Class 11 Economics Chapter 6 Notes in Hindi: सहसंबंध

यह अध्याय टी.आर. जैन एवं वी.के. ओहरी (अंग्रेज़ी संस्करण 2026-27) अध्याय 11 को कवर करता है। आधार: NCERT अर्थशास्त्र में सांख्यिकी, अध्याय 6 (Reprint 2026-27) और CBSE पाठ्यक्रम 2026-27 (भाग A, इकाई 3)।

इस अध्याय में आप सीखेंगे

सहसंबंध का अर्थ बताना और सहसंबंध को कार्य-कारण संबंध से अलग करना
धनात्मक, ऋणात्मक, रेखीय और गैर-रेखीय संबंध पहचानना और प्रकीर्ण आरेख बनाना
कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांक (r) तीनों तरीकों से निकालना: विचलन विधि, प्रत्यक्ष विधि और पद विचलन विधि
r के गुण लिखना और उसके मान (+1, −1, 0, 0.9, 0.1) की व्याख्या करना
स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध तीनों स्थितियों में निकालना: कोटियाँ दी हों, न दी हों, और कोटियाँ दोहराई गई हों (संशोधन गुणक सहित)

सहसंबंधसह-प्रसरणकार्य-कारण संबंधधनात्मक सहसंबंधऋणात्मक सहसंबंधरेखीय संबंधगैर-रेखीय संबंधप्रकीर्ण आरेखकार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांकगुणन आघूर्ण सहसंबंधसरल सहसंबंध गुणांकप्रसरणमानक विचलनपद विचलन विधिकल्पित माध्यसमापवर्तकस्पीयरमैन का कोटि सहसंबंधकोटिसंशोधन गुणक

1 सहसंबंध का अर्थ

गर्मी में तापमान बढ़ता है तो पर्वतीय स्थलों पर सैलानियों की भीड़ बढ़ती है और आइसक्रीम की बिक्री भी तेज़ी से बढ़ती है
यानी तापमान का संबंध सैलानियों की संख्या और आइसक्रीम की बिक्री से है
स्थानीय मंडी में टमाटर की पूर्ति बढ़ती है तो उसकी कीमत घटती है: नई फसल आने पर कीमत 40 रु प्रति किलो से गिरकर 4 रु प्रति किलो या और भी कम हो जाती है
यानी पूर्ति का संबंध कीमत से है
ऐसे संबंधों के क्रमबद्ध परीक्षण का साधन सहसंबंध का विश्लेषण है

याद करेंपरिभाषा 1

सहसंबंध दो चरों के बीच संबंधों की गहनता एवं दिशा का अध्ययन एवं मापन करता है। सहसंबंध सह-प्रसरण का मापन करता है, न कि कार्य-कारण संबंध का।

सहसंबंध का विश्लेषण इन चार प्रश्नों का उत्तर देता है:

कोई संबंध है?

क्या दो चरों का आपस में कोई संबंध है?

एक बदले तो दूसरा?

यदि एक चर का मान बदलता है तो क्या दूसरे का मान भी बदल जाता है?

दिशा

क्या दोनों चरों में समान दिशा में परिवर्तन होता है?

गहनता

उनका यह संबंध कितना घनिष्ठ (पक्का) है?

2 संबंधों के प्रकार: कारण, संयोग और तीसरा चर

दो चर साथ-साथ बदलते दिखें, तो इसके तीन अलग कारण हो सकते हैं:

कारण और परिणाम

माँगी गई मात्रा और कीमत का संबंध माँग के सिद्धांत का अभिन्न अंग है (कक्षा 12 में)। कृषि उत्पादकता की कमी का संबंध बारिश की कमी से है।

संयोग मात्र

पक्षी-विहार में प्रवासी पक्षियों का आना और उस क्षेत्र में जन्म-दर; जूते की माप और जेब में पैसे। संबंध दिखे भी तो उसकी व्याख्या कठिन है।

तीसरे चर का प्रभाव

आइसक्रीम की बिक्री और डूबकर मरने वालों की संख्या साथ बढ़ती हैं, पर लोग आइसक्रीम खाकर नहीं डूबे। दोनों के पीछे तीसरा चर तापमान है।

तापमान बढ़ा तो आइसक्रीम की बिक्री में तेज़ी आई
इसी गर्मी से राहत पाने के लिए लोग अधिक संख्या में तरणतालों में जाने लगे
इसी वजह से डूबकर मरने वालों की संख्या बढ़ी
इसीलिए आइसक्रीम की बिक्री और डूबने से मौतों के बीच उच्च सहसंबंध का कारण तापमान है

सहसंबंध सह-प्रसरण का मापन करता है न कि कार्य-कारण संबंध का। सहसंबंध को कार्य-कारण संबंध के रूप में नहीं समझा जाना चाहिए।

पुस्तक

आधार	सहसंबंध	कार्य-कारण संबंध
क्या बताता है	दो चर साथ-साथ किस दिशा में और कितनी गहनता से बदलते हैं	एक चर का बदलना दूसरे के बदलने की वजह है
माप	संख्या r (−1 से +1) या प्रकीर्ण आरेख	कोई सांख्यिकीय माप नहीं; सिद्धांत और तर्क से तय
उदाहरण	आइसक्रीम की बिक्री और डूबकर मौतें (उच्च सहसंबंध)	तापमान ↑ ⇒ आइसक्रीम की बिक्री ↑
संबंध	सहसंबंध दिखे तो भी कार्य-कारण हो, यह ज़रूरी नहीं	कारण वाला संबंध गैर-रेखीय हो तो r = 0 भी आ सकता है (जैसे y = x²)

3 सहसंबंध के प्रकार

पुस्तक सरलता के लिए मान लेती है कि सहसंबंध, यदि है, तो रेखीय है, यानी दो चरों की सापेक्ष गति को ग्राफ पेपर पर एक सीधी रेखा से दिखाया जा सकता है।

याद करेंपरिभाषा 2

धनात्मक सहसंबंध: जब चरों की गति एक ही दिशा में एक साथ होती है, यानी एक बढ़े तो दूसरा भी बढ़े और एक घटे तो दूसरा भी घटे।

याद करेंपरिभाषा 3

ऋणात्मक सहसंबंध: जब चर विपरीत दिशा में गतिमान हों, यानी एक बढ़े तो दूसरा घटे।

धनात्मक सहसंबंध

दोनों चर एक ही दिशा में
आय बढ़े तो उपभोग बढ़े; आय घटे तो उपभोग घटे
आइसक्रीम की बिक्री और तापमान
r धनात्मक (0 से +1)

ऋणात्मक सहसंबंध

चर विपरीत दिशा में
सेबों की कीमत गिरे तो माँग बढ़े; कीमत बढ़े तो माँग घटे
पढ़ाई में अधिक समय, अनुत्तीर्ण होने की संभावना कम
r ऋणात्मक (0 से −1)

याद करेंपरिभाषा 4

रेखीय संबंध: संबंध को तब रेखीय कहा जाता है जब इसे एक सीधी रेखा द्वारा प्रस्तुत किया जा सके। जो संबंध सीधी रेखा से नहीं, वक्र से दिखे, वह गैर-रेखीय संबंध है।

4 सहसंबंध को मापने की प्रविधियाँ

सहसंबंध को मापने के तीन उपकरण

प्रकीर्ण आरेखदृश्य रूप, कोई संख्या नहीं; हर प्रकार का संबंध दिखाता है

कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांकदो चरों के रेखीय संबंध का संख्यात्मक माप (r)

स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंधकोटियों के बीच रेखीय संबंध का माप (rs)

स्पीयरमैन का गुणांक व्यष्टिगत मदों को उनके गुणों के आधार पर दी गई कोटियों से रेखीय सहसंबंध मापता है
गुण (attributes) वे चर हैं जिनका संख्यात्मक मापन संभव नहीं, जैसे लोगों का बौद्धिक स्तर, शारीरिक रूप-रंग और ईमानदारी

5 प्रकीर्ण आरेख (Scatter Diagram)

याद करेंपरिभाषा 5

प्रकीर्ण आरेख संबंधों के स्वरूप की दृश्य रूप में जाँच की एक उपयोगी प्रविधि है, जिसमें दो चरों के मानों को ग्राफ पेपर पर बिंदुओं के रूप में आलेखित किया जाता है। यह कोई संख्यात्मक मान नहीं देता।

चरण 1एक चर (X) को क्षैतिज अक्ष पर और दूसरे (Y) को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर लें

↓

चरण 2हर जोड़े (X, Y) के लिए एक बिंदु आलेखित करें

↓

चरण 3बिंदुओं की व्यापक दिशा (ऊपर उठती, नीचे ढलती, कोई नहीं) और उनका सामीप्य (कितने पास) देखें

प्रकीर्ण बिंदुओं के सामीप्य की कोटि और उनकी व्यापक दिशा से संबंध का पता चलता है
सभी बिंदु एक ही रेखा पर हों तो सहसंबंध परिपूर्ण है और एक (1) के बराबर है
बिंदु सरल रेखा के चारों ओर दूर तक फैले हों तो सहसंबंध निम्न है
बिंदु एक रेखा पर हों या रेखा के निकट हों तो सहसंबंध रेखीय है

चित्र 1: प्रकीर्ण आरेख के सात प्रतिमान (पुस्तक के चित्र 6.1 से 6.7): ऊपर उठती रेखा के आसपास बिंदु धनात्मक, नीचे ढलती रेखा के आसपास ऋणात्मक, बिखरे बिंदु कोई संबंध नहीं, रेखा पर ही बिंदु पूर्ण सहसंबंध, और वक्र के आसपास बिंदु गैर-रेखीय संबंध — **चित्र 1**: प्रकीर्ण आरेख के सात प्रतिमान (पुस्तक के चित्र 6.1 से 6.7): ऊपर उठती रेखा के आसपास बिंदु धनात्मक, नीचे ढलती रेखा के आसपास ऋणात्मक, बिखरे बिंदु कोई संबंध नहीं, रेखा पर ही बिंदु पूर्ण सहसंबंध, और वक्र के आसपास बिंदु गैर-रेखीय संबंध

पुस्तक का चित्र	बिंदुओं की स्थिति	संबंध
6.1	ऊपर उठती रेखा के आसपास बिखरे	धनात्मक सहसंबंध: X बढ़े तो Y भी बढ़े
6.2	नीचे ढलती रेखा के आसपास बिखरे	ऋणात्मक सहसंबंध: X बढ़े तो Y घटे, और उलटा
6.3	न ऊपर उठती, न नीचे गिरती कोई रेखा	कोई संबंध नहीं (सहसंबंध न होना)
6.4	बिंदु स्वयं ऊपर उठती रेखा पर	पूर्ण धनात्मक सहसंबंध (r = +1)
6.5	बिंदु स्वयं नीचे गिरती रेखा पर	पूर्ण ऋणात्मक सहसंबंध (r = −1)
6.6	ऊपर उठते वक्र के आसपास	धनात्मक गैर-रेखीय संबंध
6.7	नीचे गिरते वक्र के आसपास	ऋणात्मक गैर-रेखीय संबंध

परीक्षा संकेत

प्रकीर्ण आरेख का प्रश्न हो तो छोटा चित्र बनाकर अक्ष (X, Y) ज़रूर लिखें और नीचे संबंध का नाम लिखें। तीनों मापों में केवल प्रकीर्ण आरेख ही किसी भी प्रकार का (रेखीय और गैर-रेखीय) संबंध दिखा सकता है; यह रेखीय संबंध तक सीमित नहीं है।

क्रियात्मक गतिविधि (पुस्तक)

अपनी कक्षा के छात्रों के कद, वजन और दसवीं कक्षा के दो विषयों में प्राप्त अंकों के आँकड़े लें। एक बार में दो चर लेकर प्रकीर्ण आरेख बनाएँ और देखें कि किस प्रकार का सहसंबंध है।

6 कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांक

याद करेंपरिभाषा 6

कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांक (r) दो चरों X एवं Y के बीच रेखीय संबंधों के सही संख्यात्मक मान की कोटि दर्शाता है। इसे गुणन आघूर्ण सहसंबंध (Product Moment Correlation) और सरल सहसंबंध गुणांक भी कहते हैं।

कार्ल पियरसन के गुणांक का उपयोग तभी करना चाहिए जब चरों के बीच रेखीय संबंध हो (चित्र 6.1, 6.2, 6.4, 6.5)
गैर-रेखीय संबंध (चित्र 6.6, 6.7) पर इसकी गणना भ्रामक हो सकती है
इसीलिए r निकालने से पहले चरों के प्रकीर्ण आरेख की जाँच करना उचित है

6.1 r के लिए ज़रूरी मात्राएँ

मान लें X के N मान $X_1, X_2, \ldots, X_N$ हैं और Y के संगत मान $Y_1, Y_2, \ldots, Y_N$ हैं।

सूत्र: माध्य, प्रसरण, मानक विचलन, सहप्रसरण

\bar{X} = \frac{\sum X}{N}, \qquad \bar{Y} = \frac{\sum Y}{N}

\sigma_x^2 = \frac{\sum (X – \bar{X})^2}{N} = \frac{\sum X^2}{N} – \bar{X}^2, \qquad \sigma_y^2 = \frac{\sum (Y – \bar{Y})^2}{N} = \frac{\sum Y^2}{N} – \bar{Y}^2

\mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{\sum (X – \bar{X})(Y – \bar{Y})}{N} = \frac{\sum xy}{N}

जहाँ

x = X – \bar{X}

और

y = Y – \bar{Y}

माध्य से विचलन हैं। मानक विचलन

\sigma_x

\sigma_y

प्रसरण के धनात्मक वर्गमूल हैं।

मानक विचलन हमेशा धनात्मक होते हैं
इसलिए X और Y के बीच सहप्रसरण का चिह्न ही r का चिह्न तय करता है
सहप्रसरण शून्य हो तो r भी सदैव शून्य होता है

6.2 r के चार सूत्र

r = \frac{\sum xy}{N\,\sigma_x\,\sigma_y}

…(1)

r = \frac{\sum (X – \bar{X})(Y – \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X – \bar{X})^2}\;\sqrt{\sum (Y – \bar{Y})^2}}

…(2)

r = \frac{\sum XY – \dfrac{(\sum X)(\sum Y)}{N}}{\sqrt{\sum X^2 – \dfrac{(\sum X)^2}{N}}\;\sqrt{\sum Y^2 – \dfrac{(\sum Y)^2}{N}}}

…(3)

r = \frac{N\sum XY – (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N\sum X^2 – (\sum X)^2}\;\sqrt{N\sum Y^2 – (\sum Y)^2}}

…(4)

इन चिह्नों का मतलब

N

जोड़ों (प्रेक्षणों) की संख्यासंख्या

x,\ y

माध्य से विचलन:

X – \bar{X}

Y – \bar{Y}

मूल इकाई

\sum xy

विचलनों के गुणनफलों का योगगुणनफल

r

सहसंबंध गुणांककोई इकाई नहीं

सूत्र	कब सुविधाजनक	किन मानों की ज़रूरत
(1) सहप्रसरण/मानक विचलन	σx, σy पहले से ज्ञात हों	Σxy, σx, σy, N
(2) विचलन विधि	माध्य पूर्णांक हों	Σxy, Σx², Σy²
(3), (4) प्रत्यक्ष विधि	माध्य दशमलव में हों	ΣX, ΣY, ΣX², ΣY², ΣXY, N
पद विचलन विधि (खंड 10)	मान बड़े हों	U, V के वही योग

7 सहसंबंध गुणांक के गुण

कोई इकाई नहीं

r एक संख्या-मात्र (शुद्ध संख्या) है। कद (फुटों में) और वजन (कि.ग्रा. में) के बीच r, उदाहरण के लिए, 0.7 हो सकता है।

ऋणात्मक r

प्रतिलोम संबंध: कीमत बढ़े तो माँग घटे; ब्याज दर बढ़े तो निधियों (ब्याज पर ली जाने वाली धन-राशियों) की माँग घटे, क्योंकि निधियाँ महँगी हो जाती हैं।

धनात्मक r

दोनों चर एक ही दिशा में: चाय के स्थानापन्न कॉफी के दाम बढ़ें तो चाय की माँग बढ़े; सिंचाई सुधरे तो पैदावार बढ़े; तापमान बढ़े तो आइसक्रीम की बिक्री बढ़े।

परास −1 से +1

$-1 \le r \le 1$ । किसी अभ्यास में r इस परास के बाहर आए तो परिकलन में त्रुटि है।

उद्गम और पैमाने से अप्रभावित

r का परिमाण उद्गम और पैमाने के परिवर्तन से नहीं बदलता। पद विचलन विधि इसी गुण पर टिकी है।

r = 0

दोनों चर असहसंबंधित हैं: उनमें कोई रेखीय संबंध नहीं। अन्य प्रकार का संबंध फिर भी हो सकता है।

r = 1 या r = −1

सहसंबंध पूर्ण है और चरों के बीच सटीक रेखीय संबंध है।

उच्च और निम्न r

+1 या −1 के निकट r घनिष्ठ रेखीय संबंध बताता है। शून्य के निकट r मंद रेखीय संबंध बताता है, पर गैर-रेखीय संबंध हो सकता है।

गुण 5 का अर्थ: सभी मानों से एक संख्या घटाना (उद्गम का परिवर्तन) या उन्हें एक संख्या से भाग देना (पैमाने का परिवर्तन) r को नहीं बदलता। सूत्र और हल किया उदाहरण खंड 10 (पद विचलन विधि) में है।

−1 पूर्ण ऋणात्मक

−0.5

0 कोई रेखीय संबंध नहीं

+0.5

+1 पूर्ण धनात्मक

आम ग़लती

“r = 0 है, इसलिए दोनों चर स्वतंत्र हैं”: यह ग़लत है। r = 0 का अर्थ केवल इतना है कि रेखीय संबंध नहीं है। अभ्यास 19 में y = x² का पूरा संबंध है, फिर भी r = 0 आता है।

7.1 आँकड़ों को समझे बिना व्याख्या नहीं (पुस्तक का उदाहरण)

कुछ गाँवों में महामारी फैली और सरकार ने प्रभावित गाँवों में डॉक्टरों का दल भेजा
गाँवों में होने वाली मौतों और भेजे गए डॉक्टरों की संख्या में धनात्मक सहसंबंध पाया गया
सामान्यतः डॉक्टरों की सेवाओं से मृत्यु दर में कमी, यानी ऋणात्मक सहसंबंध, की आशा होती है
इसके पीछे अन्य कारण थे: आँकड़े किसी अवधि-विशेष के थे; दर्ज मौतें ऐसे लोगों की हो सकती हैं जिनकी दशा बहुत बिगड़ चुकी थी; डॉक्टरों का सुपरिणाम कुछ समय बाद ही दिखता है
यह भी संभव है कि मौतें महामारी से हुई ही न हों, जैसे सुनामी ने अचानक भयंकर रूप दिखाया हो और मृत्यु-दर बढ़ गई हो
सीख: सांख्यिकीय विधियाँ व्यवहार बुद्धि का स्थानापन्न नहीं हैं

8 हल किया उदाहरण 1: किसानों की शिक्षा और उपज

दिया है

किसानों द्वारा विद्यालय में बिताए वर्ष (X): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12; प्रति एकड़ वार्षिक उपज (’000 रु में) (Y): 4, 4, 6, 10, 10, 8, 7; N = 7

ज्ञात करना है

कार्ल पियरसन का सहसंबंध गुणांक r

चरण 1: माध्य। $\bar{X} = 42/7 = 6$ , $\bar{Y} = 49/7 = 7$ । दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए विचलन विधि सबसे आसान है।

चरण 2: विचलन तालिका (पुस्तक की सारणी 6.1)

X	x = X − X̄	x²	Y	y = Y − Ȳ	y²	xy
0	−6	36	4	−3	9	18
2	−4	16	4	−3	9	12
4	−2	4	6	−1	1	2
6	0	0	10	3	9	0
8	2	4	10	3	9	6
10	4	16	8	1	1	4
12	6	36	7	0	0	0
ΣX = 42	0	Σx² = 112	ΣY = 49	0	Σy² = 38	Σxy = 42

हल: सूत्र (2) से

$r = \dfrac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^2}\,\sqrt{\sum y^2}} = \dfrac{42}{\sqrt{112}\,\sqrt{38}} = \dfrac{42}{\sqrt{4256}} = \dfrac{42}{65.24} =$ $0.644$

सूत्र (1) से भी वही: $\sigma_x = \sqrt{112/7} = \sqrt{16} = 4$ , $\sigma_y = \sqrt{38/7} = 2.33$ ; $r = \dfrac{42}{7 \times 4 \times 2.33} = 0.644$

व्याख्या: किसानों की शिक्षा के वर्ष और प्रति एकड़ उपज में धनात्मक सहसंबंध है और r का मान भी अधिक है। किसान जितने अधिक वर्ष शिक्षा ग्रहण करेंगे, प्रति एकड़ उपज उतनी अधिक होगी। यह किसानों के लिए शिक्षा का महत्त्व दिखाता है।

सूत्र (3) से (प्रत्यक्ष विधि): इसके लिए $\sum XY$ , $\sum X^2$ , $\sum Y^2$ चाहिए।

X	Y	X²	Y²	XY
0	4	0	16	0
2	4	4	16	8
4	6	16	36	24
6	10	36	100	60
8	10	64	100	80
10	8	100	64	80
12	7	144	49	84
ΣX = 42	ΣY = 49	ΣX² = 364	ΣY² = 381	ΣXY = 336

\sum XY – \dfrac{(\sum X)(\sum Y)}{N} = 336 – \dfrac{42 \times 49}{7} = 336 – 294 = 42

अंश

\sum X^2 – \dfrac{(\sum X)^2}{N} = 364 – \dfrac{1764}{7} = 364 – 252 = 112

X का भाग

\sum Y^2 – \dfrac{(\sum Y)^2}{N} = 381 – \dfrac{2401}{7} = 381 – 343 = 38

Y का भाग

r = \dfrac{42}{\sqrt{112}\,\sqrt{38}} = 0.644

वही उत्तर

चित्र 2: उदाहरण 1 का प्रकीर्ण आरेख: X̄ = 6 और Ȳ = 7 की रेखाएँ तल को चार भागों में बाँटती हैं; ज़्यादातर बिंदु (+)(+) और (−)(−) वाले भागों में हैं, इसलिए Σxy = 42 धनात्मक है और r = 0.644 — **चित्र 2**: उदाहरण 1 का प्रकीर्ण आरेख: X̄ = 6 और Ȳ = 7 की रेखाएँ तल को चार भागों में बाँटती हैं; ज़्यादातर बिंदु (+)(+) और (−)(−) वाले भागों में हैं, इसलिए Σxy = 42 धनात्मक है और r = 0.644

आम ग़लतियाँ (कार्ल पियरसन)

(1) Σx और Σy हमेशा 0 आते हैं; 0 न आए तो माध्य या विचलन में त्रुटि है। (2) xy के स्तंभ में चिह्न (−)(−) = + भूलना। (3) हर में $\sqrt{\sum x^2 \cdot \sum y^2}$ की जगह $\sum x^2 \cdot \sum y^2$ लिख देना, जिससे r बहुत छोटा आता है। (4) r 1 से बड़ा आए तो दोबारा जाँचें, यह संभव नहीं।

9 r के मानों की व्याख्या

उदाहरण (पुस्तक)	r	अर्थ
अंग्रेजी और सांख्यिकी के अंक	0.1	धनात्मक, पर कमज़ोर: अंग्रेजी में अधिक अंक वाले छात्र सांख्यिकी में अपेक्षाकृत कम अंक भी ला सकते हैं
अंग्रेजी और सांख्यिकी के अंक	0.9	प्रबल धनात्मक: अंग्रेजी में अधिक अंक वाले छात्र निश्चित रूप से सांख्यिकी में भी अधिक अंक लाते
मंडी में सब्जियों का आगमन और कीमत	−0.9	पूर्ति बढ़ने के साथ कीमत काफ़ी कम होगी
मंडी में सब्जियों का आगमन और कीमत	−0.1	कीमत कम तो होगी, पर उतनी नहीं जितनी −0.9 पर
मंडी में सब्जियों का आगमन और कीमत	0	पूर्ति काफ़ी बढ़ने पर भी कीमत में कोई कमी नहीं; जैसे कुशल परिवहन तंत्र बढ़ी पूर्ति को अन्य बाज़ारों में ले जाए

कीमत में गिरावट कितनी होगी, यह r के निरपेक्ष मान (चिह्न छोड़कर मान) पर निर्भर है।

10 पद विचलन विधि

चरों के मान बड़े हों तो परिकलन का बोझ r के एक गुण से कम किया जा सकता है
यह गुण है: r उद्गम परिवर्तन और पैमाने (स्केल) परिवर्तन से प्रभावित नहीं होता
इसमें X और Y को U और V में बदलकर U और V का r निकालते हैं; वही $r_{XY}$ है

सूत्र: पद विचलन विधि

U = \frac{X – A}{h}, \quad V = \frac{Y – B}{k}, \qquad r = \frac{\sum UV – \dfrac{(\sum U)(\sum V)}{N}}{\sqrt{\sum U^2 – \dfrac{(\sum U)^2}{N}}\;\sqrt{\sum V^2 – \dfrac{(\sum V)^2}{N}}}

A, B कल्पित माध्य (उद्गम का परिवर्तन); h, k समापवर्तक (पैमाने का परिवर्तन), दोनों एक ही चिह्न के। h और k विपरीत चिह्न के हों तो परिमाण वही रहता है पर r का चिह्न उलट जाता है।

10.1 हल किया उदाहरण 2: कीमत सूचकांक और मुद्रा पूर्ति

दिया है

कीमत सूचकांक (X): 120, 150, 190, 220, 230; धन की पूर्ति (करोड़ रु में) (Y): 1800, 2000, 2500, 2700, 3000; A = 100, h = 10, B = 1700, k = 100

ज्ञात करना है

पद विचलन विधि से r

X	Y	U = (X − 100)/10	V = (Y − 1700)/100	U²	V²	UV
120	1800	2	1	4	1	2
150	2000	5	3	25	9	15
190	2500	9	8	81	64	72
220	2700	12	10	144	100	120
230	3000	13	13	169	169	169
		ΣU = 41	ΣV = 35	ΣU² = 423	ΣV² = 343	ΣUV = 378

\sum UV – \dfrac{(\sum U)(\sum V)}{N} = 378 – \dfrac{41 \times 35}{5} = 378 – 287 = 91

अंश

\sum U^2 – \dfrac{(\sum U)^2}{N} = 423 – \dfrac{1681}{5} = 423 – 336.2 = 86.8

U का भाग

\sum V^2 – \dfrac{(\sum V)^2}{N} = 343 – \dfrac{1225}{5} = 343 – 245 = 98

V का भाग

r = \dfrac{91}{\sqrt{86.8 \times 98}} = \dfrac{91}{92.23} = 0.987 \approx 0.99

r_{UV} = r_{XY}

व्याख्या

कीमत सूचकांक और मुद्रा-पूर्ति के बीच यह प्रबल धनात्मक सहसंबंध वित्तीय (मौद्रिक) नीति का महत्त्वपूर्ण आधार है: जब मुद्रा-पूर्ति बढ़ती है तब कीमत सूचकांक भी बढ़ता है। मूल X और Y से सूत्र (3) लगाने पर भी ठीक यही 0.987 आता है।

आम ग़लतियाँ (पद विचलन)

(1) U बनाते समय केवल A घटाना और h से भाग देना भूल जाना (तब भी r वही आएगा, पर गणना बड़ी होगी, और बीच में किसी पंक्ति में भाग दिया, किसी में नहीं, तो उत्तर ग़लत होगा)। (2) Σ(U)² और (ΣU)² को एक समझना: 423 और 1681 अलग हैं। (3) h और k के विपरीत चिह्न लेने पर r का चिह्न उलट जाता है।

क्रियात्मक गतिविधि (पुस्तक)

भारत की जनसंख्या एवं राष्ट्रीय आय से संबंधित आँकड़ों का उपयोग करें और पद विचलन विधि से उनके बीच सहसंबंध निकालें। दोनों के मान बड़े हैं, इसलिए यही विधि सुविधाजनक है।

10.2 क्रियात्मक गतिविधि का हल: सारणी 6.2

पुस्तक की गतिविधि: वर्तमान कीमत पर राष्ट्रीय आय की वार्षिक वृद्धि (X) और GDP के प्रतिशत के रूप में सकल घरेलू बचत (Y) के बीच r निकालें (स्रोत: आर्थिक सर्वेक्षण, 2004-05, पृष्ठ 8, 9)। माध्य 13.9 और 24.5 दशमलव में हैं, इसलिए प्रत्यक्ष विधि (सूत्र 3) लें।

वर्ष	X	Y	X²	Y²	XY
1992-93	14	24	196	576	336
1993-94	17	23	289	529	391
1994-95	18	26	324	676	468
1995-96	17	27	289	729	459
1996-97	16	25	256	625	400
1997-98	12	25	144	625	300
1998-99	16	23	256	529	368
1999-00	11	25	121	625	275
2000-01	8	24	64	576	192
2001-02	10	23	100	529	230
योग	ΣX = 139	ΣY = 245	ΣX² = 2039	ΣY² = 6019	ΣXY = 3419

3419 – \dfrac{139 \times 245}{10} = 3419 – 3405.5 = 13.5

अंश

2039 – \dfrac{139^2}{10} = 2039 – 1932.1 = 106.9

X का भाग

6019 – \dfrac{245^2}{10} = 6019 – 6002.5 = 16.5

Y का भाग

r = \dfrac{13.5}{\sqrt{106.9 \times 16.5}} = \dfrac{13.5}{42.0} = 0.32

मंद धनात्मक

व्याख्या: इन दस वर्षों में राष्ट्रीय आय की वृद्धि और बचत की दर में धनात्मक पर मंद (कमज़ोर) सहसंबंध है।

11 स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध

याद करेंपरिभाषा 7

स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध वह गुणांक है जिसमें व्यष्टिगत मानों की जगह उनकी कोटियाँ (rank, क्रम-स्थान) रखी जाती हैं। यह इकाइयों को दी गई कोटियों के बीच रेखीय संबंध मापता है, न कि उनके मानों के बीच। इसका विकास ब्रिटिश मनोवैज्ञानिक सी.ई. स्पीयरमैन ने किया।

इसका उपयोग इन परिस्थितियों में होता है:

मापन के साधन न हों

दूर-दराज़ के गाँव में न मापदंड हैं, न वजन मापने की मशीन। लंबाई और वजन माप नहीं सकते, पर छात्रों को उनके अनुसार कोटिबद्ध कर सकते हैं।

गुणात्मक चर

निष्पक्षता, ईमानदारी या सौंदर्य को आय या भार की तरह नहीं माप सकते, केवल सापेक्ष रूप से कोटि दे सकते हैं। कम से कम एक चर ऐसा हो तो स्पीयरमैन लगाएँ।

दिशा स्पष्ट, संबंध गैर-रेखीय

जब संबंध की दिशा स्पष्ट हो पर वह गैर-रेखीय हो, जैसे चित्र 6.6 और 6.7।

चरम मूल्य

स्पीयरमैन का गुणांक चरम मूल्यों से प्रभावित नहीं होता। इस दृष्टि से यह कार्ल पियरसन से उत्तम है।

r_s = 1 – \frac{6\sum D^2}{n^3 – n} = 1 – \frac{6\sum D^2}{n(n^2 – 1)}

…(4)

जहाँ n प्रेक्षणों की संख्या है और D एक चर को दी गई कोटि का दूसरे चर को दी गई कोटि से विचलन (अंतर) है।

सरल सहसंबंध गुणांक के सभी गुण यहाँ लागू होते हैं; यह भी +1 और −1 के बीच रहता है
दोनों की व्याख्या समान रूप से की जाती है
सामान्यतः यह सामान्य (पियरसन) विधि जितना यथातथ नहीं होता, क्योंकि आँकड़ों से जुड़ी सारी सूचना का उपयोग नहीं होता
प्रथम अंतर क्रमिक मानों का अंतर है। परिमाण के क्रम में लगी श्रृंखला के प्रथम अंतर लगभग कभी स्थिर नहीं होते; आँकड़े केंद्रीय मानों के आसपास, बीच में छोटे अंतरों पर, जमा रहते हैं
प्रथम अंतर स्थिर होते तो r और $r_k$ (कोटि सहसंबंध) एक ही परिणाम देते। सामान्यतः $r_k$ का मान r से कम या उसके बराबर होता है

आधार	कार्ल पियरसन (r)	स्पीयरमैन (rs)
किस पर	चरों के वास्तविक मान	मानों की कोटियाँ
आँकड़े	परिशुद्ध रूप से मापे जा सकें	गुणात्मक या ठीक से न मापे जा सकें
चरम मूल्य	प्रभावित होता है	प्रभावित नहीं होता
यथातथता	अधिक (सारी सूचना का उपयोग)	सामान्यतः कम; $r_k \le r$
सूत्र	$\sum xy / \sqrt{\sum x^2 \sum y^2}$	$1 – 6\sum D^2/(n^3 – n)$
परास	−1 से +1	−1 से +1

कोटि सहसंबंध का परिकलन तीन स्थितियों में: (1) कोटियाँ दी गई हों; (2) कोटियाँ न दी गई हों, आँकड़ों से निकालनी हों; (3) कोटियाँ दोहराई गई हों।

12 स्थिति 1: जब कोटियाँ दी गई हों (उदाहरण 3)

किसी सौंदर्य प्रतियोगिता में तीन निर्णायकों ने पाँच लोगों को ये कोटियाँ दीं। किन दो निर्णायकों का सौंदर्य-बोध सबसे समान है?

निर्णायक / प्रतियोगी	1	2	3	4	5
क	1	2	3	4	5
ख	2	4	1	5	3
ग	1	3	5	2	4

निर्णायकों के तीन जोड़े हैं, इसलिए कोटि सहसंबंध तीन बार निकालना होगा। n = 5, इसलिए $n^3 – n = 125 – 5 = 120$ ।

निर्णायक क और ख

प्रतियोगी	क	ख	D	D²
1	1	2	−1	1
2	2	4	−2	4
3	3	1	2	4
4	4	5	−1	1
5	5	3	2	4
योग			0	ΣD² = 14

$r_s = 1 – \dfrac{6 \times 14}{120} = 1 – \dfrac{84}{120} = 1 – 0.7 = 0.3$

निर्णायक क और ग

प्रतियोगी	क	ग	D	D²
1	1	1	0	0
2	2	3	−1	1
3	3	5	−2	4
4	4	2	2	4
5	5	4	1	1
योग			0	ΣD² = 10

$r_s = 1 – \dfrac{6 \times 10}{120} = 1 – 0.5 = 0.5$

निर्णायक ख और ग

प्रतियोगी	ख	ग	D	D²
1	2	1	1	1
2	4	3	1	1
3	1	5	−4	16
4	5	2	3	9
5	3	4	−1	1
योग			0	ΣD² = 28

$r_s = 1 – \dfrac{6 \times 28}{120} = 1 – 1.4 = -0.4$

निष्कर्ष

सबसे अधिक $r_s$ (0.5) निर्णायक क और ग का है, इसलिए उनका सौंदर्य-बोध निकटतम है। ख और ग का $r_s$ ऋणात्मक (−0.4) है: उनकी रुचियाँ काफ़ी भिन्न हैं।

परीक्षा संकेत

ΣD हमेशा 0 आता है। उत्तर लिखने से पहले D के स्तंभ का योग जाँच लें; 0 न आए तो किसी कोटि में घटाने की त्रुटि है।

13 स्थिति 2: जब कोटियाँ न दी गई हों (उदाहरण 4)

चरण 1हर चर में सबसे बड़े मान को कोटि 1, उससे छोटे को 2, ऐसे आगे दें (सबसे छोटे से शुरू करना भी ठीक है, पर दोनों चरों में एक ही नियम)

↓

चरण 2हर जोड़े का D = Rx − Ry और D² निकालें

↓

चरण 3सूत्र (4) में ΣD² और n रखें

दिया है

5 छात्रों के अंक (%): सांख्यिकी (X) 85, 60, 55, 65, 75; अर्थशास्त्र (Y) 60, 48, 49, 50, 55

ज्ञात करना है

कोटि सहसंबंध गुणांक

छात्र	सांख्यिकी (X)	अर्थशास्त्र (Y)	Rx	Ry	D = Rx − Ry	D²
क	85	60	1	1	0	0
ख	60	48	4	5	−1	1
ग	55	49	5	4	1	1
घ	65	50	3	3	0	0
ङ	75	55	2	2	0	0
योग					0	ΣD² = 2

हल

$r_s = 1 – \dfrac{6 \times 2}{5^3 – 5} = 1 – \dfrac{12}{120} = 1 – 0.1 =$ $0.9$

व्याख्या: सांख्यिकी और अर्थशास्त्र के अंकों में प्रबल धनात्मक कोटि सहसंबंध है: जिसकी कोटि एक विषय में ऊपर है, उसकी दूसरे में भी लगभग ऊपर है।

14 स्थिति 3: जब कोटियाँ दोहराई गई हों (उदाहरण 5)

दोहराए गए (बराबर) मदों को समान कोटि दी जाती है
समान कोटि उन कोटियों का माध्य है जो वे मद तब पाते जब वे एक-दूसरे से थोड़े भिन्न होते
अगले मद को वह कोटि दी जाती है जो पहले दी गई कोटियों के बाद आती है
उदाहरण: Y में 50 नौवीं, दसवीं और ग्यारहवीं कोटि पर है, इसलिए तीनों को औसत कोटि (9 + 10 + 11)/3 = 10 दी गई; अगले मान (40) को कोटि 12 मिली

सूत्र: दोहराई गई कोटियाँ

r_s = 1 – \frac{6\left[\sum D^2 + \dfrac{m_1^3 – m_1}{12} + \dfrac{m_2^3 – m_2}{12} + \cdots\right]}{n(n^2 – 1)}

m_1, m_2, \ldots

= हर दोहराई गई कोटि की पुनरावृत्त संख्या (कितने मद बराबर हैं);

\dfrac{m^3 – m}{12}

= उसका संशोधन गुणक। दोनों चरों के हर बराबर समूह का गुणक जोड़ें।

0.5m = 2 का संशोधन: (8 − 2)/12

2m = 3 का संशोधन: (27 − 3)/12

5m = 4 का संशोधन: (64 − 4)/12

दिया है

12 जोड़े (X, Y); X में कोई मान नहीं दोहराया; Y में 75 दो बार, 90 दो बार, 50 तीन बार

ज्ञात करना है

दोहराई कोटियों के संशोधन सहित rs

X	Y	Rx	Ry	D	D²
1200	75	1	5.5	−4.5	20.25
1150	65	2	7	−5	25.00
1000	50	3	10	−7	49.00
990	100	4	1	3	9.00
800	90	5	2.5	2.5	6.25
780	85	6	4	2	4.00
760	90	7	2.5	4.5	20.25
750	40	8	12	−4	16.00
730	50	9	10	−1	1.00
700	60	10	8	2	4.00
620	50	11	10	1	1.00
600	75	12	5.5	6.5	42.25
योग				0	ΣD² = 198.00

Y की कोटियाँ: 100 → 1; 90, 90 → (2 + 3)/2 = 2.5; 85 → 4; 75, 75 → (5 + 6)/2 = 5.5; 65 → 7; 60 → 8; 50, 50, 50 → 10; 40 → 12
बराबर समूह: m = 2 (90), m = 2 (75), m = 3 (50)

\dfrac{2^3 – 2}{12} + \dfrac{2^3 – 2}{12} + \dfrac{3^3 – 3}{12} = 0.5 + 0.5 + 2 = 3

कुल संशोधन गुणक

n(n^2 – 1) = 12 \times 143 = 1716

n = 12

r_s = 1 – \dfrac{6(198 + 3)}{1716} = 1 – \dfrac{1206}{1716} = 1 – 0.703 = 0.297 \approx 0.30

सूत्र में रखने पर

व्याख्या

X और Y के बीच धनात्मक कोटि सहसंबंध है: दोनों एक ही दिशा में गतिमान हैं। पर 0.30 कम है, इसलिए इस संबंध को सुदृढ़ नहीं कहा जा सकता।

आम ग़लतियाँ (कोटि सहसंबंध)

(1) बराबर मानों को 9, 10, 11 जैसी अलग कोटियाँ दे देना; सही है औसत कोटि 10। (2) बराबर समूह के बाद अगले मद को 11 देना; सही है 12। (3) हर बराबर समूह का संशोधन न जोड़ना: यहाँ दो-दो के दो समूह (75 और 90) हैं, इसलिए 0.5 दो बार जुड़ता है। (4) $n^3 – n$ की जगह $n^2 – 1$ लिख देना। (5) संशोधन गुणक को ΣD² से बाहर जोड़ देना; वह कोष्ठक के अंदर ΣD² में जुड़कर 6 से गुणा होता है।

क्रियात्मक गतिविधि (पुस्तक)

अपनी कक्षा के 10 छात्रों के नवीं और दसवीं की परीक्षाओं के अंक लें और कोटि सहसंबंध गुणांक निकालें; दोहराव न हो तो दोहराई कोटियों वाले आँकड़े लेकर फिर करें। विचार करें: कब कोटि सहसंबंध को सरल गुणांक से प्राथमिकता दें, और परिशुद्ध मापे गए आँकड़ों पर क्या फिर भी कोटि सहसंबंध लें। पुस्तक की आख़िरी गतिविधि: भारत की राष्ट्रीय आय और निर्यात के कम से कम 10 प्रेक्षण लेकर सभी सूत्रों से r निकालें।

15 सभी सूत्र एक जगह

मुख्य सूत्र

\mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{\sum xy}{N}, \qquad r = \frac{\sum xy}{N\sigma_x\sigma_y} = \frac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^2}\sqrt{\sum y^2}}

r = \frac{N\sum XY – (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{N\sum X^2 – (\sum X)^2}\;\sqrt{N\sum Y^2 – (\sum Y)^2}}

U = \frac{X – A}{h},\ V = \frac{Y – B}{k} \Rightarrow r_{XY} = r_{UV}

r_s = 1 – \frac{6\sum D^2}{n^3 – n}, \qquad r_s = 1 – \frac{6\left[\sum D^2 + \sum \frac{m^3 – m}{12}\right]}{n(n^2 – 1)}

जाँच: Σx = 0, Σy = 0, ΣD = 0;

-1 \le r \le 1

✓ ऐसा करें

पहले प्रकीर्ण आरेख देखें, फिर पियरसन का r लगाएँ
हर संख्यात्मक में दिया है, सूत्र, मान रखना और उत्तर अलग पंक्तियों में लिखें
उत्तर के बाद एक पंक्ति की व्याख्या (दिशा और गहनता) लिखें
बराबर मानों को औसत कोटि दें और हर समूह का संशोधन जोड़ें

✗ ऐसा न करें

उच्च r देखकर कार्य-कारण संबंध न बताएँ
r = 0 को “कोई संबंध नहीं” या “स्वतंत्र” न लिखें; लिखें “कोई रेखीय संबंध नहीं”
r के साथ कोई इकाई (कि.ग्रा./फुट, %) न लिखें
गैर-रेखीय (वक्र) आँकड़ों पर पियरसन का r न लगाएँ

16 सारांश

त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहले की रात पढ़ें

सहसंबंध विश्लेषण दो चरों के बीच संबंध का अध्ययन है: दिशा (धनात्मक/ऋणात्मक) और गहनता
सहसंबंध सह-प्रसरण दर्शाता है, कार्य-कारण संबंध नहीं; संयोग और तीसरा चर भी सहसंबंध बना सकते हैं
प्रकीर्ण आरेख संबंध का दृश्य प्रस्तुतीकरण है और रेखीय संबंध तक सीमित नहीं; सात प्रतिमान (चित्र 6.1-6.7)
कार्ल पियरसन का r (गुणन आघूर्ण, सरल सहसंबंध गुणांक) केवल रेखीय संबंध मापता है; r सदैव −1 और +1 के बीच
r की कोई इकाई नहीं; उद्गम और पैमाने के परिवर्तन से अप्रभावित (पद विचलन विधि); सहप्रसरण का चिह्न = r का चिह्न
उदाहरण 1: r = 0.644; उदाहरण 2: r = 0.987; सारणी 6.2: r = 0.32
चर परिशुद्धता से न मापे जा सकें तो स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध: $r_s = 1 – 6\sum D^2/(n^3 – n)$
उदाहरण 3: 0.3, 0.5, −0.4 (क और ग निकटतम); उदाहरण 4: 0.9; उदाहरण 5: 0.30
दोहराई गई कोटियों को संशोधन गुणक (m³ − m)/12 की आवश्यकता होती है

परीक्षा से पहले ख़ुद जाँचें

क्या मैं सहसंबंध की परिभाषा और “सह-प्रसरण, कार्य-कारण नहीं” का अर्थ लिख सकता हूँ?
क्या मैं सातों प्रकीर्ण आरेख बनाकर नाम लिख सकता हूँ?
क्या मैं r के आठ गुण बिना देखे लिख सकता हूँ?
क्या मैं विचलन विधि और प्रत्यक्ष विधि, दोनों से r निकाल सकता हूँ?
क्या मैं बराबर मानों को औसत कोटि देकर संशोधन गुणक जोड़ सकता हूँ?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स