कक्षा 10 गणित अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

प्र. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm, BC = 7 cm है। निम्नलिखित का
मान ज्ञात कीजिए: (i) sin A, cos A (ii) sin C, cos C।

उत्तर: पाइथागोरस प्रमेय से $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25$ cm।
(i) $\sin A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{7}{25}$, $\cos A=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{24}{25}$।
(ii) कोण C के लिए सम्मुख भुजा AB=24, संलग्न भुजा BC=7: $\sin C=\dfrac{24}{25}$, $\cos C=\dfrac{7}{25}$।

प्र. आकृति 8.13 में, त्रिभुज PQR का कोण Q समकोण है। tan P − cot R का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए PQ = x और QR = y। कोण P के लिए सम्मुख भुजा QR=y, संलग्न भुजा PQ=x, इसलिए
$\tan P=\dfrac{y}{x}$। कोण R के लिए सम्मुख भुजा PQ=x, संलग्न भुजा QR=y, इसलिए $\cot R=\dfrac{y}{x}$
(संलग्न भुजा/सम्मुख भुजा)। दोनों एक ही अनुपात हैं, अतः $\tan P-\cot R=0$,
त्रिभुज की वास्तविक भुजाओं के मान चाहे जो हों।

प्र. यदि $\sin A=\dfrac34$ है, तो cos A और tan A परिकलित कीजिए।

उत्तर: सम्मुख भुजा = 3k, कर्ण = 4k मान लीजिए। पाइथागोरस से संलग्न भुजा $=\sqrt{16k^2-9k^2}=\sqrt7\,k$।
अतः $\cos A=\dfrac{\sqrt7}{4}$, $\tan A=\dfrac{3}{\sqrt7}$।

प्र. यदि 15 cot A = 8 है, तो sin A और sec A ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\cot A=\dfrac{8}{15}$, इसलिए संलग्न भुजा=8k, सम्मुख भुजा=15k। पाइथागोरस से कर्ण
$=\sqrt{64k^2+225k^2}=17k$। अतः $\sin A=\dfrac{15}{17}$, $\sec A=\dfrac{17}{8}$।

प्र. यदि $\sec\theta=\dfrac{13}{12}$ है, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

उत्तर: कर्ण=13k, संलग्न भुजा=12k। पाइथागोरस से सम्मुख भुजा $=\sqrt{169k^2-144k^2}=5k$।
अतः $\sin\theta=\dfrac{5}{13}$, $\cos\theta=\dfrac{12}{13}$, $\tan\theta=\dfrac{5}{12}$,
$\operatorname{cosec}\theta=\dfrac{13}{5}$, $\cot\theta=\dfrac{12}{5}$।

प्र. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B।

उत्तर: दो समकोण त्रिभुज लीजिए: त्रिभुज PQR, जिसमें कोण Q समकोण है और कोण P = दिया गया कोण A;
तथा त्रिभुज XYZ, जिसमें कोण Y समकोण है और कोण X = दिया गया कोण B। तब $\cos A=\dfrac{PQ}{PR}$ और
$\cos B=\dfrac{XY}{XZ}$, दोनों बराबर हैं, मान लीजिए $=k$। अतः $PQ=k\,PR$ और $XY=k\,XZ$, इसलिए
$\dfrac{PQ}{XY}=\dfrac{PR}{XZ}$। पाइथागोरस से $QR=\sqrt{PR^2-PQ^2}=PR\sqrt{1-k^2}$ और
$YZ=\sqrt{XZ^2-XY^2}=XZ\sqrt{1-k^2}$, इसलिए $\dfrac{QR}{YZ}=\dfrac{PR}{XZ}$।
अतः $\dfrac{PQ}{XY}=\dfrac{QR}{YZ}=\dfrac{PR}{XZ}$, जिससे प्रमेय 6.4 (SSS समरूपता, अध्याय 6) से
त्रिभुज PQR ~ त्रिभुज XYZ। समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण P = कोण X,
अर्थात् ∠A = ∠B।

प्र. यदि $\cot\theta=\dfrac78$ है, तो (i) $\dfrac{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}$
और (ii) $\cot^2\theta$ का मान निकालिए।

उत्तर: (i) $\dfrac{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}=\dfrac{1-\sin^2\theta}{1-\cos^2\theta}=\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\cot^2\theta=\left(\dfrac78\right)^2=\dfrac{49}{64}$।
(ii) $\cot^2\theta=\dfrac{49}{64}$। (i) का व्यंजक सरल होकर $\cot^2\theta$ ही बनता है, इसलिए दोनों भागों का मान $\dfrac{49}{64}$ है।

प्र. यदि 3 cot A = 4 है, तो जाँच कीजिए कि $\dfrac{1-\tan^2A}{1+\tan^2A}=\cos^2A-\sin^2A$
है या नहीं।

उत्तर: $\cot A=\dfrac43 \Rightarrow \tan A=\dfrac34$। बायाँ पक्ष $=\dfrac{1-9/16}{1+9/16}=\dfrac{7/16}{25/16}=\dfrac{7}{25}$।
संलग्न भुजा=4k, सम्मुख भुजा=3k, कर्ण=5k, इसलिए $\cos A=\dfrac45$, $\sin A=\dfrac35$; दायाँ पक्ष
$=\dfrac{16}{25}-\dfrac9{25}=\dfrac7{25}$। दोनों पक्ष बराबर हैं ($\dfrac7{25}$), अतः कथन सत्य है।

प्र. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि $\tan A=\dfrac1{\sqrt3}$ है, तो
(i) $\sin A\cos C+\cos A\sin C$ (ii) $\cos A\cos C-\sin A\sin C$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan A=\dfrac1{\sqrt3} \Rightarrow A=30°$, और कोण B=90° होने से $C=60°$।
(i) $\sin30°\cos60°+\cos30°\sin60°=\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac12\right)+\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)=\dfrac14+\dfrac34=$
1।
(ii) $\cos30°\cos60°-\sin30°\sin60°=\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(\dfrac12\right)-\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)=$
0।

प्र. त्रिभुज PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P,
cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए QR = x, तो PR = 25 − x। पाइथागोरस से $PQ^2+QR^2=PR^2 \Rightarrow 25+x^2=(25-x)^2=625-50x+x^2 \Rightarrow 25=625-50x \Rightarrow x=12$। अतः QR=12 cm, PR=13 cm।
$\sin P=\dfrac{QR}{PR}=\dfrac{12}{13}$, $\cos P=\dfrac{PQ}{PR}=\dfrac5{13}$,
$\tan P=\dfrac{QR}{PQ}=\dfrac{12}5$।

प्र. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, कारण सहित:
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) किसी कोण A के लिए $\sec A=\dfrac{12}5$।
(iii) cos A, कोण A के cosecant का संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल है।
(v) किसी कोण $\theta$ के लिए $\sin\theta=\dfrac43$।

उत्तर:
(i) असत्य, क्योंकि $\tan60°=\sqrt3\approx1.73$, जो 1 से अधिक है।
(ii) सत्य, क्योंकि sec A सदैव 1 या उससे अधिक होता है और $\dfrac{12}5=2.4\ge1$,
ऐसा एक समकोण त्रिभुज बन सकता है (कर्ण 12k, संलग्न भुजा 5k)।
(iii) असत्य, cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप है, cosecant का नहीं
(वह cosec A है)।
(iv) असत्य, cot A अपने-आप में एक संकेत है, यह ‘cot’ और ‘A’ का गुणनफल नहीं है।
(v) असत्य, क्योंकि किसी भी कोण के लिए sin का मान कभी 1 से अधिक नहीं होता।

प्र. निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° − sin² 60°
(iii) $\dfrac{\cos45°}{\sec30°+\operatorname{cosec}30°}$
(iv) $\dfrac{\sin30°+\tan45°-\operatorname{cosec}60°}{\sec30°+\cos60°+\cot45°}$
(v) $\dfrac{5\cos^260°+4\sec^230°-\tan^245°}{\sin^230°+\cos^230°}$

उत्तर:
(i) $\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)+\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac12\right)=\dfrac34+\dfrac14=$
1।
(ii) $2(1)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2=2+\dfrac34-\dfrac34=$
2।
(iii) $\dfrac{1/\sqrt2}{2/\sqrt3+2}=\dfrac{\sqrt3}{2\sqrt2(1+\sqrt3)}$, अंश-हर को $(\sqrt3-1)$ से गुणा
करने पर $=\dfrac{3-\sqrt3}{4\sqrt2}=$ $\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{8}$ (लगभग 0.224)।
(iv) अंश $=\dfrac32-\dfrac2{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3-4}{2\sqrt3}$, हर $=\dfrac2{\sqrt3}+\dfrac32=\dfrac{4+3\sqrt3}{2\sqrt3}$,
अनुपात $=\dfrac{3\sqrt3-4}{3\sqrt3+4}$, संयुग्मी से गुणा करने पर $=$ $\dfrac{43-24\sqrt3}{11}$
(लगभग 0.130)।
(v) हर $\sin^230°+\cos^230°=1$ (सर्वसमिका से)। अंश $=5\left(\dfrac12\right)^2+4\left(\dfrac2{\sqrt3}\right)^2-1^2 =\dfrac54+\dfrac{16}3-1=\dfrac{15+64-12}{12}=\dfrac{67}{12}$। अतः मान $=$
$\dfrac{67}{12}$।

प्र. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:
(i) $\dfrac{2\tan30°}{1+\tan^230°}=$ (क) sin 60° (ख) cos 60° (ग) tan 60° (घ) sin 30°
(ii) $\dfrac{1-\tan^245°}{1+\tan^245°}=$ (क) tan 90° (ख) 1 (ग) sin 45° (घ) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A सत्य होता है जब A बराबर है: (क) 0° (ख) 30° (ग) 45° (घ) 60°
(iv) $\dfrac{2\tan30°}{1-\tan^230°}=$ (क) cos 60° (ख) sin 60° (ग) tan 60° (घ) sin 30°

उत्तर:
(i) $\dfrac{2(1/\sqrt3)}{1+1/3}=\dfrac{2/\sqrt3}{4/3}=\dfrac{\sqrt3}2=\sin60°$, अतः विकल्प
(क) सही है।
(ii) $\dfrac{1-1}{1+1}=0$, अतः विकल्प (घ) सही है।
(iii) केवल A=0° पर $\sin0°=0=2\sin0°$ सत्य होता है (A=30° पर sin60°≈0.866 ≠ 2sin30°=1), अतः
विकल्प (क) सही है।
(iv) $\dfrac{2(1/\sqrt3)}{1-1/3}=\dfrac{2/\sqrt3}{2/3}=\sqrt3=\tan60°$, अतः विकल्प
(ग) सही है।

प्र. यदि $\tan(A+B)=\sqrt3$ और $\tan(A-B)=\dfrac1{\sqrt3}$; $0°\lt A+B\le90°$; $A\gt B$
हों, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan(A+B)=\sqrt3=\tan60° \Rightarrow A+B=60°$। $\tan(A-B)=\dfrac1{\sqrt3}=\tan30° \Rightarrow A-B=30°$। दोनों समीकरण जोड़ने पर $2A=90° \Rightarrow A=45°$, और घटाने पर $2B=30° \Rightarrow B=15°$। अतः $A=45°$, $B=15°$।

प्र. बताइए सत्य है या असत्य, कारण सहित:
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
(ii) $\theta$ के बढ़ने पर sin $\theta$ का मान बढ़ता है
(iii) $\theta$ के बढ़ने पर cos $\theta$ का मान बढ़ता है
(iv) सभी $\theta$ के लिए sin $\theta$ = cos $\theta$
(v) A=0° के लिए cot A अपरिभाषित है

उत्तर:
(i) असत्य, उदाहरणतः A=B=30° लेने पर sin60°≈0.866, जबकि sin30°+sin30°=1,
दोनों बराबर नहीं।
(ii) सत्य, सारणी 8.1 के अनुसार 0° से 90° तक sin का मान लगातार बढ़ता है।
(iii) असत्य, वास्तव में cos का मान 0° से 90° तक लगातार घटता है।
(iv) असत्य, यह केवल $\theta=45°$ पर सत्य है, हर कोण के लिए नहीं।
(v) सत्य, क्योंकि $\cot0°=\dfrac{\cos0°}{\sin0°}=\dfrac10$, जो अपरिभाषित है।

प्र. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: सर्वसमिका $\cot^2A+1=\operatorname{cosec}^2A$ से $\operatorname{cosec} A=\sqrt{1+\cot^2A}$, इसलिए
$\sin A=\dfrac1{\sqrt{1+\cot^2A}}$। साथ ही
$\tan A=\dfrac1{\cot A}$। और $\sec^2A=1+\tan^2A=1+\dfrac1{\cot^2A}=\dfrac{\cot^2A+1}{\cot^2A}$,
इसलिए $\sec A=\dfrac{\sqrt{\cot^2A+1}}{\cot A}$।

प्र. कोण A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

उत्तर: $\cos A=\dfrac1{\sec A}$। $\tan^2A=\sec^2A-1$, इसलिए
$\tan A=\sqrt{\sec^2A-1}$। अतः
$\sin A=\dfrac{\sqrt{\sec^2A-1}}{\sec A}$,
$\cot A=\dfrac1{\sqrt{\sec^2A-1}}$,
$\operatorname{cosec} A=\dfrac{\sec A}{\sqrt{\sec^2A-1}}$।

प्र. सही विकल्प चुनिए, पुष्टि सहित:
(i) $9\sec^2A-9\tan^2A=$ (क) 1 (ख) 9 (ग) 8 (घ) 0
(ii) $(1+\tan\theta+\sec\theta)(1+\cot\theta-\operatorname{cosec}\theta)=$ (क) 0 (ख) 1 (ग) 2 (घ) −1
(iii) $(\sec A+\tan A)(1-\sin A)=$ (क) sec A (ख) sin A (ग) cosec A (घ) cos A
(iv) $\dfrac{1+\tan^2A}{1+\cot^2A}=$ (क) sec² A (ख) −1 (ग) cot² A (घ) tan² A

उत्तर:
(i) $9(\sec^2A-\tan^2A)=9(1)=9$, अतः विकल्प (ख) सही है।
(ii) sin और cos के पदों में लिखने पर:
$\left(\dfrac{\cos\theta+\sin\theta+1}{\cos\theta}\right)\left(\dfrac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\sin\theta}\right)=\dfrac{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1}{\sin\theta\cos\theta}$
$=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-1}{\sin\theta\cos\theta}=\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}=2$, अतः विकल्प
(ग) सही है।
(iii) $\sec A+\tan A=\dfrac{1+\sin A}{\cos A}$, इससे $(1-\sin A)$ का गुणा करने पर
$\dfrac{(1+\sin A)(1-\sin A)}{\cos A}=\dfrac{1-\sin^2A}{\cos A}=\dfrac{\cos^2A}{\cos A}=\cos A$,
अतः विकल्प (घ) सही है।
(iv) $\dfrac{\sec^2A}{\operatorname{cosec}^2A}=\dfrac{1/\cos^2A}{1/\sin^2A}=\dfrac{\sin^2A}{\cos^2A}=\tan^2A$,
अतः विकल्प (घ) सही है।

प्र. निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ कोण न्यून हैं और व्यंजक परिभाषित हैं:

(i) $(\operatorname{cosec}\theta-\cot\theta)^2=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$

हल: बायाँ पक्ष $=\left(\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2=\dfrac{(1-\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta} =\dfrac{(1-\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=$ दायाँ पक्ष
(सिद्ध हुआ)।

(ii) $\dfrac{\cos A}{1+\sin A}+\dfrac{1+\sin A}{\cos A}=2\sec A$

हल: बायाँ पक्ष $=\dfrac{\cos^2A+(1+\sin A)^2}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac{\cos^2A+1+2\sin A+\sin^2A}{\cos A(1+\sin A)} =\dfrac{2+2\sin A}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac{2(1+\sin A)}{\cos A(1+\sin A)}=\dfrac2{\cos A}=2\sec A=$
दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(iii) $\dfrac{\tan\theta}{1-\cot\theta}+\dfrac{\cot\theta}{1-\tan\theta}=1+\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$

हल: $s=\sin\theta$, $c=\cos\theta$ लीजिए। पहला पद $=\dfrac{s/c}{1-c/s}=\dfrac{s^2}{c(s-c)}$।
दूसरा पद $=\dfrac{c/s}{1-s/c}=\dfrac{c^2}{s(c-s)}=-\dfrac{c^2}{s(s-c)}$। योग $=\dfrac{s^3-c^3}{sc(s-c)}$।
चूँकि $s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2)$, यह $=\dfrac{s^2+sc+c^2}{sc}=\dfrac{s^2+c^2}{sc}+1=\dfrac1{sc}+1$
(चूँकि $s^2+c^2=1$) $=1+\operatorname{cosec}\theta\sec\theta=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(iv) $\dfrac{1+\sec A}{\sec A}=\dfrac{\sin^2A}{1-\cos A}$

हल: बायाँ पक्ष $=1+\cos A$। दायाँ पक्ष $=\dfrac{1-\cos^2A}{1-\cos A}=\dfrac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{1-\cos A}=1+\cos A$।
दोनों पक्ष बराबर हैं (सिद्ध हुआ)।

(v) $\dfrac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$

हल: अंश और हर को $\sin A$ से भाग देने पर, अंश $=\cot A-1+\operatorname{cosec} A$, हर
$=\cot A+1-\operatorname{cosec} A=-(\operatorname{cosec} A-\cot A-1)$। मान लीजिए $k=\operatorname{cosec} A+\cot A$; सर्वसमिका
$\operatorname{cosec}^2A-\cot^2A=1$ से $(\operatorname{cosec} A-\cot A)(\operatorname{cosec} A+\cot A)=1$, इसलिए $\operatorname{cosec} A-\cot A=\dfrac1k$।
अंश $=k-1$, हर $=1-\operatorname{cosec} A+\cot A=1-\dfrac1k=\dfrac{k-1}{k}$। व्यंजक $=\dfrac{k-1}{(k-1)/k}=k=\operatorname{cosec} A+\cot A=$
दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(vi) $\sqrt{\dfrac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A$

हल: अंश-हर को $(1+\sin A)$ से गुणा करने पर बायाँ पक्ष $=\sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{1-\sin^2A}} =\sqrt{\dfrac{(1+\sin A)^2}{\cos^2A}}=\dfrac{1+\sin A}{\cos A}$ (चूँकि $0°\le A\lt90°$ में $\cos A\gt0$)
$=\dfrac1{\cos A}+\dfrac{\sin A}{\cos A}=\sec A+\tan A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(vii) $\dfrac{\sin\theta-2\sin^3\theta}{2\cos^3\theta-\cos\theta}=\tan\theta$

हल: अंश $=\sin\theta(1-2\sin^2\theta)=\sin\theta(2\cos^2\theta-1)$ (चूँकि
$1-2\sin^2\theta=2(1-\sin^2\theta)-1=2\cos^2\theta-1$)। हर $=\cos\theta(2\cos^2\theta-1)$।
$(2\cos^2\theta-1)$ को काटने पर $=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(viii) $(\sin A+\operatorname{cosec} A)^2+(\cos A+\sec A)^2=7+\tan^2A+\cot^2A$

हल: बायाँ पक्ष $=\sin^2A+2\sin A\operatorname{cosec} A+\operatorname{cosec}^2A+\cos^2A+2\cos A\sec A+\sec^2A$। चूँकि
$\sin A\operatorname{cosec} A=1$ और $\cos A\sec A=1$, यह $=(\sin^2A+\cos^2A)+2+2+\operatorname{cosec}^2A+\sec^2A =1+4+(1+\cot^2A)+(1+\tan^2A)=7+\tan^2A+\cot^2A=$ दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)।

(ix) $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\dfrac1{\tan A+\cot A}$

हल: $\operatorname{cosec} A-\sin A=\dfrac1{\sin A}-\sin A=\dfrac{1-\sin^2A}{\sin A}=\dfrac{\cos^2A}{\sin A}$।
इसी प्रकार $\sec A-\cos A=\dfrac{\sin^2A}{\cos A}$। बायाँ पक्ष
$=\dfrac{\cos^2A}{\sin A}\times\dfrac{\sin^2A}{\cos A}=\sin A\cos A$। दायाँ पक्ष
$=\dfrac1{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}}=\dfrac1{\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin A\cos A}}=\sin A\cos A$।
दोनों पक्ष बराबर हैं (सिद्ध हुआ)।

(x) $\dfrac{1+\tan^2A}{1+\cot^2A}=\left(\dfrac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^2=\tan^2A$

हल: पहला भाग $=\dfrac{\sec^2A}{\operatorname{cosec}^2A}=\dfrac{\sin^2A}{\cos^2A}=\tan^2A$ (प्रश्न 3(iv)
की भाँति)। दूसरे भाग में $\cot A=\dfrac1{\tan A}$ रखने पर $1-\cot A=1-\dfrac1{\tan A}=\dfrac{\tan A-1}{\tan A} =-\dfrac{1-\tan A}{\tan A}$, इसलिए $\dfrac{1-\tan A}{1-\cot A}=\dfrac{1-\tan A}{-\frac{1-\tan A}{\tan A}}=-\tan A$।
इसका वर्ग $\tan^2A$ है। तीनों व्यंजक $\tan^2A$ के बराबर हैं (सिद्ध हुआ)।

प्र. क्यों न यहाँ आप एक समकोण त्रिभुज के कोण C के त्रिकोणमितीय अनुपातों को परिभाषित करने का प्रयास करें (देखिए आकृति 8.5)?

उत्तर: त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है। कोण C के लिए सम्मुख भुजा AB, संलग्न भुजा BC और कर्ण AC है। अतः
$\sin C=\dfrac{AB}{AC}$, $\cos C=\dfrac{BC}{AC}$, $\tan C=\dfrac{AB}{BC}$, $\operatorname{cosec} C=\dfrac{AC}{AB}$, $\sec C=\dfrac{AC}{BC}$, $\cot C=\dfrac{BC}{AB}$।

प्र. $AB=2\sqrt2\,k$ प्राप्त होता है ($AB=-2\sqrt2\,k$ क्यों नहीं है?)

उत्तर: AB एक भुजा की लंबाई है और लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं होती ($k$ धन संख्या है), इसलिए $AB^2=8k^2$ का धनात्मक मूल $2\sqrt2\,k$ ही लिया जाता है।

प्र. $\triangle OPQ$ में (कोण P समकोण, OP = 7 cm, OQ − PQ = 1 cm): $(1+PQ)^2=OP^2+PQ^2$ (क्यों?) और $1+2PQ=7^2$ (क्यों?)

उत्तर: OQ − PQ = 1 दिया है, इसलिए OQ = 1 + PQ; इसे $OQ^2=OP^2+PQ^2$ में रखने पर पहला संबंध मिलता है।
विस्तार करने पर $1+PQ^2+2PQ=OP^2+PQ^2$; दोनों पक्षों से $PQ^2$ हटाने और OP = 7 रखने पर $1+2PQ=7^2$ मिलता है। इससे PQ = 24 cm, OQ = 25 cm।

प्र. (i) 45° वाले त्रिभुज में BC = AB (क्यों?) (ii) समबाहु त्रिभुज में $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (क्यों?)

उत्तर: (i) कोण A = कोण C = 45° है, और बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए BC = AB।
(ii) AB = AC (समबाहु त्रिभुज), AD उभयनिष्ठ है और कोण ADB = कोण ADC = 90°, इसलिए RHS सर्वांगसमता से $\triangle ABD \cong \triangle ACD$।

प्र. $\cot 0°=\dfrac{1}{\tan 0°}=\dfrac10$ परिभाषित नहीं है (क्यों?), और $\operatorname{cosec} 0°=\dfrac10$ भी परिभाषित नहीं है (क्यों?)

उत्तर: दोनों में हर (denominator) शून्य है ($\tan 0°=0$, $\sin 0°=0$), और किसी संख्या को शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है।

प्र. अब आप क्यों नहीं 90° के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं?

उत्तर: $\sin 90°=1$ और $\cos 90°=0$ से:
$\tan 90°=\dfrac{\sin 90°}{\cos 90°}=\dfrac10$, अपरिभाषित; $\operatorname{cosec} 90°=\dfrac{1}{\sin 90°}=1$;
$\sec 90°=\dfrac{1}{\cos 90°}=\dfrac10$, अपरिभाषित; $\cot 90°=\dfrac{\cos 90°}{\sin 90°}=\dfrac01=0$।

प्र. (i) उदाहरण 6 में AC ज्ञात करने के लिए $\sin 30°=\dfrac{AB}{AC}$ लेते हैं (क्यों?) (ii) उदाहरण 7 में $\angle PRQ=30°$ है, इसलिए $\angle QPR=60°$ (क्यों?)

उत्तर: (i) AB ज्ञात है और AC चाहिए; कोण C = 30° के लिए AB सम्मुख भुजा और AC कर्ण है, इसलिए वही अनुपात लिया जाता है जिसमें ये दोनों भुजाएँ हों, अर्थात् sin।
(ii) कोण Q = 90° है और त्रिभुज के कोणों का योग 180° है, इसलिए $\angle QPR=180°-90°-30°=60°$।

प्र. $\sin(A-B)=\dfrac12$, इसलिए $A-B=30°$ (क्यों?); $\cos(A+B)=\dfrac12$, इसलिए $A+B=60°$ (क्यों?)

उत्तर: सारणी 8.1 में $\sin 30°=\dfrac12$ और $\cos 60°=\dfrac12$ है। 0° से 90° के बीच sin का मान लगातार बढ़ता और cos का मान लगातार घटता है, इसलिए हर मान केवल एक ही कोण पर आता है।

प्र. $\cos^2A=1-\sin^2A$ से $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}$ प्राप्त होता है (क्यों?)

उत्तर: A एक न्यून कोण है, इसलिए $\cos A$ धनात्मक है (दो भुजाओं की लंबाइयों का अनुपात); अतः केवल धनात्मक वर्गमूल लिया जाता है।