अगले पद का पूर्वानुमान: अनुक्रमों और श्रेढ़ियों का अन्वेषण

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अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ता है

1 · अनुक्रम और नियमपदों की क्रमिक सूची; व्यापक सूत्र सीधे स्थिति

n

का उपयोग करता है, पुनरावर्ती सूत्र पिछले पद का

2 · समांतर श्रेढ़ीस्थिर सार्व अंतर

d

; पद एक सरल रेखा में बढ़ते हैं

अनुक्रम और श्रेढ़ियाँ

3 · प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगगॉस की युग्म-विधि से

S_n = \frac{n(n+1)}{2}

मिलता है

4 · गुणोत्तर श्रेढ़ीस्थिर सार्व अनुपात

r

; पद तेज़ी से बढ़ते या घटते हुए वक्र बनाते हैं

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र से किसी अनुक्रम को कैसे लिखें, और हर एक कब उपयोगी है
किसी अनुक्रम को समांतर श्रेढ़ी (AP) क्या बनाता है, और $t_n = a+(n-1)d$ से कोई भी पद कैसे ज्ञात करें
गॉस की युग्म-विधि से प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग कैसे ज्ञात करें
किसी अनुक्रम को गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) क्या बनाता है, और $t_n = ar^{n-1}$ से कोई भी पद कैसे ज्ञात करें

अनुक्रमव्यापक सूत्रपुनरावर्ती सूत्रसमांतर श्रेढ़ीसार्व अंतरगुणोत्तर श्रेढ़ीसार्व अनुपात

1 अनुक्रम: पद और नियम

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमिक सूची है, जिसमें हर संख्या को पद कहते हैं। अनुक्रम परिमित (निश्चित संख्या में पद) या अपरिमित (हमेशा चलते रहने वाला, “ $\ldots$ ” से दर्शाया) हो सकता है। पहले पद को $t_1$ , दूसरे पद को $t_2$ , और सामान्यतः $n$ वें पद को $t_n$ लिखते हैं।

अनुक्रम	शब्दों में नियम
1, 2, 3, 4, 5, …	प्राकृत संख्याएँ: हर पद पिछले से एक अधिक
1, 3, 5, 7, 9, …	विषम संख्याएँ: क्रमागत पदों के मध्य 2 का अंतर
1, 3, 6, 10, 15, …	त्रिभुजाकार संख्याएँ: हर पद अगली प्राकृत संख्या जोड़ता है
1, 4, 9, 16, 25, …	वर्ग संख्याएँ: हर पद अगली विषम संख्या जोड़ता है

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

व्यापक सूत्र $t_n$ का मान सीधे स्थिति संख्या $n$ से देता है, जैसे $t_n = 2n-1$ । पुनरावर्ती सूत्र $t_n$ को पिछले पद(पदों) के रूप में देता है, जैसे $t_1=1,\ t_n = t_{n-1}+3$ ( $n \ge 2$ के लिए)। व्यापक सूत्र से कोई भी पद तुरंत मिलता है; पुनरावर्ती सूत्र के लिए पहले सभी पूर्व पद जानने आवश्यक हैं।

दिया है

व्यापक सूत्र $t_n = 3n-2$ वाला एक अनुक्रम

ज्ञात करें

10वाँ पद, और जाँचें कि क्या 76 इस अनुक्रम का पद है

हल

$t_{10} = 3(10)-2 = \;$ $28$

$3n-2=76$ हल करने पर $3n=78$ , अतः $n=26$ : 76, 26वाँ पद है

दिया है

पुनरावर्ती सूत्र $u_1=2,\ u_n = 3u_{n-1}-1$ ( $n \ge 2$ के लिए) वाला एक अनुक्रम

ज्ञात करें

प्रथम चार पद

हल

$u_2 = 3(2)-1=5$ , $\;u_3 = 3(5)-1=14$ , $\;u_4 = 3(14)-1=41$

प्रथम चार पद: $2, 5, 14, 41$

क्या आप जानते हैं?

अनुक्रम $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ (हर पद पिछले दो पदों का योग) विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम कहलाता है। इसे सर्वप्रथम आचार्य कवि विरहांक ने सातवीं शताब्दी में, प्राकृत काव्य की लय का अध्ययन करते हुए लिखा था, इटली के गणितज्ञ फिबोनाची द्वारा इसका वर्णन किए जाने (लगभग 1200 ई.) से सदियों पहले।

2 समांतर श्रेढ़ी (AP)

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

समांतर श्रेढ़ी (AP) एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें पहले पद के बाद हर पद, पिछले पद में एक स्थिर संख्या $d$ , जिसे सार्व अंतर कहते हैं, जोड़कर प्राप्त होता है। इसका व्यापक रूप है $a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \ldots$ , जहाँ $a$ प्रथम पद है।

सूत्र

AP का

n

वाँ पद:

\quad t_n = a + (n-1)\,d

पुनरावर्ती रूप:

t_1 = a,\ \ t_n = t_{n-1} + d

(

n \ge 2

के लिए)

दिया है

समांतर श्रेढ़ी: 7, 11, 15, 19, …

ज्ञात करें

15वाँ पद

हल

$a=7$ , $d=4$ । $\;t_{15} = 7 + (15-1)(4) = 7+56 = \;$ $63$

दिया है

एक टैक्सी का निश्चित बुकिंग शुल्क ₹200 और प्रति किमी ₹40 है

ज्ञात करें

कुल किराए का अनुक्रम, और 10 किमी का किराया

हल

1, 2, 3 किमी के बाद किराया ₹240, ₹280, ₹320, … है, यह एक AP है जिसमें $a=240$ , $d=40$ । दूरी को $n$ किमी मानने पर, $\;t_n = 200+40n$ ।

$n=10$ के लिए: $t_{10} = 200+400 = \;$ ₹600

AP के (चरण, मान) बिंदु सदा एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं, जबकि GP के बिंदु तेज़ी से रेखा से हटकर वक्र बनाते हैं, जैसा नीचे दिए गए आलेख में दिखाया गया है।

एक समांतर श्रेढ़ी 1,5,9,13,17 जो सरल रेखा पर स्थित है, और एक गुणोत्तर श्रेढ़ी 3,6,12,24,48 जो ऊपर की ओर वक्र बनाती है, की तुलना करता रेखा आलेख — **चित्र 1**: AP के बिंदु सदा एक सरल रेखा पर स्थित होते हैं; GP के बिंदु पदों के गुणात्मक रूप से बढ़ने के साथ रेखा से हटकर वक्र बनाते हैं।

परीक्षा टिप

यह जाँचने के लिए कि कोई अनुक्रम AP है या नहीं, देखें कि $t_2-t_1 = t_3-t_2 = t_4-t_3$ है या नहीं। यदि अंतर स्थिर नहीं है, तो यह AP नहीं है।

3 प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग

मान लीजिए $S = 1+2+3+\cdots+n$ । इसी योग को उल्टे क्रम में लिखने पर, $S = n+(n-1)+\cdots+1$ । दोनों को जोड़ने पर, हर मिलते-जुलते पदों का जोड़ $n+1$ होता है, और ऐसे $n$ युग्म हैं:

सूत्र

2S = n(n+1) \quad\Rightarrow\quad S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}

गॉस की युग्म-विधि: अनुक्रम को उसके उल्टे क्रम में जोड़ना

क्या आप जानते हैं?

इस सूत्र का सबसे पुराना ज्ञात लिखित उल्लेख आर्यभट्ट के ग्रंथ आर्यभटीयम (अध्याय 2, श्लोक 19) में मिलता है, जो लगभग 499 ई. में रचा गया, जिसमें इस योग को प्रथम और अंतिम पद के औसत को पदों की संख्या से गुणा करके बताया गया है।

दिया है

प्रथम 40 प्राकृत संख्याओं का योग

ज्ञात करें

$S_{40}$ , और 41 से 60 तक की संख्याओं का योग

हल

$S_{40} = \dfrac{40 \times 41}{2} = \;$ $820$

$41+42+\cdots+60 = S_{60}-S_{40} = \dfrac{60\times 61}{2} – 820 = 1830-820 = \;$ $1010$

टिप्पणी

यही सूत्र $n$ वीं त्रिभुजाकार संख्या भी देता है: $t_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , क्योंकि हर त्रिभुजाकार संख्या उस बिंदु तक की प्राकृत संख्याओं का योग है।

4 गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP)

कंठस्थ करेंपरिभाषा 4

गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें पहले पद के बाद हर पद, पिछले पद को एक स्थिर संख्या $r$ , जिसे सार्व अनुपात कहते हैं, से गुणा करके प्राप्त होता है। इसका व्यापक रूप है $a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ \ldots$ , जहाँ $a$ प्रथम पद है।

सूत्र

GP का

n

वाँ पद:

\quad t_n = a\,r^{\,n-1}

पुनरावर्ती रूप:

t_1 = a,\ \ t_n = r \cdot t_{n-1}

(

n \ge 2

के लिए)। जाँच:

\dfrac{t_2}{t_1} = \dfrac{t_3}{t_2} = \cdots

स्थिर होना चाहिए

दिया है

एक GP जिसका तीसरा पद 12 और छठा पद 96 है

ज्ञात करें

सार्व अनुपात और प्रथम पद

हल

$t_3 = ar^2 = 12$ और $t_6 = ar^5 = 96$ । भाग देने पर, $r^3 = \dfrac{96}{12} = 8$ , अतः $r = \;$ $2$

तब $a = \dfrac{12}{r^2} = \dfrac{12}{4} = \;$ $3$

दिया है

50 मीटर से गिराई गई एक गेंद हर बार अपनी पिछली ऊँचाई की 40% ऊँचाई तक उछलती है

ज्ञात करें

तीसरे उछाल के बाद पहुँची ऊँचाई

हल

ऊँचाइयाँ एक GP बनाती हैं जिसमें $a = 50 \times 0.4 = 20$ और $r = 0.4$ : $20,\ 8,\ 3.2,\ \ldots$

$t_3 = 20 \times (0.4)^2 = \;$ $3.2$ मीटर

क्या आप जानते हैं?

सर्पिंस्की त्रिभुज हर बचे हुए भाग से केंद्रीय त्रिभुज बार-बार हटाकर बनाया जाता है। चरण $n$ पर काले त्रिभुजों की संख्या $3^n$ होती है, जबकि छायांकित क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल के $\left(\frac34\right)^n$ के रूप में सिकुड़ता जाता है: दोनों ही GP हैं, एक असीमित रूप से बढ़ती हुई और दूसरी शून्य की ओर सिकुड़ती हुई।

व्यापक सूत्र आपको सीधे किसी भी पद तक पहुँचा देता है; पुनरावर्ती सूत्र आपको वहाँ तक एक-एक कदम चलकर ही पहुँचाता है।

इस अध्याय से एक ही विचार साथ ले जाना है

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र में अंतर बता सकता/सकती हूँ, और दोनों का उपयोग कर सकता/सकती हूँ?
क्या मैं $t_n = a+(n-1)d$ से AP का कोई भी पद ज्ञात कर सकता/सकती हूँ, और $a$ , $d$ पहचान सकता/सकती हूँ?
क्या मैं प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कर सकता/सकती हूँ, और उससे किसी परास का योग निकाल सकता/सकती हूँ?
क्या मैं $t_n = ar^{n-1}$ से GP का कोई भी पद ज्ञात कर सकता/सकती हूँ, और $a$ , $r$ पहचान सकता/सकती हूँ?

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

व्यापक सूत्र: $t_n$ सीधे $n$ से। पुनरावर्ती सूत्र: $t_n$ , $t_{n-1}$ से
AP: स्थिर सार्व अंतर $d$ ; $t_n = a+(n-1)d$ ; बिंदु सरल रेखा पर
$S_n = 1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (गॉस की युग्म-विधि)
GP: स्थिर सार्व अनुपात $r$ ; $t_n = ar^{n-1}$ ; बिंदु वक्र बनाते हैं, सरल रेखा नहीं
विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम: $t_n = t_{n-1}+t_{n-2}$ , सर्वप्रथम सातवीं शताब्दी में लिखा गया

अभ्यास प्रश्न

1 अंकएक अनुक्रम का व्यापक सूत्र $t_n = 4n-1$ है। प्रथम पद और 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।
2 अंकअनुक्रम $t_n = 3n-2$ के लिए, 76 कौन-सा पद है?
2 अंकएक अनुक्रम पुनरावर्ती सूत्र $u_1=2$ , $u_n = 3u_{n-1}-1$ ( $n \ge 2$ के लिए) द्वारा दिया गया है। प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए।
2 अंकसमांतर श्रेढ़ी 7, 11, 15, 19, … का 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।
2 अंकसमांतर श्रेढ़ी 100, 93, 86, … का कौन-सा पद 2 है?
3 अंकप्रथम 40 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। अतः 41 से 60 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
2 अंक4 से विभाज्य कितनी 2-अंकीय संख्याएँ हैं? उनका योग ज्ञात कीजिए।
2 अंकदर्शाइए कि 2, 6, 18, 54, … एक GP है, और इसका 6वाँ पद ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक GP का तीसरा पद 12 और छठा पद 96 है। सार्व अनुपात और प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
3 अंक50 मीटर की ऊँचाई से गिराई गई एक गेंद हर बार अपनी पिछली ऊँचाई की 40% ऊँचाई तक उछलती है। तीसरे उछाल के बाद पहुँची ऊँचाई ज्ञात कीजिए, और $n$ वें उछाल के बाद की ऊँचाई के लिए व्यापक सूत्र लिखिए।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकसमांतर श्रेढ़ी 5, 2, −1, −4, … का सार्व अंतर है:
(a) 3(b) −3(c) 2(d) −2
1 अंकप्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 वाली GP का $n$ वाँ पद है:
(a) $3+2n$ (b) $3 \times 2^{n-1}$ (c) $3 \times 2^n$ (d) $2 \times 3^{n-1}$
1 अंकइनमें से कौन-सा अनुक्रम न तो AP है और न ही GP?
(a) 2, 4, 6, 8(b) 3, 9, 27, 81(c) 1, 4, 9, 16(d) 5, 5, 5, 5

अभिकथन (A): अनुक्रम 2, 6, 18, 54, … सार्व अनुपात 3 वाली एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है।
तर्क (R): किसी GP में, कोई भी पद और उसके ठीक पहले वाले पद का अनुपात सदैव स्थिर होता है।

केस स्टडी

एक कंपनी ₹4,00,000 के आरंभिक वार्षिक वेतन के साथ हर वर्ष ₹25,000 की निश्चित वृद्धि प्रदान करती है।

1 अंकचौथे वर्ष में वेतन कितना होगा?
1 अंकवेतन पहली बार ₹6,00,000 तक किस वर्ष में पहुँचेगा?
2 अंकप्रथम 5 वर्षों में अर्जित कुल वेतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर कुंजी

प्र1

t_1=3

t_5=19

प्र2

3n-2=76 \Rightarrow n=26

वाँ पद

प्र3

2, 5, 14, 41

प्र4

a=7,d=4

t_{15}=7+14(4)=63

प्र5

a=100,d=-7

100+(n-1)(-7)=2 \Rightarrow n=15

प्र6

S_{40}=820

;

S_{60}-S_{40}=1830-820=1010

प्र712 से 96 तक, अंतर 4: 22 संख्याएँ; योग

=22 \times \frac{12+96}{2}=1188

प्र8अनुपात स्थिर

=3

;

t_6=2 \times 3^5=486

प्र9

r^3=8 \Rightarrow r=2

;

a=12/4=3

प्र10

a=20,r=0.4

t_3=20(0.4)^2=3.2

मीटर;

t_n=20(0.4)^{n-1}

बहुविकल्पीय 1–3(b) · (b) · (c)

A/RA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है

केस स्टडी₹4,75,000 · 9वाँ वर्ष · ₹22,50,000

1 अनुक्रम: पद और नियम

दिया है

ज्ञात करें

दिया है

ज्ञात करें

2 समांतर श्रेढ़ी (AP)

दिया है

ज्ञात करें

दिया है

ज्ञात करें

3 प्रथम nnn प्राकृत संख्याओं का योग

दिया है

ज्ञात करें

4 गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP)

दिया है

ज्ञात करें

दिया है

ज्ञात करें

3 प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग