Class 11 Economics Chapter 3 Notes in Hindi: आँकड़ों का संगठन

यह अध्याय टी.आर. जैन एवं वी.के. ओहरी (अंग्रेज़ी संस्करण 2026-27) अध्याय 4 को कवर करता है। आधार: NCERT अर्थशास्त्र में सांख्यिकी (Reprint 2026-27), अध्याय 3। CBSE, यूपी, बिहार, राजस्थान और एमपी बोर्ड, सभी के लिए।

इस अध्याय में आप सीखेंगे

वर्गीकरण क्या है और अपरिष्कृत आँकड़ों को वर्गीकृत करना क्यों ज़रूरी है
वर्गीकरण के चार प्रकार: कालानुक्रमिक, स्थानिक, गुणात्मक और मात्रात्मक
संतत और विविक्त चर में अंतर
बारंबारता वितरण बनाना: वर्ग सीमाएँ, वर्ग अंतराल, वर्ग चिह्न, मिलान चिह्न
समावेशी और अपवर्जी विधि, वर्ग अंतराल में समायोजन, असमान वर्ग
बारंबारता सरणी और द्विचर बारंबारता वितरण

वर्गीकरणअपरिष्कृत आँकड़ेकालानुक्रमिकस्थानिकगुणात्मकमात्रात्मकसंतत चरविविक्त चरबारंबारता वितरणवर्ग चिह्नपरासमिलान चिह्नबारंबारता सरणीद्विचर वितरण

1 वर्गीकरण क्या है?

आँकड़ों का संग्रह (प्राथमिक या द्वितीयक स्रोतों से) हो जाने के बाद अगला काम है इन आँकड़ों को व्यवस्थित करना, ताकि उन पर आगे का सांख्यिकीय विश्लेषण आसानी से हो सके।

पुस्तक का उदाहरण: कबाड़ीवाला

कबाड़ीवाला आपसे पुराना अखबार, टूटा घरेलू सामान, खाली काँच की बोतलें, प्लास्टिक खरीदता है और उन्हें पुनः चक्रण करने वालों को बेचता है
वह पुराने अखबार रस्सी से बाँधकर एक साथ रखता है, खाली बोतलें एक बोरे में, और धातु के सामान को ‘लोहा’, ‘पीतल’, ‘ताँबा’, ‘एल्यूमिनियम’ में छाँटता है
इस तरह उसका कबाड़ ‘अखबार’, ‘प्लास्टिक’, ‘काँच’, ‘धातु’ वर्गों में बँट जाता है; ‘काँच’ वर्ग में खाली बोतलें, टूटे दर्पण और खिड़की के काँच आते हैं
अब खरीददार जो माँगे, वह तुरंत मिल जाता है

इसी तरह विद्यालय की पुस्तकें विषयवार रखें, तो इतिहास की पुस्तक ‘इतिहास’ समूह में ही ढूँढ़नी पड़ती है, पूरे ढेर में नहीं। ध्यान रहे, इतिहास के समूह में किसी और विषय की पुस्तक रख दी तो समूह बनाने का पूरा उद्देश्य ही खत्म हो जाता है।

याद करेंपरिभाषा 1

वर्गीकरण (Classification): वस्तुओं को समूहों या वर्गों में किसी खास आधार पर व्यवस्थित करना।

वर्गीकरण से समय और श्रम की बचत होती है
पर यह मनमाने ढंग से नहीं होता: कबाड़ीवाले ने अपने कबाड़ को इस तरह समूहों में रखा कि प्रत्येक समूह में एक ही प्रकार की चीज़ें हों

गतिविधि (पुस्तक)

डाकघर में पत्रों की छँटाई भी वर्गीकरण है। पत्र पर लिखा पिन कोड बताता है कि पत्र किस डाक क्षेत्र में जाएगा, इसलिए पत्र क्षेत्रवार छाँटे जाते हैं।

2 अपरिष्कृत आँकड़े

याद करेंपरिभाषा 2

अपरिष्कृत आँकड़े (Raw Data) या अवर्गीकृत आँकड़े: संग्रह के तुरंत बाद के वे आँकड़े जो किसी क्रम या वर्ग में व्यवस्थित नहीं होते।

पुस्तक ने दो उदाहरण दिए हैं: सारणी 3.1 (किसी परीक्षा में 100 छात्रों के गणित के अंक) और सारणी 3.2 (50 परिवारों का भोजन पर मासिक व्यय, रुपये में)। सारणी 3.1 नीचे है; पूरे अध्याय के उदाहरण इसी से बने हैं।

सारणी 3.1: किसी परीक्षा में 100 छात्रों द्वारा गणित में प्राप्त अंक
47	45	10	60	51	56	66	100	49	40
60	59	56	55	62	48	59	55	51	41
42	69	64	66	50	59	57	65	62	50
64	30	37	75	17	56	20	14	55	90
62	51	55	14	25	34	90	49	56	54
70	47	49	82	40	82	60	85	65	66
49	44	64	69	70	48	12	28	55	65
49	40	25	41	71	80	0	56	14	22
66	53	46	70	43	61	59	12	30	35
45	44	57	76	82	39	32	14	90	25

2.1 अपरिष्कृत आँकड़ों की कठिनाइयाँ

ये अत्यधिक अव्यवस्थित, प्रायः अति विशाल और संभालने में कठिन होते हैं
सांख्यिकीय विधियाँ इन पर सरलता से लागू नहीं होतीं, इसलिए सार्थक निष्कर्ष निकालना श्रमसाध्य है
सारणी 3.1 से सर्वोच्च अंक जानने के लिए पहले 100 अंकों को आरोही या अवरोही क्रम में लगाना पड़ेगा; 1000 छात्र हों तो काम और थकाने वाला
सारणी 3.2 से 50 परिवारों का औसत मासिक व्यय निकालना कठिन है; 5000 परिवार हों तो कठिनाई कई गुना
जनगणना: भारत सरकार हर दस साल में जनगणना कराती है। सन् 2001 की जनगणना में लगभग 20 करोड़ लोगों से संपर्क किया गया। इतने विशाल और विखंडित अपरिष्कृत आँकड़ों से निष्कर्ष निकालना लगभग असंभव लगता है, पर जब इन्हें लिंग, शिक्षा, वैवाहिक स्थिति, पेशे के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है, तब भारत की जनसंख्या की प्रकृति और संरचना आसानी से समझ में आ जाती है

चरण 1आँकड़ों का संग्रह (प्राथमिक या द्वितीयक स्रोत से)

↓

परिणामअपरिष्कृत (अवर्गीकृत) आँकड़े: अव्यवस्थित, विशाल

↓

चरण 2वर्गीकरण: एक जैसी विशेषताओं वाले तथ्य एक वर्ग में

↓

लाभढूँढ़ना, तुलना करना और निष्कर्ष निकालना आसान; आगे का सांख्यिकीय विश्लेषण संभव

अपरिष्कृत आँकड़े चरों के प्रेक्षणों से बने होते हैं (जैसे सारणी 3.1 में चर “गणित के अंक” के 100 प्रेक्षण)। आँकड़ों को कैसे वर्गीकृत करें, यह उद्देश्य पर निर्भर है: गणित की शिक्षिका जानना चाहती है कि छात्रों ने कैसा किया और कितने असफल रहे, तो वह संभवतः बारंबारता वितरण बनाएगी (भाग 5)।

3 आँकड़ों का वर्गीकरण: चार प्रकार

पुस्तकों को विषयवार, लेखकवार (वर्णमाला क्रम में) या प्रकाशन-वर्ष के आधार पर रखा जा सकता है; कौन-सा आधार चुनें, यह आवश्यकता पर निर्भर है। आँकड़े भी अध्ययन के उद्देश्य के अनुसार कई तरह से वर्गीकृत होते हैं।

आँकड़ों का वर्गीकरण

कालानुक्रमिकसमय के अनुसार (वर्ष, तिमाही, माह, सप्ताह)

स्थानिकभौगोलिक स्थिति के अनुसार (देश, राज्य, शहर, जिला)

गुणात्मकगुण की उपस्थिति या अनुपस्थिति (लिंग, धर्म)

मात्रात्मकमापने योग्य विशेषता (ऊँचाई, आय, अंक)

3.1 कालानुक्रमिक वर्गीकरण

याद करेंपरिभाषा 3

कालानुक्रमिक वर्गीकरण (Chronological Classification): आँकड़ों को समय (वर्ष, तिमाही, माह, सप्ताह आदि) के संदर्भ में आरोही या अवरोही क्रम में वर्गीकृत करना।

याद करेंपरिभाषा 4

काल-श्रेणी (Time Series): विभिन्न वर्षों (समय-बिंदुओं) के मानों की श्रेणी। उदाहरण 1 में चर ‘जनसंख्या’ एक काल-श्रेणी है।

वर्ष	1951	1961	1971	1981	1991	2001	2011
जनसंख्या (करोड़ में)	35.7	43.8	54.6	68.4	81.8	102.7	121.0

उदाहरण 1: भारत की जनसंख्या (करोड़ में)

गतिविधि हल (पुस्तक)

न्यूनतम जनसंख्या: 1951 (35.7 करोड़); अधिकतम: 2011 (121.0 करोड़)।
परास = अधिकतम − न्यूनतम = 121.0 − 35.7 = 85.3 करोड़

3.2 स्थानिक वर्गीकरण

याद करेंपरिभाषा 5

स्थानिक वर्गीकरण (Spatial Classification): आँकड़ों का वर्गीकरण भौगोलिक स्थितियों जैसे देश, राज्य, शहर, जिला, कस्बा आदि के संदर्भ में।

देश	गेहूँ की उपज (किग्रा/एकड़)
कनाडा	3594
चीन	5055
फ्रांस	7254
जर्मनी	7998
भारत	3154
पाकिस्तान	2787

उदाहरण 2: विभिन्न देशों में गेहूँ की उपज (2013)। स्रोत: कृषि आँकड़े, भारत सरकार, 2015

गतिविधि हल (पुस्तक)

भारत से थोड़ी अधिक उपज: कनाडा (3594)। अंतर = 3594 − 3154 = 440
प्रतिशत में = (440 ÷ 3154) × 100 = 13.95% अधिक
आरोही क्रम: पाकिस्तान (2787) < भारत (3154) < कनाडा (3594) < चीन (5055) < फ्रांस (7254) < जर्मनी (7998); अवरोही क्रम इसका उल्टा।
परास = 7998 − 2787 = 5211

3.3 गुणात्मक वर्गीकरण

याद करेंपरिभाषा 6

गुण (Attributes): वे विशेषताएँ जिन्हें मात्रात्मक रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, अर्थात् मापा नहीं जा सकता; जैसे राष्ट्रीयता, साक्षरता, धर्म, लिंग, वैवाहिक स्थिति।

याद करेंपरिभाषा 7

गुणात्मक वर्गीकरण (Qualitative Classification): गुणों पर आधारित आँकड़ों का, किसी गुणात्मक विशेषता की उपस्थिति या अनुपस्थिति के आधार पर वर्गीकरण।

जनसंख्या (उदाहरण 3)

पुरुषविवाहित / अविवाहित

स्त्रीविवाहित / अविवाहित

प्रथम चरण: गुण ‘लिंग’ की उपस्थिति या अनुपस्थिति, अर्थात् ‘पुरुष’ या ‘पुरुष नहीं’ (स्त्री)
दूसरा चरण: हर वर्ग को दूसरे गुण (विवाहित या अविवाहित) के आधार पर फिर बाँटा गया
पुस्तक की गतिविधि: आस-पास की वस्तुओं को सजीव या निर्जीव में बाँटना मात्रात्मक नहीं, गुणात्मक वर्गीकरण है, क्योंकि ‘सजीव होना’ मापा नहीं जाता

3.4 मात्रात्मक वर्गीकरण

याद करेंपरिभाषा 8

मात्रात्मक वर्गीकरण (Quantitative Classification): ऊँचाई, भार, आयु, आय, छात्रों के अंक जैसी मात्रात्मक (मापने योग्य) विशेषताओं के आँकड़ों को वर्गों में समूहित करना।

उदाहरण 4 (भाग 5 में) सारणी 3.1 के 100 छात्रों के अंकों का मात्रात्मक वर्गीकरण है।

सामान्य भूल

“साक्षर/निरक्षर” या “पुरुष/स्त्री” के आधार पर बनी सारणी को मात्रात्मक वर्गीकरण लिख देना। संख्याएँ (कितने पुरुष) होने से वर्गीकरण मात्रात्मक नहीं हो जाता; आधार एक गुण है, इसलिए यह गुणात्मक है। इसी तरह राज्यवार सारणी स्थानिक है और वर्षवार सारणी कालानुक्रमिक।

4 चर: संतत और विविक्त

याद करेंपरिभाषा 9

चर (Variable): वह राशि जिसके मान परिवर्तनशील होते हैं (बदलते रहते हैं); जैसे वर्ष-दर-वर्ष खाद्यान्नों का उत्पादन, छात्रों के अंक, आय, परिवार का आकार। चर को प्रायः X, Y, Z अक्षरों से दिखाते हैं और चर का हर मान एक प्रेक्षण है (अध्याय 2)।

चर की यह सरल परिभाषा नहीं बताती कि चर कैसे बदलता है। इस आधार पर चर दो प्रकार के होते हैं: (क) संतत तथा (ख) विविक्त।

याद करेंपरिभाषा 10

संतत चर (Continuous Variable): वह चर जो कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है: पूर्णांक (1, 2, 3), भिन्नात्मक (1/2, 2/3, 3/4) और वे मान जो यथातथ भिन्न नहीं हैं ( $\sqrt{2} = 1.414$ , $\sqrt{3} = 1.732$ , $\sqrt{7} = 2.645$ )।

याद करेंपरिभाषा 11

विविक्त चर (Discrete Variable): वह चर जो केवल निश्चित मान ले सकता है; इसका मान परिमित ‘उछाल’ से बदलता है और दो मानों के बीच का कोई मान नहीं लेता।

90 सेमी

90.85

108

102.34 → 149.99

150 सेमी

ऊँचाई (संतत चर): 90 सेमी से 150 सेमी तक बढ़ते हुए बीच का हर मान लेती है, पूर्ण संख्या भी और भिन्न भी।

संतत चर

बीच का हर मान ले सकता है
मानों को अनंत श्रेणियों में बाँटा जा सकता है
ऊँचाई: 90 सेमी, 100 सेमी, 102.34 सेमी, 149.99 सेमी
भार, समय, दूरी

विविक्त चर

केवल निश्चित मान; ‘उछाल’ से बदलता है
दो पास के मानों के बीच का मान नहीं
कक्षा में छात्रों की संख्या: 25 या 26, 25.5 नहीं (“आधा छात्र” निरर्थक)
परिवार का आकार, सड़क पर कारों की संख्या

सामान्य भूल

“विविक्त चर कभी भिन्न नहीं होता” गलत है। मान लीजिए चर X के मान 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 … हैं। X भिन्न मान लेता है, फिर भी यह विविक्त है, क्योंकि यह 1/8 से सीधे 1/16 पर ‘उछलता’ है और इन दो सन्निकट भिन्नों के बीच का कोई मान नहीं लेता। कसौटी “बीच का मान ले सकता है या नहीं” है, “पूर्णांक है या नहीं” नहीं।

चर (पुस्तक की गतिविधि)	प्रकार	कारण
क्षेत्रफल, आयतन, ताप	संतत	मापे जाते हैं, बीच का कोई भी मान संभव
पाँसे पर आने वाली संख्या	विविक्त	केवल 1, 2, 3, 4, 5, 6
फसल-उपज, वर्षा	संतत	किलोग्राम या मिलीमीटर में कोई भी मान
जनसंख्या, सड़क पर कारों की संख्या	विविक्त	गिने जाते हैं, केवल पूर्ण संख्याएँ
आयु	संतत	समय की माप है; 15 वर्ष 4 माह 10 दिन जैसे बीच के मान संभव

याद रखने की तरकीब

गिनो तो विविक्त, नापो तो संतत

जो गिना जाता है (छात्र, कारें, परिवार के सदस्य) वह विविक्त; जो नापा जाता है (ऊँचाई, भार, समय, वर्षा) वह संतत।

5 बारंबारता वितरण क्या है?

याद करेंपरिभाषा 12

बारंबारता वितरण (Frequency Distribution): किसी मात्रात्मक चर के अपरिष्कृत आँकड़ों को वर्गीकृत करने का सामान्य तरीका, जो दिखाता है कि चर के भिन्न मान विभिन्न वर्गों में, अपने अनुरूप वर्ग-बारंबारताओं के साथ, कैसे वितरित हैं।

अंक	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	योग
बारंबारता	1	8	6	7	21	23	19	6	5	4	100

उदाहरण 4: 100 छात्रों के गणित के प्राप्तांकों का बारंबारता वितरण (सारणी 3.1 से)

5.1 बारंबारता वितरण के पद

याद करेंपरिभाषा 13

वर्ग-बारंबारता (Class Frequency): किसी विशेष वर्ग में आने वाले मानों की संख्या। जैसे वर्ग 30-40 में सारणी 3.1 के 7 मान हैं: 30, 37, 34, 30, 35, 39, 32; इसलिए इसकी बारंबारता 7 है।

याद करेंपरिभाषा 14

वर्ग सीमाएँ (Class Limits): किसी वर्ग के दो छोर। न्यूनतम मान निम्न वर्ग सीमा और उच्चतम मान उच्च वर्ग सीमा कहलाता है। वर्ग 60-70 की निम्न वर्ग सीमा 60 और उच्च वर्ग सीमा 70 है।

याद करेंपरिभाषा 15

वर्ग अंतराल या वर्ग विस्तार (Class Interval / Class Width): उच्च वर्ग सीमा और निम्न वर्ग सीमा का अंतर। वर्ग 60-70 का वर्ग अंतराल = 70 − 60 = 10।

याद करेंपरिभाषा 16

वर्ग मध्यबिंदु या वर्ग चिह्न (Class Mid-Point / Class Mark): किसी वर्ग का मध्य-मान, जो निम्न और उच्च वर्ग सीमा के ठीक बीच में होता है। वर्ग को दर्शाने के लिए इसी का प्रयोग होता है।

सूत्र

वर्ग चिह्न = (उच्च वर्ग सीमा + निम्न वर्ग सीमा) ÷ 2 …(1)

वर्ग अंतराल = उच्च वर्ग सीमा − निम्न वर्ग सीमा

उदाहरण: वर्ग 60-70 का वर्ग चिह्न = (70 + 60) ÷ 2 = 65

वर्ग	बारंबारता	निम्न वर्ग सीमा	उच्च वर्ग सीमा	वर्ग चिह्न
0-10	1	0	10	5
10-20	8	10	20	15
20-30	6	20	30	25
30-40	7	30	40	35
40-50	21	40	50	45
50-60	23	50	60	55
60-70	19	60	70	65
70-80	6	70	80	75
80-90	5	80	90	85
90-100	4	90	100	95

सारणी 3.3: निम्न वर्ग सीमा, उच्च वर्ग सीमा तथा वर्ग चिह्न

याद करेंपरिभाषा 17

बारंबारता वक्र (Frequency Curve): किसी बारंबारता वितरण का आलेखीय प्रस्तुतीकरण, जिसमें x-अक्ष पर वर्ग चिह्न और y-अक्ष पर बारंबारता आलेखित की जाती है।

चित्र 3.1: सारणी 3.3 के वर्ग चिह्नों (x-अक्ष) और बारंबारताओं (y-अक्ष) से बना बारंबारता वक्र; शिखर वर्ग चिह्न 55 पर (बारंबारता 23) — **चित्र 3.1**: सारणी 3.3 के वर्ग चिह्नों (x-अक्ष) और बारंबारताओं (y-अक्ष) से बना बारंबारता वक्र; शिखर वर्ग चिह्न 55 पर (बारंबारता 23)

5.2 सापेक्षिक बारंबारता

याद करेंपरिभाषा 18

सापेक्षिक बारंबारता (Relative Frequency): किसी वर्ग की बारंबारता को कुल बारंबारता के अनुपात या प्रतिशत में प्रकट करना। सापेक्षिक बारंबारता = वर्ग-बारंबारता ÷ कुल बारंबारता।

गतिविधि हल (पुस्तक, उदाहरण 4)

कुल बारंबारता 100 है, इसलिए हर बारंबारता ही प्रतिशत है: 0-10 = 1/100 = 0.01 = 1%; 10-20 = 0.08 = 8%; … 50-60 = 0.23 = 23%।
अधिकतम संकेंद्रण: वर्ग 50-60, 23% प्रेक्षण। न्यूनतम संकेंद्रण: वर्ग 0-10, 1%।

6 बारंबारता वितरण कैसे तैयार करें: पाँच प्रश्न

प्रश्न 1वर्ग अंतराल समान आकार के हों या असमान आकार के?

↓

प्रश्न 2हमें कितने वर्ग रखने चाहिए?

↓

प्रश्न 3प्रत्येक वर्ग का आकार क्या हो?

↓

प्रश्न 4वर्ग सीमाओं का निर्धारण कैसे किया जाए?

↓

प्रश्न 5प्रत्येक वर्ग के लिए बारंबारता कैसे प्राप्त की जाए?

6.1 समान या असमान वर्ग अंतराल?

असमान आकार के वर्ग अंतराल दो परिस्थितियों में प्रयोग होते हैं:

जब परास बहुत अधिक हो, जैसे आय: दैनिक आय लगभग शून्य से कई सौ करोड़ रुपये तक हो सकती है। यहाँ समान वर्ग उपयुक्त नहीं, क्योंकि (i) वर्ग अंतराल छोटे और समान हों तो वर्गों की संख्या बहुत अधिक हो जाएगी; (ii) वर्ग अंतराल बड़े हों तो आय के बहुत कम या बहुत अधिक स्तरों की जानकारी छिप जाएगी
जब बहुत सारे मान परास के छोटे भाग में संकेंद्रित हों: समान वर्गों से बहुत से मानों की सूचना नहीं मिल पाएगी

अन्य सभी स्थितियों में समान आकार के वर्ग अंतराल प्रयोग होते हैं।

6.2 कितने वर्ग? और हर वर्ग का आकार?

याद करेंपरिभाषा 19

परास (Range): चर के अधिकतम (सबसे बड़े) और न्यूनतम (सबसे छोटे) मान का अंतर। परास = अधिकतम मान − न्यूनतम मान।

सूत्र (समान वर्ग अंतराल)

वर्गों की संख्या = परास ÷ वर्ग अंतराल …(2)

वर्गों की संख्या सामान्यतः 6 से 15 के बीच रखी जाती है। भाग पूरा न जाए तो अगली पूर्ण संख्या लें।

वर्गों की संख्या और वर्ग का आकार, ये दोनों निर्णय आपस में जुड़े हैं: एक तय किए बिना दूसरा तय नहीं होता
उदाहरण 4: परास = 100 − 0 = 100, वर्गों की संख्या 10 चुनी, तो वर्ग अंतराल अपने आप 100 ÷ 10 = 10
यहाँ समान वर्ग अंतराल चुने गए; असमान भी चुने जा सकते थे, तब वर्गों की चौड़ाई असमान होती

6.3 वर्ग सीमाएँ कैसे तय करें?

वर्ग सीमाएँ निश्चित और स्पष्ट हों
सामान्यतः मुक्तोत्तर वर्ग (Open-ended Classes) जैसे ‘70 तथा अधिक’ या ‘10 से कम’ वांछनीय नहीं होते, क्योंकि इनकी एक सीमा खुली रहती है
सीमाएँ ऐसी हों कि हर वर्ग की बारंबारताएँ वर्ग अंतराल के मध्य में संकेंद्रित होने की प्रवृत्ति रखें

6.4 समावेशी और अपवर्जी वर्ग अंतराल

याद करेंपरिभाषा 20

समावेशी वर्ग अंतराल (Inclusive Class Intervals): जिनमें वर्ग की निम्न तथा उच्च, दोनों सीमाओं के बराबर मान उसी वर्ग की बारंबारता में शामिल किए जाते हैं।

याद करेंपरिभाषा 21

अपवर्जी वर्ग अंतराल (Exclusive Class Intervals): जिनमें वर्ग की उच्च या निम्न सीमा के बराबर मान वाली मद उस वर्ग की बारंबारता में शामिल नहीं की जाती।

समावेशी रूप (अंक 0 से 100)

0-10, 11-20, 21-30, …, 91-100
10 अंक वर्ग 0-10 में, 11 अंक वर्ग 11-20 में
एक वर्ग की उच्च सीमा और अगले की निम्न सीमा में ‘अंतर’ (गैप) रहता है

अपवर्जी रूप (अंक 0 से 100)

0-10, 10-20, 20-30, …, 90-100
एक वर्ग की उच्च सीमा = अगले की निम्न सीमा
पहले से तय करना होता है कि सीमा वाला मान किस वर्ग में जाए

अपवर्जी विधि में सीमा के बराबर मान (10, 30 आदि) के लिए दो निर्णय संभव हैं:

10, 30 को ‘0 से 10’ और ‘20 से 30’ में रखें: निम्न सीमा अपवर्जित
10, 30 को ‘10 से 20’ और ‘30 से 40’ में रखें: उच्च सीमा अपवर्जित। पुस्तक के पुनरावर्तन में अपवर्जी विधि का यही रूप है और उदाहरण 4 में भी यही हुआ है (40 अंक वर्ग 40-50 में गिना गया)

पुस्तक: विविक्त (असतत) चरों में अपवर्जी और समावेशी, दोनों प्रकार के वर्ग अंतराल प्रयोग हो सकते हैं। पूर्णांक अंक (भिन्नात्मक अंक की अनुमति नहीं) विविक्त चर हैं
सतत (संतत) चरों के लिए: ऊँचाई (सेमी) या भार (कि.ग्रा.) के वर्ग इस प्रकार लिखे जाते हैं: 30 कि.ग्रा. – 39.999… कि.ग्रा., 40 कि.ग्रा. – 49.999… कि.ग्रा.; इनका अर्थ है “30 कि.ग्रा. और अधिक तथा 40 कि.ग्रा. से कम“, “40 कि.ग्रा. और अधिक तथा 50 कि.ग्रा. से कम” आदि। अर्थ में ये अपवर्जी वर्ग हैं; समावेशी रूप में लिखे संतत वर्गों (जैसे 800-899) को आगे दिए समायोजन से निरंतर बनाया जाता है

6.5 वर्ग अंतराल में समायोजन

सारणी 3.4 में ‘आय’ संतत चर है, पर समावेशी वर्गों के बीच ‘अंतर’ (असंततता) है: पहले वर्ग की उच्च सीमा 899 और दूसरे की निम्न सीमा 900 के बीच 1 का अंतर। चर की संततता वापस लाने के लिए वर्ग अंतराल में समायोजन किया जाता है।

चरण 1दूसरे वर्ग की निम्न सीमा और पहले वर्ग की उच्च सीमा का अंतर: 900 − 899 = 1

↓

चरण 2इस अंतर को 2 से भाग दें: 1 ÷ 2 = 0.5

↓

चरण 3सभी वर्गों की निम्न सीमाओं से 0.5 घटाएँ (निम्न वर्ग सीमा − 0.5)

↓

चरण 4सभी वर्गों की उच्च सीमाओं में 0.5 जोड़ें (उच्च वर्ग सीमा + 0.5)

सारणी 3.4: आय (रु में)	सारणी 3.5: समायोजित आय (रु में)	कर्मचारियों की संख्या	वर्ग चिह्न
800-899	799.5-899.5	50	849.5
900-999	899.5-999.5	100	949.5
1000-1099	999.5-1099.5	200	1049.5
1100-1199	1099.5-1199.5	150	1149.5
1200-1299	1199.5-1299.5	40	1249.5
1300-1399	1299.5-1399.5	10	1349.5
योग		550

एक कंपनी के 550 कर्मचारियों की आय का बारंबारता वितरण, समायोजन से पहले और बाद

सूत्र (समायोजन के बाद)

समायोजित वर्ग चिह्न = (समायोजित उच्च वर्ग सीमा + समायोजित निम्न वर्ग सीमा) ÷ 2

उदाहरण: (899.5 + 799.5) ÷ 2 = 849.5। दोनों सीमाएँ बराबर (0.5) खिसकती हैं, इसलिए वर्ग चिह्न वही रहता है।

सामान्य भूल

केवल उच्च सीमाओं में 0.5 जोड़ना या केवल निम्न सीमाओं से घटाना। समायोजन में दोनों सीमाएँ बदलती हैं; तभी हर वर्ग की उच्च सीमा अगले वर्ग की निम्न सीमा के बराबर होती है (899.5 = 899.5)। और 0.5 हमेशा नहीं होता: अंतर 1 का आधा 0.5 है, अंतर 0.1 हो तो 0.05।

7 मिलान चिह्न से वर्ग-बारंबारता

साधारण शब्दों में किसी प्रेक्षण की बारंबारता का अर्थ है कि वह अपरिष्कृत आँकड़ों में कितनी बार आता है। सारणी 3.1 में 40 का मान तीन बार, 0 और 10 का एक-एक बार, और 49 का पाँच बार आया है। आँकड़े वर्गों में समूहित हों, तो वर्ग-बारंबारता उस वर्ग के मानों की संख्या है, जिसे मिलान चिह्न लगाकर गिना जाता है।

याद करेंपरिभाषा 22

मिलान चिह्न (Tally Marks): हर प्रेक्षण के लिए उसके वर्ग के सामने लगाया गया एक खड़ा चिह्न (/)। चार चिह्न खड़े (////) लगाकर पाँचवाँ उन्हें काटता हुआ तिरछा लगाया जाता है, ताकि गिनती पाँच-पाँच के समूह में हो। वर्ग की बारंबारता = उसके मिलान चिह्नों की संख्या।

57 अंक: वर्ग 50-60 के सामने एक मिलान चिह्न
71 अंक: वर्ग 70-80 के सामने
40 अंक: वर्ग 40-50 के सामने (उच्च सीमा अपवर्जित)
16 मिलान चिह्न = पाँच-पाँच के तीन कटे समूह + 1: ~~||||~~ ~~||||~~ ~~||||~~ |

वर्ग	प्रेक्षण (सारणी 3.1 से)	मिलान चिह्न	बारंबारता	वर्ग चिह्न
0-10	0	\|	1	5
10-20	10, 14, 17, 12, 14, 12, 14, 14	~~\|\|\|\|~~ \|\|\|	8	15
20-30	25, 25, 20, 22, 25, 28	~~\|\|\|\|~~ \|	6	25
30-40	30, 37, 34, 39, 32, 30, 35	~~\|\|\|\|~~ \|\|	7	35
40-50	47, 42, 49, 49, 45, 45, 47, 44, 40, 44, 49, 46, 41, 40, 43, 48, 48, 49, 49, 40, 41	~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ \|	21	45
50-60	59, 51, 53, 56, 55, 57, 55, 51, 50, 56, 59, 56, 59, 57, 59, 55, 56, 51, 55, 56, 55, 50, 54	~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ \|\|\|	23	55
60-70	60, 64, 62, 66, 69, 64, 64, 60, 66, 69, 62, 61, 66, 60, 65, 62, 65, 66, 65	~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ ~~\|\|\|\|~~ \|\|\|\|	19	65
70-80	70, 75, 70, 76, 70, 71	~~\|\|\|\|~~ \|	6	75
80-90	82, 82, 82, 80, 85	~~\|\|\|\|~~	5	85
90-100	90, 100, 90, 90	\|\|\|\|	4	95
योग			100

सारणी 3.6: गणित में 100 छात्रों के प्राप्तांकों के मिलान चिह्न (अंतिम वर्ग 90-100 में 100 अंक भी शामिल)

पुस्तक की पहेली का उत्तर

पुस्तक पूछती है कि 40 अंक (जो अपरिष्कृत आँकड़ों में आया है) वर्ग 30-40 में क्यों नहीं गिना गया। उत्तर: वर्ग 30-40, 40-50 अपवर्जी हैं और इनमें उच्च सीमा अपवर्जित है, इसलिए 40 वर्ग 40-50 में जाता है। वर्ग 30-40 के 7 मान 40 से छोटे हैं।

हल किया उदाहरण: बारंबारता वितरण बनाइए

प्र. 20 मज़दूरों की दैनिक मज़दूरी (₹): 212, 245, 230, 268, 251, 239, 222, 275, 260, 248, 233, 255, 241, 219, 266, 227, 250, 236, 244, 258। 10 के वर्ग अंतराल से अपवर्जी बारंबारता वितरण बनाइए।

चरण 1 (परास): अधिकतम = 275, न्यूनतम = 212; परास = 275 − 212 = 63
चरण 2 (वर्गों की संख्या): 63 ÷ 10 = 6.3, अर्थात् 7 वर्ग, 210 से आरंभ: 210-220, 220-230, …, 270-280
चरण 3 (मिलान चिह्न): हर मान उसके वर्ग के सामने; 230 और 250, 260 अपने से शुरू होने वाले वर्ग में (उच्च सीमा अपवर्जित)
चरण 4 (गिनती और जाँच): बारंबारताओं का योग = प्रेक्षणों की संख्या = 20

मज़दूरी (₹)	210-220	220-230	230-240	240-250	250-260	260-270	270-280	योग
मिलान चिह्न	\|\|	\|\|	\|\|\|\|	\|\|\|\|	\|\|\|\|	\|\|\|	\|
बारंबारता	2	2	4	4	4	3	1	20
वर्ग चिह्न	215	225	235	245	255	265	275

अर्थ: 20 में से 12 मज़दूरों (60%) की मज़दूरी ₹230 से ₹260 के बीच है; मज़दूरी इसी मध्य भाग में संकेंद्रित है।

सामान्य भूल

(1) बारंबारताओं का योग प्रेक्षणों की कुल संख्या से न मिलाना: योग मिलाना ही अपनी गिनती की जाँच है। (2) सबसे बड़ा मान छूट जाना: अंतिम वर्ग की उच्च सीमा अधिकतम मान से बड़ी (या समावेशी में बराबर) होनी चाहिए। (3) अपवर्जी वर्ग में सीमा वाला मान दो बार गिन लेना।

8 सूचना की हानि

याद करेंपरिभाषा 23

सूचना की हानि (Loss of Information): बारंबारता वितरण बनाने पर वर्ग के प्रेक्षणों के वास्तविक मान छूट जाते हैं और आगे के सांख्यिकीय परिकलन केवल वर्ग चिह्न पर आधारित होते हैं; वर्गीकरण का यह अंतर्निहित दोष सूचना की हानि है।

पुस्तक का उदाहरण

वर्ग 20-30 में 6 प्रेक्षण हैं: 25, 25, 20, 22, 25, 28। बारंबारता वितरण केवल बताता है कि बारंबारता = 6; वास्तविक मान नहीं बताता। इस वर्ग के सभी मान वर्ग चिह्न 25 के बराबर मान लिए जाते हैं। यही बात हर वर्ग पर लागू है।

फिर भी वर्गीकरण से अपरिष्कृत आँकड़े संक्षिप्त और बोधगम्य बनते हैं; जो अर्थ हमें मिलता है, वह इस हानि की भरपाई से अधिक है।

9 असमान वर्गों में बारंबारता वितरण

63%छात्र वर्ग 40-70 में (21 + 23 + 19)

37%बाकी सात वर्गों में, विरल घनत्व

5नए वर्गों (40-45 … 65-70) का वर्ग अंतराल

उदाहरण 4 में अधिकांश प्रेक्षण वर्ग 40-50, 50-60, 60-70 में संकेंद्रित हैं; शेष सात वर्गों में प्रेक्षणों का विरल घनत्व है, और पुस्तक के अनुसार उन विरल वर्गों के प्रेक्षणों में अपने वर्ग चिह्नों से अधिक विचलन है
वर्ग ऐसे बनें कि वर्ग चिह्न, जहाँ तक संभव हो, उस मान के बराबर हो जिसके आस-पास वर्ग के प्रेक्षण संकेंद्रित हों: तब असमान वर्ग अंतराल अधिक उपयुक्त है
सारणी 3.7 में 40-50 को 40-45 और 45-50 में, 50-60 को 50-55 और 55-60 में, 60-70 को 60-65 और 65-70 में बाँटा गया (वर्ग अंतराल 5); बाकी वर्गों का अंतराल 10 ही रहा
प्रेक्षण पुराने वर्ग चिह्नों की तुलना में नए वर्ग चिह्नों के अधिक पास हैं, इसलिए नए वर्ग चिह्न आँकड़ों का बेहतर प्रतिनिधित्व करते हैं

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65	65-70	70-80	80-90	90-100
बारंबारता	1	8	6	7	9	12	7	16	10	9	6	5	4
वर्ग चिह्न	5	15	25	35	42.5	47.5	52.5	57.5	62.5	67.5	75	85	95

सारणी 3.7: असमान वर्गों में बारंबारता वितरण (योग 100)

चित्र 3.2: सारणी 3.7 का बारंबारता वक्र (गुलाबी), तुलना के लिए चित्र 3.1 का वक्र (धूसर, बिंदुदार); असमान वर्गों में मध्य भाग का शिखर 57.5 पर (बारंबारता 16) — **चित्र 3.2**: सारणी 3.7 का बारंबारता वक्र (गुलाबी), तुलना के लिए चित्र 3.1 का वक्र (धूसर, बिंदुदार); असमान वर्गों में मध्य भाग का शिखर 57.5 पर (बारंबारता 16)

गतिविधि हल (पुस्तक): चित्र 3.1 और 3.2 की तुलना

चित्र 3.2 में मध्य भाग (40-70) में छह बिंदु हैं, चित्र 3.1 में तीन; इसलिए चित्र 3.2 यह दिखा पाता है कि अंक 45-50 और 55-60 में अधिक घने हैं। वक्र अधिक ऊँचा-नीचा है और वास्तविक वितरण के अधिक पास है। इसके बाहर के वर्गों (0-40, 70-100) में दोनों वक्र एक जैसे हैं। ध्यान दें: छोटे वर्गों (अंतराल 5) की बारंबारताएँ स्वाभाविक रूप से छोटी हैं, क्योंकि हर पुराना वर्ग दो भागों में बँटा है।

10 बारंबारता सरणी

याद करेंपरिभाषा 24

बारंबारता सरणी (Frequency Array): विविक्त चर के आँकड़ों का वर्गीकरण, जिसमें चर के हर पूर्णांक मान के सामने उसकी बारंबारता लिखी जाती है (वर्ग नहीं बनते)।

परिवार का आकार	1	2	3	4	5	6	7	8	योग
परिवारों की संख्या	5	15	25	35	10	5	3	2	100

सारणी 3.8: परिवारों के आकार की बारंबारता सरणी। ‘परिवार का आकार’ विविक्त चर है, केवल पूर्णांक मान लेता है।

चित्र: सारणी 3.8 के आँकड़े; सबसे अधिक (35) परिवार 4 सदस्यों वाले हैं — **चित्र**: सारणी 3.8 के आँकड़े; सबसे अधिक (35) परिवार 4 सदस्यों वाले हैं

बारंबारता सरणी

विविक्त चर
हर अलग मान की बारंबारता
वर्ग सीमाएँ नहीं
उदाहरण: परिवार का आकार

बारंबारता वितरण (वर्गों वाला)

मुख्यतः संतत चर (या बहुत अधिक मानों वाला विविक्त चर)
वर्गों (अंतरालों) की बारंबारता
वर्ग सीमाएँ, वर्ग चिह्न
उदाहरण: अंक, आय

11 द्विचर बारंबारता वितरण

जब हम किसी जनसंख्या से प्रतिदर्श लेते हैं, तो प्रायः प्रतिदर्श के हर अवयव से एक से अधिक प्रकार की सूचना लेते हैं। मान लीजिए किसी शहर की कंपनियों की सूची से 20 कंपनियों का प्रतिदर्श लिया और हर कंपनी की बिक्री और विज्ञापन पर व्यय की जानकारी ली। यह द्विचर प्रतिदर्श आँकड़े हैं।

याद करेंपरिभाषा 25

द्विचर बारंबारता वितरण (Bivariate Frequency Distribution): दो चरों का बारंबारता वितरण। (केवल एक चर का वितरण एकचर बारंबारता वितरण कहलाता है।)

विज्ञापन व्यय (हजार रु) ↓ / बिक्री (लाख रु) →	115-125	125-135	135-145	145-155	155-165	165-175	योग
62-64	2	1					3
64-66	1		3				4
66-68	1	1	2	1			5
68-70		2		2			4
70-72		1	1		1	1	4
योग	4	5	6	3	1	1	20

सारणी 3.9: 20 कंपनियों की बिक्री (लाख रु में) एवं विज्ञापन व्यय (हजार रु में) का द्विचर बारंबारता वितरण

बिक्री के मान अलग-अलग स्तंभों में और विज्ञापन व्यय के मान अलग-अलग पंक्तियों में हैं
हर प्रकोष्ठ (cell) संगत पंक्ति और स्तंभ के मानों की बारंबारता दिखाता है: 3 फर्में ऐसी हैं जिनकी बिक्री 135-145 लाख रु के बीच और विज्ञापन व्यय 64-66 हजार रु के बीच है
अंतिम स्तंभ (योग) अकेले विज्ञापन व्यय का और अंतिम पंक्ति (योग) अकेले बिक्री का एकचर वितरण देती है; दोनों का योग 20
द्विचर वितरण का प्रयोग आगे सहसंबंध अध्याय में होता है

एकचर बारंबारता वितरण

एक चर
एक स्तंभ में वर्ग, दूसरे में बारंबारता
उदाहरण: 100 छात्रों के अंक

द्विचर बारंबारता वितरण

दो चर एक साथ
पंक्तियों में एक चर, स्तंभों में दूसरा; प्रकोष्ठ में बारंबारता
उदाहरण: 20 फर्मों की बिक्री और विज्ञापन व्यय

12 मुख्य सूत्र और अंतर-तालिकाएँ

मुख्य सूत्र

परास = अधिकतम मान − न्यूनतम मान

वर्ग अंतराल = उच्च वर्ग सीमा − निम्न वर्ग सीमा

वर्ग चिह्न = (उच्च वर्ग सीमा + निम्न वर्ग सीमा) ÷ 2

वर्गों की संख्या = परास ÷ वर्ग अंतराल (समान वर्ग)

समायोजन = (अगले वर्ग की निम्न सीमा − पिछले वर्ग की उच्च सीमा) ÷ 2

सापेक्षिक बारंबारता = वर्ग-बारंबारता ÷ कुल बारंबारता

आधार	अपरिष्कृत आँकड़े	वर्गीकृत आँकड़े
व्यवस्था	किसी क्रम में नहीं	वर्गों में, क्रमबद्ध
आकार	विशाल, संभालना कठिन	संक्षिप्त और बोधगम्य
तुलना और निष्कर्ष	कठिन, श्रमसाध्य	आसान
सूचना	हर वास्तविक मान उपलब्ध	वास्तविक मान छूटते हैं (सूचना की हानि)

आधार	समावेशी विधि	अपवर्जी विधि
सीमा वाले मान	दोनों सीमाएँ उसी वर्ग में शामिल	एक सीमा (सामान्यतः उच्च) शामिल नहीं
वर्गों का रूप	0-10, 11-20, 21-30	0-10, 10-20, 20-30
निरंतरता	वर्गों के बीच अंतर; संतत चर के लिए समायोजन चाहिए	उच्च सीमा = अगले वर्ग की निम्न सीमा, निरंतर

आधार	समान वर्ग अंतराल	असमान वर्ग अंतराल
कब	सामान्य स्थिति	परास बहुत बड़ा (आय), या मान छोटे भाग में संकेंद्रित
उदाहरण	उदाहरण 4 (सभी वर्ग 10 के)	सारणी 3.7 (कुछ वर्ग 5 के)

आधार	गुणात्मक वर्गीकरण	मात्रात्मक वर्गीकरण
आधार	गुण, जो मापे नहीं जा सकते	मापने योग्य विशेषताएँ
कैसे	गुण की उपस्थिति या अनुपस्थिति	मानों के वर्ग (अंतराल)
उदाहरण	लिंग, धर्म, साक्षरता, वैवाहिक स्थिति	ऊँचाई, भार, आयु, आय, अंक

आधार	कालानुक्रमिक वर्गीकरण	स्थानिक वर्गीकरण
आधार	समय (वर्ष, तिमाही, माह)	स्थान (देश, राज्य, जिला)
उदाहरण	भारत की जनसंख्या 1951-2011	देशवार गेहूँ की उपज 2013

सभी परिभाषाएँ एक स्थान पर

वर्गीकरणवस्तुओं को समूहों या वर्गों में किसी खास आधार पर व्यवस्थित करना

अपरिष्कृत आँकड़ेसंग्रह के बाद के अव्यवस्थित, अवर्गीकृत आँकड़े

कालानुक्रमिक वर्गीकरणसमय के संदर्भ में आरोही या अवरोही क्रम में वर्गीकरण

काल-श्रेणीविभिन्न वर्षों के मानों की श्रेणी

स्थानिक वर्गीकरणभौगोलिक स्थितियों के संदर्भ में वर्गीकरण

गुणवे विशेषताएँ जिन्हें मापा नहीं जा सकता

गुणात्मक वर्गीकरणगुण की उपस्थिति या अनुपस्थिति के आधार पर वर्गीकरण

मात्रात्मक वर्गीकरणमापने योग्य विशेषताओं के आँकड़ों को वर्गों में समूहित करना

चरवह राशि जिसके मान परिवर्तनशील होते हैं; हर मान एक प्रेक्षण

संतत चरकोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है

विविक्त चरकेवल निश्चित मान; उछाल से बदलता है

बारंबारता वितरणमात्रात्मक चर के मानों का वर्गों और वर्ग-बारंबारताओं में वितरण

वर्ग-बारंबारताकिसी वर्ग में मानों की संख्या

वर्ग सीमाएँवर्ग के दो छोर: निम्न वर्ग सीमा और उच्च वर्ग सीमा

वर्ग अंतरालउच्च वर्ग सीमा − निम्न वर्ग सीमा

वर्ग चिह्न(उच्च वर्ग सीमा + निम्न वर्ग सीमा) ÷ 2

बारंबारता वक्रx-अक्ष पर वर्ग चिह्न, y-अक्ष पर बारंबारता

सापेक्षिक बारंबारतावर्ग-बारंबारता ÷ कुल बारंबारता

परासअधिकतम मान − न्यूनतम मान

समावेशी वर्ग अंतरालदोनों सीमाओं वाले मान उसी वर्ग में

अपवर्जी वर्ग अंतरालएक सीमा वाला मान उस वर्ग में नहीं

मिलान चिह्नहर प्रेक्षण के लिए एक चिह्न, पाँच-पाँच के समूह

सूचना की हानिवास्तविक मानों की जगह वर्ग चिह्न से परिकलन

बारंबारता सरणीविविक्त चर के हर मान की बारंबारता

द्विचर बारंबारता वितरणदो चरों का बारंबारता वितरण

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से पहली रात पढ़ें

वर्गीकरण अपरिष्कृत आँकड़ों को क्रमबद्धता देता है
चार प्रकार: कालानुक्रमिक (समय), स्थानिक (स्थान), गुणात्मक (गुण), मात्रात्मक (माप)
संतत चर: बीच का हर मान; विविक्त चर: उछाल से बदलता है (1/8, 1/16 भी विविक्त)
बारंबारता वितरण: चर के मान वर्गों में, वर्ग-बारंबारताओं के साथ
वर्ग चिह्न = (उच्च + निम्न) ÷ 2; वर्ग अंतराल = उच्च − निम्न; परास = अधिकतम − न्यूनतम
वर्गों की संख्या सामान्यतः 6 से 15; मुक्तोत्तर वर्ग वांछनीय नहीं
अपवर्जी विधि: उच्च वर्ग सीमा छोड़ी जाती है, निम्न शामिल; समावेशी विधि: दोनों सीमाएँ शामिल
समायोजन: अंतर ÷ 2 को निम्न सीमाओं से घटाएँ, उच्च सीमाओं में जोड़ें (800-899 → 799.5-899.5)
मिलान चिह्न पाँच-पाँच के समूह में; बारंबारताओं का योग = कुल प्रेक्षण
आगे की गणनाएँ केवल वर्ग चिह्न पर: सूचना की हानि
वर्ग चिह्न उस मान के पास हो जिसके आस-पास प्रेक्षण संकेंद्रित हैं: इसलिए कभी-कभी असमान वर्ग
विविक्त चर का वर्गीकरण बारंबारता सरणी; दो चरों का वितरण द्विचर (सारणी 3.9, 20 फर्में)

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं किसी सारणी को देखकर बता सकता हूँ कि वर्गीकरण कालानुक्रमिक, स्थानिक, गुणात्मक या मात्रात्मक है?
क्या मैं 1/8, 1/16 वाले चर को विविक्त सिद्ध कर सकता हूँ?
क्या मैं कच्चे आँकड़ों से परास, वर्गों की संख्या, मिलान चिह्न और बारंबारता वितरण बना सकता हूँ, और योग से जाँच सकता हूँ?
क्या मैं समावेशी वर्गों को समायोजित करके वर्ग चिह्न निकाल सकता हूँ?
क्या मैं सूचना की हानि को वर्ग 20-30 के उदाहरण से समझा सकता हूँ?
क्या मैं द्विचर सारणी के किसी प्रकोष्ठ का अर्थ लिख सकता हूँ?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स