Class 10 Mathematics Chapter 9 Notes in Hindi: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

Contents hide

1दृष्टि-रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण

2शब्द-समस्या से समकोण त्रिभुज कैसे बनाएँ

2.1 सही अनुपात कैसे चुनें

2.2 मानक कोणों की सारणी (अध्याय 8 से पुनरावृत्ति)

3हल किए गए उदाहरण

3.1 उदाहरण 1: मीनार की ऊँचाई (एकल कोण)

3.2 उदाहरण 2: खंभे पर सीढ़ी (आंशिक ऊँचाई तक पहुँचना)

3.3 उदाहरण 3: चिमनी (प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई सहित)

3.4 उदाहरण 4: भवन और ध्वजदंड (दो त्रिभुज, एक बिंदु से)

3.5 उदाहरण 5: छाया की लंबाई (सूर्य के दो उन्नतांश)

3.6 उदाहरण 6: दो भवन (अवनमन कोण, एकांतर कोण का प्रयोग)

3.7 उदाहरण 7: पुल और नदी की चौड़ाई

4सारांश

इस अध्याय में आप सीखेंगे

दृष्टि-रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण को पहचानना और सही ढंग से परिभाषित करना
किसी भी शब्द-समस्या (मीनार, भवन, पतंग, सीढ़ी) से सही समकोण त्रिभुज की आकृति बनाना
दी गई जानकारी के अनुसार सही त्रिकोणमितीय अनुपात (tan, cot, sin, cosec) चुनना
दो त्रिभुज वाली कठिन समस्याओं (ध्वजदंड, दो भवन, नदी की चौड़ाई) को चरणबद्ध हल करना
मानक कोणों (30°, 45°, 60°) के अनुपातों का बिना भूले सही प्रयोग करना

दृष्टि-रेखाउन्नयन कोणअवनमन कोणक्षैतिज रेखासमकोण त्रिभुज

1दृष्टि-रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण

अध्याय 8 में आपने त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan आदि) पढ़े थे। इस अध्याय में
हम इन्हीं अनुपातों का प्रयोग करके, बिना सीधे नापे, किसी मीनार, भवन, पेड़ या पतंग की
ऊँचाई और दो वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना सीखेंगे। इसके लिए पहले तीन नए शब्द
समझने ज़रूरी हैं।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

दृष्टि-रेखा (Line of sight) प्रेक्षक (देखने वाले) की आँख से उस वस्तु के बिंदु
तक खींची गई रेखा होती है, जिसे वह देख रहा है।

आकृति 9.2: उन्नयन कोण: प्रेक्षक सिर ऊपर उठाकर मीनार के शिखर को देखता है; कोण आँख के स्तर की क्षैतिज रेखा से मापा जाता है — **आकृति 9.2:** उन्नयन कोण: प्रेक्षक सिर ऊपर उठाकर मीनार के शिखर को देखता है; कोण आँख के स्तर की क्षैतिज रेखा से मापा जाता है

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

उन्नयन कोण (Angle of elevation) वह कोण है जो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा
के बीच तब बनता है जब देखी जा रही वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर हो, यानी वस्तु को देखने
के लिए हमें अपना सिर ऊपर उठाना पड़े।

आकृति 9.3: अवनमन कोण: बालकनी से सिर नीचे झुकाकर गमले को देखा जा रहा है; कोण आँख की क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर मापा जाता है — **आकृति 9.3:** अवनमन कोण: बालकनी से सिर नीचे झुकाकर गमले को देखा जा रहा है; कोण आँख की क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर मापा जाता है

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

अवनमन कोण (Angle of depression) वह कोण है जो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा
के बीच तब बनता है जब देखी जा रही वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे हो, यानी वस्तु को देखने
के लिए हमें अपना सिर नीचे झुकाना पड़े।

आम ग़लती

कोण को ज़मीन से नापना ग़लत है। उन्नयन और अवनमन दोनों कोण दृष्टि-रेखा
और क्षैतिज रेखा के बीच मापे जाते हैं। यह क्षैतिज रेखा प्रेक्षक की आँख से होकर
जाती है; जब प्रेक्षक की ऊँचाई नहीं दी गई हो (नगण्य मानी जाए), तभी यह भूमि-स्तर पर होती है।

याद रखने वाली बात

अगर प्रेक्षक बिंदु A से वस्तु बिंदु B का उन्नयन कोण θ है, तो ठीक उसी रेखा AB पर,
B से A का अवनमन कोण भी θ के बराबर होता है, क्योंकि दोनों एक ही तिर्यक रेखा के
एकांतर कोण (alternate angles) हैं, और दोनों क्षैतिज रेखाएँ आपस में समांतर होती हैं।

2शब्द-समस्या से समकोण त्रिभुज कैसे बनाएँ

इस अध्याय के प्रश्न ज़्यादातर शब्दों में दिए जाते हैं। कुछ प्रश्नों के साथ आकृति भी दी
गई है (जैसे प्रश्नावली 9.1 के प्रश्न 1, 11 और 14), बाकी में आकृति स्वयं बनानी होती है।
पहला और सबसे ज़रूरी कदम है, प्रश्न को पढ़कर एक साफ़ समकोण त्रिभुज बनाना।

चरण 1प्रश्न में वस्तु (मीनार/भवन/पतंग), प्रेक्षक का बिंदु और ज़मीन को पहचानें

↓

चरण 2वस्तु को ज़मीन से लंबवत (ऊर्ध्वाधर) रेखा से दर्शाएँ। समकोण वहाँ बनता है जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजा और क्षैतिज भुजा मिलती हैं; यह अक्सर वस्तु का पाद-बिंदु होता है (उदाहरण 1, 2), पर उदाहरण 3 में यह चिमनी पर बिंदु E पर बनता है

↓

चरण 3प्रेक्षक से वस्तु के शिखर तक दृष्टि-रेखा (कर्ण) खींचें, दिया गया कोण अंकित करें

↓

चरण 4दी गई भुजा और ज्ञात करनी वाली भुजा के अनुसार सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनकर समीकरण बनाएँ

↓

चरण 5यदि प्रेक्षक की ऊँचाई दी हो, तो त्रिकोणमिति से निकले भाग में उसकी ऊँचाई जोड़ें (पूरी ऊँचाई = आँख के स्तर से ऊपर का भाग + प्रेक्षक की ऊँचाई)

परीक्षा संकेत

“ऊँचाई और दूरी” के प्रश्नों में आकृति बनाने से सही समकोण त्रिभुज साफ़ दिखता है। बिना
आकृति बनाए सीधे समीकरण लिखना शुरू न करें, भले ही उत्तर मन में आ जाए।

2.1 सही अनुपात कैसे चुनें

दी गई भुजाएँ	प्रयोग करें	क्यों
सम्मुख भुजा (लंब) + आधार भुजा	$\tan\theta$ या $\cot\theta$	दोनों भुजाएँ लंब और आधार से जुड़ी हैं
सम्मुख भुजा (लंब) + कर्ण	$\sin\theta$ या $\text{cosec}\,\theta$	दोनों भुजाएँ लंब और कर्ण से जुड़ी हैं
आधार भुजा + कर्ण	$\cos\theta$ या $\sec\theta$	दोनों भुजाएँ आधार और कर्ण से जुड़ी हैं

2.2 मानक कोणों की सारणी (अध्याय 8 से पुनरावृत्ति)

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$	अपरिभाषित

इस अध्याय की लगभग हर समस्या 30°, 45° या 60° पर ही आधारित है,
इसलिए यह सारणी बिना देखे याद होनी चाहिए ( $\sqrt3 \approx 1.732$ , $\sqrt2 \approx 1.414$ प्रयोग करें जब तक प्रश्न में कोई और मान न दिया हो)।

3हल किए गए उदाहरण

NCERT की किताब में दिए गए सभी सात उदाहरण नीचे हल किए गए हैं, हर एक की अपनी
आकृति के साथ, ताकि आकृति बनाने का अभ्यास हर उदाहरण से हो सके।

3.1 उदाहरण 1: मीनार की ऊँचाई (एकल कोण)

प्रश्न

प्र. एक मीनार ज़मीन पर लंबवत खड़ी है। ज़मीन के एक बिंदु से, जो मीनार के
पाद से 15 मी दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° पाया जाता है। मीनार की
ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

आकृति 9.4 (उदाहरण 1): मीनार AB, B पर समकोण; बिंदु C से उन्नयन कोण 60°, CB = 15 मी — **आकृति 9.4 (उदाहरण 1):** मीनार AB, B पर समकोण; बिंदु C से उन्नयन कोण 60°, CB = 15 मी

दिया है

$BC = 15$ मी, $\angle ACB = 60°$

ज्ञात करना है

मीनार की ऊँचाई $AB$

हल

समकोण $\triangle ACB$ में, $B$ पर समकोण है। $AB$ (सम्मुख) और $BC$ (आधार)
दोनों जुड़ी भुजाएँ हैं, इसलिए $\tan 60°$ का प्रयोग करेंगे।

$\tan 60° = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt3 = \dfrac{AB}{15} \Rightarrow AB = 15\sqrt3$

अतः मीनार की ऊँचाई $15\sqrt3$ मी है, यानी लगभग 25.98 मी।

3.2 उदाहरण 2: खंभे पर सीढ़ी (आंशिक ऊँचाई तक पहुँचना)

प्रश्न

प्र. एक बिजली मिस्त्री को एक 5 मी ऊँचे खंभे पर आ गई ख़राबी की मरम्मत करनी
है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंभे के शिखर से 1.3 मी नीचे एक बिंदु तक वह पहुँचना
चाहती है। यहाँ तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि
क्षैतिज से 60° के कोण से झुकाने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाए? और यह भी बताइए
कि खंभे का पाद-बिंदु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद-बिंदु से होना चाहिए? (यहाँ आप
$\sqrt3 = 1.73$ ले सकते हैं।)

आकृति 9.5 (उदाहरण 2): 5 मी ऊँचा खंभा AD (A शिखर, D पाद); बिंदु B शिखर से 1.3 मी नीचे, इसलिए BD = 3.7 मी; सीढ़ी BC भूमि से 60° पर — **आकृति 9.5 (उदाहरण 2):** 5 मी ऊँचा खंभा AD (A शिखर, D पाद); बिंदु B शिखर से 1.3 मी नीचे, इसलिए BD = 3.7 मी; सीढ़ी BC भूमि से 60° पर

दिया है

$AD = 5$ मी, $BD = 5 – 1.3 = 3.7$ मी, कोण $= 60°$

ज्ञात करना है

सीढ़ी $BC$ और पाद की दूरी $DC$

हल

$BC$ कर्ण है और $BD$ सम्मुख भुजा, इसलिए $\sin 60°$ प्रयोग करेंगे।

$\sin 60° = \dfrac{BD}{BC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{3.7}{BC} \Rightarrow BC = \dfrac{3.7 \times 2}{\sqrt3} \approx 4.28$ मी

अब $DC$ के लिए $\cot 60° = \dfrac{DC}{BD} \Rightarrow DC = \dfrac{3.7}{\sqrt3} \approx 2.14$ मी

अतः सीढ़ी की लंबाई लगभग 4.28 मी होनी चाहिए, और उसका
पाद खंभे से लगभग 2.14 मी दूर रखा जाए।

3.3 उदाहरण 3: चिमनी (प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई सहित)

प्रश्न

प्र. 1.5 मी लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मी की दूरी पर है। उसकी आँखों
से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।

आकृति 9.6 (उदाहरण 3): चिमनी AB, प्रेक्षक CD (ऊँचाई 1.5 मी), DE भूमि के समांतर आँख के स्तर पर, ∠ADE = 45° — **आकृति 9.6 (उदाहरण 3):** चिमनी AB, प्रेक्षक CD (ऊँचाई 1.5 मी), DE भूमि के समांतर आँख के स्तर पर, ∠ADE = 45°

दिया है

$DE = CB = 28.5$ मी, आँख की ऊँचाई $CD = 1.5$ मी, $\angle ADE = 45°$

ज्ञात करना है

चिमनी की पूरी ऊँचाई $AB$

हल

$\tan 45° = \dfrac{AE}{DE} \Rightarrow 1 = \dfrac{AE}{28.5} \Rightarrow AE = 28.5$ मी

चिमनी की पूरी ऊँचाई $AB = AE + BE = 28.5 + 1.5 = 30$ मी (चूँकि $BE = CD = 1.5$ मी, प्रेक्षक की ऊँचाई)

अतः चिमनी की ऊँचाई 30 मी है।

परीक्षा संकेत

जब प्रश्न में प्रेक्षक की अपनी ऊँचाई दी हो, तो पहले त्रिकोणमिति से केवल आँख की
ऊँचाई से ऊपर का भाग निकालें, फिर अंत में प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ना न भूलें
(उदाहरण 3 में $28.5 + 1.5 = 30$ मी)।

3.4 उदाहरण 4: भवन और ध्वजदंड (दो त्रिभुज, एक बिंदु से)

प्रश्न

प्र. भूमि के एक बिंदु P से एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30°
है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण 45°
है। ध्वजदंड की लंबाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। (यहाँ आप $\sqrt3 = 1.732$
ले सकते हैं।)

आकृति 9.7 (उदाहरण 4): भवन AB (10 मी), ध्वजदंड BD; बिंदु P से भवन के शिखर B का उन्नयन कोण 30°, ध्वजदंड के शिखर D का 45° — **आकृति 9.7 (उदाहरण 4):** भवन AB (10 मी), ध्वजदंड BD; बिंदु P से भवन के शिखर B का उन्नयन कोण 30°, ध्वजदंड के शिखर D का 45°

दिया है

$AB = 10$ मी, $\angle APB = 30°$ , $\angle APD = 45°$

ज्ञात करना है

ध्वजदंड की लंबाई $BD$ और दूरी $AP$

हल

पहले $\triangle PAB$ में: $\tan 30° = \dfrac{AB}{AP} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{10}{AP} \Rightarrow AP = 10\sqrt3 \approx 17.32$ मी

अब मान लीजिए $DB = x$ मी, तो $AD = 10 + x$ । $\triangle PAD$ में:
$\tan 45° = \dfrac{AD}{AP} \Rightarrow 1 = \dfrac{10+x}{10\sqrt3} \Rightarrow x = 10(\sqrt3 – 1) \approx 7.32$ मी

अतः ध्वजदंड की लंबाई लगभग 7.32 मी है, और भवन की दूरी
$10\sqrt3$ मी है, यानी लगभग 17.32 मी।

3.5 उदाहरण 5: छाया की लंबाई (सूर्य के दो उन्नतांश)

प्रश्न

प्र. एक समतल ज़मीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मी अधिक लंबी हो
जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश (altitude) 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की
ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (सूर्य का उन्नतांश यहाँ छाया के सिरे से मीनार के शिखर का उन्नयन
कोण ही है।)

आकृति 9.8 (उदाहरण 5): मीनार AB; सूर्य का उन्नतांश 60° होने पर छाया BC = x, 30° होने पर छाया BD = x + 40 मी — **आकृति 9.8 (उदाहरण 5):** मीनार AB; सूर्य का उन्नतांश 60° होने पर छाया BC = x, 30° होने पर छाया BD = x + 40 मी

दिया है

$AB = h$ , $BC = x$ (60° पर छाया), $BD = x + 40$ (30° पर छाया)

ज्ञात करना है

मीनार की ऊँचाई $h$

हल

$\triangle ABC$ में: $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt3$ … (1)

$\triangle ABD$ में: $\tan 30° = \dfrac{h}{x+40} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{h}{x+40}$ … (2)

(1) को (2) में रखने पर: $\sqrt3(x\sqrt3) = x + 40 \Rightarrow 3x = x + 40 \Rightarrow x = 20$

अतः $h = 20\sqrt3$ । मीनार की ऊँचाई $20\sqrt3$ मी है, यानी लगभग 34.64 मी।

3.6 उदाहरण 6: दो भवन (अवनमन कोण, एकांतर कोण का प्रयोग)

प्रश्न

प्र. एक बहुमंजिला भवन के शिखर से एक 8 मी ऊँचे भवन के शिखर और पाद का
अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° है। बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दोनों भवनों के बीच
की दूरी ज्ञात कीजिए।

आकृति 9.9 (उदाहरण 6): बहुमंजिला भवन PC और 8 मी ऊँचा भवन AB (B शिखर, A पाद); P से B का अवनमन कोण 30° और A का 45°, जो एकांतर कोण ∠PBD और ∠PAC के बराबर हैं — **आकृति 9.9 (उदाहरण 6):** बहुमंजिला भवन PC और 8 मी ऊँचा भवन AB (B शिखर, A पाद); P से B का अवनमन कोण 30° और A का 45°, जो एकांतर कोण ∠PBD और ∠PAC के बराबर हैं

दिया है

$AB = 8$ मी ( $B$ शिखर, $A$ पाद), $P$ से $B$ का अवनमन कोण $30°$ , $P$ से $A$ का अवनमन कोण $45°$

ज्ञात करना है

बहुमंजिला भवन की ऊँचाई $PC$ और दूरी $AC$

हल

$PB$ , समांतर रेखाओं $PQ$ और $BD$ की एक तिर्यक-छेदी रेखा है, इसलिए एकांतर कोण
से $\angle PBD = 30°$ ; इसी तरह $\angle PAC = 45°$ ।

समकोण $\triangle PBD$ में: $\tan 30° = \dfrac{PD}{BD} \Rightarrow BD = PD\sqrt3$

समकोण $\triangle PAC$ में: $\tan 45° = \dfrac{PC}{AC} \Rightarrow PC = AC$ , और चूँकि $AC = BD$ , $DC = AB = 8$ मी है, इसलिए $PD + 8 = PD\sqrt3$

$PD(\sqrt3 – 1) = 8 \Rightarrow PD = \dfrac{8}{\sqrt3-1} = 4(\sqrt3+1) \approx 10.93$ मी

ऊँचाई $PC = PD + 8 = 4(\sqrt3+3) \approx 18.93$ मी, और दूरी $AC$ भी
$4(\sqrt3+3) \approx 18.93$ मी है (क्योंकि $PC = AC$ )।

अतः बहुमंजिला भवन की ऊँचाई और दोनों भवनों के बीच की दूरी, दोनों $4(\sqrt3+3)$
मी हैं, यानी लगभग 18.93 मी दोनों।

3.7 उदाहरण 7: पुल और नदी की चौड़ाई

प्रश्न

प्र. एक नदी पर बने पुल के एक बिंदु से, नदी के दोनों किनारों का अवनमन
कोण क्रमशः 30° और 45° है। यदि पुल दोनों किनारों से 3 मी ऊँचा है, तो नदी की
चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

आकृति 9.10 (उदाहरण 7): पुल पर बिंदु P (किनारों से 3 मी ऊँचा); दोनों किनारों A व B के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° — **आकृति 9.10 (उदाहरण 7):** पुल पर बिंदु P (किनारों से 3 मी ऊँचा); दोनों किनारों A व B के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45°

दिया है

$DP = 3$ मी, $\angle A = 30°$ , $\angle B = 45°$

ज्ञात करना है

नदी की चौड़ाई $AB$

हल

समकोण $\triangle APD$ में: $\tan 30° = \dfrac{PD}{AD} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{3}{AD} \Rightarrow AD = 3\sqrt3$ मी

समकोण $\triangle BPD$ में: $\tan 45° = \dfrac{PD}{BD} \Rightarrow 1 = \dfrac{3}{BD} \Rightarrow BD = 3$ मी

$AB = AD + DB = 3\sqrt3 + 3 = 3(\sqrt3 + 1)$

अतः नदी की चौड़ाई $3(\sqrt3+1)$ मी है, यानी लगभग 8.20 मी।

याद रखने की तरकीब

दिया-ज्ञात-अनुपात-हल

हर उदाहरण एक ही क्रम में हल हुआ है: पहले आकृति, फिर दिया है/ज्ञात करना है,
फिर सही अनुपात चुनना, फिर समीकरण हल करना। यही क्रम परीक्षा में भी अपनाएँ, चाहे
प्रश्न कितना भी नया या कठिन क्यों न लगे।

4सारांश

त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लंबाई या दो सुदूर
वस्तुओं के बीच की दूरी ज्ञात की जा सकती है।

NCERT पुस्तक, अध्याय 9 का सारांश (बिंदु 2)

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से पहले यही पढ़ें

दृष्टि-रेखा = आँख से वस्तु के बिंदु तक की रेखा
उन्नयन कोण = वस्तु ऊपर हो, सिर ऊपर उठाना पड़े
अवनमन कोण = वस्तु नीचे हो, सिर नीचे झुकाना पड़े
दोनों कोण दृष्टि-रेखा और (आँख से होकर जाने वाली) क्षैतिज रेखा के बीच मापे जाते हैं
पहला कदम आकृति बनाना है; समकोण वहाँ बनता है जहाँ ऊर्ध्वाधर भुजा और क्षैतिज भुजा मिलती हैं (उदाहरण 1, 2 में पाद-बिंदु पर, उदाहरण 3 में बिंदु E पर)
सम्मुख+आधार दिया हो तो tan/cot, सम्मुख+कर्ण हो तो sin/cosec, आधार+कर्ण हो तो cos/sec
दो कोण वाले प्रश्नों में दो अलग समकोण त्रिभुज बनते हैं, दोनों को एक साथ हल करें
30°, 45°, 60° के अनुपात बिना भूले याद रखें ( $\sqrt3 \approx 1.732$ , $\sqrt2 \approx 1.414$ )

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं बिना देखे उन्नयन कोण और अवनमन कोण की परिभाषा लिख सकता/सकती हूँ?
क्या मैं किसी भी नई शब्द-समस्या को पढ़कर सही समकोण त्रिभुज बना सकता/सकती हूँ?
क्या मैं बता सकता/सकती हूँ कि किसी प्रश्न में tan/cot, sin/cosec या cos/sec में से कौन-सा अनुपात प्रयोग होगा?
क्या मैं दो-त्रिभुज वाले प्रश्न (जैसे ध्वजदंड या दो भवन) चरणबद्ध हल कर सकता/सकती हूँ?
क्या मुझे 30°, 45°, 60° के sin, cos, tan के मान बिना सोचे याद हैं?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स