Class 10 Mathematics Ch 1 MCQ in Hindi: वास्तविक संख्याएँ

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1 सीधे प्रश्न

8 गद्यांश आधारित प्रश्न

9 सत्य-असत्य

इस अध्याय के 19 बहुविकल्पीय (MCQ / वस्तुनिष्ठ) प्रश्न, परीक्षा की प्रचलित शैलियों में। हर प्रश्न के उत्तर के साथ व्याख्या भी दी गई है, ताकि केवल सही विकल्प नहीं, उसकी वजह भी याद रहे।

1 सीधे प्रश्न

सीधे प्रश्न

1 अंकयदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p$ , $a^2$ को विभाजित करता है, तो:
(क) $p$ , $a$ को विभाजित करता है(ख) $2p$ , $a$ को विभाजित करता है(ग) $p^2$ , $a$ को विभाजित करता है(घ) $a$ , $p$ को विभाजित करता है
1 अंकनिम्नलिखित में कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
(क) $\dfrac{22}{7}$ (ख) $\sqrt{9}$ (ग) $\sqrt{3}$ (घ) $0.5$
1 अंक $\sqrt{2}$ को अपरिमेय सिद्ध करने में किस विधि का प्रयोग होता है?
(क) आगमन (induction)(ख) विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति (contradiction)(ग) प्रत्यक्ष उपपत्ति(घ) आरेख द्वारा उपपत्ति
1 अंकयदि महत्तम समापवर्तक $\text{HCF}(306,657)=9$ है, तो $\text{LCM}(306,657)$ है:
(क) 306657(ख) 9(ग) 657(घ) 22338
1 अंक $\sqrt{2}\times\sqrt{2}$ का मान है:
(क) $\sqrt2$ (ख) $2\sqrt2$ (ग) $4$ (घ) $2$
1 अंकसबसे छोटी भाज्य संख्या और दो अंकों की सबसे छोटी भाज्य संख्या का LCM है:
(क) 4(ख) 10(ग) 20(घ) 40

2 अभिकथन-कारण

अभिकथन-कारण

1 अंकअभिकथन (A): $6, 72, 120$ के लिए $6\times72\times120=\text{HCF}(6,72,120)\times\text{LCM}(6,72,120)$ है।
कारण (R): $\text{HCF}(a,b)\times\text{LCM}(a,b)=a\times b$ का संबंध किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य होता है।
(क) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है(ख) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं करता(ग) A सत्य है, R असत्य है(घ) A असत्य है, R सत्य है
1 अंकअभिकथन (A): 8 और 9 सहअभाज्य संख्याएँ हैं।
कारण (R): दो सहअभाज्य संख्याओं में से कम-से-कम एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए।
(क) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है(ख) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं करता(ग) A सत्य है, R असत्य है(घ) A असत्य है, R सत्य है

3 सुमेलन कीजिए

सुमेलन कीजिए

1 अंककॉलम I को कॉलम II से सुमेलित कीजिए।
कॉलम I: A. HCF(6,20) B. LCM(6,20) C. HCF(96,404) D. LCM(96,404)
कॉलम II: 1) 9696 2) 60 3) 2 4) 4
(क) A-3, B-2, C-4, D-1(ख) A-2, B-3, C-1, D-4(ग) A-4, B-2, C-3, D-1(घ) A-3, B-1, C-4, D-2
1 अंक $a=2^3\times3$ और $b=2\times3^2\times5$ है। कॉलम I को कॉलम II से सुमेलित कीजिए।
कॉलम I: A. $\text{HCF}(a,b)$ B. $\text{LCM}(a,b)$ C. $\text{HCF}(a,b)\times\text{LCM}(a,b)$ D. $a$ और $b$ के कुल भिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या
कॉलम II: 1) $2^3\times3^2\times5$ 2) $2\times3$ 3) $2^4\times3^3\times5$ 4) $3$
(क) A-2, B-1, C-3, D-4(ख) A-1, B-2, C-3, D-4(ग) A-2, B-3, C-1, D-4(घ) A-4, B-1, C-3, D-2

4 कथन आधारित प्रश्न

कथन आधारित प्रश्न

1 अंकनिम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
कथन I: किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों का LCM, सदैव उनके HCF का एक गुणज होता है।
कथन II: यदि दो धनात्मक पूर्णांक सहअभाज्य हों, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।
(क) दोनों कथन सत्य हैं(ख) कथन I सत्य है, कथन II असत्य है(ग) कथन I असत्य है, कथन II सत्य है(घ) दोनों कथन असत्य हैं

5 सही क्रम में लगाइए

सही क्रम में लगाइए

1 अंक $\sqrt2$ अपरिमेय है की उपपत्ति के इन चरणों को सही क्रम में लगाइए: (1) $r=2c$ लिखिए (2) मान लीजिए $\sqrt2=\dfrac{r}{s}$ , $r,s$ सहअभाज्य (3) $2s^2=r^2$ से $2\mid r$ (प्रमेय 1.2 से) (4) विरोधाभास: $r,s$ में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड निकला
(क) 3, 2, 1, 4(ख) 2, 3, 1, 4(ग) 1, 2, 3, 4(घ) 4, 3, 2, 1

6 रिक्त स्थान

रिक्त स्थान

1 अंकदो संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, उन्हें ______ संख्याएँ कहते हैं।
(क) भाज्य(ख) अभाज्य(ग) सहअभाज्य(घ) पूर्ण वर्ग

7 असंगत चुनिए

असंगत चुनिए

1 अंकइनमें से कौन-सा युग्म सहअभाज्य नहीं है?
(क) (8, 9)(ख) (17, 23)(ग) (6, 20)(घ) (35, 12)

8 गद्यांश आधारित प्रश्न

गद्यांश आधारित प्रश्न

गद्यांश

किसी पार्क में तीन अलग-अलग रंग की सजावटी लाइटें एक साथ जलाई गई हैं। लाल लाइट हर 24 सेकंड में, नीली लाइट हर 36 सेकंड में, और हरी लाइट हर 54 सेकंड में एक बार जल-बुझ जाती है। तीनों लाइटें ठीक 6:00:00 बजे शाम को एक साथ जली थीं।

1 अंकतीनों लाइटें फिर से एक साथ कितने सेकंड बाद जलेंगी?
(क) 72 सेकंड(ख) 108 सेकंड(ग) 216 सेकंड(घ) 144 सेकंड
1 अंकतीनों लाइटें अगली बार एक साथ जलने पर घड़ी में कितना समय दिखाएगी (216 सेकंड = 3 मिनट 36 सेकंड मानकर)?
(क) 6:03:36 बजे(ख) 6:02:16 बजे(ग) 6:04:00 बजे(घ) 6:01:56 बजे

गद्यांश

एक हलवाई के पास 420 काजू कतली और 130 बर्फी के टुकड़े हैं। वह इन दोनों मिठाइयों को अलग-अलग ट्रे में इस प्रकार सजाना चाहता है कि हर ट्रे में केवल एक ही प्रकार की मिठाई हो, हर ट्रे में मिठाई के टुकड़ों की संख्या बराबर हो, और यह संख्या जितनी बड़ी हो सके उतनी बड़ी हो।

1 अंकहर ट्रे में अधिकतम कितने टुकड़े रखे जा सकते हैं?
(क) 10(ख) 13(ग) 20(घ) 26
1 अंकइस अधिकतम संख्या पर कुल कितनी ट्रे लगेंगी (काजू कतली और बर्फी दोनों मिलाकर)?
(क) 42(ख) 55(ग) 13(घ) 68

9 सत्य-असत्य

सत्य-असत्य

1 अंकनिम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए: (i) $3+2\sqrt5$ एक अपरिमेय संख्या है (ii) यदि दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF $12$ और गुणनफल $3600$ है, तो उनका LCM $300$ है (iii) किसी परिमेय संख्या और किसी अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है। सत्य कथन चुनिए:
(क) केवल (iii)(ख) केवल (i) और (iii)(ग) (i), (ii) और (iii) सभी(घ) केवल (i) और (ii)

उत्तर कुंजी एवं व्याख्या

सीधे प्रश्न

(क) प्रमेय 1.2 का सीधा कथन: $p\mid a^2 \Rightarrow p\mid a$ ।
(ग) $\sqrt3$ को $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता; बाकी तीनों परिमेय हैं ( $\sqrt9=3$ )।
(ख) पहले $\sqrt2$ को परिमेय मान लिया जाता है, फिर विरोधाभास दिखाया जाता है।
(घ) $\text{LCM}=\dfrac{306\times657}{9}=22338$ ।
(घ) $\sqrt2\times\sqrt2=2$ , जो एक परिमेय संख्या है, यह दिखाता है कि दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय भी हो सकता है।
(ग) सबसे छोटी भाज्य संख्या $4=2^2$ है और दो अंकों की सबसे छोटी भाज्य संख्या $10=2\times5$ है। सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातें लेने पर $\text{LCM}(4,10)=2^2\times5=20$ ।

अभिकथन-कारण

(घ) A असत्य है: यह संबंध तीन संख्याओं के लिए सत्य नहीं होता ( $51840\neq2160$ )। R सत्य है: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है।
(ग) A सत्य है ( $8=2^3$ , $9=3^2$ , कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)। R असत्य है: 8 और 9 दोनों ही भाज्य संख्याएँ हैं, फिर भी सहअभाज्य हैं।

सुमेलन कीजिए

(क) $\text{HCF}(6,20)=2$ , $\text{LCM}(6,20)=60$ , $\text{HCF}(96,404)=4$ , $\text{LCM}(96,404)=9696$ ।
(क) उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातें: $\text{HCF}=2^1\times3^1=2\times3=6$ । सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातें: $\text{LCM}=2^3\times3^2\times5=360$ । $\text{HCF}\times\text{LCM}=2^4\times3^3\times5=2160$ , जो $a\times b=24\times90=2160$ के बराबर है। भिन्न अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं, यानी कुल 3।

कथन आधारित प्रश्न

(क) कथन I सत्य है: HCF, किसी भी एक संख्या का गुणनखंड है, और वह संख्या LCM का गुणनखंड है; अतः HCF, LCM का गुणनखंड है, यानी LCM, HCF का गुणज है (जैसे $\text{HCF}(6,20)=2$ और $\text{LCM}(6,20)=60=2\times30$ )। कथन II सत्य है: सहअभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है, इसलिए $\text{HCF}(a,b)\times\text{LCM}(a,b)=a\times b$ से $\text{LCM}(a,b)=a\times b$ (जैसे $\text{LCM}(8,9)=72$ )।

सही क्रम में लगाइए

(ख) सही क्रम: पहले सहअभाज्य $r,s$ मान लीजिए (2), फिर वर्ग करके $2\mid r$ दिखाइए (3), फिर $r=2c$ रखिए (1), अंत में विरोधाभास निकलता है (4), यानी 2, 3, 1, 4।

रिक्त स्थान

(ग) 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न होने की परिभाषा ही सहअभाज्य संख्याओं की है।

असंगत चुनिए

(ग) $6=2\times3$ और $20=2^2\times5$ में उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है (HCF=2), इसलिए यह सहअभाज्य नहीं है; बाकी तीनों जोड़ों का HCF 1 है।

गद्यांश आधारित प्रश्न

(ग) $24=2^3\times3$ , $36=2^2\times3^2$ , $54=2\times3^3$ । LCM $=2^3\times3^3=216$ सेकंड।
(क) 216 सेकंड $=3$ मिनट $36$ सेकंड। 6:00:00 में यह जोड़ने पर 6:03:36 बजे।
(क) $420=2^2\times3\times5\times7$ , $130=2\times5\times13$ । उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 5, दोनों की सबसे छोटी घात $2^1\times5^1=10$ । अतः $\text{HCF}(420,130)=10$ ।
(ख) काजू कतली की ट्रे $=420\div10=42$ , बर्फी की ट्रे $=130\div10=13$ । कुल ट्रे $=42+13=55$ ।

सत्य-असत्य

(घ) (i) सत्य: परिमेय संख्या $3$ और अपरिमेय संख्या $2\sqrt5$ का योग अपरिमेय होता है (प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 2 में इसकी उपपत्ति है)। (ii) सत्य: $\text{LCM}=\dfrac{3600}{12}=300$ (जैसे संख्याएँ $12$ और $300$ )। (iii) असत्य: परिमेय संख्या $0$ लेने पर $0\times\sqrt2=0$ , जो परिमेय है; यह नियम केवल शून्येतर परिमेय संख्या के लिए सत्य है। अतः केवल (i) और (ii) सत्य हैं।

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