कक्षा 10 गणित अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. भुज (abscissa) की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उस बिंदु का भुज (x-निर्देशांक) कहलाती है।

प्र. कोटि (ordinate) की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी उस बिंदु का कोटि (y-निर्देशांक) कहलाती है।

प्र. दूरी सूत्र लिखिए।

उत्तर: $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, जहाँ $P(x_1,y_1)$ और $Q(x_2,y_2)$ दिए हुए बिंदु हैं।

प्र. बिंदु $(x, y)$ की मूलबिंदु से दूरी का सूत्र लिखिए।

उत्तर: $OP=\sqrt{x^2+y^2}$।

प्र. मध्यबिंदु सूत्र लिखिए।

उत्तर: बिंदुओं $A(x_1,y_1)$ और $B(x_2,y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ होते हैं।

प्र. बिंदु $(4, 0)$ और $(9, 0)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों बिंदु x-अक्ष पर हैं, अतः दूरी $=9-4=5$ मात्रक।

प्र. बिंदु $(0, -3)$ और $(0, 7)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों बिंदु y-अक्ष पर हैं, अतः दूरी $=7-(-3)=10$ मात्रक।

प्र. y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक किस रूप के होते हैं?

उत्तर: y-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ के रूप के होते हैं, क्योंकि भुज शून्य होता है।

प्र. बिंदु $(1, 1)$ और $(4, 5)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $PQ=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ मात्रक।

प्र. बिंदु $(-3,-2)$ और $(-1,4)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $PQ=\sqrt{(-1+3)^2+(4+2)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ मात्रक।

प्र. बिंदु $(0,0)$ और $(-8,-15)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $PQ=\sqrt{(-8)^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ मात्रक।

प्र. बिंदुओं $(3,-2)$ और $(-5,8)$ के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मध्यबिंदु $=\left(\dfrac{3-5}{2},\dfrac{-2+8}{2}\right)=(-1,3)$।

प्र. बिंदुओं $(1,-2)$ और $(4,7)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x=\dfrac{1(4)+2(1)}{1+2}=2$, $y=\dfrac{1(7)+2(-2)}{1+2}=1$, अतः बिंदु $(2,1)$।

प्र. बिंदु (7, −3) और (3, −6) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। इन बिंदुओं के बारे में क्या कहा जा सकता है यदि तीसरा बिंदु (11, 0) भी दिया हो?

उत्तर: $PQ=\sqrt{(3-7)^2+(-6+3)^2}=\sqrt{16+9}=5$ मात्रक। यदि तीसरा बिंदु $(11,0)$ जोड़ा जाए, तो $QR=\sqrt{(11-3)^2+(0+6)^2}=\sqrt{64+36}=10$ और $PR=\sqrt{(11-7)^2+(0+3)^2}=\sqrt{16+9}=5$; $PQ+PR=5+5=10=QR$, अतः P, Q, R संरेखी हैं।

प्र. क्या बिंदु $(4,4)$, $(3,5)$ और $(-1,-1)$ एक त्रिभुज बनाते हैं?

उत्तर: $AB=\sqrt{1+1}=\sqrt2$, $BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$, $AC=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$। चूँकि $AB+AC=\sqrt2+\sqrt{50}\approx1.41+7.07=8.48\ne\sqrt{52}\approx7.21$ और कोई भी जोड़ी तीसरी के बराबर नहीं, अतः किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी से बड़ा है, ये तीनों बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।

प्र. अनुपात $1:1$ के लिए विभाजन सूत्र से मध्यबिंदु सूत्र कैसे प्राप्त होता है, दिखाइए।

उत्तर: विभाजन सूत्र में $m_1=m_2=1$ रखने पर $x=\dfrac{1\cdot x_2+1\cdot x_1}{1+1}=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ और इसी तरह $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}$ मिलता है, यही मध्यबिंदु सूत्र है।

प्र. दिखाइए कि बिंदु $(5,-2)$, $(6,4)$ और $(7,-2)$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर: $AB=\sqrt{(6-5)^2+(4+2)^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$; $BC=\sqrt{(7-6)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$; $AC=\sqrt{(7-5)^2+(-2+2)^2}=\sqrt{4}=2$। चूँकि $AB=BC=\sqrt{37}$, अतः $\triangle ABC$ समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्र. $x$ और $y$ में ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु $(x,y)$ बिंदुओं $(3,6)$ और $(-3,4)$ से समदूरस्थ हो।

उत्तर: $AP=BP \Rightarrow AP^2=BP^2$: $(x-3)^2+(y-6)^2=(x+3)^2+(y-4)^2$। विस्तार करने पर $x^2-6x+9+y^2-12y+36=x^2+6x+9+y^2-8y+16$, यानी $-6x-12y+45=6x-8y+25$, अर्थात् $-12x-4y+20=0$, यानी $3x+y=5$।

प्र. बिंदु $A(-1,-2)$, $B(1,0)$, $C(-1,2)$ और $D(-3,0)$ द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार बताइए, कारण सहित।

उत्तर: $AB=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$, $BC=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$, $CD=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$, $DA=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ (चारों भुजाएँ बराबर)। विकर्ण $AC=\sqrt{0+16}=4$ और $BD=\sqrt{16+0}=4$ (बराबर)। चारों भुजाएँ बराबर और विकर्ण भी बराबर होने से ABCD एक वर्ग है।

प्र. किसी रेखाखंड AB के सम-त्रिभाजन बिंदु P और Q ज्ञात करने की विधि समझाइए, जहाँ $A(2,-2)$ और $B(-7,4)$ हैं।

उत्तर: सम-त्रिभाजन बिंदु रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटते हैं, अर्थात् $AP=PQ=QB$। इसलिए P, AB को $1:2$ में बाँटता है: $P=\left(\dfrac{1(-7)+2(2)}{3},\dfrac{1(4)+2(-2)}{3}\right)=(-1,0)$। और Q, AB को $2:1$ में बाँटता है (या PB का मध्यबिंदु है): $Q=\left(\dfrac{2(-7)+1(2)}{3},\dfrac{2(4)+1(-2)}{3}\right)=(-4,2)$।

प्र. बिंदु $(-4,6)$, बिंदुओं $A(-6,10)$ और $B(3,-8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है, दोनों विधियों ($m_1:m_2$ और $k:1$) से दिखाइए।

उत्तर: मान लीजिए अनुपात $m_1:m_2$ है। x-निर्देशांक से: $-4=\dfrac{3m_1-6m_2}{m_1+m_2}\Rightarrow -4m_1-4m_2=3m_1-6m_2\Rightarrow 7m_1=2m_2\Rightarrow m_1:m_2=2:7$। वैकल्पिक रूप से, $k:1$ मानकर: $-4=\dfrac{3k-6}{k+1}\Rightarrow -4k-4=3k-6\Rightarrow 7k=2\Rightarrow k=\dfrac27$, यानी अनुपात $\dfrac27:1=2:7$। दोनों विधियों से अनुपात 2 : 7 मिलता है।

प्र. बिंदु $A(6,1)$, $B(8,2)$, $C(9,4)$ और $D(p,3)$ (इसी क्रम में) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए AC के मध्यबिंदु के निर्देशांक = BD के मध्यबिंदु के निर्देशांक: $\left(\dfrac{6+9}{2},\dfrac{1+4}{2}\right)=\left(\dfrac{8+p}{2},\dfrac{2+3}{2}\right)$, यानी $\dfrac{15}{2}=\dfrac{8+p}{2}$, अतः $p=7$।

प्र. y-अक्ष, बिंदुओं $(5,-6)$ और $(-1,-4)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को, $(5,-6)$ से $(-1,-4)$ की ओर, किस अनुपात में बाँटता है? विभाजन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए अनुपात $k:1$ है। y-अक्ष पर भुज सदा शून्य होता है: $\dfrac{k(-1)+1(5)}{k+1}=0\Rightarrow -k+5=0\Rightarrow k=5$, अतः अनुपात $5:1$ है। y-निर्देशांक $y=\dfrac{5(-4)+1(-6)}{5+1}=\dfrac{-26}{6}=-\dfrac{13}{3}$, अतः विभाजन बिंदु $\left(0,-\dfrac{13}{3}\right)$ है।

प्र. क्या बिंदु $(1,5)$, $(2,3)$ और $(-2,-11)$ संरेखी हैं? दूरी सूत्र से जाँच कीजिए।

उत्तर: $AB=\sqrt{(2-1)^2+(3-5)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5$; $BC=\sqrt{(-2-2)^2+(-11-3)^2}=\sqrt{16+196}=\sqrt{212}$; $AC=\sqrt{(-2-1)^2+(-11-5)^2}=\sqrt{9+256}=\sqrt{265}$। चूँकि $AB+BC=\sqrt5+\sqrt{212}\approx2.24+14.56=16.80\ne\sqrt{265}\approx16.28$, और कोई भी जोड़ी तीसरी दूरी के बराबर नहीं है, अतः ये तीनों बिंदु संरेखी नहीं हैं।

प्र. दूरी सूत्र $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ को पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $P(x_1,y_1)$ और $Q(x_2,y_2)$ दो बिंदु हैं। P और Q से x-अक्ष पर क्रमशः लंब PR और QS खींचिए, और P से QS पर एक और लंब खींचकर उसे T पर मिलाइए। तब $OR=x_1$, $OS=x_2$, इसलिए $RS=x_2-x_1=PT$। साथ ही $SQ=y_2$, $ST=PR=y_1$, इसलिए $QT=y_2-y_1$। अब समकोण त्रिभुज PTQ में पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर $PQ^2=PT^2+QT^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$। चूँकि दूरी सदा ऋणेतर होती है, केवल धनात्मक वर्गमूल लेने पर $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ मिलता है, जो दूरी सूत्र है। मूलबिंदु से दूरी के लिए $x_1=y_1=0$ रखने पर $OP=\sqrt{x^2+y^2}$ मिलता है।

प्र. विभाजन सूत्र को समरूप त्रिभुजों (अध्याय 6) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए $A(x_1,y_1)$ और $B(x_2,y_2)$ दो बिंदु हैं, और $P(x,y)$ रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से $m_1:m_2$ के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात् $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{m_1}{m_2}$। A, P, B से x-अक्ष पर क्रमशः लंब AR, PS, BT खींचिए, और A से PS पर तथा P से BT पर x-अक्ष के समांतर रेखाएँ AQ और PC खींचिए। तब $\angle AQP=\angle PCB=90°$ और $\angle PAQ=\angle BPC$ (संगत कोण: $AQ \parallel PC$, क्योंकि दोनों x-अक्ष के समांतर हैं, और AB इन्हें काटने वाली तिर्यक रेखा है), इसलिए AA समरूपता कसौटी से $\triangle PAQ \sim \triangle BPC$। अतः $\dfrac{PA}{BP}=\dfrac{AQ}{PC}=\dfrac{PQ}{BC}$। अब $AQ=x-x_1$, $PC=x_2-x$, $PQ=y-y_1$, $BC=y_2-y$ रखने पर $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x}$, जिसे हल करने पर $x=\dfrac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}$ मिलता है, और इसी तरह $y=\dfrac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}$ मिलता है। अनुपात $1:1$ रखने पर मध्यबिंदु सूत्र $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ मिलता है।

प्र. दिखाइए कि बिंदु $A(1,7)$, $B(4,2)$, $C(-1,-1)$ और $D(-4,4)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं, दो अलग-अलग विधियों से।

उत्तर: विधि 1 (सभी भुजाएँ और विकर्ण): $AB=\sqrt{(1-4)^2+(7-2)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$; $BC=\sqrt{(4+1)^2+(2+1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$; $CD=\sqrt{(-1+4)^2+(-1-4)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$; $DA=\sqrt{(1+4)^2+(7-4)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$; $AC=\sqrt{(1+1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$; $BD=\sqrt{(4+4)^2+(2-4)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$। चूँकि $AB=BC=CD=DA$ और $AC=BD$, अतः ABCD एक वर्ग है। विधि 2 (एक विकर्ण + पाइथागोरस का विलोम): $AD^2+DC^2=34+34=68=AC^2$, अतः पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से $\angle D=90°$। चारों भुजाएँ बराबर और एक कोण $90°$ होने पर चतुर्भुज वर्ग होता है, इसलिए ABCD एक वर्ग है।

प्र. एक शहर B, दूसरे शहर A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर की ओर है। A को मूलबिंदु मानकर दोनों शहरों के बीच सीधी दूरी ज्ञात कीजिए। साथ ही, एक टेलीफोन कंपनी A और B के बीच एक प्रसारण टॉवर P इस तरह लगाना चाहती है कि टॉवर की B से दूरी उसकी A से दूरी की दुगुनी हो, P के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: A को मूलबिंदु $(0,0)$ मानकर और 1 km को 1 मात्रक मानकर, B के निर्देशांक $(36,15)$ होंगे (36 km पूर्व यानी x-दिशा में, 15 km उत्तर यानी y-दिशा में)। दूरी सूत्र से $AB=\sqrt{36^2+15^2}=\sqrt{1296+225}=\sqrt{1521}=39$ km। टॉवर P की B से दूरी, A से दूरी की दुगुनी होने का अर्थ है P, AB को $1:2$ के अनुपात में बाँटता है (क्योंकि $PA:PB=1:2$)। विभाजन सूत्र से $P=\left(\dfrac{1(36)+2(0)}{1+2},\dfrac{1(15)+2(0)}{1+2}\right)=\left(\dfrac{36}{3},\dfrac{15}{3}\right)=(12,5)$। अतः दोनों शहरों के बीच दूरी 39 km है, और टॉवर के निर्देशांक $(12,5)$ हैं।