वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

हल: सूत्र (1) से, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
$=\dfrac{30}{360}\times 3.14\times 4^2 = \dfrac{12.56}{3} \approx$ $4.19\ \text{cm}^2$ (लगभग)।
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \pi r^2 – 4.19 = (3.14\times16) – 4.19 = 50.24-4.19=$ $46.05\ \text{cm}^2 \approx 46.1\ \text{cm}^2$।
जाँच (वैकल्पिक विधि): दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $=360°-30°=330°$, इसलिए क्षेत्रफल
$=\dfrac{330}{360}\times3.14\times16 = 46.05\ \text{cm}^2$, वही उत्तर मिलता है।

हल: त्रिज्यखंड OAYB का क्षेत्रफल $=\dfrac{120}{360}\times\dfrac{22}{7}\times21^2 = \dfrac13\times\dfrac{22}{7}\times441 = 462\ \text{cm}^2$।
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल निकालने के लिए $OM \perp AB$ खींचिए। चूँकि $OA=OB=21$ cm (दोनों त्रिज्याएँ),
RHS सर्वांगसमता से $\triangle OMA \cong \triangle OMB$, इसलिए M, AB का मध्य-बिंदु है और
$\angle AOM=\angle BOM=60°$।
$\triangle OMA$ में: $\dfrac{OM}{OA}=\cos60°=\dfrac12 \Rightarrow OM=\dfrac{21}{2}$ cm;
$\dfrac{AM}{OA}=\sin60°=\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow AM=\dfrac{21\sqrt3}{2}$ cm।
अतः $AB=2\times AM=21\sqrt3$ cm, और $\text{ar}(\triangle OAB)=\dfrac12\times AB\times OM=\dfrac12\times21\sqrt3\times\dfrac{21}{2}=\dfrac{441\sqrt3}{4}\ \text{cm}^2$।
सूत्र (3) से, वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल $=462-\dfrac{441}{4}\sqrt3=$
$\dfrac{21}{4}(88-21\sqrt3)\ \text{cm}^2$ (यानी $\sqrt3\approx1.732$ लेने पर, लगभग $271.05\ \text{cm}^2$)।

हल: चतुर्थांश, त्रिज्यखंड ही है जिसका कोण $90°$ है (वर्ग के कोने पर समकोण)। सूत्र (1) से,
चतुर्थांश (शेडेड भाग) का क्षेत्रफल $=\dfrac{90}{360}\times\dfrac{22}{7}\times7^2=\dfrac14\times22\times7=$
$38.5\ \text{cm}^2$।
वर्ग OABC का क्षेत्रफल $=14\times14=196\ \text{cm}^2$।
शेष (न-शेडेड) भाग का क्षेत्रफल $=196-38.5=$ $157.5\ \text{cm}^2$।