Class 10 Mathematics Chapter 3 Notes in Hindi: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को पहचानना और उसका सामान्य रूप लिखना
ग्राफ से यह बताना कि युग्म का एक हल है, अपरिमित रूप से अनेक हल हैं या कोई हल नहीं है
गुणांकों के अनुपात $a_1/a_2$ , $b_1/b_2$ , $c_1/c_2$ से बिना ग्राफ बनाए यही बात जान लेना
प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि से समीकरण युग्म हल करना
आयु, अंश-हर, संख्या, दर और ज्यामिति की शब्द-समस्याओं को समीकरण युग्म में बदलकर हल करना

रैखिक समीकरण युग्मसंगतअसंगतआश्रित
प्रतिच्छेदी रेखाएँसमांतर रेखाएँसंपाती रेखाएँ
प्रतिस्थापन विधिविलोपन विधि

1भूमिका: समस्या को समीकरणों में बदलना

अखिला अपने गाँव के मेले में गई। वह चरखी (Giant Wheel) की सवारी करना चाहती थी और
हूपला नाम का खेल भी खेलना चाहती थी। हर सवारी का किराया ₹3 था और हूपला के हर
खेल का ₹4। उसने जितनी बार चरखी की सवारी की, उससे आधी बार हूपला खेला, और
कुल ₹20 खर्च किए। सवारियों की संख्या को $x$ और हूपला खेलने की संख्या को $y$ मान
लें, तो यह स्थिति दो समीकरणों से लिखी जा सकती है:

y = \tfrac{1}{2}x

…(1)

3x + 4y = 20

…(2)

ध्यान दीजिए

समीकरण (1) $y = \tfrac{1}{2}x$ का अर्थ है: हूपला खेलने की संख्या, चरखी की सवारियों की
संख्या की आधी है।

हल: समीकरण (1) से $y = \tfrac{1}{2}x$ को समीकरण (2) में रखने पर $3x + 2x = 20$ ,
अर्थात $5x = 20$ , इसलिए $x = 4$ और $y = 2$ । अतः अखिला ने 4 बार चरखी की सवारी की और
2 बार हूपला खेला। जाँच: $3(4) + 4(2) = 12 + 8 = 20$ । (यही हल आगे ग्राफ़ 1 में बिंदु (4, 2)
पर भी दिखता है।)

ये दोनों समीकरण एक साथ मिलकर एक रैखिक समीकरण युग्म बनाते हैं। इस अध्याय में
हम यही सीखेंगे कि ऐसे युग्म का हल कैसे निकाला जाता है, और हल निकलेगा भी या नहीं,
यह पहले से कैसे पता चल जाता है।

याद रखेंपरिभाषा 1

जब दो चर (जैसे $x$ और $y$ ) वाले दो रैखिक समीकरणों को एक साथ लिया जाता है, तो
उन्हें दो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्म कहते हैं। इनका सामान्य रूप है:

a_1x + b_1y + c_1 = 0 \quad,\quad a_2x + b_2y + c_2 = 0

जहाँ

a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2

वास्तविक संख्याएँ हैं और

a_1^2 + b_1^2 \ne 0

a_2^2 + b_2^2 \ne 0

(अर्थात दोनों समीकरण वास्तव में रैखिक हैं)

2संगत, असंगत और आश्रित युग्म

एक रैखिक समीकरण युग्म का हल तीन तरह से हो सकता है: एक हल, अपरिमित रूप से अनेक हल, या कोई हल
नहीं। इन तीनों स्थितियों के अपने नाम हैं।

याद रखेंपरिभाषा 2

असंगत (inconsistent) युग्म: जिस रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता।

याद रखेंपरिभाषा 3

संगत (consistent) युग्म: जिस रैखिक समीकरण युग्म का कम से कम एक हल होता है।

याद रखेंपरिभाषा 4

आश्रित (dependent) युग्म: जब युग्म के दोनों समीकरण तुल्य (equivalent) हों, तो
उनके अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ (common) हल होते हैं। ऐसा युग्म सदैव संगत भी होता है।

ध्यान दीजिए

हर आश्रित युग्म संगत होता है, लेकिन हर संगत युग्म आश्रित नहीं होता। जिस युग्म का
ठीक एक ही हल हो, वह भी संगत कहलाता है, आश्रित नहीं।

3ग्राफीय विधि: रेखाएँ खींचकर हल देखना

दो चर वाले हर रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सरल रेखा होता है। इसलिए समीकरण युग्म का
ग्राफ हमेशा दो रेखाएँ होती हैं, और ये दो रेखाएँ आपस में तीन ही तरह से मिल सकती हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाएँ

दोनों रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर काटती हैं। उस बिंदु के निर्देशांक ही युग्म का अद्वितीय
हल हैं। युग्म संगत है (पुस्तक इसे अविरोधी समीकरण युग्म भी कहती है)।

समांतर रेखाएँ

दोनों रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं। युग्म का कोई हल नहीं है। युग्म असंगत है।

संपाती रेखाएँ

दोनों रेखाएँ बिल्कुल एक ही रेखा बनकर एक-दूसरे पर पूरी तरह पड़ जाती हैं। रेखा के हर
बिंदु पर हल है, इसलिए अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। युग्म आश्रित और संगत है।

पुस्तक के तीन उदाहरण-युग्मों से यही तीनों स्थितियाँ ग्राफ पर देखी जा सकती हैं:

ग्राफ़ 1: x − 2y = 0 और 3x + 4y − 20 = 0 की रेखाएँ बिंदु (4, 2) पर काटती हैं, अद्वितीय हल, संगत युग्म। — **ग्राफ़ 1**: $x – 2y = 0$ और $3x + 4y – 20 = 0$ की रेखाएँ बिंदु
(4, 2) पर काटती हैं, अद्वितीय हल, संगत युग्म।

ग्राफ़ 2: x + 2y − 4 = 0 और 2x + 4y − 12 = 0 की रेखाएँ समांतर हैं, कभी नहीं मिलतीं, कोई हल नहीं, असंगत युग्म। — **ग्राफ़ 2**: $x + 2y – 4 = 0$ और $2x + 4y – 12 = 0$ की रेखाएँ
समांतर हैं, कभी नहीं मिलतीं, कोई हल नहीं, असंगत युग्म।

ग्राफ़ 3: 2x + 3y − 9 = 0 और 4x + 6y − 18 = 0 असल में एक ही रेखा हैं (दूसरा समीकरण पहले का ठीक दोगुना है), अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित एवं संगत युग्म। — **ग्राफ़ 3**: $2x + 3y – 9 = 0$ और $4x + 6y – 18 = 0$ असल में एक
ही रेखा हैं (दूसरा समीकरण पहले का ठीक दोगुना है), अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित एवं संगत युग्म।

उदाहरण (पुस्तक से): संपाती रेखाएँ

प्र. ग्राफ द्वारा ज्ञात कीजिए कि युग्म $5x – 8y + 1 = 0$ …(1) और
$3x – \tfrac{24}{5}y + \tfrac{3}{5} = 0$ …(2) का कोई हल नहीं है, अद्वितीय हल है अथवा अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

हल: समीकरण (2) को $\tfrac{5}{3}$ से गुणा करने पर $5x – 8y + 1 = 0$ मिलता है, जो समीकरण (1) ही है।
अतः दोनों रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
जाँच के लिए बिंदु $(3, 2)$ और $(-5, -3)$ लीजिए: दोनों बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
(जैसे $5(3) – 8(2) + 1 = 0$ और $3(3) – \tfrac{24}{5}(2) + \tfrac{3}{5} = 9 – 9 = 0$ )।

3.1 बिना ग्राफ बनाए पहचानना: गुणांकों के अनुपात

हर बार ग्राफ बनाना समय लेता है, और छोटी-सी गलती से गलत उत्तर मिल सकता है। इसलिए
समीकरणों को उनके सामान्य रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ में
लिखकर, केवल गुणांकों के अनुपात की तुलना करने से भी यही पता चल जाता है।

अनुपातों की स्थिति	रेखाएँ	हल	युग्म
$\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$	प्रतिच्छेदी	अद्वितीय हल	संगत
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	संपाती	अपरिमित रूप से अनेक हल	आश्रित (संगत)
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$	समांतर	कोई हल नहीं	असंगत

याद रखने की तरकीब

“≠ तो प्रतिच्छेदी, = = तो संपाती, = पर तीसरा ≠ तो समांतर”

पहले $a_1/a_2$ और $b_1/b_2$ की तुलना करें। बराबर नहीं हों तो सीधे प्रतिच्छेदी (अद्वितीय
हल) है, $c_1/c_2$ देखने की भी ज़रूरत नहीं। बराबर हों, तभी $c_1/c_2$ से संपाती और समांतर
में फ़र्क़ करें।

उदाहरण (पुस्तक से)

$x – 2y = 0$ और $3x + 4y – 20 = 0$

जाँचना है

रेखाएँ किस प्रकार की हैं?

हल

यहाँ $a_1{=}1, b_1{=}{-2}, c_1{=}0$ और $a_2{=}3, b_2{=}4, c_2{=}{-20}$ ।
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-2}{4} = \dfrac{-1}{2}$ ।
दोनों बराबर नहीं। इसलिए $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ ⟹ रेखाएँ
प्रतिच्छेदी हैं, युग्म संगत है, अद्वितीय हल है।

3.2 ग्राफीय विधि से पूरा हल निकालना

जब युग्म संगत है और अद्वितीय हल है, तो दोनों रेखाओं के लिए एक-एक तालिका बनाकर, कम
से कम दो-दो बिंदु निकालें, उन्हें ग्राफ पेपर पर आलेखित करें और रेखाएँ खींच दें। जहाँ दोनों
रेखाएँ काटती हैं, वही बिंदु युग्म का हल है।

ग्राफ़ 4: x + 3y = 6 और 2x − 3y = 12 के ग्राफ बिंदु B(6, 0) पर मिलते हैं, इसलिए x = 6, y = 0 इस युग्म का हल है। — **ग्राफ़ 4**: $x + 3y = 6$ और $2x – 3y = 12$ के ग्राफ बिंदु
B(6, 0) पर मिलते हैं, इसलिए $x = 6$ , $y = 0$ इस युग्म का हल है।

परीक्षा संकेत

ग्राफीय हल के प्रश्न में हर रेखा के लिए कम से कम दो बिंदु निकालकर तालिका बनाएँ; एक तीसरा
बिंदु जाँच के लिए उपयोगी रहता है। पूर्णांक बिंदु चुनें ताकि ग्राफ पेपर पर ठीक-ठीक निशान लगाना आसान रहे।

शब्द-समस्या (पुस्तक से): चंपा की पैंट और स्कर्ट

प्र. चंपा एक ‘सेल’ में कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने गई। उसने बताया कि स्कर्ट की संख्या, खरीदी गई
पैंटों की संख्या की दो गुनी से दो कम है, और पैंटों की संख्या की चार गुनी से भी चार कम है। चंपा ने
कितनी पैंट और स्कर्ट खरीदीं?

हल: पैंटों की संख्या $x$ और स्कर्ट की संख्या $y$ मानें। तब $y = 2x – 2$ …(1) और
$y = 4x – 4$ …(2)। तालिका: (1) के लिए $(2, 2)$ और $(0, -2)$ ; (2) के लिए $(0, -4)$ और $(1, 0)$ ।
इन बिंदुओं से खींची गई दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः $x = 1$ , $y = 0$ :
चंपा ने 1 पैंट खरीदी और कोई स्कर्ट नहीं खरीदी।
जाँच: $2(1) – 2 = 0$ और $4(1) – 4 = 0$ ।

4प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

जब हल के निर्देशांक पूर्णांक न हों (जैसे भिन्न या दशमलव), तो ग्राफ से सही-सही पढ़ना
मुश्किल होता है। ऐसे में बीजगणितीय विधियाँ काम आती हैं, पहली है प्रतिस्थापन विधि।

चरण 1किसी एक समीकरण से एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखें

↓

चरण 2इस मान को दूसरे समीकरण में रखकर, एक ही चर वाला समीकरण बनाएँ और हल करें

↓

चरण 3मिला हुआ मान पहले वाले समीकरण में रखकर दूसरा चर भी ज्ञात करें

दो खास स्थितियाँ

चरण 2 में यदि चर पूरी तरह ख़त्म हो जाए और बचा हुआ कथन सत्य निकले (जैसे 18 = 18),
तो युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। यदि कथन असत्य निकले (जैसे −4 = 0), तो युग्म
असंगत है, कोई हल नहीं।

दिया है

$7x – 15y = 2$ …(1), $x + 2y = 3$ …(2)

हल करना है

प्रतिस्थापन विधि से $x$ और $y$

हल

समीकरण (2) से: $x = 3 – 2y$ …(3)। इसे (1) में रखने पर:
$7(3-2y) – 15y = 2 \Rightarrow 21 – 14y – 15y = 2 \Rightarrow -29y = -19 \Rightarrow y = \dfrac{19}{29}$ । यह मान (3) में रखने पर: $x = 3 – 2\left(\dfrac{19}{29}\right) = \dfrac{49}{29}$ । अतः $x = \dfrac{49}{29}$ , $y = \dfrac{19}{29}$ , यही हल है।

शब्द-समस्या: आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु

प्र. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात साल पहले मेरी आयु तुम्हारी आयु की सात गुनी
थी। अब से तीन साल बाद मेरी आयु तुम्हारी आयु की तीन गुनी होगी।” दोनों की वर्तमान आयु
ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें आफ़ताब की आयु $s$ वर्ष और पुत्री की आयु $t$ वर्ष है। सात साल पहले:
$s – 7 = 7(t-7) \Rightarrow s – 7t + 42 = 0$ …(1)। तीन साल बाद: $s + 3 = 3(t+3) \Rightarrow s – 3t = 6$ …(2)। समीकरण (2) से $s = 3t + 6$ ; इसे (1) में रखने पर
$(3t+6) – 7t + 42 = 0 \Rightarrow -4t + 48 = 0 \Rightarrow t = 12$ । फिर $s = 3(12)+6 = 42$ ।
अतः आफ़ताब की आयु 42 वर्ष और पुत्री की आयु 12 वर्ष है।

उदाहरण (पुस्तक से): सत्य कथन, अपरिमित रूप से अनेक हल

प्र. एक दुकान में, 2 पेंसिल और 3 रबड़ों का मूल्य ₹9 है और 4 पेंसिल और 6 रबड़ों का मूल्य ₹18 है।
प्रत्येक पेंसिल और प्रत्येक रबड़ का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: $2x + 3y = 9$ …(1) और $4x + 6y = 18$ …(2)। समीकरण (1) से $x = \dfrac{9 – 3y}{2}$ …(3)।
इसे (2) में रखने पर $\dfrac{4(9 – 3y)}{2} + 6y = 18$ , अर्थात $18 – 6y + 6y = 18$ , अर्थात $18 = 18$ ।
यह कथन $y$ के सभी मानों के लिए सत्य है, इसलिए $y$ (और $x$ ) का कोई निश्चित मान नहीं मिलता; दोनों
समीकरण एक ही हैं। युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, इसलिए एक पेंसिल और एक रबड़ का
अद्वितीय मूल्य ज्ञात नहीं किया जा सकता।

उदाहरण (पुस्तक से): असत्य कथन, कोई हल नहीं (रेल पटरियाँ)

प्र. दो रेल पटरियाँ समीकरणों $x + 2y – 4 = 0$ …(1) और $2x + 4y – 12 = 0$ …(2) द्वारा निरूपित हैं।
क्या रेल पटरियाँ एक-दूसरे को काटेंगी?

हल: समीकरण (1) से $x = 4 – 2y$ । इसे (2) में रखने पर $2(4 – 2y) + 4y – 12 = 0$ , अर्थात
$8 – 12 = 0$ , अर्थात $-4 = 0$ , जो एक असत्य कथन है। अतः समीकरणों का कोई सार्व हल नहीं है:
दोनों पटरियाँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी।

5विलोपन विधि (Elimination Method)

इस विधि में एक चर को सीधे “हटा” (eliminate) दिया जाता है, ताकि एक ही चर वाला
समीकरण बच जाए। कई बार यह प्रतिस्थापन से अधिक सुविधाजनक होती है।

चरण 1दोनों समीकरणों को उपयुक्त अचरों से गुणा करें ताकि किसी एक चर (

x

या

y

) के गुणांक संख्यात्मक रूप से बराबर हो जाएँ

↓

चरण 2दोनों समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि वह चर विलुप्त हो जाए

↓

चरण 3बचे हुए एक-चर समीकरण को हल करें

↓

चरण 4यह मान किसी भी मूल समीकरण में रखकर दूसरा चर ज्ञात करें

शब्द-समस्या: आय और व्यय का अनुपात

प्र. दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9 : 7 है और उनके व्यय का अनुपात 4 : 3 है। यदि
हर एक ₹2000 प्रतिमाह बचाता है, तो उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें दोनों की आय ₹ $9x$ और ₹ $7x$ है, तथा व्यय ₹ $4y$ और ₹ $3y$ है। बचत =
आय − व्यय, इसलिए: $9x – 4y = 2000$ …(1), $7x – 3y = 2000$ …(2)। समीकरण (1) को 3 से
और (2) को 4 से गुणा करें: $27x – 12y = 6000$ …(3), $28x – 12y = 8000$ …(4)। (4) में से
(3) घटाने पर: $x = 2000$ । इसे (1) में रखने पर $9(2000) – 4y = 2000 \Rightarrow y = 4000$ ।
अतः आय क्रमशः $9(2000)=$ ₹18,000 और $7(2000)=$
₹14,000 है।

शब्द-समस्या: पलटी हुई संख्या

प्र. एक दो-अंकों की संख्या और उसके अंक पलटने से बनी संख्या का योग 66 है। यदि
संख्या के अंकों में 2 का अंतर है, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?

हल: मान लें दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है, तो संख्या $= 10x + y$ और
पलटी संख्या $= 10y + x$ । योग: $(10x+y)+(10y+x) = 66 \Rightarrow 11(x+y) = 66 \Rightarrow x + y = 6$ …(1)। अंकों में अंतर 2 है, इसलिए दो स्थितियाँ बनती हैं:
$x – y = 2$ …(2) या $y – x = 2$ …(3)। (1) और (2) को विलोपन विधि से हल करने पर
$x=4, y=2$ , संख्या = 42। (1) और (3) को हल करने पर $x=2, y=4$ ,
संख्या = 24। दोनों ही संभव हैं, इसलिए ऐसी दो संख्याएँ हैं: 42 और 24।

उदाहरण (पुस्तक से): विलोपन में असत्य कथन

प्र. विलोपन विधि से युग्म $2x + 3y = 8$ …(1) और $4x + 6y = 7$ …(2) के सभी संभव हल ज्ञात कीजिए।

हल: $x$ के गुणांक बराबर करने के लिए (1) को 2 से गुणा करने पर $4x + 6y = 16$ …(3)।
(3) में से (2) घटाने पर $(4x – 4x) + (6y – 6y) = 16 – 7$ , अर्थात $0 = 9$ , जो एक असत्य कथन है।
अतः समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

सामान्य गलती

विलोपन विधि के चरण 1 में किसी समीकरण को गुणा करते समय उसके केवल एक-दो पदों को गुणा
करना और बाकी पद (विशेषकर दाईं ओर का अचर पद) भूल जाना गलती है। पूरे समीकरण के हर पद
को उसी संख्या से गुणा कीजिए। हमेशा जाँचें कि जोड़ने/घटाने से चुना हुआ चर सचमुच शून्य हो रहा है या नहीं।

6भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरण युग्म

कभी-कभी समीकरण के गुणांक भिन्न (fraction) के रूप में दिए होते हैं। ऐसे युग्म को हल
करने से पहले, हर पद को उसके हर (denominator) के ल.स. (LCM) से गुणा करके, पहले
सामान्य रूप में ले आना सुविधाजनक रहता है।

दिया है

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{2y}{3} = -1$ …(1), $x – \dfrac{y}{3} = 3$ …(2)

हल करना है

$x$ और $y$

हल

समीकरण (1) को 6 (2 और 3 का ल.स.) से गुणा करने पर: $3x + 4y = -6$ …(3)। समीकरण
(2) को 3 से गुणा करने पर: $3x – y = 9$ …(4)। अब (3) में से (4) घटाने पर:
$5y = -15 \Rightarrow y = -3$ । यह मान (4) में रखने पर: $3x – (-3) = 9 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ । अतः $x = 2$ , $y = -3$ ।

परीक्षा संकेत

भिन्नात्मक गुणांक देखते ही घबराने की ज़रूरत नहीं। हर पद को हरों के ल.स. से गुणा करके
भिन्न हटा देना सुविधाजनक रहता है। उसके बाद युग्म एक सामान्य समीकरण युग्म
जैसा ही हल होता है।

7शब्द-समस्याएँ हल करने का तरीक़ा

हर तरह की शब्द-समस्या के लिए
तरीक़ा एक जैसा है, केवल चर क्या दर्शाते हैं यह बदलता है।

दो अज्ञात राशियाँ पहचानें

समस्या में जो दो चीज़ें ज्ञात करनी हैं, उन्हें $x$ और $y$ मान लें, जैसे दो संख्याएँ, दो
आयु, या एक भिन्न का अंश और हर।

दो शर्तों को समीकरण में बदलें

समस्या में दी गई हर शर्त एक अलग समीकरण देती है। दोनों समीकरण मिलकर युग्म
बनाते हैं।

सुविधाजनक विधि से हल करें

प्रतिस्थापन या विलोपन, जो भी आसान लगे, उसी से युग्म हल करें।

उत्तर की जाँच करें

मिला हुआ मान समस्या की मूल शर्तों में रखकर देखें कि वह वाक्य के अनुसार सही बैठता
है या नहीं।

शब्द-समस्या का प्रकार	चर आमतौर पर किसे दर्शाते हैं
आयु संबंधी	दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु (वर्षों में)
दो-अंकों की संख्या	दहाई का अंक और इकाई का अंक
भिन्न (fraction)	अंश और हर
दर/किराया (नोट, टैक्सी, किताब)	निश्चित शुल्क और प्रति इकाई शुल्क
ज्यामिति (परिमाप, कोण)	लंबाई-चौड़ाई, या दो कोणों का मान

शब्द-समस्या: टैक्सी का किराया

प्र. किसी शहर में टैक्सी का किराया एक निश्चित शुल्क और तय की गई दूरी के शुल्क को
मिलाकर बनता है। 10 km के लिए ₹105 और 15 km के लिए ₹155 किराया लगता है। निश्चित
शुल्क और प्रति km शुल्क ज्ञात कीजिए। 25 km की यात्रा का किराया क्या होगा?

हल: मान लें निश्चित शुल्क ₹ $x$ और प्रति km शुल्क ₹ $y$ है। दी गई शर्तों से:
$x + 10y = 105$ …(1), $x + 15y = 155$ …(2)। (2) में से (1) घटाने पर: $5y = 50 \Rightarrow y = 10$ । यह मान (1) में रखने पर: $x + 100 = 105 \Rightarrow x = 5$ । अतः
निश्चित शुल्क ₹5 और प्रति km शुल्क ₹10 है।
25 km का किराया $=5 + 10(25)=$ ₹255 होगा।

शब्द-समस्या: बगीचा और परिमाप (ज्यामिति)

प्र. एक आयताकार बगीचे का आधा परिमाप 36 m है, और इसकी लंबाई चौड़ाई से 4 m
अधिक है। बगीचे की चौड़ाई और लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: मान लें चौड़ाई $x$ m और लंबाई $y$ m है। आधा परिमाप: $x + y = 36$ । लंबाई,
चौड़ाई से 4 m अधिक: $y = x + 4$ । दूसरे को पहले में रखने पर: $x + (x+4) = 36 \Rightarrow 2x = 32 \Rightarrow x = 16$ , अतः $y = 20$ । बगीचे की चौड़ाई
16 m और लंबाई 20 m है।

शब्द-समस्या: रेखाओं और x-अक्ष से बना त्रिभुज

प्र. रेखाएँ $x – y + 1 = 0$ और $3x + 2y – 12 = 0$ तथा $x$ -अक्ष से बने त्रिभुज के
शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: पहली रेखा का $x$ -अक्ष पर प्रतिच्छेदन ( $y=0$ ): $x = -1$ , अर्थात बिंदु
$(-1, 0)$ । दूसरी रेखा का $x$ -अक्ष पर प्रतिच्छेदन ( $y=0$ ): $x = 4$ , अर्थात बिंदु
$(4, 0)$ । दोनों रेखाओं का आपस में प्रतिच्छेदन: $x+1 = \dfrac{12-3x}{2} \Rightarrow 2x+2 = 12-3x \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2, y = 3$ , अर्थात
बिंदु $(2, 3)$ । त्रिभुज के तीन शीर्ष $(-1,0)$ , $(4,0)$ और $(2,3)$
हैं। तीनों बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर मिलाने से बना त्रिभुजाकार क्षेत्र ही उत्तर है।

सभी परिभाषाएँ एक जगह

रैखिक समीकरण युग्मदो चर वाले दो रैखिक समीकरणों का साथ में लिया गया सेट, सामान्य रूप

a_1x+b_1y+c_1=0

a_2x+b_2y+c_2=0

असंगत युग्मजिस युग्म का कोई हल नहीं है

संगत युग्मजिस युग्म का कम से कम एक हल है

आश्रित युग्मजिसके दोनों समीकरण तुल्य हों, अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ हल, सदैव संगत

प्रतिच्छेदी रेखाएँएक बिंदु पर काटती हैं, अद्वितीय हल,

a_1/a_2 \ne b_1/b_2

समांतर रेखाएँकभी नहीं मिलतीं, कोई हल नहीं,

a_1/a_2=b_1/b_2 \ne c_1/c_2

संपाती रेखाएँएक ही रेखा, अपरिमित रूप से अनेक हल,

a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2

प्रतिस्थापन विधिएक चर को दूसरे के पदों में लिखकर दूसरे समीकरण में रखना

विलोपन विधिसमीकरणों को गुणा करके जोड़ने/घटाने से एक चर हटाना

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं बिना ग्राफ बनाए, केवल अनुपात देखकर बता सकता हूँ कि रेखाएँ किस प्रकार की हैं?
क्या मैं प्रतिस्थापन विधि के तीनों चरण और विलोपन विधि के चारों चरण क्रम से लिख सकता हूँ?
क्या मैं आयु, संख्या, भिन्न और दर की शब्द-समस्याओं में सही ढंग से $x$ , $y$ चुन सकता हूँ?
क्या मुझे पता है कि “सत्य कथन” का मतलब अपरिमित रूप से अनेक हल और “असत्य कथन” का मतलब कोई हल नहीं है?

सारांश और त्वरित दोहराव: परीक्षा से एक रात पहले यही पढ़ें

रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि या बीजगणितीय विधि (प्रतिस्थापन/विलोपन) से हल किया जा सकता है। पुस्तक के सारांश में वज्र-गुणन विधि का नाम भी है, पर इस पुनर्मुद्रण में उसका कोई खंड नहीं है, और CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में प्रतिस्थापन और विलोपन विधियाँ ही हैं
$a_1/a_2 \ne b_1/b_2$ ⟹ प्रतिच्छेदी रेखाएँ, अद्वितीय हल, संगत युग्म
$a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$ ⟹ संपाती रेखाएँ, अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित एवं संगत युग्म
$a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2$ ⟹ समांतर रेखाएँ, कोई हल नहीं, असंगत युग्म
प्रतिस्थापन विधि में चर हट जाने पर सत्य कथन = अपरिमित रूप से अनेक हल, असत्य कथन = कोई हल नहीं
विलोपन विधि में पहले गुणांक बराबर करें, फिर जोड़ें/घटाएँ ताकि एक चर विलुप्त हो जाए
भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरण में पहले हर के ल.स. से गुणा करके भिन्न हटाएँ
शब्द-समस्या में दो अज्ञात राशियाँ $x$ , $y$ मानें, दो शर्तों से दो समीकरण बनाएँ, हल करें, फिर जाँचें

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स