कक्षा 10 गणित अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. cosec A की परिभाषा एक वाक्य में लिखिए।

उत्तर: cosec A = कर्ण/सम्मुख भुजा, अर्थात cosec A = 1/sin A।

प्र. tan 60° का मान लिखिए।

उत्तर: tan 60° = √3।

प्र. sin 90° और cos 90° के मान लिखिए।

उत्तर: sin 90° = 1 और cos 90° = 0।

प्र. sin²A + cos²A का मान क्या है?

उत्तर: sin²A + cos²A = 1 (सभी न्यून कोण A के लिए)।

प्र. cot 0° और tan 90° अपरिभाषित क्यों हैं, एक कारण लिखिए।

उत्तर: दोनों के हर (denominator) में क्रमशः sin 0°=0 और cos 90°=0 आ जाता है, और किसी संख्या को शून्य से विभाजित करना अपरिभाषित होता है।

प्र. यदि cos A = 1 हो तो कोण A का मान लिखिए।

उत्तर: A = 0°।

प्र. sec A और cos A में क्या संबंध है?

उत्तर: sec A, cos A का व्युत्क्रम है, अर्थात sec A = 1/cos A।

प्र. 1 + tan²A किसके बराबर है?

उत्तर: 1 + tan²A = sec²A।

प्र. यदि sin A = 3/4 है, तो cos A का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए सम्मुख भुजा = 3k, कर्ण = 4k। पाइथागोरस प्रमेय से संलग्न भुजा $=\sqrt{16k^2-9k^2}=\sqrt7\,k$। अतः $\cos A=\dfrac{\sqrt7}{4}$।

प्र. tan 45° और cot 45° का मान ज्ञात करके दिखाइए कि वे बराबर हैं।

उत्तर: tan 45° = 1 और cot 45° = 1/tan 45° = 1। दोनों मान बराबर हैं, अतः tan 45° = cot 45° = 1।

प्र. cosec²A − cot²A का मान सर्वसमिका के आधार पर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सर्वसमिका cot²A + 1 = cosec²A से, cosec²A − cot²A = 1।

प्र. समकोण त्रिभुज PQR में कोण Q समकोण है। यदि PQ = 5 cm, QR = 12 cm हो, तो sin P और cos P ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पाइथागोरस प्रमेय से $PR=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm। कोण P के लिए सम्मुख भुजा QR=12, कर्ण PR=13। अतः $\sin P=\dfrac{12}{13}$ और $\cos P=\dfrac{PQ}{PR}=\dfrac{5}{13}$।

प्र. sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac12\right)=\dfrac34+\dfrac14=1$।

प्र. यदि tan A = 1 हो, तो 2 sin A cos A का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: tan A = 1 से A = 45°, इसलिए $\sin A=\cos A=\dfrac{1}{\sqrt2}$। अतः $2\sin A\cos A = 2\times\dfrac1{\sqrt2}\times\dfrac1{\sqrt2}=1$।

प्र. sec A का मान A के 0° से 90° तक बढ़ने पर कैसे बदलता है, संक्षेप में लिखिए।

उत्तर: जैसे-जैसे A, 0° से 90° तक बढ़ता है, cos A का मान 1 से घटकर 0 के पास पहुँचता है, इसलिए sec A = 1/cos A का मान 1 से बढ़ते हुए बहुत बड़ा होता जाता है और A=90° पर अपरिभाषित हो जाता है।

प्र. cot A को sec A के पदों में व्यक्त करने के मुख्य चरण दिखाइए।

उत्तर: $\sec^2A=1+\tan^2A \Rightarrow \tan^2A=\sec^2A-1 \Rightarrow \tan A=\sqrt{\sec^2A-1}$। अतः $\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{1}{\sqrt{\sec^2A-1}}$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{1+\tan^2A}{1+\cot^2A}=\tan^2A$।

उत्तर: बायाँ पक्ष $=\dfrac{\sec^2A}{\operatorname{cosec}^2A}=\dfrac{1/\cos^2A}{1/\sin^2A}=\dfrac{\sin^2A}{\cos^2A}=\tan^2A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2=7+\tan^2A+\cot^2A$।

उत्तर: बायाँ पक्ष $=\sin^2A+2\sin A\operatorname{cosec} A+\operatorname{cosec}^2A+\cos^2A+2\cos A\sec A+\sec^2A$। चूँकि $\sin A\operatorname{cosec} A=1$ और $\cos A\sec A=1$, यह $=(\sin^2A+\cos^2A)+2+2+\operatorname{cosec}^2A+\sec^2A = 1+4+(1+\cot^2A)+(1+\tan^2A)=7+\tan^2A+\cot^2A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

प्र. यदि sec A = 13/12 है, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कर्ण=13k, संलग्न भुजा=12k। पाइथागोरस प्रमेय से सम्मुख भुजा $=\sqrt{169k^2-144k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$। अतः $\sin A=\dfrac{5}{13}$, $\cos A=\dfrac{12}{13}$, $\tan A=\dfrac{5}{12}$, $\operatorname{cosec} A=\dfrac{13}{5}$, $\cot A=\dfrac{12}{5}$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{cosec} A\,(1-\cos A)(\operatorname{cosec} A+\cot A)=1$।

उत्तर: बायाँ पक्ष $=\dfrac1{\sin A}(1-\cos A)\left(\dfrac{1+\cos A}{\sin A}\right)=\dfrac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{\sin^2A}=\dfrac{1-\cos^2A}{\sin^2A}=\dfrac{\sin^2A}{\sin^2A}=1=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

प्र. त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है। यदि tan A = 1/√3 है, तो sin A cos C + cos A sin C का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: tan A=1/√3 से A=30°, और कोण B=90° होने से C=60°। अतः $\sin30°\cos60°+\cos30°\sin60°=\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac12\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)=\dfrac14+\dfrac34=1$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{\cos A}{1+\sin A}+\dfrac{1+\sin A}{\cos A}=2\sec A$।

उत्तर: बायाँ पक्ष $=\dfrac{\cos^2A+(1+\sin A)^2}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac{\cos^2A+1+2\sin A+\sin^2A}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac{2+2\sin A}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac{2(1+\sin A)}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac2{\cos A}=2\sec A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

प्र. एक समकोण त्रिभुज में कर्ण = 25 cm और एक भुजा = 7 cm है। शेष भुजा तथा उस भुजा के सम्मुख न्यून कोण के sin, cos, tan ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पाइथागोरस प्रमेय से शेष भुजा $=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ cm। 7 cm भुजा के सम्मुख कोण θ के लिए $\sin\theta=\dfrac{7}{25}$, $\cos\theta=\dfrac{24}{25}$, $\tan\theta=\dfrac{7}{24}$।

प्र. 45° के त्रिकोणमितीय अनुपात ज्यामितीय रचना से व्युत्पन्न करने की पूरी विधि लिखिए।

उत्तर: समकोण त्रिभुज ABC में कोण B समकोण और कोण A=45° लीजिए, तो कोण C भी 45° होगा, इसलिए BC=AB=a। पाइथागोरस प्रमेय से $AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$। अतः $\sin45°=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$, $\cos45°=\dfrac1{\sqrt2}$, $\tan45°=\dfrac{a}{a}=1$।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{\dfrac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A$।

उत्तर: अंश और हर दोनों को $(1+\sin A)$ से गुणा करने पर, बायाँ पक्ष $=\sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{(1-\sin A)(1+\sin A)}}=\sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2A}}=\sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{\cos^2A}}=\dfrac{1+\sin A}{\cos A}$ (चूँकि $0°\le A\lt90°$ में $\cos A\gt0$)। इसे अलग करने पर $=\dfrac1{\cos A}+\dfrac{\sin A}{\cos A}=\sec A+\tan A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

प्र. सर्वसमिका sin²A+cos²A=1 को समकोण त्रिभुज के पाइथागोरस प्रमेय से पूर्ण रूप से सिद्ध कीजिए, और इसी विधि से शेष दो सर्वसमिकाएँ भी व्युत्पन्न कीजिए।

उत्तर: समकोण त्रिभुज ABC (कोण B समकोण) में पाइथागोरस प्रमेय से $AB^2+BC^2=AC^2$। दोनों पक्षों को $AC^2$ से भाग देने पर $\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2+\left(\dfrac{BC}{AC}\right)^2=1$, अर्थात् $\cos^2A+\sin^2A=1$। इसी समीकरण को $AB^2$ से भाग देने पर $1+\tan^2A=\sec^2A$ मिलता है, और $BC^2$ से भाग देने पर $\cot^2A+1=\operatorname{cosec}^2A$ मिलता है। तीनों सर्वसमिकाएँ एक ही पाइथागोरस प्रमेय से, केवल अलग-अलग भुजा के वर्ग से भाग देकर, प्राप्त होती हैं।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\dfrac{1}{\tan A+\cot A}$।

उत्तर: $\operatorname{cosec} A-\sin A=\dfrac1{\sin A}-\sin A=\dfrac{1-\sin^2A}{\sin A}=\dfrac{\cos^2A}{\sin A}$। इसी प्रकार $\sec A-\cos A=\dfrac{\sin^2A}{\cos A}$। बायाँ पक्ष $=\dfrac{\cos^2A}{\sin A}\times\dfrac{\sin^2A}{\cos A}=\sin A\cos A$। दायाँ पक्ष $=\dfrac1{\tan A+\cot A}=\dfrac1{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}}=\dfrac1{\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin A\cos A}}=\sin A\cos A$। दोनों पक्ष बराबर हैं (सिद्ध हुआ)।

प्र. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी बनाइए, और 30° तथा 60° के मान ज्यामितीय रचना से व्युत्पन्न करके दिखाइए।

उत्तर: सारणी: sin A: 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1; cos A: 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0; tan A: 0, 1/√3, 1, √3, अपरिभाषित; cosec A: अपरिभाषित, 2, √2, 2/√3, 1; sec A: 1, 2/√3, √2, 2, अपरिभाषित; cot A: अपरिभाषित, √3, 1, 1/√3, 0 (क्रमशः 0°,30°,45°,60°,90° के लिए)। व्युत्पत्ति: समबाहु त्रिभुज ABC (हर भुजा 2a) में शीर्ष A से BC पर लंब AD डालने पर त्रिभुज ABD और ACD सर्वांगसम (RHS) हैं, इसलिए BD=a और कोण BAD=30°, कोण ABD=60°। पाइथागोरस प्रमेय से $AD=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt3$। अतः $\sin30°=\dfrac{a}{2a}=\dfrac12$, $\cos30°=\dfrac{a\sqrt3}{2a}=\dfrac{\sqrt3}2$, $\tan30°=\dfrac1{\sqrt3}$; और $\sin60°=\dfrac{\sqrt3}2$, $\cos60°=\dfrac12$, $\tan60°=\sqrt3$।