कक्षा 10 गणित अध्याय 10 वृत्त महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. स्पर्श रेखा की परिभाषा एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

प्र. वृत्त की स्पर्श रेखा और छेदक रेखा में एक मुख्य अंतर बताइए।

उत्तर: स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है, जबकि छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

प्र. वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

प्र. वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती (शून्य), क्योंकि ऐसे बिंदु से होकर जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।

प्र. स्पर्श बिंदु की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

प्र. प्रमेय 10.1 एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

प्र. प्रमेय 10.2 एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

प्र. किसी दी गई छेदक रेखा के समांतर वृत्त की अधिकतम कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

उत्तर: अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, छेदक रेखा के दोनों ओर एक-एक।

प्र. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है।

उत्तर: प्रमेय 10.1 से किसी बिंदु P पर स्पर्श रेखा सदैव त्रिज्या OP पर लंब होती है। किसी बिंदु से किसी रेखा पर केवल एक ही लंब खींचा जा सकता है, इसलिए P से होकर OP पर लंब केवल एक ही रेखा जा सकती है। अतः वृत्त के बिंदु P पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा संभव है।

प्र. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 12 cm है। बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है (प्रमेय 10.1), इसलिए समकोण त्रिभुज बनता है। दूरी $=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm।

प्र. किसी वृत्त की त्रिज्या 5 cm है और किसी बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी 13 cm है। स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्पर्श रेखा की लंबाई $=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm।

प्र. TP और TQ किसी वृत्त (केंद्र O) पर बाह्य बिंदु T से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠POQ = 130° हो, तो ∠PTQ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चतुर्भुज OPTQ में ∠OPT = ∠OQT = 90° (प्रमेय 10.1)। चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है, इसलिए $\angle PTQ = 360^\circ-90^\circ-90^\circ-130^\circ=50^\circ$।

प्र. P से किसी वृत्त (केंद्र O) पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ परस्पर 50° के कोण पर झुकी हैं। ∠POA ज्ञात कीजिए (A एक स्पर्श बिंदु है)।

उत्तर: OP, दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण APB (B दूसरा स्पर्श बिंदु) का अर्धक (समद्विभाजक) है, इसलिए $\angle APO = 50^\circ/2 = 25^\circ$। समकोण त्रिभुज OAP में $\angle POA = 90^\circ-25^\circ=65^\circ$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।

उत्तर: माना AB वृत्त का व्यास है, केंद्र O से गुज़रता है। A और B पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः OA और OB पर लंब होंगी (प्रमेय 10.1)। चूँकि A, O, B एक ही रेखा (व्यास) पर हैं, इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा AB पर बने दो लंब हैं, और एक ही रेखा पर बने दो लंब सदैव परस्पर समांतर होते हैं।

प्र. 8 cm त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 17 cm दूर स्थित बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: स्पर्श रेखा की लंबाई $=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$ cm।

प्र. बताइए कि प्रमेय 10.2 पाइथागोरस प्रमेय से भी कैसे सिद्ध की जा सकती है।

उत्तर: चूँकि OQ = OR (त्रिज्याएँ) और दोनों त्रिभुज OQP, ORP समकोण हैं (Q, R पर), इसलिए $PQ^2=OP^2-OQ^2=OP^2-OR^2=PR^2$, जिससे सीधे PQ = PR मिल जाता है, बिना सर्वांगसमता प्रयोग किए।

प्र. प्रमेय 10.1 का पूर्ण प्रमाण लिखिए: वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

उत्तर: दिया है: केंद्र O वाला एक वृत्त और बिंदु P पर स्पर्श रेखा XY। सिद्ध करना है: OP ⊥ XY। प्रमाण: XY पर P के अतिरिक्त कोई बिंदु Q लीजिए और OQ मिलाइए। बिंदु Q वृत्त के बाहर होना चाहिए, क्योंकि यदि Q वृत्त के अंदर होता तो XY एक छेदक रेखा बन जाती, स्पर्श रेखा नहीं; और यदि Q वृत्त पर होता तो XY वृत्त को P और Q दो बिंदुओं पर काटती, जो स्पर्श रेखा की परिभाषा के विरुद्ध है। अतः OQ, त्रिज्या OP से बड़ी है, अर्थात OQ > OP। यह P के अतिरिक्त XY के हर बिंदु के लिए सत्य है, इसलिए OP, बिंदु O से रेखा XY के सभी बिंदुओं की न्यूनतम दूरी है। किसी रेखा पर किसी बाह्य बिंदु से न्यूनतम दूरी सदैव लंब दूरी होती है, इसलिए OP, XY पर लंब है। इति सिद्धम्।

प्र. प्रमेय 10.2 का पूर्ण प्रमाण लिखिए: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

उत्तर: दिया है: केंद्र O वाला एक वृत्त, वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P, और P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR। सिद्ध करना है: PQ = PR। प्रमाण: OP, OQ और OR मिलाइए। प्रमेय 10.1 से ∠OQP = ∠ORP = 90° (त्रिज्याएँ स्पर्श रेखाओं पर लंब हैं)। अब समकोण त्रिभुज OQP और ORP में: OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), और OP उभयनिष्ठ भुजा है। अतः RHS सर्वांगसमता नियम से $\triangle OQP \cong \triangle ORP$। इससे CPCT द्वारा PQ = PR प्राप्त होता है। इति सिद्धम्।

प्र. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर डाला गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

उत्तर: माना वृत्त की स्पर्श रेखा XY है और P स्पर्श बिंदु है। मान लीजिए P से XY पर डाला गया लंब रेखा l है। प्रमेय 10.1 से त्रिज्या OP, XY पर लंब है। चूँकि किसी बिंदु P से किसी रेखा XY पर केवल एक ही लंब खींचा जा सकता है, और OP भी P से XY पर एक लंब है, इसलिए रेखा l अनिवार्य रूप से रेखा OP के ही अनुदिश होनी चाहिए। इसलिए l, केंद्र O से होकर गुज़रती है। इति सिद्धम्।

प्र. 5 cm और 3 cm त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

उत्तर: माना बड़े वृत्त की जीवा AB, छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। OP मिलाइए; प्रमेय 10.1 से OP ⊥ AB। चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AP = PB। समकोण त्रिभुज OPA में $AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ cm। अतः जीवा $AB=2\times4=8$ cm।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज सदैव समचतुर्भुज होता है।

उत्तर: माना समांतर चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत है, जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करती हैं। प्रमेय 10.2 से: AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS। इन्हें जोड़ने पर $AB+CD = (AP+BP)+(CR+DR) = (AS+BQ)+(CQ+DS) = (AS+DS)+(BQ+CQ) = AD+BC$। चूँकि ABCD समांतर चतुर्भुज है, AB = CD और AD = BC (सम्मुख भुजाएँ बराबर)। इसलिए $AB+CD=AD+BC$ से $2AB=2BC$, अर्थात AB = BC। अतः सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

उत्तर: माना वृत्त (केंद्र O) पर बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR खींची गई हैं, जो क्रमशः Q, R पर वृत्त को स्पर्श करती हैं। सिद्ध करना है $\angle QPR + \angle QOR = 180^\circ$। प्रमाण: प्रमेय 10.1 से $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ (त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब)। चतुर्भुज OQPR के चारों कोणों का योग 360° होता है, इसलिए $\angle OQP+\angle QPR+\angle PRO+\angle ROQ=360^\circ$। ज्ञात मान रखने पर $90^\circ+\angle QPR+90^\circ+\angle QOR=360^\circ$, अर्थात $\angle QPR+\angle QOR=180^\circ$। अतः दोनों कोण परस्पर संपूरक हैं। इति सिद्धम्।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

उत्तर: माना चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त (केंद्र O) के परिगत है, जो भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। OP, OQ, OR, OS तथा OA, OB, OC, OD मिलाइए। त्रिभुज OAP और OAS में: OP = OS (त्रिज्याएँ), AP = AS (प्रमेय 10.2), OA उभयनिष्ठ, अतः $\triangle OAP \cong \triangle OAS$ (SSS) और $\angle AOP=\angle AOS=a$ (मान लीजिए)। इसी प्रकार $\angle BOP=\angle BOQ=b$, $\angle COQ=\angle COR=c$ और $\angle DOR=\angle DOS=d$। केंद्र O के चारों ओर के ये आठ कोण मिलकर $360^\circ$ बनाते हैं: $2a+2b+2c+2d=360^\circ$, अर्थात $a+b+c+d=180^\circ$। अब $\angle AOB+\angle COD=(a+b)+(c+d)=180^\circ$ और $\angle AOD+\angle BOC=(a+d)+(b+c)=180^\circ$, अर्थात सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

प्र. 4 cm त्रिज्या के एक वृत्त के परिगत त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि भुजा BC को स्पर्श बिंदु D इस प्रकार विभाजित करता है कि BD = 8 cm और DC = 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

उत्तर: माना त्रिभुज ABC के अंतर्वृत्त की त्रिज्या r = 4 cm है, और भुजा AB, AC को स्पर्श बिंदु क्रमशः E, F पर स्पर्श करते हैं। प्रमेय 10.2 से AE = AF = x (मान लीजिए), BD = BE = 8 cm, CD = CF = 6 cm। अतः AB = x+8, AC = x+6, BC = 14 cm। अर्धपरिमाप $s = \dfrac{(x+8)+(x+6)+14}{2} = x+14$। हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(x+14)(x)(8)(6)}=\sqrt{48x(x+14)}$। साथ ही क्षेत्रफल $= r \times s = 4(x+14)$ भी है। इन दोनों को बराबर करने पर $16(x+14)^2=48x(x+14)$, अर्थात $16(x+14)=48x$, जिससे $224=32x$, अतः $x=7$। इसलिए AB = 15 cm और AC = 13 cm।

प्र. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD में AB+CD = AD+BC होता है। इस परिणाम का उपयोग कब किया जा सकता है, एक उदाहरण दीजिए।

उत्तर: माना चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत है और वृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। प्रमेय 10.2 (किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है) के अनुसार: शीर्ष A से AP = AS, शीर्ष B से BP = BQ, शीर्ष C से CR = CQ, और शीर्ष D से DR = DS। अब $AB+CD = (AP+PB)+(CR+RD) = (AP+BQ)+(CQ+DS)$ (क्योंकि PB=BQ, CR=CQ, RD=DS)। पुनर्व्यवस्थित करने पर $= (AS+DS)+(BQ+CQ) = AD+BC$ (क्योंकि AP=AS)। अतः $AB+CD=AD+BC$ सिद्ध हुआ। उपयोग: यह परिणाम किसी परिगत चतुर्भुज (जैसे किसी वृत्ताकार मैदान के चारों ओर बनी चतुर्भुजाकार बाड़) की एक अज्ञात भुजा ज्ञात करने में सीधे प्रयोग होता है, जब शेष तीन भुजाएँ दी हों।

प्र. XY और X′Y′ किसी वृत्त (केंद्र O) की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं, और एक तीसरी स्पर्श रेखा AB, स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श करते हुए XY को A पर तथा X′Y′ को B पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90°।

उत्तर: OA और OB मिलाइए। प्रमेय 10.2 की टिप्पणी के अनुसार, बिंदु A से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं (XY का भाग, तथा AC) के बीच के कोण को OA समद्विभाजित करती है, इसलिए $\angle OAB=\tfrac12\angle XAB$। इसी तरह बिंदु B पर $\angle OBA=\tfrac12\angle X'BA$ (X और X′, AB के एक ही ओर हैं)। चूँकि XY ∥ X′Y′ और AB इन्हें काटने वाली तिर्यक रेखा है, इसलिए तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं: $\angle XAB+\angle X'BA=180^\circ$। दोनों पक्षों को आधा करने पर $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$। त्रिभुज OAB के कोण-योग गुण से $\angle AOB=180^\circ-(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-90^\circ=90^\circ$। इति सिद्धम्।