संभावनाओं का गणित: प्रायिकता का परिचय

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अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ता है

1 · यादृच्छिकता और प्रायिकता का पैमानाहर संभावित परिणाम पहले से ज्ञात है, पर कौन-सा परिणाम मिलेगा यह अनिश्‍चित है; संभावना 0 से 1 तक चलती है

2 · प्रायिकता मापने के दो तरीकेप्रायोगिक (वास्तविक प्रयोगों से) और सैद्धांतिक (समप्रायिक तर्क से)

प्रायिकता का परिचय

3 · प्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँहर संभावित परिणाम, और वे विशेष परिणाम जिनमें हमारी रुचि है

4 · वृक्ष आरेखबहु-चरणीय प्रयोग के हर परिणाम को शाखा-दर-शाखा दर्शाना

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

किसी घटना को यादृच्छिक क्या बनाता है, और प्रायिकता 0 से 1 के पैमाने पर संभावना को कैसे मापती है
प्रायोगिक और सैद्धांतिक प्रायिकता में अंतर, और दोनों की गणना कैसे करें
किसी प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि कैसे लिखें और उसमें से किसी घटना को कैसे पहचानें
बहु-चरणीय प्रयोग में परिणामों की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए वृक्ष आरेख का उपयोग कैसे करें

यादृच्छिकताप्रायिकता का पैमानाप्रायोगिक प्रायिकतासैद्धांतिक प्रायिकताप्रतिदर्श समष्टिघटनावृक्ष आरेख

1 यादृच्छिकता और प्रायिकता का पैमाना

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

यादृच्छिक प्रयोग एक ऐसी दोहराई जा सकने वाली क्रिया है (सिक्का उछालना, पासा फेंकना) जिसमें हर संभावित परिणाम पहले से ज्ञात होता है, परंतु किसी एक बार में कौन-सा परिणाम मिलेगा, इसका पूर्वानुमान नहीं लगाया जा सकता।

प्रायिकता यह मापती है कि कोई घटना कितनी संभावित है, 0 (असंभव) से 1 (निश्‍चित) तक के पैमाने पर। हर घटना की प्रायिकता $0 \le P(E) \le 1$ को संतुष्ट करती है।

असंभव

कम संभव

समप्रायिक

अधिक संभव

1 निश्‍चित

घटना	पैमाने पर स्थिति
एक मानक पासे पर 6 से बड़ी संख्या आना	असंभव (0)
एक मानक पासे पर 3 आना	कम संभव
सिक्का उछालने पर चित आना	समप्रायिक (0.5)
सभी लाल मिठाइयों वाले थैले से लाल मिठाई निकालना	निश्‍चित (1)

क्या आप जानते हैं?

साँप-सीढ़ी के खेल की उत्पत्ति प्राचीन भारतीय पासा-खेल ज्ञान-चौपड़ से हुई, जिसमें हर सीढ़ी एक सद्गुण और हर साँप एक अवगुण का प्रतीक थी, यानी पासे की यादृच्छिकता के माध्यम से नैतिक शिक्षा दी जाती थी।

2 प्रायिकता मापने के दो तरीके

सूत्र

प्रायोगिक प्रायिकता

= \dfrac{\text{घटना घटित होने की संख्या}}{\text{कुल प्रयासों की संख्या}}

सापेक्षिक आवृत्ति भी कहते हैं: यह प्रयोग वास्तव में करके प्राप्त वास्तविक आँकड़ों पर आधारित है

दिया है

एक पासा 50 बार फेंका गया; वह ठीक 8 बार 4 पर आया

ज्ञात करें

4 आने की प्रायोगिक प्रायिकता

हल

$P(4) = \dfrac{8}{50} = 0.16 = \;$ $16\%$

सूत्र

सैद्धांतिक प्रायिकता

P(A) = \dfrac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की संख्या}}

यह मानती है कि हर परिणाम समप्रायिक है; किसी प्रयोग की आवश्यकता नहीं

दिया है

शब्द “PROBABILITY” में से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है

ज्ञात करें

अक्षर B चुनने की प्रायिकता

हल

PROBABILITY में 11 अक्षर हैं, जिनमें 2 अक्षर B हैं। $P(B) = \dfrac{2}{11} \approx \;$ $0.182$ या $18.2\%$

बृहत् संख्याओं का नियम

प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता से भिन्न हो सकती है, विशेषकर कम प्रयासों में। जैसे-जैसे प्रयासों की संख्या बढ़ती है, प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के अधिकाधिक निकट आती जाती है।

द्यूतकार का भ्रम

यदि एक निष्पक्ष सिक्का लगातार छह बार चित पर आता है, तो कई लोग मानने लगते हैं कि अब पट आने की “बारी” है। यह गलत है: हर उछाल स्वतंत्र होता है। अगली बार पट आने की प्रायिकता अब भी ठीक $\tfrac12$ ही रहती है, चाहे पहले जो भी हुआ हो। सिक्के को कोई स्मृति नहीं होती।

3 प्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँ

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

प्रतिदर्श समष्टि $S$ किसी यादृच्छिक प्रयोग के हर संभावित परिणाम की सूची है, जिसमें प्रत्येक परिणाम ठीक एक बार लिखा जाता है। परिणामों की संख्या को प्रतिदर्श आकार, $n(S)$ कहते हैं। घटना प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय है, अर्थात वे एक या अधिक परिणाम जिनमें हमारी रुचि है।

प्रयोग	प्रतिदर्श समष्टि $S$	$n(S)$
एक सिक्का उछालना	{H, T}	2
एक पासा फेंकना	{1, 2, 3, 4, 5, 6}	6
दो सिक्के उछालना	{HH, HT, TH, TT}	4

हल किया गया उदाहरण

प्र. एक पासा फेंकने पर, घटना “फेंका गया अंक 4 से बड़ा है” लिखिए।

$S = \{1,2,3,4,5,6\}$ । घटना है $E = \;$ $\{5, 6\}$

परीक्षा टिप

प्रतिदर्श समष्टि प्रश्न में आवश्यक विवरण से मेल खानी चाहिए। “क्या वर्षा होगी?” के लिए केवल {वर्षा, वर्षा नहीं} पर्याप्त हो सकता है, पर वर्षा की मात्रा से जुड़े प्रश्न के लिए {वर्षा नहीं, बूँदाबाँदी, हल्की वर्षा, भारी वर्षा} जैसी समष्टि चाहिए।

4 वृक्ष आरेख

वृक्ष आरेख किसी बहु-चरणीय प्रयोग (एक के बाद एक होने वाले कई स्वतंत्र प्रयास) के हर परिणाम को शाखा-दर-शाखा दर्शाता है।

चित्र 1: एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालना। चार शाखाएँ, सभी समप्रायिक, जिनसे प्रतिदर्श समष्टि {HH, HT, TH, TT} बनती है। — **चित्र 1**: एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालना। चार शाखाएँ, सभी समप्रायिक, जिनसे प्रतिदर्श समष्टि {HH, HT, TH, TT} बनती है।

हल किया गया उदाहरण

प्र. वृक्ष आरेख का उपयोग करके, दो उछालों में ठीक एक चित और एक पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

ठीक एक H और एक T वाले परिणाम: HT और TH, यानी 4 में से 2 परिणाम।

$P(\text{एक H, एक T}) = \dfrac{2}{4} = \;$ $0.5$ या $50\%$

प्रायिकता कभी यह नहीं बताती कि अगली बार क्या होगा; यह बताती है कि बहुत सारे प्रयासों के औसत में क्या होगा।

इस अध्याय से एक ही विचार साथ ले जाना है

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं किसी घटना को 0-से-1 प्रायिकता पैमाने पर सही स्थान पर रख सकता/सकती हूँ?
क्या मैं प्रायोगिक और सैद्धांतिक दोनों प्रायिकताओं की गणना कर सकता/सकती हूँ, और उनका अंतर समझा सकता/सकती हूँ?
क्या मैं किसी प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि लिख सकता/सकती हूँ और उसमें से घटना पहचान सकता/सकती हूँ?
क्या मैं दो-चरणीय प्रयोग के लिए वृक्ष आरेख बनाकर उससे प्रायिकता ज्ञात कर सकता/सकती हूँ?

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

$0 \le P(E) \le 1$ ; 0 = असंभव, 1 = निश्‍चित
प्रायोगिक प्रायिकता $=\frac{\text{घटना घटित होने की संख्या}}{\text{कुल प्रयास}}$ ; सैद्धांतिक $=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{संभावित परिणाम}}$
बृहत् संख्याओं का नियम: अधिक प्रयासों से प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक के निकट आती है
द्यूतकार का भ्रम: स्वतंत्र प्रयास कभी पिछले परिणामों को “याद” नहीं रखते
प्रतिदर्श समष्टि $S$ = हर परिणाम, एक बार सूचीबद्ध; घटना = $S$ का एक उपसमुच्चय
वृक्ष आरेख बहु-चरणीय प्रयोग के हर परिणाम को शाखा-दर-शाखा सूचीबद्ध करता है

अभ्यास प्रश्न

1 अंकनिश्‍चित रूप से घटित होने वाली घटना की प्रायिकता क्या है?
2 अंक60 विद्यार्थियों के एक सर्वेक्षण में, 18 ने बताया कि क्रिकेट उनका प्रिय खेल है। क्रिकेट पसंद करने वाले विद्यार्थियों की सापेक्षिक आवृत्ति ज्ञात कीजिए।
2 अंकएक थैले में 5 लाल, 3 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। उसके लाल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2 अंकदो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
2 अंकएक पासा फेंकने और एक सिक्का उछालने को एक साथ करने पर प्रतिदर्श समष्टि लिखिए, और $n(S)$ ज्ञात कीजिए।
2 अंकशब्द “STATISTICS” के अक्षर कार्डों पर लिखकर, एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। उसके “T” होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक स्पिनर में 1 से 8 तक 8 समप्रायिक संख्याएँ हैं। इसके निम्नलिखित पर रुकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) 3 का गुणज, (ii) एक विषम संख्या।
3 अंकएक सिक्का उछालने और फिर एक पासा फेंकने के लिए वृक्ष आरेख बनाइए। प्रतिदर्श समष्टि लिखकर $n(S)$ ज्ञात कीजिए।
2 अंकएक पासा 40 बार फेंका जाता है, और वह ठीक 5 बार 6 पर आता है। 6 आने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक उदाहरण के साथ समझाइए कि द्यूतकार का भ्रम प्रायिकता के बारे में सोचने का एक गलत तरीका क्यों है।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकएक असंभव घटना की प्रायिकता है:
(a) 1(b) 0.5(c) 0(d) अपरिभाषित
1 अंकसैद्धांतिक प्रायिकता यह मानती है कि:
(a) कई प्रयोग किए जा चुके हैं(b) सभी परिणाम समप्रायिक हैं(c) घटना असंभव है(d) परिणामों के बारे में कुछ भी नहीं
1 अंक3 सिक्के उछालने पर प्रतिदर्श आकार $n(S)$ है:
(a) 3(b) 6(c) 8(d) 9

अभिकथन (A): यदि एक निष्पक्ष सिक्का लगातार पाँच बार चित पर आया है, तो अगली उछाल में पट आने की अधिक संभावना है।
तर्क (R): हर सिक्का-उछाल एक स्वतंत्र घटना है, और सिक्के को पिछली उछालों की कोई स्मृति नहीं होती।

केस स्टडी

एक टायर कंपनी ने 1000 टायरों का परीक्षण किया और हर टायर के बदले जाने से पहले तय की गई दूरी दर्ज की: 20 टायर 4000 किमी से कम चले, 210 टायर 4001-9000 किमी, 325 टायर 9001-14000 किमी, और 445 टायर 14000 किमी से अधिक चले।

1 अंकयादृच्छिक रूप से चुने गए एक टायर के 4000 किमी से कम चलने की प्रायिकता क्या है?
1 अंकइसके 14000 किमी से अधिक चलने की प्रायिकता क्या है?
2 अंकइसके 4000 से 14000 किमी के बीच (दोनों समूहों सहित) चलने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर कुंजी

प्र11

प्र2

18/60 = 0.3

या

30\%

प्र3लाल नहीं

=10

में से

5

P=1-\frac{5}{10}=0.5

प्र4

S=\{HH,HT,TH,TT\}

; कम से कम एक चित

=3/4=0.75

प्र5

S=\{(1,H),(1,T),(2,H),\ldots,(6,T)\}

;

n(S)=12

प्र6STATISTICS में 10 अक्षर, 3 T:

P(T)=3/10=0.3

प्र7(i) 1-8 में 3 के गुणज: {3,6},

P=2/8=0.25

; (ii) विषम: {1,3,5,7},

P=4/8=0.5

प्र8

S=\{(H,1),(H,2),\ldots,(T,6)\}

;

n(S)=12

प्र9

P(6)=5/40=0.125

या

12.5\%

प्र10हर उछाल/फेंक स्वतंत्र है; पिछले परिणाम भविष्य की निश्‍चित प्रायिकता को कभी नहीं बदलते, चाहे लंबे समय तक एक ही परिणाम आया हो

बहुविकल्पीय 1–3(c) · (b) · (c)

A/RA असत्य है, R सत्य है (द्यूतकार का भ्रम; प्रायिकता पिछली उछालों से स्वतंत्र होकर 0.5 ही रहती है)

केस स्टडी

20/1000=0.02

445/1000=0.445

(210+325)/1000=0.535