Class 10 Mathematics Chapter 1 Notes in Hindi: वास्तविक संख्याएँ

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1भूमिका: कक्षा 9 से आगे

2अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

3अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM

4प्रमेय 1.2: अगली उपपत्तियों की नींव

5अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

62\sqrt{2}2 अपरिमेय है: पूरी उपपत्ति

7वही विधि: 3\sqrt{3}3 और अन्य अभाज्य वर्गमूल

8परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योग व गुणनफल

9पाठकों के लिए विशेष: तीन संख्याओं का HCF-LCM सूत्र

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखना, और यह गुणनखंडन क्यों अद्वितीय होता है
अभाज्य गुणनखंडन विधि से दो या तीन संख्याओं का HCF और LCM निकालना
यह सिद्ध करना कि $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं, विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति (proof by contradiction) की विधि से
यह पहचानना कि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग, अंतर, गुणनफल का परिणाम कब अपरिमेय होता है

अभाज्य संख्याभाज्य संख्याअंकगणित की आधारभूत प्रमेयगुणनखंड वृक्षHCFLCMसहअभाज्यअपरिमेय संख्याविरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति

1भूमिका: कक्षा 9 से आगे

कक्षा 9 में आपने वास्तविक संख्याओं (real numbers) की दुनिया देखी थी और पहली बार अपरिमेय संख्याओं (irrational numbers) से मिले थे। इस अध्याय में हम उसी चर्चा को आगे बढ़ाते हैं, पर इस बार एक ठोस औज़ार के साथ, जिसका नाम है अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)। इसी एक प्रमेय से हम दो काम करेंगे: पहला, अभाज्य गुणनखंडन विधि से किन्हीं भी दो या तीन संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) और LCM निकालना; दूसरा, यह सिद्ध करना कि $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ जैसी संख्याएँ सचमुच अपरिमेय ही हैं, न कि केवल “दिखने में” अपरिमेय।

ध्यान दें

पुरानी किताबों या गाइड में आपको यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid’s Division Algorithm) पर पूरा भाग और अभ्यास मिल सकता है। वर्तमान पुस्तक की भूमिका में इसका और “परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार” का उल्लेख है, पर इस अध्याय में इन दोनों पर न कोई अनुभाग है, न कोई प्रश्नावली। CBSE पाठ्यक्रम (2026-27) में इस अध्याय के दो ही विषय दिए गए हैं: अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, और $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ जैसी संख्याओं की अपरिमेयता की उपपत्तियाँ। ये दोनों हटाए गए विषय उसमें नहीं हैं।

2अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

पिछली कक्षाओं में आपने देखा है कि हर प्राकृत संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे $2=2$ , $4=2\times2$ , $253=11\times23$ । अब इसे उल्टी दिशा से देखते हैं: क्या अभाज्य संख्याओं को गुणा करके हर भाज्य संख्या बनाई जा सकती है?

इसका उत्तर खोजने के लिए हम गुणनखंड वृक्ष (factor tree) का उपयोग करते हैं, जो आपको पहले से पता है। एक छोटी संख्या पर इसे देखिए:

चित्र 1 (समझाने के लिए नोट्स का अपना उदाहरण): 12 का गुणनखंड वृक्ष: 12 = 2 × 6, फिर 6 को आगे 2 × 3 में तोड़ा गया, इसलिए 12 = 2 × 2 × 3 — **चित्र 1** (समझाने के लिए नोट्स का अपना उदाहरण): 12 का गुणनखंड वृक्ष: 12 = 2 × 6, फिर 6 को आगे 2 × 3 में तोड़ा गया, इसलिए 12 = 2 × 2 × 3

वृक्ष हर बार तभी रुकता है जब हमें कोई अभाज्य संख्या मिल जाती है, क्योंकि अभाज्य संख्या को आगे दो छोटे गुणनखंडों में नहीं तोड़ा जा सकता। अब एक बड़ी संख्या, 32760, पर यही विधि भाग विधि (division ladder) से आज़माते हैं, जो बड़ी संख्याओं के लिए वृक्ष से ज़्यादा व्यवस्थित रहती है: हर बार संख्या को सबसे छोटे संभव अभाज्य गुणनखंड से भाग देते जाइए, जब तक भागफल 1 न आ जाए।

अभाज्य गुणनखंड	भाग देने पर भागफल
2	$32760 \div 2 = 16380$
2	$16380 \div 2 = 8190$
2	$8190 \div 2 = 4095$
3	$4095 \div 3 = 1365$
3	$1365 \div 3 = 455$
5	$455 \div 5 = 91$
7	$91 \div 7 = 13$
13	$13 \div 13 = 1$ (रुक जाइए)

इसलिए $32760 = 2\times2\times2\times3\times3\times5\times7\times13$ , या घातों में लिखें तो $32760 = 2^3\times3^2\times5\times7\times13$ । एक और उदाहरण: $123456789 = 3^2\times3803\times3607$ (यहाँ यह जाँचना कि 3803 और 3607 दोनों अभाज्य हैं, आप स्वयं आज़मा सकते हैं)। ऐसे कई उदाहरणों से यह अनुमान बनता है कि हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह अनुमान सत्य निकलता है।

कंठस्थ करेंप्रमेय 1.1: अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय (unique) होता है।

यानी $2\times3\times5\times7$ और $3\times5\times7\times2$ एक ही गुणनखंडन माने जाते हैं, केवल क्रम अलग है। अगर गुणनखंडों को हमेशा बढ़ते क्रम में लिखने का नियम बना लिया जाए (जैसे इस पूरे अध्याय में किया गया है), तो किसी भी भाज्य संख्या को लिखने का एक ही तरीका बचता है।

क्या आप जानते हैं?

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के रूप में विख्यात होने से पहले, इस प्रमेय का संभवतया सर्वप्रथम वर्णन यूक्लिड की एलीमेंट्स (Elements) की पुस्तक IX में साध्य (proposition) 14 के रूप में हुआ था। पर इसका पहला सही प्रमाण जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने अपनी किताब Disquisitiones Arithmeticae में दिया था। गॉस को अक्सर “गणितज्ञों का राजकुमार” कहा जाता है, और आर्किमिडीज़ व न्यूटन के साथ उन्हें अब तक के तीन सबसे महान गणितज्ञों में गिना जाता है।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) का 1840 का चित्र, चित्रकार क्रिश्चियन अल्ब्रेष्ट येंसन — **चित्र 2**: कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जिन्होंने अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का पहला सही प्रमाण दिया। चित्र: Christian Albrecht Jensen / Wikimedia Commons / Public Domain

हल किया उदाहरण 1

प्रश्न: $4^n$ ( $n$ कोई प्राकृत संख्या) के रूप की संख्याओं पर विचार कीजिए। जाँचिए कि क्या $n$ के किसी मान के लिए $4^n$ अंक शून्य पर समाप्त होती है।

हल: यदि $4^n$ अंक 0 पर समाप्त होती, तो वह 5 से विभाज्य होती, यानी $4^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में 5 आना चाहिए। परंतु $4^n=(2)^{2n}$ है, इसलिए $4^n$ के गुणनखंडन में केवल एक ही अभाज्य संख्या आती है, वह है 2। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के अनुसार, $4^n$ के गुणनखंडन में 2 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या आ ही नहीं सकती। इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $4^n$ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

3अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM

पिछली कक्षाओं में आपने बिना जाने ही अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके HCF और LCM निकालना सीख लिया था। इसे अब औपचारिक रूप से देखते हैं।

नियम

HCF = हर उभयनिष्ठ (common) अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल

LCM = संख्याओं में आए हर अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल

पहले हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों की घातों में लिखिए, फिर यह नियम लगाइए

हल किया उदाहरण 2

प्रश्न: अभाज्य गुणनखंडन विधि से 6 और 20 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल: $6=2^1\times3^1$ और $20=2^2\times5^1$ ।
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड केवल 2 है, सबसे छोटी घात $2^1$ , इसलिए $\text{HCF}(6,20)=2$ ।
सभी अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 हैं, सबसे बड़ी घातें $2^2, 3^1, 5^1$ , इसलिए $\text{LCM}(6,20)=2^2\times3^1\times5^1=60$ ।

महत्वपूर्ण संबंध (केवल दो संख्याओं के लिए)

\text{HCF}(a,b)\times\text{LCM}(a,b)=a\times b

ऊपर के उदाहरण में देखिए:

\text{HCF}(6,20)\times\text{LCM}(6,20)=2\times60=120=6\times20

। यदि इन चार राशियों (दोनों संख्याएँ, उनका HCF और LCM) में से कोई तीन पता हों, तो चौथी राशि इसी सूत्र से सीधे निकाली जा सकती है।

हल किया उदाहरण 3

प्रश्न: अभाज्य गुणनखंडन विधि से 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए, फिर उसकी सहायता से LCM भी निकालिए।

हल: $96=2^5\times3^1$ और $404=2^2\times101^1$ ।
उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 2, सबसे छोटी घात $2^2$ , इसलिए $\text{HCF}(96,404)=4$ ।
अब $\text{HCF}\times\text{LCM}=a\times b$ से: $\text{LCM}(96,404)=\dfrac{96\times404}{4}=9696$ ।

हल किया उदाहरण 4: तीन संख्याओं का HCF-LCM

प्रश्न: अभाज्य गुणनखंडन विधि से 6, 72 और 120 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल: $6=2^1\times3^1$ , $72=2^3\times3^2$ , $120=2^3\times3^1\times5^1$ ।
तीनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और 3 हैं, उनकी सबसे छोटी घातें $2^1$ और $3^1$ : $\text{HCF}=2\times3=6$ ।
तीनों में आई सबसे बड़ी घातें $2^3$ , $3^2$ , $5^1$ : $\text{LCM}=2^3\times3^2\times5^1=360$ ।

आम गलती

$\text{HCF}\times\text{LCM}=$ गुणनफल वाला संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सच है। ऊपर के उदाहरण में $6\times72\times120 \neq \text{HCF}(6,72,120)\times\text{LCM}(6,72,120)$ , यानी $51840 \neq 6\times360=2160$ । तीन (या अधिक) संख्याओं के लिए इस शॉर्टकट का उपयोग कभी न करें, हर बार अभाज्य गुणनखंडन से ही सबसे छोटी/बड़ी घात निकालिए।

4प्रमेय 1.2: अगली उपपत्तियों की नींव

अपरिमेय संख्याओं की उपपत्ति देने से पहले हमें एक औज़ार चाहिए, जो अंकगणित की आधारभूत प्रमेय से ही निकलता है।

कंठस्थ करेंप्रमेय 1.2

मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p$ , $a^2$ को विभाजित करता है, तो $p$ , $a$ को भी विभाजित करेगा, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

मान लीजिए

a

के अभाज्य गुणनखंड

a=p_1p_2\ldots p_n

हैं

p_1,p_2,\ldots,p_n

अभाज्य हैं, पर अलग-अलग होना ज़रूरी नहीं

a^2=(p_1p_2\ldots p_n)(p_1p_2\ldots p_n)=p_1^2p_2^2\ldots p_n^2

दोनों बार वही गुणनखंडन गुणा किया

p

a^2

को विभाजित करता है, इसलिए

p

a^2

का एक अभाज्य गुणनखंड हैअंकगणित की आधारभूत प्रमेय से

a^2

के अभाज्य गुणनखंड केवल

p_1,p_2,\ldots,p_n

ही हो सकते हैंप्रमेय की अद्वितीयता के गुण से

इसलिए

p

p_1,p_2,\ldots,p_n

में से एक है, और चूँकि

a=p_1p_2\ldots p_n

p

ज़रूर

a

को विभाजित करेगायही सिद्ध करना था

NCERT इस उपपत्ति के साथ टिप्पणी देती है: “यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।” पर प्रमेय का कथन और उसका उपयोग आगे हर उपपत्ति में होगा, इसलिए यह याद रखना ज़रूरी है।

5अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

कंठस्थ करेंपरिभाषा: अपरिमेय संख्या

एक संख्या $s$ अपरिमेय कहलाती है, यदि उसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

कक्षा 9 में आप इनसे परिचित हुए थे: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{15}$ , $\pi$ , $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $0.10110111011110\ldots$ आदि। इस भाग में हम सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , और व्यापक रूप में $\sqrt{p}$ (जहाँ $p$ कोई अभाज्य संख्या है) अपरिमेय हैं। इस उपपत्ति में प्रमेय 1.2 का सीधा उपयोग होगा।

6 $\sqrt{2}$ अपरिमेय है: पूरी उपपत्ति

यह उपपत्ति “विरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति” (proof by contradiction) पर आधारित है (पुस्तक के अनुसार इस तकनीक की विस्तृत चर्चा परिशिष्ट 1 में है): पहले यह मान लेते हैं कि दी गई बात गलत है, फिर उसी मान्यता से कोई असंभव नतीजा निकालकर दिखाते हैं कि मूल मान्यता ही गलत थी।

कंठस्थ करेंप्रमेय 1.3

$\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

मान लीजिए, इसके विपरीत,

\sqrt{2}

एक परिमेय संख्या हैविरोधोक्ति द्वारा उपपत्ति की शुरुआत

तो ऐसे पूर्णांक

r

और

s

(

s\neq0

) मिलेंगे कि

\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}

, जहाँ

r

और

s

सहअभाज्य हैं (1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)यदि उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उससे भाग देकर सरलतम रूप बना लिया

s\sqrt{2}=r

, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

2s^2=r^2

वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग किया

2

r^2

को विभाजित करता है, इसलिए प्रमेय 1.2 से

2

r

को भी विभाजित करेगा

2

अभाज्य है, और

2\mid r^2

इसलिए

r=2c

लिखा जा सकता है, किसी पूर्णांक

c

के लिए

2

r

को विभाजित करता है

r=2c

रखने पर

2s^2=4c^2

, यानी

s^2=2c^2

प्रतिस्थापन और सरलीकरण

2

s^2

को विभाजित करता है, इसलिए प्रमेय 1.2 से

2

s

को भी विभाजित करेगावही तर्क दोबारा,

p=2

के लिए

अब

r

और

s

दोनों में 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकला

2\mid r

और

2\mid s

दोनों सिद्ध हो चुके

परंतु यह इस बात का विरोधाभास है कि

r

और

s

सहअभाज्य थे (1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं)कदम 2 की मान्यता से टकराव

यह विरोधाभास हमारी गलत मान्यता के कारण आया कि

\sqrt{2}

परिमेय है। इसलिए

\sqrt{2}

अपरिमेय हैनिष्कर्ष

परीक्षा संकेत

इस पूरी उपपत्ति (10 कदम) में हर कदम का क्रम याद रखिए: मान लीजिए परिमेय है → सहअभाज्य $r,s$ लीजिए → वर्ग कीजिए → प्रमेय 1.2 से $2\mid r$ → $r=2c$ रखिए → फिर $2\mid s$ → विरोधाभास → निष्कर्ष। इसी ढाँचे में केवल संख्या बदलकर $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ या किसी भी अभाज्य $\sqrt{p}$ की उपपत्ति दी जा सकती है।

7वही विधि: $\sqrt{3}$ और अन्य अभाज्य वर्गमूल

हल किया उदाहरण 5

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, $\sqrt{3}$ परिमेय है। तो सहअभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ ( $b\neq0$ ) मिलेंगे कि $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$ , यानी $b\sqrt{3}=a$ । दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $3b^2=a^2$ । इसलिए $a^2$ , 3 से विभाज्य है, और प्रमेय 1.2 से $a$ भी 3 से विभाज्य होगा। तो $a=3c$ लिखिए, किसी पूर्णांक $c$ के लिए। इसे रखने पर $3b^2=9c^2$ , यानी $b^2=3c^2$ , इसलिए $b^2$ भी 3 से विभाज्य है, और इसलिए $b$ भी 3 से विभाज्य है (फिर से प्रमेय 1.2 से, $p=3$ लेकर)। अब $a$ और $b$ दोनों में 3 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकला, जो इस बात का विरोधाभास है कि वे सहअभाज्य थे। इसलिए $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

इसी ढाँचे को किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए दोहराया जा सकता है (जैसे $\sqrt{5}$ , $\sqrt{7}$ , $\sqrt{11}$ ), क्योंकि प्रमेय 1.2 हर अभाज्य $p$ के लिए सच है, केवल 2 या 3 के लिए नहीं। यही इस उपपत्ति की असली ताकत है: एक बार सीख लेने पर, यह हर अभाज्य के वर्गमूल पर लागू होती है।

8परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योग व गुणनफल

कक्षा 9 में आपने ये दो बातें बिना उपपत्ति के जानी थीं, अब हम उन्हें विशेष उदाहरणों में सिद्ध करके दिखाते हैं:

एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर सदैव अपरिमेय होता है
एक अशून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल सदैव अपरिमेय होता है

हल किया उदाहरण 6

प्रश्न: दिखाइए कि $5-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, $5-\sqrt{3}$ परिमेय है। तो सहअभाज्य पूर्णांक $a,b$ ( $b\neq0$ ) मिलेंगे कि $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$ । इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5b-a}{b}$ । चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है, इसलिए $\sqrt{3}$ भी परिमेय हो जाएगी। पर यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है (हल किया उदाहरण 5 से)। इसलिए $5-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल किया उदाहरण 7

प्रश्न: दिखाइए कि $3\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, $3\sqrt{2}$ परिमेय है। तो सहअभाज्य पूर्णांक $a,b$ ( $b\neq0$ ) मिलेंगे कि $3\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ , इसलिए $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3b}$ । चूँकि 3, $a$ , $b$ सभी पूर्णांक हैं, $\dfrac{a}{3b}$ एक परिमेय संख्या है, इसलिए $\sqrt{2}$ भी परिमेय हो जाएगी। पर यह $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने का विरोधाभास है (प्रमेय 1.3)। इसलिए $3\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

आम गलती

यह नियम दो अपरिमेय संख्याओं के योग या गुणनफल पर लागू नहीं होता। जैसे $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ परिमेय है, और $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ भी परिमेय है, जबकि दोनों बार दोनों संख्याएँ अपरिमेय थीं। “परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय” वाला नियम तभी लगाइए जब एक संख्या पक्की तौर पर परिमेय और दूसरी पक्की तौर पर अपरिमेय हो।

9पाठकों के लिए विशेष: तीन संख्याओं का HCF-LCM सूत्र

पाठकों के लिए विशेष (अभ्यास प्रश्नों में इसका उपयोग नहीं है)

आपने पहले देखा कि तीन संख्याओं $p,q,r$ के लिए $\text{HCF}(p,q,r)\times\text{LCM}(p,q,r)\neq p\times q\times r$ होता है। NCERT “पाठकों के लिए विशेष” भाग में इसके सही सूत्र भी देती है; किसी अभ्यास प्रश्न में इनका उपयोग नहीं है:

\text{LCM}(p,q,r)=\dfrac{p\cdot q\cdot r\cdot \text{HCF}(p,q,r)}{\text{HCF}(p,q)\cdot\text{HCF}(q,r)\cdot\text{HCF}(p,r)}

\text{HCF}(p,q,r)=\dfrac{p\cdot q\cdot r\cdot \text{LCM}(p,q,r)}{\text{LCM}(p,q)\cdot\text{LCM}(q,r)\cdot\text{LCM}(p,r)}

इस अध्याय की सभी परिभाषाएँ और प्रमेय, एक जगह

अंकगणित की आधारभूत प्रमेयहर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय है

प्रमेय 1.2यदि

p

अभाज्य है और

p\mid a^2

, तो

p\mid a

प्रमेय 1.3

\sqrt{2}

अपरिमेय है (और यही तरीका हर अभाज्य

\sqrt{p}

के लिए काम करता है)

अपरिमेय संख्याऐसी संख्या जिसे

\dfrac{p}{q}

(

q\neq0

p,q

पूर्णांक) के रूप में नहीं लिखा जा सकता

सहअभाज्य संख्याएँदो संख्याएँ जिनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो

HCF (अभाज्य गुणनखंडन विधि)हर उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल

LCM (अभाज्य गुणनखंडन विधि)हर अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से पहली रात के लिए

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: हर भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है (क्रम को छोड़कर)
HCF = उभयनिष्ठ गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल; LCM = सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
$\text{HCF}(a,b)\times\text{LCM}(a,b)=a\times b$ , केवल दो संख्याओं के लिए
प्रमेय 1.2: $p$ अभाज्य, $p\mid a^2 \Rightarrow p\mid a$ , जो हर अपरिमेयता प्रमाण की नींव है
$\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ अपरिमेय हैं: विरोधोक्ति की विधि से, 10 निश्चित कदमों में
परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय; अशून्य परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय (पर अपरिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय नहीं)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म और दशमलव प्रसार: CBSE पाठ्यक्रम (2026-27) में नहीं हैं, और इस अध्याय में इन पर कोई अनुभाग नहीं है

परीक्षा से पहले स्वयं जाँच लीजिए

क्या मैं किसी भी 5 अंकों तक की संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ सकता हूँ?
क्या मैं अभाज्य गुणनखंडन से दो या तीन संख्याओं का HCF और LCM निकाल सकता हूँ?
क्या मुझे पता है HCF×LCM=a×b का नियम तीन संख्याओं पर लागू नहीं होता?
क्या मैं $\sqrt{2}$ अपरिमेय है, इसकी पूरी उपपत्ति बिना देखे लिख सकता हूँ?
क्या मैं वही उपपत्ति $\sqrt{3}$ या $\sqrt{5}$ के लिए दोहरा सकता हूँ?
क्या मैं $5-\sqrt{3}$ जैसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध कर सकता हूँ?

अभ्यास प्रश्न

1 अंक84 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
2 अंकHCF(96, 120) अभाज्य गुणनखंडन विधि से ज्ञात कीजिए।
3 अंकसिद्ध कीजिए कि $2+\sqrt{3}$ अपरिमेय है।
5 अंकसिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है (पूरे कदम लिखिए)।

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स

1भूमिका: कक्षा 9 से आगे

2अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

3अभाज्य गुणनखंडन विधि से HCF और LCM

4प्रमेय 1.2: अगली उपपत्तियों की नींव

5अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

62\sqrt{2}2​ अपरिमेय है: पूरी उपपत्ति

7वही विधि: 3\sqrt{3}3​ और अन्य अभाज्य वर्गमूल

8परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योग व गुणनफल

9पाठकों के लिए विशेष: तीन संख्याओं का HCF-LCM सूत्र

6 $\sqrt{2}$ अपरिमेय है: पूरी उपपत्ति

7वही विधि: $\sqrt{3}$ और अन्य अभाज्य वर्गमूल