अतः x−y=2x-y=2 का आलेख रेखाखंड AB
का लंब समद्विभाजक है।

उदाहरण 5 (y-अक्ष पर समदूरस्थ बिंदु)

प्र. y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो A(6,5)A(6, 5) और B(−4,3)B(-4, 3) से समदूरस्थ
हो।

दिया है

y-अक्ष पर बिंदु PP, A(6,5)A(6,5) और B(−4,3)B(-4,3) से समदूरस्थ

ज्ञात करना है

बिंदु PP के निर्देशांक

हल

y-अक्ष पर हर बिंदु (0,y)(0, y) के रूप का होता है, इसलिए मान लीजिए P(0,y)P(0, y) है।
AP=BP⇒AP2=BP2AP=BP \Rightarrow AP^2=BP^2:

(6−0)2+(5−y)2=(−4−0)2+(3−y)2(6-0)^2+(5-y)^2=(-4-0)^2+(3-y)^2

36+25−10y=16+9−6y⇒61−10y=25−6y⇒36=4y⇒y=936+25-10y=16+9-6y \Rightarrow 61-10y=25-6y \Rightarrow 36=4y \Rightarrow y=9

अतः अभीष्ट बिंदु (0,9)(0, 9) है। जाँच: AP=36+16=52AP=\sqrt{36+16}=\sqrt{52},
BP=16+36=52BP=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}, दोनों बराबर।

टिप्पणी: उदाहरण 4 की टिप्पणी के अनुसार, (0,9)(0, 9) y-अक्ष और रेखाखंड AB के लंब समद्विभाजक का
प्रतिच्छेद बिंदु है।

आम ग़लती

दूरी सूत्र में घटाव का क्रम कोई भी रखा जा सकता है (x2−x1x_2-x_1 या x1−x2x_1-x_2), क्योंकि
हर पद का वर्ग किया जाता है: (y1−y2)2=(y2−y1)2(y_1-y_2)^2=(y_2-y_1)^2। इसलिए (x2−x1)2+(y1−y2)2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_1-y_2)^2}
भी उतना ही सही है जितना (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}। असली ग़लती ऋण चिह्न सँभालने में होती है:
(3−(−2))2=52=25(3-(-2))^2=5^2=25 होता है, 121^2 नहीं; और अंत में वर्गमूल लेना न भूलें।

3विभाजन सूत्र (Section Formula)

अब दूसरा सवाल: किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक कैसे
ज्ञात करें? वही टेलीफोन कंपनी का उदाहरण फिर से लीजिए: कंपनी शहरों A और B के बीच एक
प्रसारण टॉवर P इस तरह लगाना चाहती है कि टॉवर की B से दूरी, A से दूरी की दुगुनी हो। यानी
P, रेखाखंड AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

A को मूलबिंदु मानकर और 1 km को एक मात्रक मानकर, B के निर्देशांक (36, 15) होंगे।
मान लीजिए P(x,y)P(x, y) है। P और B से x-अक्ष पर लंब PD और BE, तथा BE पर लंब PC खींचिए। अध्याय 6 में
पढ़ी AA समरूपता कसौटी से △POD\triangle POD और △BPC\triangle BPC समरूप हैं, इसलिए
ODPC=OPPB=12\dfrac{OD}{PC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac12 और PDBC=OPPB=12\dfrac{PD}{BC}=\dfrac{OP}{PB}=\dfrac12।
अतः x36−x=12⇒2x=36−x⇒x=12\dfrac{x}{36-x}=\dfrac12 \Rightarrow 2x=36-x \Rightarrow x=12, और
y15−y=12⇒2y=15−y⇒y=5\dfrac{y}{15-y}=\dfrac12 \Rightarrow 2y=15-y \Rightarrow y=5। इस प्रकार P(12,5)P(12, 5) मिलता है।
जाँच: OP=122+52=13OP=\sqrt{12^2+5^2}=13 और PB=242+102=26PB=\sqrt{24^2+10^2}=26, इसलिए OP:PB=1:2OP:PB=1:2।

3.1 व्यापक विभाजन सूत्र

अब इसी तरीक़े को व्यापक रूप में लिखते हैं। मान लीजिए A(x1,y1)A(x_1, y_1) और B(x2,y2)B(x_2, y_2)
कोई भी दो बिंदु हैं, और P(x,y)P(x, y) रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से (internally) m1:m2m_1 : m_2
के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात् PAPB=m1m2\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}।

चित्र 3: A, P, B तीनों से x-अक्ष पर लंब (R, S, T पर), और AQ ∥ PC ∥ x-अक्ष खींचने पर ΔPAQ ~ ΔBPC (AA समरूपता कसौटी से), जिससे विभाजन सूत्र सिद्ध होता है।
चित्र 3: A, P, B तीनों से x-अक्ष पर लंब (R, S, T पर), और
AQ∥PC∥AQ \parallel PC \parallel x-अक्ष खींचने पर △PAQ∼△BPC\triangle PAQ \sim \triangle BPC (AA
समरूपता कसौटी से), जिससे विभाजन सूत्र सिद्ध होता है।
△PAQ∼△BPC\triangle PAQ \sim \triangle BPCAA समरूपता कसौटी: ∠PQA=∠BCP=90°\angle PQA=\angle BCP=90° और ∠PAQ=∠BPC\angle PAQ=\angle BPC (संगत कोण: AQ∥PCAQ \parallel PC, क्योंकि दोनों x-अक्ष के समांतर हैं, और AB इन्हें काटने वाली तिर्यक रेखा है)
PABP=AQPC=PQBC\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC}समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती
AQ=x−x1,  PC=x2−x,  PQ=y−y1,  BC=y2−yAQ=x-x_1,\ \ PC=x_2-x,\ \ PQ=y-y_1,\ \ BC=y_2-yR, S, T पर लंबों और Q, C की स्थिति से
m1m2=x−x1x2−x=y−y1y2−y\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y}PABP=m1m2\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{m_1}{m_2} रखने पर
x=m1x2+m2x1m1+m2x=\dfrac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}m1m2=x−x1x2−x\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x} से हल करने पर
y=m1y2+m2y1m1+m2y=\dfrac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}इसी तरह m1m2=y−y1y2−y\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y} से हल करने पर
सूत्र: विभाजन सूत्र
(m1x2+m2x1m1+m2, m1y2+m2y1m1+m2)\left(\dfrac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\ \dfrac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\right)
A(x1,y1)A(x_1,y_1) और B(x2,y2)B(x_2,y_2) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m1:m2m_1:m_2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु PP के निर्देशांक
इन चिह्नों का मतलब
m1:m2m_1:m_2वह अनुपात जिसमें P, AB को बाँटता है (PA:PBPA:PB)कोई मात्रक नहीं
k:1k:1वैकल्पिक रूप, जब अनुपात k:1k:1 की तरह लिखा जाएकोई मात्रक नहीं
वैकल्पिक रूप: अनुपात k : 1

यदि P, AB को k:1k:1 के अनुपात में बाँटता है (यानी m1=km_1=k, m2=1m_2=1), तो:

(kx2+x1k+1, ky2+y1k+1)\left(\dfrac{kx_2+x_1}{k+1},\ \dfrac{ky_2+y_1}{k+1}\right)
याद रखेंपरिभाषा: मध्यबिंदु सूत्र

रेखाखंड का मध्यबिंदु उसे 1:11:1 के अनुपात में बाँटता है। इसलिए A(x1,y1)A(x_1,y_1) और
B(x2,y2)B(x_2,y_2) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक
(x1+x22, y1+y22)\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right) होते हैं (विभाजन सूत्र में
m1=m2=1m_1=m_2=1 रखने पर)।

परीक्षा संकेत

विभाजन सूत्र का प्रमाण समरूप त्रिभुजों पर आधारित है (अध्याय 6 की AA समरूपता कसौटी)।
प्रमाण में △PAQ∼△BPC\triangle PAQ \sim \triangle BPC लिखिए और कारण (AA) दीजिए।

3.2 विभाजन सूत्र के अनुप्रयोग

उदाहरण 6 (सीधा प्रयोग)

प्र. बिंदुओं (4,−3)(4, -3) और (8,5)(8, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:13:1 के अनुपात
में आंतरिक रूप से बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: विभाजन सूत्र से, m1=3m_1=3, m2=1m_2=1:

x=3(8)+1(4)3+1=284=7x=\dfrac{3(8)+1(4)}{3+1}=\dfrac{28}{4}=7, y=3(5)+1(−3)3+1=124=3\quad y=\dfrac{3(5)+1(-3)}{3+1}=\dfrac{12}{4}=3

अभीष्ट बिंदु (7,3)(7, 3) है।

उदाहरण 7 (अनुपात ज्ञात करना)

प्र. बिंदु (−4,6)(-4, 6), बिंदुओं A(−6,10)A(-6, 10) और B(3,−8)B(3, -8) को मिलाने वाले
रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?

हल: मान लीजिए अनुपात k:1k:1 है। विभाजन सूत्र से x-निर्देशांक:

−4=3k−6k+1⇒−4k−4=3k−6⇒7k=2⇒k=27-4=\dfrac{3k-6}{k+1} \Rightarrow -4k-4=3k-6 \Rightarrow 7k=2 \Rightarrow k=\dfrac27

अतः अनुपात 2:72:7 है। y-निर्देशांक से जाँच:
−8(27)+1027+1=54/79/7=6\dfrac{-8\left(\frac27\right)+10}{\frac27+1}=\dfrac{54/7}{9/7}=6 ✓।

टिप्पणी: यदि यह ज्ञात हो कि बिंदु A, P और B संरेखी हैं, तो यह अनुपात दूरियाँ PA और PB ज्ञात
करके और उनका अनुपात लेकर भी प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण 8 (सम-त्रिभाजन बिंदु)

प्र. बिंदुओं A(2,−2)A(2, -2) और B(−7,4)B(-7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले
बिंदुओं (points of trisection) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए P और Q सम-त्रिभाजन बिंदु हैं, अर्थात् AP=PQ=QBAP=PQ=QB। तो P, AB को
1:21:2 में बाँटता है:

P=(1(−7)+2(2)1+2, 1(4)+2(−2)1+2)=(−33,03)=(−1,0)P=\left(\dfrac{1(-7)+2(2)}{1+2},\ \dfrac{1(4)+2(-2)}{1+2}\right)=\left(\dfrac{-3}{3},\dfrac{0}{3}\right)=(-1, 0)

और Q, AB को 2:12:1 में बाँटता है:

Q=(2(−7)+1(2)2+1, 2(4)+1(−2)2+1)=(−123,63)=(−4,2)Q=\left(\dfrac{2(-7)+1(2)}{2+1},\ \dfrac{2(4)+1(-2)}{2+1}\right)=\left(\dfrac{-12}{3},\dfrac{6}{3}\right)=(-4, 2)

सम-त्रिभाजन बिंदु (−1,0)(-1, 0) और (−4,2)(-4, 2) हैं।

टिप्पणी: Q के निर्देशांक उसे PB का मध्य-बिंदु मानकर, मध्य-बिंदु सूत्र से भी ज्ञात किए जा सकते
हैं: (−1−72,0+42)=(−4,2)\left(\dfrac{-1-7}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)=(-4, 2)।

उदाहरण 9 (अक्ष द्वारा विभाजन)

प्र. y-अक्ष, बिंदुओं (5,−6)(5, -6) और (−1,−4)(-1, -4) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस
अनुपात में बाँटता है? विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए अनुपात k:1k:1 है। y-अक्ष पर भुज (x-निर्देशांक) सदा शून्य होता
है:

k(−1)+1(5)k+1=0⇒−k+5=0⇒k=5\dfrac{k(-1)+1(5)}{k+1}=0 \Rightarrow -k+5=0 \Rightarrow k=5

अनुपात 5:15:1 है। y-निर्देशांक:
y=5(−4)+1(−6)5+1=−266=−133y=\dfrac{5(-4)+1(-6)}{5+1}=\dfrac{-26}{6}=-\dfrac{13}{3}, अतः विभाजन बिंदु
(0, −133)\left(0,\ -\dfrac{13}{3}\right) है।

उदाहरण 10 (समांतर चतुर्भुज)

प्र. यदि बिंदु A(6,1)A(6, 1), B(8,2)B(8, 2), C(9,4)C(9, 4) और D(p,3)D(p, 3) (इसी क्रम में)
एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो pp का मान ज्ञात कीजिए।

दिया है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

ज्ञात करना है

pp का मान

हल

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए AC के मध्यबिंदु
के निर्देशांक = BD के मध्यबिंदु के निर्देशांक:

(6+92, 1+42)=(8+p2, 2+32)\left(\dfrac{6+9}{2},\ \dfrac{1+4}{2}\right)=\left(\dfrac{8+p}{2},\ \dfrac{2+3}{2}\right)

(152, 52)=(8+p2, 52)⇒152=8+p2⇒\left(\dfrac{15}{2},\ \dfrac52\right)=\left(\dfrac{8+p}{2},\ \dfrac52\right) \Rightarrow \dfrac{15}{2}=\dfrac{8+p}{2} \Rightarrow
p=7p=7

पाठकों के लिए विशेष (पुस्तक से)

ऊपर का विभाजन सूत्र आंतरिक विभाजन (internal division) के लिए है, यानी P
रेखाखंड AB के बीच में स्थित है और PA:PB=m1:m2PA:PB=m_1:m_2। अगर P, A और B के बीच में नहीं बल्कि
रेखा AB पर लेकिन रेखाखंड AB के बाहर स्थित हो, और फिर भी PA:PB=m1:m2PA:PB=m_1:m_2 हो, तो कहा
जाता है कि P, AB को बाह्यतः विभाजित (externally) करता है। इस स्थिति के लिए
विभाजन सूत्र आप उच्चतर कक्षाओं में पढ़ेंगे; इस अध्याय में इसकी परिभाषा दी गई है, सूत्र
नहीं।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें
  • क्या मैं दूरी सूत्र का पूरा प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय से लिख सकता हूँ?
  • क्या मैं दूरी सूत्र से त्रिभुज/चतुर्भुज का प्रकार पहचान सकता हूँ, और संरेखता
    (दूरियों का योग विधि से) जाँच सकता हूँ?
  • क्या मैं विभाजन सूत्र का प्रमाण अध्याय 6 की AA समरूपता कसौटी से समझा सकता हूँ?
  • क्या मुझे मध्यबिंदु सूत्र, विभाजन सूत्र की विशेष स्थिति के रूप में याद है?
  • क्या मैं जानता हूँ कि निर्देशांकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस पुस्तक के अध्याय 7
    में नहीं है और CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में भी नहीं है?
सभी परिभाषाएँ एक जगह
भुज (Abscissa)किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी, यानी उसका x-निर्देशांक
कोटि (Ordinate)किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी, यानी उसका y-निर्देशांक
दूरी सूत्रPQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
संरेखी बिंदुतीन बिंदु जो एक ही सरल रेखा पर स्थित हों
विभाजन सूत्रP(m1x2+m2x1m1+m2,m1y2+m2y1m1+m2)P\left(\dfrac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\dfrac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\right), ABAB को m1:m2m_1:m_2 में आंतरिक विभाजन
मध्यबिंदु सूत्र(x1+x22,y1+y22)\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right), विभाजन सूत्र में अनुपात 1:1
सारांश और त्वरित दोहराव: परीक्षा से एक रात पहले यही पढ़ें
  • P(x1,y1)P(x_1,y_1) और Q(x2,y2)Q(x_2,y_2) के बीच दूरी =(x2−x1)2+(y2−y1)2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय से
  • मूलबिंदु से बिंदु P(x,y)P(x,y) की दूरी =x2+y2=\sqrt{x^2+y^2}
  • दूरी सूत्र से त्रिभुज/चतुर्भुज का प्रकार पहचानें; तीन बिंदु संरेखी हैं यदि दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर हो
  • A(x1,y1)A(x_1,y_1), B(x2,y2)B(x_2,y_2) को m1:m2m_1:m_2 में बाँटने वाला बिंदु (m1x2+m2x1m1+m2,m1y2+m2y1m1+m2)\left(\dfrac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\dfrac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\right), प्रमाण AA समरूपता (अध्याय 6) से
  • मध्यबिंदु =(x1+x22,y1+y22)=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right), विभाजन सूत्र में अनुपात 1:1 रखने पर
  • बाह्य विभाजन की परिभाषा दी गई है (P रेखाखंड AB के बाहर, फिर भी PA:PB=m1:m2PA:PB=m_1:m_2); इसका सूत्र उच्चतर कक्षाओं में
  • निर्देशांकों से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस पुस्तक के अध्याय 7 में नहीं है, और CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम (इकाई III) में केवल दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र (आंतरिक विभाजन) हैं
इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री
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