कक्षा 10 गणित अध्याय 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

प्र. त्रिज्या 6 cm वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है।

उत्तर: क्षेत्रफल $=\dfrac{60}{360}\times\dfrac{22}{7}\times6^2=\dfrac16\times\dfrac{792}{7}=$
$\dfrac{132}{7}=18\dfrac{6}{7}\ \text{cm}^2\approx18.86\ \text{cm}^2$।

प्र. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

उत्तर: परिधि $2\pi r=22 \Rightarrow r=\dfrac{22\times7}{2\times22}=3.5$ cm। चतुर्थांश (90°) का क्षेत्रफल
$=\dfrac14\times\dfrac{22}{7}\times3.5^2=\dfrac14\times38.5=$ $9.625\ \text{cm}^2$।

प्र. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 5 मिनट में कोण $=\dfrac{360\times5}{60}=30°$। क्षेत्रफल
$=\dfrac{30}{360}\times\dfrac{22}{7}\times14^2=\dfrac{1}{12}\times616=$
$\dfrac{154}{3}\approx51.33\ \text{cm}^2$।

प्र. 10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। संगत (i) लघु
वृत्तखंड (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

उत्तर: त्रिज्यखंड (90°) का क्षेत्रफल $=\dfrac14\times3.14\times100=78.5\ \text{cm}^2$। कोण समकोण
होने से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल $=\dfrac12\times10\times10=50\ \text{cm}^2$।
(i) लघु वृत्तखंड $=78.5-50=$ $28.5\ \text{cm}^2$।
(ii) वृत्त का क्षेत्रफल $=3.14\times100=314\ \text{cm}^2$। दीर्घ त्रिज्यखंड $=314-78.5=$
$235.5\ \text{cm}^2$।

प्र. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:
(i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए
वृत्तखंड का क्षेत्रफल।

उत्तर: (i) चाप की लंबाई $=\dfrac{60}{360}\times2\times\dfrac{22}{7}\times21=\dfrac16\times132=$
$22\ \text{cm}$।
(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\dfrac{60}{360}\times\dfrac{22}{7}\times441=\dfrac16\times1386=$
$231\ \text{cm}^2$।
(iii) 60° होने से त्रिभुज OAB समबाहु है (भुजा 21 cm)। त्रिभुज का क्षेत्रफल
$=\dfrac{\sqrt3}{4}\times21^2=\dfrac{441\sqrt3}{4}\ \text{cm}^2$।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=$ $\left(231-\dfrac{441\sqrt3}{4}\right)\ \text{cm}^2$
(प्रश्न में √3 का मान नहीं दिया है, इसलिए यही सटीक उत्तर है। √3 ≈ 1.73 लेने पर त्रिभुज ≈ 190.73 cm²
और वृत्तखंड $\approx231-190.73=40.27\ \text{cm}^2$)।

प्र. त्रिज्या 15 cm वाले वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु
और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14, √3 = 1.73)

उत्तर: त्रिज्यखंड (60°) का क्षेत्रफल $=\dfrac16\times3.14\times225=117.75\ \text{cm}^2$। 60° होने
से त्रिभुज OAB समबाहु है (भुजा 15 cm), क्षेत्रफल $=\dfrac{1.73}{4}\times225=97.3125\ \text{cm}^2$।
लघु वृत्तखंड $=117.75-97.3125=$ $20.44\ \text{cm}^2$ (लगभग)।
वृत्त का क्षेत्रफल $=3.14\times225=706.5\ \text{cm}^2$। दीर्घ वृत्तखंड $=706.5-20.4375=$
$686.06\ \text{cm}^2$ (लगभग)।

प्र. त्रिज्या 12 cm वाले वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड
का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14, √3 = 1.73)

उत्तर: त्रिज्यखंड (120°) का क्षेत्रफल $=\dfrac13\times3.14\times144=150.72\ \text{cm}^2$।
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल $=\dfrac12\times OA\times OB\times\sin120°=\dfrac12\times12\times12\times0.865=62.28\ \text{cm}^2$
(sin 120° = sin 60° = √3/2; √3 = 1.73 लेने पर 0.865)।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल $=150.72-62.28=$ $88.44\ \text{cm}^2$।

प्र. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m
लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए: (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर
सकता है (ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से
बाँधा जाए। (π = 3.14)

उत्तर: वर्ग के कोने पर कोण 90° होता है, इसलिए घोड़ा एक चतुर्थांश में चर सकता है।
(i) क्षेत्रफल (r=5 m) $=\dfrac14\times3.14\times25=$ $19.625\ \text{m}^2$।
(ii) क्षेत्रफल (r=10 m) $=\dfrac14\times3.14\times100=78.5\ \text{m}^2$। वृद्धि $=78.5-19.625=$
$58.875\ \text{m}^2$।

प्र. एक वृत्ताकार ब्रूच चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के
5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है, जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है।
ज्ञात कीजिए: (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई (ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।

उत्तर: त्रिज्या $=17.5$ mm।
(i) वृत्त की परिधि $=\pi d=\dfrac{22}{7}\times35=110$ mm। 5 व्यासों की लंबाई $=5\times35=175$ mm।
कुल तार $=110+175=$ $285\ \text{mm}$।
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण $=\dfrac{360}{10}=36°$। क्षेत्रफल
$=\dfrac{36}{360}\times\dfrac{22}{7}\times17.5^2=\dfrac1{10}\times962.5=$
$96.25\ \text{mm}^2$।

प्र. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक
सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक भाग का कोण $=\dfrac{360}{8}=45°$। क्षेत्रफल
$=\dfrac{45}{360}\times\dfrac{22}{7}\times45^2=\dfrac18\times\dfrac{44550}{7}=$
$\approx795.54\ \text{cm}^2$।

प्र. किसी कार के दो वाइपर हैं, जो परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती
की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के
साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक वाइपर का क्षेत्रफल $=\dfrac{115}{360}\times\dfrac{22}{7}\times25^2=\dfrac{115\times22\times625}{360\times7}\approx627.48\ \text{cm}^2$। दोनों वाइपर एक-दूसरे को
आच्छादित नहीं करते, इसलिए कुल क्षेत्रफल $=2\times627.48=$ $1254.96\ \text{cm}^2$
(लगभग)।

प्र. जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइटहाउस
80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस
भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14)

उत्तर: क्षेत्रफल $=\dfrac{80}{360}\times3.14\times16.5^2=0.2222\times3.14\times272.25\approx$
$189.97\ \text{km}^2\approx190\ \text{km}^2$ (लगभग)।

प्र. एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो
₹0.35 प्रति cm² की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7)

उत्तर: छह बराबर डिज़ाइन बनाने के लिए वृत्त में एक नियमित षट्भुज अंकित किया जाता है; प्रत्येक
डिज़ाइन षट्भुज की एक भुजा (जीवा) और संगत चाप के बीच का वृत्तखंड है।
प्रत्येक भाग का कोण $=\dfrac{360}{6}=60°$, इसलिए प्रत्येक त्रिभुज समबाहु है (भुजा 28 cm)।
6 त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल (= पूरा वृत्त) $=\dfrac{22}{7}\times28^2=2464\ \text{cm}^2$।
6 त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल $=6\times\dfrac{\sqrt3}{4}\times28^2=6\times\dfrac{1.7}{4}\times784=6\times333.2=1999.2\ \text{cm}^2$।
6 डिज़ाइनों (वृत्तखंडों) का कुल क्षेत्रफल $=2464-1999.2=464.8\ \text{cm}^2$।
कुल लागत $=464.8\times0.35=$ $₹162.68$ (लगभग)।

प्र. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए: त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका
कोण p° है, निम्नलिखित है:
(क) p/180 × 2πR
(ख) p/180 × πR²
(ग) p/720 × 2πR²
(घ) p/360 × 2πR

उत्तर: त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सही सूत्र $\dfrac{p}{360}\times\pi R^2$ है। विकल्प (ग) को सरल
करने पर: $\dfrac{p}{720}\times2\pi R^2=\dfrac{2p}{720}\times\pi R^2=\dfrac{p}{360}\times\pi R^2$,
जो सही सूत्र के बराबर है (विकल्प क और घ दोनों में $R$ है, $R^2$ नहीं, इसलिए वे क्षेत्रफल का सूत्र
नहीं हो सकते; विकल्प ख में हर 180 है, 360 नहीं)। अतः सही उत्तर (ग) है।