Class 11 Economics Ch 4 Notes in Hindi: आँकड़ों का प्रस्तुतीकरण

यह अध्याय टी.आर. जैन एवं वी.के. ओहरी (अंग्रेज़ी संस्करण 2026-27) के अध्याय 5-8 को कवर करता है। आधार: NCERT अर्थशास्त्र में सांख्यिकी, अध्याय 4 (Reprint 2026-27) और CBSE पाठ्यक्रम 2026-27 (इकाई 2)। UP, बिहार, राजस्थान और MP बोर्ड भी यही अध्याय कक्षा 11 में पढ़ाते हैं।

इस अध्याय में आप सीखेंगे

आँकड़ों को पाठ-विषयक, सारणीबद्ध और आरेखीय, तीनों रूपों में प्रस्तुत करना
गुणात्मक, मात्रात्मक, कालिक और स्थानिक वर्गीकरण पहचानना और सारणी के आठों अंग लिखना
सरल, बहु और घटक दंड-आरेख तथा कोण निकालकर वृत्त आरेख बनाना
समान और असमान वर्ग अंतराल वाला आयत चित्र, बारंबारता बहुभुज, बारंबारता वक्र और दोनों तोरण बनाना
आयत चित्र से बहुलक और तोरणों से मध्यिका आलेखी रूप से निकालना, और अंकगणितीय रेखा चित्र बनाना

पाठ-विषयक प्रस्तुतीकरणसारणीबद्ध प्रस्तुतीकरणआरेखीय प्रस्तुतीकरणकोष्ठिकागुणात्मक वर्गीकरणमात्रात्मक वर्गीकरणकालिक वर्गीकरणस्थानिक वर्गीकरणअवशीर्षउपशीर्षकपाद टिप्पणीज्यामितीय आरेखसरल दंड-आरेखबहु दंड-आरेखघटक दंड-आरेखवृत्त आरेखआयत चित्रबारंबारता घनत्वबारंबारता बहुभुजबारंबारता वक्रतोरणअंकगणितीय रेखा चित्र

1 आँकड़ों का प्रस्तुतीकरण क्यों और कैसे

संग्रह किए गए आँकड़े सामान्यतः बहुत अधिक (वृहद्) होते हैं; उन्हें सुसंबद्ध और प्रस्तुति-योग्य रूप में रखना पड़ता है, ताकि वे आसानी से समझे और प्रयोग किए जा सकें
पुस्तक के अनुसार आँकड़े सामान्यतः तीन प्रकार से प्रस्तुत किए जाते हैं

पाठ-विषयक या वर्णनात्मक

आँकड़े वाक्यों में, पाठ के भीतर; थोड़े आँकड़ों के लिए

सारणीबद्ध

आँकड़े पंक्तियों और स्तंभों में; किसी भी मात्रा के आँकड़ों के लिए

आरेखीय

आँकड़े दंड, वृत्त, आयत, रेखा जैसे आरेखों में; सबसे शीघ्र समझ

2 आँकड़ों का पाठ-विषयक प्रस्तुतीकरण

याद करेंपरिभाषा 1

पाठ-विषयक (वर्णनात्मक) प्रस्तुतीकरण में आँकड़ों का विवरण पाठ (वाक्यों) में ही दिया जाता है। जब आँकड़ों का परिमाण बहुत अधिक न हो, तब यह रूप अधिक उपयोगी होता है।

स्थिति 1 (पुस्तक)

बिहार के एक शहर में 8 सितंबर 2005 को पेट्रोल तथा डीजल की कीमतों की वृद्धि के विरोध में आयोजित बंद के दौरान 5 पेट्रोल पंप खुले तथा 17 बंद पाए गए, और 2 विद्यालय बंद तथा 9 विद्यालय खुले पाए गए।

स्थिति 2 (पुस्तक: भारत की जनगणना 2001)

भारत की जनसंख्या 102 करोड़: 49 करोड़ स्त्रियाँ, 53 करोड़ पुरुष
74 करोड़ लोग ग्रामीण भारत में, केवल 28 करोड़ शहरों में
पूरे देश में 62 करोड़ गैर-श्रमिक, 40 करोड़ श्रमिक
शहरी जनसंख्या में गैर-श्रमिकों की संख्या ग्रामीण जनसंख्या की अपेक्षा अधिक (19 करोड़) थी, जहाँ 74 करोड़ की ग्रामीण जनसंख्या में 31 करोड़ श्रमिक हैं

पाठ-विषयक प्रस्तुतीकरण के लाभ और कमी

लाभ

थोड़े आँकड़ों के लिए सबसे सरल
प्रस्तुति के कुछ बिंदुओं पर बल दिया जा सकता है (जैसे “केवल 28 करोड़ शहरों में”)

महत्वपूर्ण कमी

समझने के लिए पूरा पाठ पढ़ना पड़ता है
आँकड़े अधिक हों तो तुलना करना कठिन

3 आँकड़ों का सारणीबद्ध प्रस्तुतीकरण

याद करेंपरिभाषा 2

सारणीबद्ध प्रस्तुतीकरण में आँकड़े पंक्तियों (क्षैतिज रूप से पढ़ी जाने वाली) और स्तंभों (ऊर्ध्वाधर रूप से पढ़े जाने वाले) में प्रस्तुत किए जाते हैं।

सारणी 4.1 लिंग एवं स्थान के अनुसार भारत में साक्षरता (प्रतिशत)
लिंग	ग्रामीण	शहरी	योग
पुरुष	79	90	82
स्त्री	59	80	65
योग	68	84	74

स्रोत: भारत की जनगणना 2011 (साक्षरता दर 7 वर्ष और अधिक आयु की जनसंख्या से संबंधित)

इसमें 3 पंक्तियाँ (पुरुष, स्त्री, योग) और 3 स्तंभ (ग्रामीण, शहरी, योग) हैं, इसलिए यह 3 × 3 सारणी है, जिसमें 9 खानों में 9 सूचनाएँ हैं
पंक्ति शीर्षकों का संक्षिप्त विवरण सारणी के बिल्कुल ऊपर बायीं ओर दिया जा सकता है
प्रत्येक खाने को सारणी की कोष्ठिका कहते हैं; हर कोष्ठिका एक गुण (पुरुष, स्त्री या योग) को एक संख्या (साक्षरता प्रतिशत) से जोड़ती है
सारणीकरण का सबसे बड़ा लाभ: यह आँकड़ों को आगे के सांख्यिकीय विश्लेषण और निर्णय लेने के लिए व्यवस्थित कर देता है

3.1 सारणीकरण में वर्गीकरण के चार प्रकार

याद करेंपरिभाषा 3

गुणात्मक वर्गीकरण: जब वर्गीकरण गुणों (जैसे सामाजिक स्थिति, भौतिक स्थिति, राष्ट्रीयता) के आधार पर किया जाए। सारणी 4.1 में विशिष्टता लिंग एवं स्थान के आधार पर है, जो गुणात्मक है।

याद करेंपरिभाषा 4

मात्रात्मक वर्गीकरण: जब आँकड़ों का वर्गीकरण उन विशिष्टताओं के आधार पर हो जिन्हें मात्रात्मक रूप से मापा जा सके (जैसे आयु, कद, उत्पादन, आय)। मानों को दर्शाने के लिए सीमाएँ तय करके वर्ग बनाए जाते हैं, जिन्हें वर्ग-सीमाएँ कहते हैं।

सारणी 4.2 बिहार में एक चुनावी अध्ययन हेतु 542 उत्तरदाताओं का आयु के अनुसार वितरण
आयु समूह (वर्ष)	उत्तरदाताओं की संख्या	प्रतिशत
20-30	3	0.55
30-40	61	11.25
40-50	132	24.35
50-60	153	28.24
60-70	140	25.83
70-80	51	9.41
80-90	2	0.37
योग	542	100.00

स्रोत: एसेंबली इलेक्शन, पटना सेन्ट्रल कॉन्स्टीट्यूएंसी, ए. एन. सिन्हा इंस्टीट्यूट ऑफ सोशल स्टडीज, पटना।

छूटे अंक कैसे निकले (हल किया उदाहरण)

दिया है

कुल उत्तरदाता = 542; बाकी छह वर्गों की संख्या 3, 61, 132, 153, 51, 2

ज्ञात करना है

छूटी संख्या और उसका प्रतिशत

सूत्र: छूटी संख्या = कुल − ज्ञात संख्याओं का योग; प्रतिशत = (वर्ग की संख्या ÷ कुल) × 100

मान रखना: 3 + 61 + 132 + 153 + 51 + 2 = 402; छूटी संख्या = 542 − 402 = 140

उत्तर: प्रतिशत = (140 ÷ 542) × 100 = 25.83%

अर्थ: लगभग एक-चौथाई उत्तरदाता 60-70 वर्ष के थे; सबसे अधिक (153) 50-60 वर्ष के।

याद करेंपरिभाषा 5

कालिक वर्गीकरण: इस वर्गीकरण का आधार समय होता है; आँकड़े समय (घंटे, दिन, हफ़्ते, महीने, वर्ष आदि) के अनुसार वर्गीकृत किए जाते हैं।

सारणी 4.3 एक चाय की दुकान की 1995 से 2000 तक की वार्षिक बिक्री का विवरण
वर्ष	1995	1996	1997	1998	1999	2000
बिक्री (लाख रु. में)	79.2	81.3	82.4	80.5	100.2	91.2

आँकड़ा स्रोत: अप्रकाशित आँकड़े

याद करेंपरिभाषा 6

स्थानिक वर्गीकरण: जब वर्गीकरण का आधार स्थान हो। यह स्थान कोई गाँव/कस्बा, खंड, जिला, राज्य या देश आदि हो सकता है।

सारणी 4.4 एक वर्ष में भारत द्वारा शेष विश्व में कुल निर्यात की भागीदारी (का प्रतिशत)
गंतव्य स्थान	निर्यात भागीदारी	गंतव्य स्थान	निर्यात भागीदारी
यू.एस.ए.	12.5	रूस	0.7
जर्मनी	2.4	चीन	4.7
अन्य यूरोपीय संघ के देश	10.9	पश्चिमी एशिया- गल्फ सहकारी परिषद्	15.3
यू.के.	3.1	शेष एशिया	29.4
जापान	2.2	अन्य	18.8
सभी		100.0 (कुल निर्यात: यू.एस.डॉलर 314.4 बिलियन)

वर्गीकरण	आधार	पुस्तक की सारणी	अन्य उदाहरण
गुणात्मक	गुण (जिन्हें मापा नहीं जा सकता)	4.1 (लिंग, स्थान)	धर्म, जाति, राष्ट्रीयता
मात्रात्मक	मापने योग्य विशिष्टता, वर्ग-सीमाओं से	4.2 (आयु)	कद (सें.मी.), वजन (किग्रा), आय
कालिक	समय	4.3 (वर्ष)	मासिक वर्षा, दैनिक बिक्री
स्थानिक	स्थान	4.4 (देश)	राज्यवार उत्पादन, जिलेवार साक्षरता

आम ग़लती

“आयु” को गुणात्मक लिखना ग़लत है; आयु मापी जा सकती है, इसलिए आयु के आधार पर बना वर्गीकरण मात्रात्मक है
कालिक और स्थानिक में उलझना: वर्ष/महीने = कालिक; राज्य/देश/जिला = स्थानिक

4 आँकड़ों का सारणीकरण तथा सारणी के अंग

सारणी की सबसे सरल संकल्पना: आँकड़ों को कुछ व्याख्यात्मक सूचनाओं के साथ पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित करना
विशिष्टताओं की संख्या के आधार पर सारणीकरण एकविध (एक विशिष्टता), द्विविध (दो) या त्रिविध (तीन) वर्गीकरण द्वारा किया जा सकता है। सारणी 4.5 त्रिविध है: अवस्थिति, लिंग और श्रमिक-स्थिति

(क) सारणी संख्या

पहचान के लिए

(ख) शीर्षक

विषयवस्तु बताता है

(ग) स्तंभ शीर्षक

स्तंभों के नाम (उपशीर्षक)

(घ) पंक्ति शीर्षक

पंक्तियों के नाम (अवशीर्ष)

(ङ) सारणी का मुख्य भाग

वास्तविक आँकड़े

(च) माप की इकाई

शीर्षक के साथ

(छ) स्रोत

आँकड़े कहाँ से

(ज) टिप्पणी

अंतिम अंग, व्याख्या

याद करेंपरिभाषा 7

(क) सारणी संख्या सारणी की पहचान के लिए दी जाती है; एक से अधिक सारणियाँ हों तो यही उन्हें एक-दूसरे से अलग करती है। यह सारणी के ऊपर या शीर्षक की शुरुआत में दी जाती है। संख्याएँ आरोही क्रम में होती हैं; 1.2, 3.1 जैसी संख्याएँ सारणी की अवस्थिति बताती हैं: सारणी 4.5 = अध्याय 4 की पाँचवीं सारणी।

याद करेंपरिभाषा 8

(ख) शीर्षक सारणी की विषयवस्तु की व्याख्या करता है। यह स्पष्ट, संक्षिप्त और सावधानी से चुने गए शब्दों में होना चाहिए, ताकि भाव में अस्पष्टता न हो। यह सारणी के बिल्कुल ऊपर, सारणी संख्या के ठीक बाद या उसके ठीक नीचे दिया जाता है।

याद करेंपरिभाषा 9

(ग) उप शीर्षक या स्तंभ शीर्षक: सारणी के प्रत्येक स्तंभ के ऊपर उस स्तंभ की संख्याओं की व्याख्या करने वाला नाम।

याद करेंपरिभाषा 10

(घ) अवशीर्ष या पंक्ति शीर्षक: सारणी की प्रत्येक पंक्ति को दिया गया शीर्षक। पंक्तियों के नाम को अवशीर्ष (अवशीर्ष मद) कहते हैं और संपूर्ण बायें स्तंभ को अवशीर्ष स्तंभ कहा जाता है।

याद करेंपरिभाषा 11

(ङ) सारणी का मुख्य भाग वह भाग है जिसमें वास्तविक आँकड़े होते हैं। किसी भी संख्या की अवस्थिति उसकी पंक्ति और स्तंभ से तय होती है।

याद करेंपरिभाषा 12

(च) माप की इकाई सारणी के शीर्षक के साथ लिखी जाती है। पंक्तियों या स्तंभों की इकाइयाँ भिन्न हों, तो उन्हें उपशीर्षक या अवशीर्ष के साथ लिखा जाता है। संख्याएँ बहुत बड़ी हों तो उन्हें पूर्णांक बनाकर पूर्णांकन की विधि का संकेत दिया जाता है।

याद करेंपरिभाषा 13

(छ) स्रोत एक संक्षिप्त विवरण या वाक्यांश है जो सारणी के आँकड़ों का स्रोत बताता है। एक से अधिक स्रोत हों तो सभी लिखे जाते हैं। स्रोत प्रायः सारणी के नीचे दिया जाता है।

याद करेंपरिभाषा 14

(ज) टिप्पणी (पाद टिप्पणी) सारणी का अंतिम अंग है। यह आँकड़ों की उन विशिष्टताओं की व्याख्या करती है जो स्वतः स्पष्ट नहीं हैं और पहले कहीं समझाई नहीं गई हैं।

सारणी 4.5 लिंग एवं अवस्थिति के अनुसार श्रमिकों एवं गैर-श्रमिकों के आधार पर भारत की जनसंख्या (करोड़)
अवस्थिति	लिंग	श्रमिक			गैर-श्रमिक	योग
अवस्थिति	लिंग	मुख्य	आंशिक	योग	गैर-श्रमिक	योग
ग्रामीण	पुरुष	17	3	20	18	38
	स्त्री	6	5	11	25	36
	योग	23	8	31	43	74
शहरी	पुरुष	7	1	8	7	15
	स्त्री	1	0	1	12	13
	योग	8	1	9	19	28
कुल	पुरुष	24	4	28	25	53
	स्त्री	7	5	12	37	49
	योग	31	9	40	62	102

स्रोत: भारत की जनगणना 2001 · पाद टिप्पणी: संख्याओं को निकटतम करोड़ में पूर्णांकित किया गया है। (सूचना: सारणी 4.5 में वही आँकड़े हैं जो पाठ-विषयक प्रस्तुतीकरण की स्थिति 2 में दिए गए थे।)

सारणी 4.5 में अंग	कहाँ है / क्या है
सारणी संख्या	“सारणी 4.5”, सबसे ऊपर
शीर्षक	“लिंग एवं अवस्थिति के अनुसार … भारत की जनसंख्या”
स्तंभ शीर्षक (उपशीर्षक)	श्रमिक (मुख्य, आंशिक, योग), गैर-श्रमिक, योग
पंक्ति शीर्षक (अवशीर्ष)	अवस्थिति (ग्रामीण, शहरी, कुल) और लिंग (पुरुष, स्त्री, योग), बायें स्तंभ में
मुख्य भाग	सभी संख्याएँ; जैसे ग्रामीण-स्त्री पंक्ति और गैर-श्रमिक स्तंभ की कोष्ठिका: 25 करोड़ ग्रामीण स्त्रियाँ गैर-श्रमिक थीं
माप की इकाई	“(करोड़)”, शीर्षक के साथ
स्रोत	भारत की जनगणना 2001, सारणी के नीचे
टिप्पणी	संख्याएँ निकटतम करोड़ में पूर्णांकित

परीक्षा संकेत

“एक अच्छी सारणी के अंग लिखिए” वाले प्रश्न में आठों अंग क्रम से लिखें, हर एक के साथ एक पंक्ति का अर्थ, और संभव हो तो छोटी-सी सारणी बनाकर उन पर नाम लगाएँ। योग वाली पंक्ति और स्तंभ (उप-योग और कुल योग) भी दिखाएँ।

5 आँकड़ों का आरेखी प्रस्तुतीकरण

यह आँकड़े प्रस्तुत करने की तीसरी विधि है; पाठ-विषयक और सारणीबद्ध की तुलना में यह वस्तु-स्थिति को सबसे जल्दी समझाती है
आरेख संख्याओं में निहित अमूर्तता को कम करके उन्हें मूर्त और आसानी से समझने योग्य बना देते हैं
सारणी की अपेक्षा आरेख में परिशुद्धता थोड़ी कम हो सकती है, पर तुलना में ये अधिक प्रभावी होते हैं

ज्यामितीय आरेख

दंड-आरेख (सरल, बहु, घटक) और वृत्त आरेख

बारंबारता आरेख

आयत चित्र, बारंबारता बहुभुज, बारंबारता वक्र, तोरण

अंकगणितीय रैखिक आलेख

अंकगणितीय रेखा चित्र, यानी काल-श्रेणी आलेख

5.1 दंड-आरेख (Bar Diagram)

याद करेंपरिभाषा 15

सरल दंड-आरेख में समान अंतरालों पर बने, समान चौड़ाई वाले आयताकार दंडों का एक समूह होता है, प्रत्येक दंड एक श्रेणी/वर्ग का। दंड की ऊँचाई या लंबाई आँकड़े का परिमाण बताती है; दंड का निचला छोर आधार रेखा को छूता है, यानी ऊँचाई शून्य से शुरू होती है।

दंडों की सापेक्ष ऊँचाई देखकर आँकड़े जल्दी समझ में आते हैं; जिस वर्ग का दंड लंबा है (जैसे केरल की साक्षरता), उसमें वह विशेषता अधिक है (जैसे पश्चिम बंगाल की तुलना में)
दंड-आरेख बारंबारता और गैर-बारंबारता, दोनों प्रकार के आँकड़ों के लिए बनते हैं; विविक्त चर (परिवार का आकार, पाँसे पर बिंदु, परीक्षा के ग्रेड) और गुण (लिंग, धर्म, जाति, देश) दोनों के लिए
गैर-बारंबारता आँकड़ों (आय-व्यय, कई वर्षों के आयात/निर्यात) के लिए ये अधिक सुविधाजनक हैं; काल-श्रेणी आँकड़ों (1980 से 2000 तक अन्न उत्पादन, कार्य सहभागिता दर में दशकवार परिवर्तन, पंजीकृत बेरोजगारी, साक्षरता दर) के लिए स्तंभ (दंड) प्रायः प्रयोग होते हैं
विशिष्टताओं का मापा हुआ (गणना किया हुआ) मान प्रत्येक मान की पहचान बनाए रखता है

सारणी 4.6 भारत के प्रमुख राज्यों में साक्षरता दर
राज्य	2001		2011
राज्य	पुरुष	स्त्री	पुरुष	स्त्री
आंध्र प्रदेश (आ.प्र.)	70.3	50.4	75.6	59.7
आसाम (आसा.)	71.3	54.6	78.8	67.3
बिहार (बि.)	59.7	33.1	73.4	53.3
झारखंड (झार.)	67.3	38.9	78.4	56.2
गुजरात (गुज.)	79.7	57.8	87.2	70.7
हरियाणा (हरि.)	78.5	55.7	85.3	66.8
कर्नाटक (कर्ना.)	76.1	56.9	82.9	68.1
केरल (के.)	94.2	87.7	96.0	92.0
मध्य प्रदेश (म.प्र.)	76.1	50.3	80.5	60.0
छत्तीसगढ़ (छत्त.)	77.4	51.9	81.5	60.6
महाराष्ट्र (महा.)	86.0	67.0	89.8	75.5
ओडिशा (ओडि.)	75.3	50.5	82.4	64.4
पंजाब (पंजा.)	75.2	63.4	81.5	71.3
राजस्थान (राज.)	75.7	43.9	80.5	52.7
तमिलनाडु (तमि.)	82.4	64.4	86.8	73.9
उत्तर प्रदेश (उ.प्र.)	68.8	42.2	79.2	59.3
उत्तराखंड (उत्त.)	83.3	59.6	88.3	70.7
पश्चिम बंगाल (प.बं.)	77.0	59.6	82.7	71.2
भारत	75.3	53.7	82.1	65.5

चित्र 1: सरल दंड-आरेख: 2011 में भारत के प्रमुख राज्यों की पुरुष साक्षरता दर (सारणी 4.6); हर दंड की ऊँचाई उस राज्य की दर है, केरल सबसे ऊँचा (96.0), बिहार सबसे नीचा (73.4) — **चित्र 1**: सरल दंड-आरेख: 2011 में भारत के प्रमुख राज्यों की पुरुष साक्षरता दर (सारणी 4.6); हर दंड की ऊँचाई उस राज्य की दर है, केरल सबसे ऊँचा (96.0), बिहार सबसे नीचा (73.4)

सरल दंड-आरेख बनाने के चरण

X-अक्ष पर श्रेणियाँ (राज्य), Y-अक्ष पर मान (साक्षरता %) लें; Y-अक्ष का पैमाना शून्य से शुरू करें
सभी दंड समान चौड़ाई के और बीच में समान अंतर रखें
हर दंड की ऊँचाई उसके मान के बराबर (जैसे केरल 96.0) रखें, ऊपर मान लिखें
शीर्षक, अक्षों के नाम, इकाई और स्रोत लिखें

याद करेंपरिभाषा 16

बहु दंड-आरेख दो या अधिक आँकड़ा समूहों की तुलना के लिए प्रयोग होते हैं, जैसे कई वर्षों की आय और व्यय, आयात और निर्यात, या अलग-अलग कक्षाओं में विषयों के अंक। हर श्रेणी पर दो या अधिक दंड साथ-साथ (बिना अंतर) बनते हैं और उन्हें अलग रंग/छायांकन देकर संकेत (legend) में बताया जाता है।

चित्र 2: बहु दंड-आरेख: प्रमुख राज्यों में 2001 और 2011 की स्त्री साक्षरता दर (सारणी 4.6); हर राज्य पर दो दंड साथ-साथ — **चित्र 2**: बहु दंड-आरेख: प्रमुख राज्यों में 2001 और 2011 की स्त्री साक्षरता दर (सारणी 4.6); हर राज्य पर दो दंड साथ-साथ

अर्थ निर्वचन (पुस्तक, चित्र 4.2)

पूरे देश में स्त्री साक्षरता दर 2001 से 2011 के बीच बढ़ी; हर राज्य का 2011 वाला दंड 2001 से ऊँचा है
सबसे अधिक वृद्धि बिहार (33.1 से 53.3, यानी 20.2 अंक), झारखंड (17.3 अंक) और उत्तर प्रदेश (17.1 अंक) में हुई

पुस्तक की क्रियात्मक गतिविधियों के उत्तर (सारणी 4.6)

2011 में 10 राज्यों (आसा., गुज., हरि., कर्ना., के., महा., पंजा., तमि., उत्त., प.बं.) की स्त्री साक्षरता राष्ट्रीय औसत 65.5 से अधिक थी
सबसे अधिक और सबसे कम स्त्री साक्षरता का अंतर 2001 में 87.7 − 33.1 = 54.6 अंक (केरल − बिहार) था, 2011 में 92.0 − 52.7 = 39.3 अंक (केरल − राजस्थान) रह गया, यानी अंतर घटा

याद करेंपरिभाषा 17

घटक दंड-आरेख (उप-आरेख) में एक दंड को उसके घटकों (वे तत्व या भाग जिनसे कोई चीज़ बनी है) में बाँटा जाता है। ये घटकों के आकार की तुलना करने और उनके आपसी संबंध दिखाने में उपयोगी हैं, जैसे विभिन्न उत्पादों से बिक्री, किसी भारतीय परिवार का व्यय (भोजन, किराया, दवा, शिक्षा, बिजली), बजट की प्राप्तियाँ और व्यय, श्रमशक्ति के घटक।

सारणी 4.7 बिहार के एक जिले में 6-14 वर्ष की आयु के बच्चों का लिंग के अनुसार विद्यालय में नामांकन (प्रतिशत)
लिंग	नामांकित (प्रतिशत)	गैर-नामांकित (प्रतिशत)
लड़के	91.5	8.5
लड़कियाँ	58.6	41.4
कुल	78.0	22.0

आँकड़ा स्रोत: अप्रकाशित आँकड़े। (पुस्तक के शीर्षक में आयु “4-6 वर्ष” छपी है; पाठ में यही आँकड़े 6-14 आयु-वर्ग के बताए गए हैं।)

चित्र 3: घटक दंड-आरेख: बिहार के एक जिले में 6-14 वर्ष के बच्चों का नामांकन (सारणी 4.7); हर दंड की ऊँचाई 100 — **चित्र 3**: घटक दंड-आरेख: बिहार के एक जिले में 6-14 वर्ष के बच्चों का नामांकन (सारणी 4.7); हर दंड की ऊँचाई 100

घटक दंड-आरेख बनाने के चरण

X-अक्ष पर एक दंड बनाएँ जिसकी कुल ऊँचाई कुल मान के बराबर हो; प्रतिशत आँकड़ों में हर दंड की ऊँचाई 100 इकाई
अन्यथा दंड की ऊँचाई कुल मान के बराबर रखकर घटकों की आनुपातिक ऊँचाई ऐकिक विधि से निकालें
दंड को बाँटते समय छोटे घटकों को अधिक प्राथमिकता दी जाती है
घटकों को अलग रंग या छायांकन दें और संकेत (legend) बनाएँ

5.2 वृत्त आरेख (Pie Diagram)

याद करेंपरिभाषा 18

वृत्त आरेख (वृत्त चार्ट) भी एक घटक आरेख है, पर इसमें दंड की जगह एक वृत्त होता है, जिसका क्षेत्र घटकों में आनुपातिक रूप से बाँटा जाता है। वृत्त को केंद्र से परिधि तक सीधी रेखाएँ खींचकर उतने भागों में बाँटते हैं जितने घटक हैं।

वृत्त आरेख सामान्यतः किसी वर्ग के निरपेक्ष मान से नहीं बनाए जाते; पहले हर वर्ग का मान कुल के प्रतिशत में बदला जाता है
त्रिज्या कुछ भी हो, वृत्त को 100 बराबर भागों में बँटा माना जाता है, प्रत्येक भाग 3.6° (360°/100)
किसी घटक का केंद्र पर कोण = उसका प्रतिशत × 3.6°
घटक दंड-आरेख वाले आँकड़े वृत्त आरेख से भी उतनी ही अच्छी तरह दिखाए जा सकते हैं; बस निरपेक्ष मानों को पहले प्रतिशत में बदलना होता है

सूत्र

घटक का प्रतिशत = (घटक का मान ÷ कुल मान) × 100

केंद्र पर कोण = प्रतिशत × 3.6° = (घटक का मान ÷ कुल मान) × 360°

सारणी 4.8 कार्य-स्थिति के अनुसार भारत की जनसंख्या का वितरण (करोड़ में)
स्थिति	जनसंख्या	प्रतिशत	कोणीय घटक
सीमांत श्रमिक	9	8.8	32°
मुख्य श्रमिक	31	30.4	109°
गैर श्रमिक	62	60.8	219°
कुल	102	100.0	360°

हल किया उदाहरण: कोण निकालना (सारणी 4.8)

दिया है

सीमांत श्रमिक 9, मुख्य श्रमिक 31, गैर-श्रमिक 62 करोड़; कुल 102 करोड़

ज्ञात करना है

हर घटक का केंद्र पर कोण

सूत्र: कोण = (मान ÷ कुल) × 100 × 3.6°

मान रखना: 9 ÷ 102 × 100 = 8.8%, 8.8 × 3.6 = 31.68° ≈ 32°; 31 ÷ 102 × 100 = 30.4%, 30.4 × 3.6 = 109.44° ≈ 109°; 62 ÷ 102 × 100 = 60.8%, 60.8 × 3.6 = 218.88° ≈ 219°

जाँच: 32° + 109° + 219° = 360° (पूरा वृत्त)

अर्थ: सन् 2001 में भारत की लगभग 61% जनसंख्या गैर-श्रमिक थी; वृत्त का सबसे बड़ा भाग यही है।

चित्र 4: वृत्त आरेख: सन् 2001 में कार्य-स्थिति के अनुसार भारत की जनसंख्या (सारणी 4.8); कोण 32°, 109°, 219° — **चित्र 4**: वृत्त आरेख: सन् 2001 में कार्य-स्थिति के अनुसार भारत की जनसंख्या (सारणी 4.8); कोण 32°, 109°, 219°

आम ग़लती

प्रतिशत को सीधे कोण मान लेना (60.8° लिखना) ग़लत है; प्रतिशत को 3.6 से गुणा करना है
पूर्णांक बनाने के बाद कोणों का योग 360° है या नहीं, यह जाँचना न भूलें
वृत्त का आकार (क्षेत्रफल) आँकड़ों के कुल मान को नहीं दिखाता; त्रिज्या कुछ भी हो, कुल हमेशा 100% = 360°

5.3 बारंबारता आरेख

समूहीकृत बारंबारता वितरण के रूप में प्रस्तुत आँकड़ों को सामान्यतः बारंबारता आरेखों से दिखाया जाता है: आयत चित्र, बारंबारता बहुभुज, बारंबारता वक्र और तोरण।

5.4 आयत चित्र (Histogram)

याद करेंपरिभाषा 19

आयत चित्र एक द्विविम आरेख है। यह आयतों का समुच्चय है, जिनका आधार X-अक्ष पर वर्ग सीमाओं के बीच का अंतराल होता है और जिनका क्षेत्रफल वर्ग की बारंबारता के अनुपात में होता है।

वर्ग अंतराल समान हों (जैसा सामान्यतः होता है), तो आयतों का क्षेत्रफल उनकी बारंबारताओं के अनुपात में होता है, इसलिए ऊँचाई = बारंबारता
आयत चित्र विविक्त चर के लिए नहीं खींचा जाता; संतत चर में एक वर्ग की निचली सीमा पिछले वर्ग की ऊपरी सीमा से मिल जाती है, इसलिए सभी आयत साथ-साथ होते हैं और दो आसन्न आयतों के बीच कोई खाली स्थान नहीं होता
वर्ग संतत नहीं हैं (जैसे 45-49, 50-54), तो पहले उन्हें संतत वर्गों (44.5-49.5, 49.5-54.5) में बदला जाता है, जैसा अध्याय 3 में सीखा
कई बार दो आसन्न आयतों के बीच का सामान्य अंश हटा दिया जाता है, ताकि संततता का बेहतर प्रभाव पड़े; तब आकृति दोहरे सोपान (सीढ़ी) जैसी लगती है

सारणी 4.9 किसी कस्बे के एक इलाके में दैनिक मज़दूरी का वितरण
दैनिक मज़दूरी (रु.)	संतत वर्ग	मज़दूर (f)	दैनिक मज़दूरी (रु.)	संतत वर्ग	मज़दूर (f)
45-49	44.5-49.5	2	85-89	84.5-89.5	9
50-54	49.5-54.5	3	90-94	89.5-94.5	7
55-59	54.5-59.5	5	95-99	94.5-99.5	6
60-64	59.5-64.5	3	100-104	99.5-104.5	4
65-69	64.5-69.5	6	105-109	104.5-109.5	2
70-74	69.5-74.5	7	110-114	109.5-114.5	3
75-79	74.5-79.5	12	115-119	114.5-119.5	3
80-84	79.5-84.5	13	कुल		85

स्रोत: अप्रकाशित आँकड़े। संतत वर्ग बनाने के लिए हर निचली सीमा से 0.5 घटाया और हर ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ा (50 − 49 = 1 का आधा)।

चित्र 5: आयत चित्र: एक इलाके के 85 दैनिक मज़दूरों का वितरण (सारणी 4.9); बहुलक वर्ग पर दो तिरछी रेखाओं का कटान बहुलक ₹80.5 देता है — **चित्र 5**: आयत चित्र: एक इलाके के 85 दैनिक मज़दूरों का वितरण (सारणी 4.9); बहुलक वर्ग पर दो तिरछी रेखाओं का कटान बहुलक ₹80.5 देता है

आयत चित्र से बहुलक (आलेखी विधि)

सबसे ऊँचा आयत बहुलक वर्ग है: 79.5-84.5 (f = 13)
बहुलक आयत के ऊपरी बायें कोने को अगले आयत के ऊपरी बायें कोने से, और ऊपरी दायें कोने को पिछले आयत के ऊपरी दायें कोने से मिलाएँ; दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं
कटान बिंदु से X-अक्ष पर लंब डालें; जहाँ यह X-अक्ष को छुए, वह बहुलक है
यहाँ बहुलक = 79.5 + (13 − 12) ÷ [(13 − 12) + (13 − 9)] × 5 = 79.5 + 1 = ₹80.5 (पुस्तक का चित्र लगभग 80.6 पढ़ता है)

अर्थ: इस इलाके में सबसे अधिक मज़दूरों की दैनिक मज़दूरी लगभग ₹80-81 के आसपास है।

5.5 असमान वर्ग अंतराल वाला आयत चित्र: बारंबारता घनत्व

कुछ आँकड़ों में अलग-अलग विस्तार वाले वर्ग सुविधाजनक और कई बार आवश्यक होते हैं। पुस्तक का उदाहरण: आयु के अनुसार मृत्यु का सारणीयन करते समय आरंभ में छोटे आयु-अंतराल (0, 1, 2 वर्ष या 0, 7, 28 दिन) अधिक सार्थक हैं, क्योंकि कम आयु में मृत्युदर बहुत ऊँची होती है
किसी आयत की ऊँचाई = क्षेत्रफल ÷ आधार = बारंबारता ÷ वर्ग विस्तार
आधारों का विस्तार भिन्न हो तो ऊँचाइयों को समायोजित करना पड़ता है; तब निरपेक्ष बारंबारता के स्थान पर बारंबारता घनत्व लिया जाता है

याद करेंपरिभाषा 20

बारंबारता घनत्व = वर्ग बारंबारता ÷ वर्ग अंतराल का विस्तार। असमान वर्ग अंतराल वाले आयत चित्र में आयत की ऊँचाई यही होती है।

हल किया उदाहरण (अभ्यास के लिए हमारा उदाहरण, पुस्तक का नहीं)

दिया है

60 छात्रों का साप्ताहिक जेब ख़र्च (₹): 0-10: 5, 10-20: 8, 20-40: 20, 40-50: 12, 50-80: 15

ज्ञात करना है

आयतों की ऊँचाई

सूत्र: बारंबारता घनत्व = f ÷ वर्ग विस्तार

वर्ग	f	वर्ग विस्तार	बारंबारता घनत्व (ऊँचाई)	समायोजित बारंबारता (विस्तार 10 पर)
0-10	5	10	5 ÷ 10 = 0.5	5
10-20	8	10	8 ÷ 10 = 0.8	8
20-40	20	20	20 ÷ 20 = 1.0	20 × 10 ÷ 20 = 10
40-50	12	10	12 ÷ 10 = 1.2	12
50-80	15	30	15 ÷ 30 = 0.5	15 × 10 ÷ 30 = 5

उत्तर: आयतों की ऊँचाई 0.5, 0.8, 1.0, 1.2, 0.5 होगी; कुल क्षेत्रफल = 5 + 8 + 20 + 12 + 15 = 60 = कुल बारंबारता

अर्थ: 20-40 वर्ग में 20 छात्र हैं, पर वर्ग दोगुना चौड़ा है; प्रति ₹1 छात्रों का घनत्व (1.0) 40-50 वर्ग (1.2) से कम है। बिना समायोजन के 20-40 का आयत भ्रामक रूप से सबसे बड़ा दिखता।

चित्र 6: असमान वर्ग अंतराल वाला आयत चित्र (हमारा उदाहरण): आयत की ऊँचाई = बारंबारता घनत्व, क्षेत्रफल = बारंबारता — **चित्र 6**: असमान वर्ग अंतराल वाला आयत चित्र (हमारा उदाहरण): आयत की ऊँचाई = बारंबारता घनत्व, क्षेत्रफल = बारंबारता

परीक्षा के लिए अतिरिक्त

एक समतुल्य विधि समायोजित बारंबारता = (न्यूनतम वर्ग विस्तार ÷ वर्ग का विस्तार) × f है। यह बारंबारता घनत्व को न्यूनतम विस्तार से गुणा करने के बराबर है, इसलिए आयतों का आकार वही रहता है। पुस्तक की विधि (बारंबारता घनत्व) लिखें; चाहें तो यह विकल्प भी बता दें।

5.6 आयत चित्र और दंड-आरेख में अंतर

आधार	दंड-आरेख	आयत चित्र
विमा	एक विमी: केवल ऊँचाई का महत्व	द्विविम: ऊँचाई और चौड़ाई (क्षेत्रफल) दोनों
चौड़ाई	सभी दंड समान चौड़ाई के, पर चौड़ाई का तुलना में कोई महत्व नहीं; एक ऊर्ध्वाधर रेखा भी वही काम करती	चौड़ाई = वर्ग विस्तार; उतनी ही महत्वपूर्ण जितनी ऊँचाई
बीच का स्थान	दो क्रमिक दंडों के बीच रिक्त स्थान अवश्य (बहु और घटक दंड-आरेख को छोड़कर)	आयत सटे हुए, कोई रिक्त स्थान नहीं
चर	विविक्त और संतत दोनों, और गुण भी	केवल संतत चर
आलेखी माप	कोई केंद्रीय माप नहीं	बहुलक आलेखी रूप से

5.7 बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon)

याद करेंपरिभाषा 21

बारंबारता बहुभुज सीधी रेखाओं से घिरा एक समतल है, जिसमें सामान्यतः चार या अधिक रेखाएँ होती हैं। यह आयत चित्र का विकल्प है और आयत चित्र से ही व्युत्पन्न होता है।

बनाने की विधि

आयत चित्र के क्रमिक आयतों के ऊपरी छोर के मध्य बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ें
ऐसे बहुभुज के दोनों छोर आधार रेखा से दूर रह जाते हैं, जिससे वक्र के नीचे का क्षेत्रफल नहीं निकल पाता
इसका हल: दोनों छोरों को वितरण के प्रत्येक छोर पर शून्य बारंबारता वाले वर्गों के मध्यमानों से आधार रेखा पर मिलाएँ (यहाँ 42 और 122), खंडित या बिंदु रेखाओं से
अब बहुभुज के नीचे का कुल क्षेत्रफल, आयत चित्र की तरह, कुल बारंबारता (प्रतिदर्श का आकार) दिखाता है

चित्र 7: बारंबारता बहुभुज (सारणी 4.9): आयतों के ऊपरी मध्य बिंदु जोड़े गए, दोनों छोर 42 और 122 पर आधार रेखा से मिले — **चित्र 7**: बारंबारता बहुभुज (सारणी 4.9): आयतों के ऊपरी मध्य बिंदु जोड़े गए, दोनों छोर 42 और 122 पर आधार रेखा से मिले

समूहित बारंबारता वितरण दिखाने की यह सबसे प्रचलित विधि है
X-अक्ष पर वर्ग सीमाएँ या वर्ग-चिह्न (मध्य बिंदु), दोनों दिखाए जा सकते हैं; पर बारंबारताएँ (निर्देशांक) सदैव वर्ग-अंतराल के मध्य बिंदु पर आलेखित होती हैं
वक्र के आकार के अध्ययन के लिए बारंबारता बहुभुज को किसी आयत चित्र के ऊपर लगाया जा सकता है; आयत चित्र के बिना भी, सीधे (मध्य बिंदु, बारंबारता) के बिंदु आलेखित करके बहुभुज बनाया जा सकता है
एक ही अक्ष पर दो या अधिक वितरणों की तुलना के लिए बहुभुज आयत चित्र से अधिक उपयोगी है, क्योंकि आयत चित्रों की ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ आपस में मिल सकती हैं

5.8 बारंबारता वक्र (Frequency Curve)

याद करेंपरिभाषा 22

बारंबारता वक्र बारंबारता बहुभुज के बिंदुओं से निकटतम गुज़रता हुआ मुक्त-हस्त से बना चिकना वक्र है। यह ज़रूरी नहीं कि यह बहुभुज के सभी बिंदुओं से होकर गुज़रे, पर यह उन बिंदुओं के यथासंभव निकट से गुज़रता है।

चित्र 8: बारंबारता वक्र (सारणी 4.9): बहुभुज के बिंदुओं के निकट से गुज़रता चिकना वक्र — **चित्र 8**: बारंबारता वक्र (सारणी 4.9): बहुभुज के बिंदुओं के निकट से गुज़रता चिकना वक्र

5.9 तोरण (Ogive)

याद करेंपरिभाषा 23

तोरण को संचयी बारंबारता वक्र भी कहते हैं। इसमें साधारण बारंबारताओं के स्थान पर संचयी बारंबारताएँ Y-अक्ष पर वर्ग-सीमाओं के सामने आलेखित की जाती हैं। संचयी बारंबारता दो प्रकार की होती है, इसलिए किसी समूहित बारंबारता वितरण के दो तोरण होते हैं: ‘से कम’ तोरण और ‘से अधिक’ तोरण।

सारणी 4.10 गणित में प्राप्त अंकों का बारंबारता वितरण
अंक	छात्रों की संख्या	अंक	‘से कम’ संचयी बारंबारता	अंक	‘से अधिक’ संचयी बारंबारता
0-20	6	20 से कम	6	0 से अधिक	64
20-40	5	40 से कम	6 + 5 = 11	20 से अधिक	64 − 6 = 58
40-60	33	60 से कम	11 + 33 = 44	40 से अधिक	58 − 5 = 53
60-80	14	80 से कम	44 + 14 = 58	60 से अधिक	53 − 33 = 20
80-100	6	100 से कम	58 + 6 = 64	80 से अधिक	20 − 14 = 6
योग	64

‘से कम’ तोरण

संचयी बारंबारता वर्ग की ऊपरी सीमा के सामने
बिंदु: (20, 6), (40, 11), (60, 44), (80, 58), (100, 64); आरंभ (0, 0)
कभी घटता नहीं (बायें से दायें ऊपर उठता)

‘से अधिक’ तोरण

संचयी बारंबारता वर्ग की निम्न सीमा के सामने
बिंदु: (0, 64), (20, 58), (40, 53), (60, 20), (80, 6); अंत (100, 0)
कभी बढ़ता नहीं (बायें से दायें नीचे गिरता)

तोरणों से मध्यिका: सूत्र से जाँच

दिया है

N = 64, इसलिए N/2 = 32; 32वाँ मान 40-60 वर्ग में है (संचयी बारंबारता 11 से 44)

ज्ञात करना है

मध्यिका

आलेखी विधि: दोनों तोरण जिस बिंदु पर एक-दूसरे को काटते हैं, वहाँ से X-अक्ष पर लंब डालें। कटान बिंदु की ऊँचाई N/2 = 32 है

सूत्र (अध्याय 5 में विस्तार से): मध्यिका = L + [(N/2 − c.f.) ÷ f] × h

मान रखना: 40 + [(32 − 11) ÷ 33] × 20 = 40 + 12.73 = 52.73 अंक

अर्थ: आधे छात्रों (32) के अंक 52.73 से कम और आधे के इससे अधिक हैं। चित्र का कटान बिंदु और सूत्र, दोनों एक ही उत्तर देते हैं। केवल ‘से कम’ तोरण से भी मध्यिका मिलती है: Y-अक्ष पर N/2 = 32 से क्षैतिज रेखा खींचकर तोरण तक, फिर X-अक्ष पर लंब।

आम ग़लती

‘से कम’ संचयी बारंबारता को वर्ग की निम्न सीमा के सामने रखना ग़लत है; ‘से कम’ → ऊपरी सीमा, ‘से अधिक’ → निम्न सीमा
तोरण में बारंबारता बहुभुज की तरह मध्य बिंदु पर आलेखन ग़लत है; तोरण वर्ग-सीमाओं पर बनता है
कटान बिंदु की X-निर्देशांक मध्यिका है, Y-निर्देशांक (32) नहीं
मध्यिका निकालने से पहले आँकड़े व्यवस्थित (संचयी) करने ज़रूरी हैं

5.10 अंकगणितीय रेखा चित्र (Arithmetic Line Graph)

याद करेंपरिभाषा 24

अंकगणितीय रेखा चित्र को काल-श्रेणी आलेख भी कहते हैं। इसमें समय (घंटा, दिन/तारीख, सप्ताह/माह, वर्ष इत्यादि) को X-अक्ष पर और चर के मानों (काल-श्रेणी आँकड़ों) को Y-अक्ष पर आलेखित किया जाता है; आलेखित बिंदुओं को जोड़ने से यह रेखा-चित्र बनता है। यह लंबी अवधि के काल-श्रेणी आँकड़ों की प्रवृत्ति और आवर्तिता समझने में सहायक है।

सारणी 4.11 भारत के निर्यात एवं आयात के मान (100 करोड़ रु. में)
वर्ष	निर्यात	आयात	वर्ष	निर्यात	आयात
1993-94	698	731	2004-05	3753	5011
1994-95	827	900	2005-06	4564	6604
1995-96	1064	1227	2006-07	5718	8815
1996-97	1188	1389	2007-08	6559	10123
1997-98	1301	1542	2008-09	8408	13744
1998-99	1398	1783	2009-10	8455	13637
1999-2000	1591	2155	2010-11	11370	16835
2000-01	2036	2309	2011-12	14660	23455
2001-02	2090	2452	2012-13	16343	26692
2002-03	2549	2964	2013-14	19050	27154
2003-04	2934	3591

चित्र 10: अंकगणितीय रेखा चित्र: भारत के निर्यात और आयात, 1993-94 से 2013-14 (सारणी 4.11, 100 करोड़ रु. में) — **चित्र 10**: अंकगणितीय रेखा चित्र: भारत के निर्यात और आयात, 1993-94 से 2013-14 (सारणी 4.11, 100 करोड़ रु. में)

अर्थ निर्वचन (पुस्तक, आरेख 4.9)

1993-94 से 2013-14 के बीच सभी वर्षों में निर्यात की अपेक्षा आयात अधिक थे: आयात की रेखा हर वर्ष निर्यात की रेखा से ऊपर है
2001-02 के बाद आयात और निर्यात, दोनों के मानों में लगातार वृद्धि हुई (सारणी में केवल 2009-10 में आयात थोड़ा घटा: 13744 से 13637)
2001-02 के बाद दोनों के बीच का अंतर बढ़ गया: 2001-02 में 2452 − 2090 = 362, 2013-14 में 27154 − 19050 = 8104 (100 करोड़ रु. में)

पुस्तक की क्रियात्मक गतिविधियाँ: छोटे उत्तर

सारणी में कम से कम कितनी पंक्तियाँ और स्तंभ? एक स्तंभ शीर्षकों वाली पंक्ति और कम से कम एक आँकड़ों की पंक्ति, तथा एक अवशीर्ष स्तंभ और कम से कम एक आँकड़ों का स्तंभ; यानी न्यूनतम 2 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ
क्या स्तंभ/पंक्ति शीर्षक मात्रात्मक हो सकते हैं? हाँ; मात्रात्मक वर्गीकरण में शीर्षक वर्ग-सीमाएँ होते हैं (सारणी 4.2 में आयु समूह 20-30, 30-40)
सारणी 4.1 में कुल मान कैसे आए? कुल (योग) प्रतिशत साधारण औसत नहीं, बल्कि पुरुष और स्त्री (या ग्रामीण और शहरी) जनसंख्या के आकार से भारित औसत है; इसलिए 82 और 65 का योग-मान 74 है, 73.5 नहीं
सारणी 4.2 और 4.3 का पूर्णांकन: जैसे प्रतिशत 0.55, 11.25, 24.35, 28.24, 25.83, 9.41, 0.37 को 0.6, 11.3, 24.4, 28.2, 25.8, 9.4, 0.4 (एक दशमलव) तथा बिक्री 79.2, 81.3, 82.4, 80.5, 100.2, 91.2 को 79, 81, 82, 81, 100, 91 लाख रु.; पाद टिप्पणी में पूर्णांकन की विधि लिखें
छात्रों की समाचार चैनल पसंद की सारणी (स्टार न्यूज, जी न्यूज, बी.बी.सी. वर्ल्ड, सी.एन.एन., आजतक, डी.डी. न्यूज): पहला स्तंभ चैनल (अवशीर्ष), दूसरा पसंद करने वाले छात्रों की संख्या, तीसरा प्रतिशत; यह गुणात्मक वर्गीकरण है
चित्र 4.4 के आँकड़े दंड-आरेख से: एक घटक दंड-आरेख बनाएँ जिसकी ऊँचाई 100 हो, और उसे 8.8 (सीमांत), 30.4 (मुख्य), 60.8 (गैर-श्रमिक) में बाँटें, छोटे घटक पहले
क्या वृत्त का क्षेत्रफल कुल मान से संबंधित है? नहीं; त्रिज्या कुछ भी हो, कुल हमेशा 100% = 360° माना जाता है
क्या तोरण विभागकारी मान दे सकता है? हाँ; जिस तरह N/2 से मध्यिका पढ़ते हैं, उसी तरह ‘से कम’ तोरण पर N/4 और 3N/4 से चतुर्थक (और इसी तरह शतमक) पढ़े जा सकते हैं (अध्याय 5)

6 कौन-सा आरेख कब? (एक तालिका में)

आँकड़े किस तरह के	उपयुक्त आरेख	उदाहरण
अलग-अलग श्रेणियों/वर्षों के एक चर के मान	सरल दंड-आरेख	राज्यवार पुरुष साक्षरता, मासिक वर्षा
दो या अधिक समूहों की श्रेणीवार तुलना	बहु दंड-आरेख	2001 और 2011 की स्त्री साक्षरता, आयात-निर्यात
एक कुल के भाग (घटक), कई समूहों में	घटक दंड-आरेख	लड़के/लड़कियों में नामांकित और गैर-नामांकित
एक कुल के भाग, प्रतिशत में	वृत्त आरेख	कार्य-स्थिति के अनुसार जनसंख्या, लागत के घटक
संतत चर का समूहित बारंबारता वितरण	आयत चित्र, बहुभुज, वक्र	दैनिक मज़दूरी, अंक
संचयी बारंबारता, मध्यिका	तोरण	अंकों का ‘से कम’ और ‘से अधिक’ वितरण
समय के साथ बदलते मान (प्रवृत्ति)	अंकगणितीय रेखा चित्र	वर्षवार निर्यात-आयात, GDP संवृद्धि दर

मुख्य सूत्र

प्रतिशत = (मान ÷ कुल) × 100 वृत्त आरेख में कोण = प्रतिशत × 3.6°

बारंबारता घनत्व = वर्ग बारंबारता ÷ वर्ग विस्तार वर्ग-चिह्न (मध्य बिंदु) = (निम्न सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2

संशोधन = (अगले वर्ग की निम्न सीमा − इस वर्ग की ऊपरी सीमा) ÷ 2; निम्न सीमा से घटाएँ, ऊपरी सीमा में जोड़ें

आलेखी बहुलक = L + [(f₁ − f₀) ÷ {(f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)}] × h मध्यिका = L + [(N/2 − c.f.) ÷ f] × h

आम ग़लतियाँ (पूरा अध्याय)

दंड-आरेख के दंडों को सटाकर बनाना (रिक्त स्थान ज़रूरी) और आयत चित्र के आयतों में अंतर छोड़ना (अंतर नहीं होना चाहिए)
विविक्त आँकड़ों (परिवार का आकार) का आयत चित्र बनाना; उनके लिए दंड-आरेख बनता है
असमान वर्ग अंतराल में सीधे बारंबारता को ऊँचाई बनाना; पहले बारंबारता घनत्व निकालें
बहुभुज के दोनों छोर हवा में छोड़ देना; उन्हें शून्य बारंबारता वाले वर्गों के मध्य बिंदु पर आधार रेखा से मिलाएँ
Y-अक्ष शून्य से शुरू न करना; दंड-आरेख में दंड की ऊँचाई शून्य इकाई से शुरू होती है

7 सारांश (पुस्तक)

अब तक आप समझ चुके हैं कि आँकड़ों को विभिन्न रूपों में, जैसे पाठ-विषयक, सारणीबद्ध तथा आरेखीय रूप में, कैसे प्रस्तुत किया जाए
आप संगृहीत आँकड़ों की प्रस्तुति के लिए उपयुक्त विधि तथा आरेख के प्रकार का चुनाव भी कर सकते हैं (ऊपर की “कौन-सा आरेख कब?” तालिका)
इस तरह आँकड़ों को अर्थपूर्ण, बोधगम्य तथा उद्देश्यपूर्ण तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है

सभी परिभाषाएँ एक जगह

पाठ-विषयक प्रस्तुतीकरणआँकड़े पाठ (वाक्यों) में; थोड़े आँकड़ों के लिए

सारणीबद्ध प्रस्तुतीकरणआँकड़े पंक्तियों और स्तंभों में

कोष्ठिकासारणी का एक खाना, जो एक गुण को एक संख्या से जोड़ता है

गुणात्मक वर्गीकरणगुणों (लिंग, राष्ट्रीयता) के आधार पर

मात्रात्मक वर्गीकरणमापने योग्य विशिष्टता (आयु, आय) के आधार पर, वर्ग-सीमाओं से

कालिक वर्गीकरणसमय के आधार पर

स्थानिक वर्गीकरणस्थान के आधार पर

सारणी संख्यासारणी की पहचान

शीर्षकसारणी की विषयवस्तु बताने वाला स्पष्ट, संक्षिप्त कथन

उपशीर्षक (स्तंभ शीर्षक)प्रत्येक स्तंभ के ऊपर उसका नाम

अवशीर्ष (पंक्ति शीर्षक)प्रत्येक पंक्ति का नाम; पूरा बायाँ स्तंभ अवशीर्ष स्तंभ

सारणी का मुख्य भागवास्तविक आँकड़े

माप की इकाईशीर्षक के साथ लिखी इकाई

स्रोतआँकड़ों के स्रोत का विवरण, सारणी के नीचे

टिप्पणीअस्पष्ट विशिष्टताओं की व्याख्या; अंतिम अंग

सरल दंड-आरेखसमान चौड़ाई, समान अंतर के दंड; ऊँचाई = परिमाण

बहु दंड-आरेखदो या अधिक आँकड़ा समूहों की तुलना

घटक दंड-आरेखदंड को घटकों में बाँटा गया

वृत्त आरेखवृत्त को घटकों में बाँटा गया; कोण = प्रतिशत × 3.6°

आयत चित्रद्विविम; सटे आयत, क्षेत्रफल ∝ बारंबारता

बारंबारता घनत्वबारंबारता ÷ वर्ग विस्तार

बारंबारता बहुभुजआयतों के ऊपरी मध्य बिंदु जोड़कर, दोनों छोर आधार पर

बारंबारता वक्रबहुभुज के बिंदुओं के निकट से मुक्त-हस्त चिकना वक्र

तोरणसंचयी बारंबारता वक्र; ‘से कम’ और ‘से अधिक’

अंकगणितीय रेखा चित्रकाल-श्रेणी आलेख; X पर समय, Y पर मान

पुनरावर्तन और त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से पहली रात पढ़ें

आँकड़े (परिमाण में अधिक होने पर भी) उचित प्रस्तुति द्वारा अर्थ प्रकट करते हैं
आँकड़े थोड़े हों तो पाठ-विषयक प्रस्तुति बेहतर; भारी मात्रा के लिए सारणी
सारणीबद्ध आँकड़े आरेख से और जल्दी समझ आते हैं
वर्गीकरण: गुणात्मक (गुण), मात्रात्मक (माप), कालिक (समय), स्थानिक (स्थान)
सारणी के 8 अंग: संख्या, शीर्षक, स्तंभ शीर्षक, पंक्ति शीर्षक, मुख्य भाग, इकाई, स्रोत, टिप्पणी
दंड-आरेख एक विमी, आयत चित्र द्विविम
वृत्त आरेख: कोण = प्रतिशत × 3.6°; हिंदी पुस्तक: 32°, 109°, 219°
असमान वर्ग: ऊँचाई = बारंबारता घनत्व
आयत चित्र → बहुलक (सारणी 4.9 में 80.5); तोरण → मध्यिका (सारणी 4.10 में 52.73)
‘से कम’ → ऊपरी सीमा, कभी नहीं घटता; ‘से अधिक’ → निम्न सीमा, कभी नहीं बढ़ता
रेखा चित्र: प्रवृत्ति; 1993-94 से 2013-14 तक आयात हर वर्ष निर्यात से अधिक

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं सारणी के आठों अंग क्रम से लिखकर एक नमूना सारणी पर दिखा सकता/सकती हूँ?
क्या मैं 9, 31, 62 करोड़ से कोण 32°, 109°, 219° निकाल सकता/सकती हूँ?
क्या मैं असमान वर्गों के लिए बारंबारता घनत्व की तालिका बना सकता/सकती हूँ?
क्या मैं आयत चित्र पर दो तिरछी रेखाएँ खींचकर बहुलक दिखा सकता/सकती हूँ?
क्या मैं दोनों तोरण एक ही चित्र पर बनाकर मध्यिका 52.73 पढ़ सकता/सकती हूँ?
क्या मैं दंड-आरेख और आयत चित्र के चार अंतर बिना देखे लिख सकता/सकती हूँ?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स