समष्टि मापन: परिमाप और क्षेत्रफल

बहुभुजों का परिमाप, वृत्त की परिधि, चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात करना
π क्या है, मेसोपोटामिया से माधव तक इसका मान कैसे खोजा गया, और π अपरिमेय क्यों है
400 मीटर दौड़-पथ पर सांतरण ज्ञात करना और चापों से बनी परिमाप की पहेलियाँ हल करना
आयत, समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज का क्षेत्रफल, और माध्यिका वाला प्रमेय
हीरोन का सूत्र, परिवृत्त और अंतर्वृत्त वाले सूत्र, और चक्रीय चतुर्भुज के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र
बौधायन की रचना से आयत को वर्ग बनाना, और वृत्त, त्रिज्यखंड तथा खंड का क्षेत्रफल

परिमापपरिधिसांतरणπ (पाई)अपरिमेयचापत्रिज्यखंडखंडमाध्यिकाअर्द्ध-परिमापपरिवृत्तअंतर्वृत्तचक्रीय चतुर्भुजविशेष स्थितिव्यापकीकरणशुल्बसूत्र

अध्याय 4 × 100 मीटर रिले दौड़ से शुरू होता है। सभी धावक एक ही आरंभिक रेखा पर नहीं होते: बाहरी दौड़-पथों के धावक भीतरी दौड़-पथों के धावकों से आगे से दौड़ शुरू करते हैं, जबकि समापन रेखा सबके लिए एक ही है। यह न्यायसंगत क्यों है, यह समझने के लिए हमें वृत्त के चारों ओर की लंबाई ज्ञात करना आना चाहिए।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

आसन्न (पास-पास के) दौड़-पथों की आरंभिक रेखाओं के बीच की दूरी को सांतरण (स्टैगर) कहते हैं।

1 आकृति का परिमाप

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

किसी आकृति का परिमाप उसकी सीमा-रेखा की कुल लंबाई होता है। कल्पना कीजिए कि एक छोटा कीड़ा सीमा-रेखा पर बिना मुड़े चलता हुआ वापस अपने आरंभिक बिंदु पर आ जाता है: उसके द्वारा तय की गई दूरी ही परिमाप है।

आकृति	परिमाप	परिमाप : भुजा
वर्ग, भुजा $a$	$4a$	हर वर्ग में 4 : 1
समबाहु त्रिभुज, भुजा $a$	$3a$	हर समबाहु त्रिभुज में 3 : 1
आयत, लंबाई $a$ , चौड़ाई $b$	$2(a+b)$	आयत के आकार पर निर्भर
वृत्त, व्यास $D$	परिधि $C$	हर वृत्त में $C : D$ समान

वर्ग की भुजा दोगुनी करें (2 इकाई से 4 इकाई) तो परिमाप भी दोगुना हो जाता है (8 इकाई से 16 इकाई)।
इसीलिए वर्ग छोटा हो या बड़ा, परिमाप और भुजा का अनुपात 4 : 1 पर स्थिर रहता है।
वर्ग के परिमाप का सूत्र, आयत के परिमाप के सूत्र की एक विशेष स्थिति है: $2(a+b)$ में $b = a$ रखने पर $4a$ मिलता है।
वृत्त के परिमाप को सामान्यतः परिधि कहा जाता है।

2 वृत्त का परिमाप: C/D अनुपात

प्राचीन समय में लोगों को बोध हुआ कि वृत्त का आकार बदलने पर भी उसकी परिधि और व्यास का अनुपात नहीं बदलता।
पुस्तक इसे वृत्त का C/D अनुपात कहती है।
इसी अचर को आज π (पाई) लिखा जाता है।

मापन संबंधी गृहकार्य, चरण 1पतले धागे वाली एक रील लीजिए और उसका व्यास

D

यथासंभव सटीकता से मापिए

↓

चरण 2धागा खोलकर उसे रील के चारों ओर 20 बार कसकर लपेटिए

↓

चरण 3धागा फिर खोलकर उसकी लंबाई

L

मापिए; C/D अनुपात

= \dfrac{L}{20D}

(धागा बहुत पतला होना चाहिए)

उत्तर 3 और 4 के बीच आता है, और सावधानी से मापने पर 3.1 और 3.2 के बीच। शुद्ध ज्यामिति से, बिना किसी मापन के भी, इस अनुपात का आकलन संभव है, जैसा अगले भाग में है।

2.1 π का मान 3 से अधिक और 2√3 से कम क्यों है

चित्र 1: वृत्त एक अंतर्गत षट्भुज (अंदर) और एक परिगत षट्भुज (बाहर) के बीच है, इसलिए उसकी परिधि दोनों के परिमापों के बीच होती है। — **चित्र 1**: वृत्त एक अंतर्गत षट्भुज (अंदर) और एक परिगत षट्भुज (बाहर) के बीच है, इसलिए उसकी परिधि दोनों के परिमापों के बीच होती है।

अंतर्गत षट्भुज = भुजा

r

वाले 6 समबाहु त्रिभुज, अतः परिमाप

= 6r = 3 \times (2r)

हर त्रिभुज की दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं और O पर कोण 60° है

वृत्त थोड़ा लंबा है:

C \gt 3D

, इसलिए

\pi \gt 3

यही मेसोपोटामिया वाला तर्क है

परिगत षट्भुज: भुजा

s

के लिए

\frac{\sqrt3}{2}s = r

, अतः

s = \frac{2r}{\sqrt3}

और परिमाप

= \frac{12r}{\sqrt3} = 4\sqrt3\,r

एक त्रिभुज के आधे भाग पर बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय

वृत्त छोटा है:

C \lt 4\sqrt3\,r = 2\sqrt3 \times D

, इसलिए

\pi \lt 2\sqrt3 \approx 3.46

आर्किमिडीज की पहली सीमाएँ:

3 \lt \pi \lt 2\sqrt3

2.2 C/D की रोमांचक यात्रा: प्राचीन अनुमानों से माधव के सटीक सूत्र तक

सभी भौगोलिक क्षेत्रों के गणितज्ञों की प्राचीन काल से ही वृत्तों और C/D अनुपात में रुचि रही है।
यह अचर गणित की विभिन्न शाखाओं के बीच सेतु का काम करता है और सीधी-कोर वाले बहुभुजों को प्रकृति के वक्रों से जोड़ता है।
प्राचीन सभ्यताएँ निर्माण और व्यापार के लिए ‘पर्याप्त’ मानों पर निर्भर थीं; बाद में π का अधिक सटीक मान खोजना गणित के सिद्धांतों की उन्नति का पैमाना बन गया।

कब	कौन / कहाँ	क्या पाया
लगभग 1900 सामान्य संवत पूर्व	मेसोपोटामिया	वृत्त की परिधि उसके अंतर्गत षट्भुज के परिमाप से थोड़ी अधिक, इसलिए π > 3; मान लिया $\pi = 3 + \frac18 = 3.125$
250 सामान्य संवत पूर्व तक	सिरैक्यूज के आर्किमिडीज	π को अंतर्गत और परिगत बहुभुजों के परिमापों के बीच ‘समाविष्ट’ किया: षट्भुजों से 3 और $2\sqrt3 \approx 3.46$ ; 96-भुजा वाले बहुभुज से $3\frac{10}{71} \lt \pi \lt 3\frac17$
लगभग 150 सामान्य संवत	एलेक्जेंड्रिया के टॉलेमी	अपनी खगोलीय सारणी के लिए आर्किमिडीज के अभिकलन को परिष्कृत किया: $\frac{377}{120} \approx 3.14167$
263 सामान्य संवत	लियू हुई (चीन)	‘वृत्त-काटने की विधि’, जिसने जू चोंगजी की सफलताओं का आधार बनाया
480 सामान्य संवत	जू चोंगजी (चीन)	बहुभुज को 24,576 भुजाओं तक बढ़ाया; यूएलू (सन्निकट अनुपात) $\frac{22}{7} \approx 3.1428$ और मियू (निकटस्थ अनुपात) $\frac{355}{113} \approx 3.1415929$
499 सामान्य संवत	आर्यभट	$\frac{62832}{20000} = 3.1416$ , और इसे आसन्न (‘समीप’, ‘सन्निकट’) कहा
628 सामान्य संवत	ब्रह्मगुप्त	$\sqrt{10} \approx 3.1622$ , थोड़ा कम सटीक पर गणितीय सहजता के कारण चुना
(इनके बाद)	संगमग्राम के माधव	π का पहला सटीक सूत्र, अनंत श्रेणी के रूप में; π का मान 11 दशमलव स्थान तक, 3.14159265358
लगभग 1500, 1706, 1914, 1988	नीलकंठ, माचिन, रामानुजन, चुडनोव्स्की बंधु	और तेज़ अनंत श्रेणियाँ; आज π नील (सैकड़ों ट्रिलियन) अंकों तक ज्ञात है
1706	विलियम जोन्स (वेल्श)	C/D अनुपात के लिए ग्रीक अक्षर π का उपयोग किया
1761	लैम्बर्ट	दर्शाया कि π अपरिमेय है

जू चोंगजी का 355/113 800 से अधिक वर्षों तक विश्व में π का सबसे सटीक मान बना रहा।
15,000 से कम ‘हर’ वाला कोई भी परिमेय भिन्न π के इतना निकट नहीं हो सकता, जितना यह भिन्न है।
आर्यभट का शब्द आसन्न संकेत देता है कि इस अनुपात को केवल एक सरल भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
ब्रह्मगुप्त का √10 कई शताब्दियों तक अरब जगत और मध्यकालीन यूरोप में π का मुख्य सन्निकट मान बना रहा।
माधव से पहले कोई भी मान जू के 355/113 जितना सटीक, या 22/7, 3.1416 और √10 जितना सरल नहीं था।
जोन्स ने π इसलिए चुना क्योंकि यह परिमाप के ग्रीक शब्द ‘पेरिमिट्रोज’ का पहला अक्षर है।
इस चिह्न को स्विस-जर्मन गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर (उच्चारण ‘ऑइलर’) ने प्रसिद्धि दिलाई।

माधव का सटीक सूत्र

\frac{\pi}{4} = 1 – \frac13 + \frac15 – \frac17 + \cdots

माधव ने समझा कि π भिन्नों से सन्निकटित की जाने वाली संख्या मात्र नहीं, बल्कि एक सीमा है जिस तक पहुँचना है। वृत्त को ज्यामितीय रूप में काटने से संख्याओं के योग की ओर बढ़ते हुए, इस अनंत श्रेणी ने गणित की उस शाखा को जन्म दिया जिसे कलन (कलनशास्त्र) कहते हैं।

3 π अपरिमेय है

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न $\frac{a}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a$ , $b$ पूर्णांक हैं और $b \ne 0$ । जैसे $1\frac23$ , $\frac{-7}{11}$ , $1.4$ ।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 4

जिस संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, उसे अपरिमेय संख्या कहते हैं। π और $\sqrt2$ अपरिमेय हैं।

3.1 भिन्न और π में अंतर

भिन्न (परिमेय)

दशमलव प्रसार में लयबद्ध प्रतिरूप
$\frac13 = 0.33333\ldots$
$\frac{1}{11} = 0.09090909\ldots$
$\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$

π (अपरिमेय)

अंक निरंतर चलते रहते हैं
कोई दिखने वाला प्रतिरूप नहीं
उनके लेखों से अनुमान होता है कि आर्यभट और जू चोंगजी ने π को अपरिमेय माना था
लैम्बर्ट ने 1761 में यह दर्शाया (उन्नत गणित चाहिए)

π अपरिमेय है, इसलिए π के लिए कोई ‘सर्वोत्तम भिन्न’ नहीं है।
π के निकट कोई भी भिन्न हो, हम उससे भी निकट दूसरा भिन्न ढूँढ़ सकते हैं।
$\frac{22}{7}$ अधिकतर व्यावहारिक उपयोग के लिए पर्याप्त है, और $\frac{355}{113}$ इससे बहुत अधिक सटीक है।

सामान्य गलती

π और $\frac{22}{7}$ ‘निकट हैं किंतु समान नहीं’। इसलिए $\pi \approx \frac{22}{7}$ और $\pi \ne \frac{22}{7}$ लिखिए, कभी $\pi = \frac{22}{7}$ नहीं। इसी प्रकार $\sqrt2 \approx 1.414$ और $\sqrt2 \ne 1.414$ ।

रोचक तथ्य

अंग्रेज़ी वाक्य “How I wish I could recollect pi” के हर शब्द के अक्षर गिनिए: 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, इसलिए π ≈ 3.141592… π ≈ 3.14 है, इसलिए 14 मार्च (उत्तरी अमेरिका में ‘3-14’ लिखा जाता है) को पाई दिवस मनाया जाता है; और π ≈ 22/7 है, इसलिए 22 जुलाई (भारत में ’22-7′) को पाई सन्निकटन दिवस मनाया जाता है।

4 वृत्त की चाप की लंबाई

सूत्र

परिधि

C = \pi d = 2\pi r

d

= व्यास,

r

= त्रिज्या (

d = 2r

)

4.1 अर्द्धवृत्त, चतुर्थांश वृत्त और कोई भी चाप

अर्द्धवृत्त

वृत्त को व्यास AB के सापेक्ष प्रतिबिंबित करें (या केंद्र के चारों ओर 180° घुमाएँ): दोनों अर्द्धवृत्त स्थान बदल लेते हैं, अतः बराबर हैं। लंबाई $= 2\pi r \div 2 = \pi r = 2\pi r \times \frac{180°}{360°}$ ।

चतुर्थांश वृत्त

वृत्त को 90° दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाएँ: हर चतुर्थांश अगले को ढक लेता है, अतः चारों बराबर हैं। लंबाई $= 2\pi r \div 4 = \frac{\pi r}{2} = 2\pi r \times \frac{90°}{360°}$ ।

चित्र 2: चाप AB केंद्र O पर कोण θ° अंतरित करती है। — **चित्र 2**: चाप AB केंद्र O पर कोण θ° अंतरित करती है।

सूत्र

चाप AB की लंबाई

= 2\pi r \times \dfrac{\theta°}{360°}

\theta

= चाप द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण (डिग्री में)

दिया है

त्रिज्या $r = 6.3$ मी, केंद्र पर कोण $= 120°$

ज्ञात करना है

चाप की लंबाई ( $\pi \approx \frac{22}{7}$ )

हल

चाप $= 2 \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times \frac{120}{360} = 2 \times 22 \times 0.9 \times \frac13 = \;$ $13.2$ मी

त्रिज्यखंड का परिमाप

त्रिज्यखंड की सीमा में वक्र चाप और दो त्रिज्याएँ दोनों आती हैं। परिमाप $= 2\pi r \times \frac{\theta}{360} + 2r$ । $2r$ जोड़ना भूल जाना सबसे आम गलती है।

4.2 400 मीटर दौड़-पथ पर विस्तृत दृष्टि

चित्र 3: 400 मीटर दौड़-पथ: 84.39 मीटर के दो सीधे खंड, और केंद्र A तथा B वाले दो अर्द्धवृत्ताकार वक्रीय खंड; सबसे भीतरी अर्द्धवृत्त की त्रिज्या 36.5 मीटर और हर पथ की चौड़ाई 1.22 मीटर है (स्पष्टता के लिए पथ चौड़े बनाए गए हैं)। — **चित्र 3**: 400 मीटर दौड़-पथ: 84.39 मीटर के दो सीधे खंड, और केंद्र A तथा B वाले दो अर्द्धवृत्ताकार वक्रीय खंड; सबसे भीतरी अर्द्धवृत्त की त्रिज्या 36.5 मीटर और हर पथ की चौड़ाई 1.22 मीटर है (स्पष्टता के लिए पथ चौड़े बनाए गए हैं)।

दिया है

सीधे खंड 84.39 मी के; भीतरी त्रिज्या 36.5 मी; धाविका भीतरी सीमा-रेखा से 0.3 मी दूर दौड़ती है; $\pi \approx 3.1416$

ज्ञात करना है

पहले दौड़-पथ में एक पूरे चक्कर की दूरी

हल

दो सीधे खंड $= 2 \times 84.39 = 168.78$ मी। उसके अर्द्धवृत्तों की त्रिज्या $36.5 + 0.3 = 36.8$ मी है, और दोनों अर्द्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं: $2 \times 3.1416 \times 36.8 = 231.22$ मी।

कुल दूरी $= 168.78 + 231.22 = \;$ $400$ मी

सीधे खंडों पर हर दौड़-पथ की धाविका समान दूरी दौड़ती है।
वक्रीय खंडों पर दूसरे दौड़-पथ की धाविका अधिक दूरी दौड़ती है, क्योंकि उसके अर्द्धवृत्त की त्रिज्या बड़ी है।
इसी अंतर को बराबर करने के लिए सांतरण दिया जाता है, इसलिए यह किसी को अनुचित लाभ नहीं देता।

सोचिए और विचार कीजिए: हल

पहला और दूसरा दौड़-पथ: यदि हर धाविका अपने पथ की भीतरी रेखा से समान दूरी पर दौड़े, तो त्रिज्याओं में एक पथ की चौड़ाई, 1.22 मी, का अंतर है। दोनों वक्रीय खंडों (एक पूरे वृत्त) पर अतिरिक्त दूरी $2\pi(36.8 + 1.22) – 2\pi(36.8) = 2\pi \times 1.22 \approx 7.67$ मी है, अतः एक पूरे चक्कर के लिए दूसरे पथ की धाविका लगभग 7.67 मी आगे से शुरू करती है।

तीसरा और दूसरा दौड़-पथ: त्रिज्या फिर उतनी ही, 1.22 मी, बढ़ती है, इसलिए हर दो आसन्न पथों के बीच समान सांतरण चाहिए।

विद्यालय का 200 मीटर दौड़-पथ: हर अर्द्धवृत्ताकार मोड़ पर एक पथ आगे जाने से $\pi \times 1.22 \approx 3.83$ मी बढ़ते हैं, मोड़ की त्रिज्या चाहे जो हो। अतः सांतरण इस पर निर्भर करता है कि पथों में कितने मोड़ दौड़े जाते हैं, दौड़-पथ के छोटे-बड़े होने पर नहीं; केवल छोटे दौड़-पथ से सांतरण छोटा नहीं हो जाता।

4.3 परिमाप पर आधारित प्रश्न, पहेलियाँ और विरोधाभास

चित्र 4: समान त्रिज्या वाले दो वृत्त, हर एक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है। बाहर की लाल चापें आकार का परिमाप हैं; अंदर के बिंदुगत चाप छोड़ दिए जाते हैं। ∠CAD = 120°। — **चित्र 4**: समान त्रिज्या वाले दो वृत्त, हर एक दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है। बाहर की लाल चापें आकार का परिमाप हैं; अंदर के बिंदुगत चाप छोड़ दिए जाते हैं। ∠CAD = 120°।

उदाहरण 1 (पुस्तक से)

प्र. त्रिज्या $r$ वाले दो वृत्त एक-दूसरे के केंद्र से होकर गुजरते हैं। दोनों वृत्तों से बने आकार का परिमाप ज्ञात कीजिए (अंदर के बिंदुगत वक्र छोड़ दीजिए)।

चरण 1: $AB = AC = BC = r$ , अतः △ABC समबाहु है और ∠CAB = 60°। इसी प्रकार ∠BAD = 60°, अतः ∠CAD = 120° (और ∠CBD = 120°)।
चरण 2: हर बिंदुगत चाप अपने वृत्त की परिधि का $\frac{120}{360} = \frac13$ है, इसलिए हर लाल चाप $\frac23$ है।
उत्तर: परिमाप $= 2 \times \frac23 \times 2\pi r = \;$ $\frac83\pi r$

उदाहरण 2 (पुस्तक से)

प्र. बिंदु P और Q एक बड़े अर्द्धवृत्त $a$ से जुड़े हैं, और PQ पर बने तीन छोटे अर्द्धवृत्तों $b$ , $c$ , $d$ से भी। कौन-सा पथ लंबा है?

मान लीजिए त्रिज्याएँ $a', b', c', d'$ हैं। प्रथम पथ $= \frac12(2\pi)a' = \pi a'$ ; द्वितीय पथ $= \pi(b' + c' + d')$ । PQ $= 2a'$ है और PQ $= 2b' + 2c' + 2d'$ भी, अतः $a' = b' + c' + d'$ ।

उत्तर: दोनों पथों की लंबाई समान है, छोटे अर्द्धवृत्त कैसे भी हों।

5 आयत और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

कंठस्थ करेंपरिभाषा 5

क्षेत्रफल किसी समतल में द्वि-विमीय क्षेत्र द्वारा घेरे गए ‘स्थान का माप’ है। माप सदैव एक इकाई के सापेक्ष होता है: क्षेत्रफल की इकाई $1 \times 1$ वर्ग है, जिसका क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई लिया जाता है।

आकृति	क्षेत्रफल	क्यों
आयत, भुजाएँ $a$ , $b$	$ab$ वर्ग इकाई	कक्षा 8 से ज्ञात
वर्ग, भुजा $a$	$a^2$ वर्ग इकाई	आयत की विशेष स्थिति, $b = a$
समांतर चतुर्भुज, आधार $b$ , ऊँचाई $h$	$bh$	काटकर समान आधार और ऊँचाई वाले आयत में बदला जा सकता है
त्रिभुज, आधार $b$ , ऊँचाई $h$	$\frac12 bh$	समांतर चतुर्भुज का आधा (भाग 6)
समलंब चतुर्भुज, समांतर भुजाएँ $a$ , $b$ , ऊँचाई $h$	$\frac12(a+b)h$	दो प्रतियाँ मिलकर आधार $a+b$ का समांतर चतुर्भुज (अध्याय के अंत के प्रश्न)
समचतुर्भुज या पतंग, विकर्ण $d_1$ , $d_2$	$\frac12 d_1 d_2$	एक विकर्ण पर बने दो त्रिभुज (अध्याय के अंत के प्रश्न)

समांतर चतुर्भुज: पुस्तक के चित्र 6.17 में समांतर चतुर्भुज ABCD की प्रतिकृति A′B′C′D′ को समान आधार $b$ और समान ऊँचाई $h$ वाले आयत EB′C′F में बदला गया है।
दोनों आकृतियाँ भिन्न हैं, फिर भी क्षेत्रफल समान है: आधार × ऊँचाई $= bh$ ।
संकरा समांतर चतुर्भुज: यदि C से AD पर डाले गए लंब का पाद भुजा AD पर न हो, तो यह रचना सीधे काम नहीं करती।
इसका हल: DA पर D के निकट बिंदु D′ और DA को आगे बढ़ाकर बिंदु A′ चुनिए, जहाँ A′A = D′D हो।
तब A′BCD′ एक समांतर चतुर्भुज है, और △CDD′ ≅ △BAA′ होने से इसका क्षेत्रफल ABCD के समान है। इस चरण को आवश्यकतानुसार कई बार दोहराइए।
क्या केवल भुजाओं से समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मिल सकता है? नहीं। भुजाओं की लंबाई स्थिर रखकर आसन्न भुजाओं के बीच का कोण घटाएँ या बढ़ाएँ, तो ऊँचाई बदलती है और क्षेत्रफल भी बदल जाता है। (90° कोण वाले आयत का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।)

6 त्रिभुज का क्षेत्रफल

6.1 सूत्र तक पहुँचने के तीन तरीके

आयत के अंदर रखकर

समकोण त्रिभुज $b \times h$ आयत का आधा है। किसी और त्रिभुज में ऊँचाई आधार को $b_1 + b_2 = b$ में बाँटती है, इसलिए क्षेत्रफल $\frac12 b_1 h + \frac12 b_2 h = \frac12 bh$ ।

अधिककोण त्रिभुज

यदि F पर कोण अधिककोण हो, तो E से ऊँचाई बाहर, बढ़ाई गई GF पर बिंदु M पर गिरती है (FM = $x$ )। तब △EFG = △EMG − △EMF $= \frac12(b+x)h – \frac12 xh = \frac12 bh$ ।

दो सर्वांगसम प्रतियाँ

त्रिभुज की दो सर्वांगसम प्रतियाँ मिलकर एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं (∠B′C′A′ = ∠BCA एकांतर कोण हैं, अतः भुजाएँ समांतर हैं)। त्रिभुज इसका आधा है: $\frac12 bh$ ।

सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= \dfrac12 \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \dfrac12 bh

6.2 त्रिभुज की माध्यिका का गुण

कंठस्थ करेंपरिभाषा 6

त्रिभुज की माध्यिका वह रेखाखंड है जो त्रिभुज के किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से मिलाता है।

चित्र 6: AD, △ABC की माध्यिका है, अतः BD = DC = a। △ABD और △ACD की ऊँचाई h एक ही है। — **चित्र 6**: AD, △ABC की माध्यिका है, अतः BD = DC = a। △ABD और △ACD की ऊँचाई h एक ही है।

प्रमेय

त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।

उपपत्ति: △ABD और △ACD के आधार समान हैं (BD = DC = $a$ ) और A से ऊँचाई $h$ भी समान है, अतः दोनों का क्षेत्रफल $\frac{ah}{2}$ वर्ग इकाई है। यह आश्चर्यजनक है, क्योंकि दोनों त्रिभुज सामान्यतः भिन्न आकार के होते हैं (सर्वांगसम नहीं)।

सोचिए और विचार कीजिए: △ABD को सीधी रेखाओं से टुकड़ों में काटकर △ACD को पूरा ढका जा सकता है। पुस्तक बताती है कि यह संभव है, पर कम-से-कम कितने टुकड़े चाहिए, यह आपको स्वयं खोजना है।
सोचिए और विचार कीजिए: समान क्षेत्रफल वाले दो बहुभुजों में क्या एक को काटकर दूसरा बनाया जा सकता है? वर्ग और गैर-वर्गाकार आयत, भिन्न आकृति के दो त्रिभुज, और एक त्रिभुज तथा एक वर्ग पर आज़माकर अपनी परिकल्पना बनाइए।
40 इकाई परिमाप वाले आयत: $a + b = 20$ , इसलिए ऐसे अनगिनत आयत हैं (भुजाएँ पूर्णांक होना ज़रूरी नहीं)।
इनमें सबसे अधिक क्षेत्रफल वर्ग $10 \times 10 = 100$ वर्ग इकाई का है।
सबसे कम क्षेत्रफल वाला कोई आयत नहीं है: $19.9 \times 0.1$ आयत का क्षेत्रफल केवल 1.99 है, और क्षेत्रफल 0 तक पहुँचे बिना जितना चाहें उतना छोटा हो सकता है।

7 हीरोन का सूत्र

हीरोन यूनान देश के गणितज्ञ और आविष्कारक थे।
उन्होंने प्राचीन मिस्र में नील नदी के किनारे स्थित शहर अलेक्जेंड्रिया के संग्रहालय में पढ़ाया था।
उनका सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल केवल तीनों भुजाओं से देता है, ऊँचाई की ज़रूरत नहीं होती।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 7

त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप $s$ उसके परिमाप का आधा होता है: $s = \frac12(a + b + c)$ ।

हीरोन का सूत्र

△ABC का क्षेत्रफल

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

, जहाँ

s = \dfrac{a+b+c}{2}

a = BC

b = CA

c = AB

पुस्तक का उदाहरण	हीरोन के सूत्र से	½ × आधार × ऊँचाई से जाँच
उदाहरण 3: समबाहु, भुजा $a$	$s = \frac32 a$ ; क्षेत्रफल $= \sqrt{\frac32 a \cdot \frac12 a \cdot \frac12 a \cdot \frac12 a} = \frac{\sqrt3}{4}a^2$	$h^2 = a^2 – \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$ , ∴ $h = \frac{\sqrt3}{2}a$ ; क्षेत्रफल $= \frac12 \cdot a \cdot \frac{\sqrt3}{2}a = \frac{\sqrt3}{4}a^2$
उदाहरण 4: समद्विबाहु, समान भुजाएँ $a$ , आधार $2b$	$s = a + b$ ; क्षेत्रफल $= \sqrt{(a+b)(b)(b)(a-b)} = b\sqrt{a^2 – b^2}$	$h = \sqrt{a^2 – b^2}$ ; क्षेत्रफल $= \frac12 \cdot 2b \cdot \sqrt{a^2-b^2} = b\sqrt{a^2-b^2}$
उदाहरण 5: भुजाएँ 3, 4, 5	$s = 6$ ; क्षेत्रफल $= \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = 6$	$3^2 + 4^2 = 5^2$ , अतः बौधायन-पाइथागोरस कर्ण प्रमेय के विलोम से B पर समकोण; क्षेत्रफल $= \frac12(3 \times 4) = 6$

ध्यान दीजिए

प्रतीक ∴ का अर्थ ‘इसलिए’ है; गणितज्ञ इसका प्रायः उपयोग करते हैं। हीरोन के सूत्र के कई प्रमाण ज्ञात हैं; एक में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय और ‘दो वर्गों के अंतर’ का सूत्र $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ बार-बार लगता है। कुछ प्रमाण आप कक्षा 10 में पढ़ेंगे।

दिया है

भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी, 15 सेमी वाला त्रिभुज

ज्ञात करना है

हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल

हल

$s = \frac{13+14+15}{2} = 21$ । क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = \;$ $84$ वर्ग सेमी

7.1 दो और सूत्र: परिवृत्त और अंतर्वृत्त

कंठस्थ करेंपरिभाषा 8

किसी त्रिभुज ABC के तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाला केवल एक ही वृत्त होता है, जिसे △ABC का परिवृत्त कहते हैं। इसकी त्रिज्या $R$ है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 9

△ABC के अंदर ठीक से बैठने वाला और तीनों भुजाओं को स्पर्श करने वाला एक ही वृत्त होता है, जिसे △ABC का अंतर्वृत्त कहते हैं। इसकी त्रिज्या $r$ है।

चित्र 7: परिवृत्त A, B और C से होकर गुजरता है (त्रिज्या R); अंतर्वृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है (त्रिज्या r)। — **चित्र 7**: परिवृत्त A, B और C से होकर गुजरता है (त्रिज्या R); अंतर्वृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है (त्रिज्या r)।

सूत्र

△ABC का क्षेत्रफल

= \dfrac{abc}{4R}

और △ABC का क्षेत्रफल

= \dfrac{r(a+b+c)}{2}

दोनों सूत्रों में आकर्षक समरूपता है। दूसरा सूत्र

r \times s

है; इसके प्रमाण के लिए कक्षा 10 का एक परिणाम चाहिए।

3, 4, 5 त्रिभुज पर जाँच

यह समकोण त्रिभुज है, इसलिए इसके परिवृत्त का व्यास कर्ण है: $R = 2.5$ । तब $\frac{abc}{4R} = \frac{3 \times 4 \times 5}{10} = 6$ । इसके अंतर्वृत्त की त्रिज्या $r = 1$ है, और $\frac{r(a+b+c)}{2} = \frac{1 \times 12}{2} = 6$ । दोनों उत्तर हीरोन के उत्तर, 6 वर्ग इकाई, से मिलते हैं।

8 चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र

हीरोन का सूत्र तीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है। क्या चार भुजाओं से चतुर्भुज का क्षेत्रफल मिल सकता है? नहीं।

भुजाएँ 3, 3, 3, 3 वाला चतुर्भुज (समचतुर्भुज)	क्षेत्रफल
वर्ग जैसा	9
थोड़ा झुका हुआ	8.01
और अधिक झुका हुआ	5.41

पुस्तक ने ये आकृतियाँ ‘जियोज्रेबा’ से बनाकर ‘एरिया टूल’ से क्षेत्रफल ज्ञात किया है (चार छड़ों को सिरों से जोड़कर भी यह देखा जा सकता है)।
भुजाएँ समान, फिर भी क्षेत्रफल अलग-अलग: इसलिए और जानकारी चाहिए।
यह जानकारी एक कोण, एक विकर्ण की लंबाई, विकर्णों के प्रतिच्छेद का कोण, या आकृति का कोई प्रमुख ज्यामितीय गुण हो सकती है, जैसे चतुर्भुज का चक्रीय होना।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 10

चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।

ब्रह्मगुप्त का सूत्र (628 सामान्य संवत)

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

, जहाँ

s = \dfrac{a+b+c+d}{2}

भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598-668 सामान्य संवत) ने 628 सामान्य संवत में इसका अन्वेषण किया। यह केवल चक्रीय चतुर्भुज पर लागू होता है। यह हीरोन के सूत्र की याद दिलाता है।

8.1 विशेष चतुर्भुजों पर सूत्र की जाँच

उदाहरण 6: आयत

सभी आयत चक्रीय होते हैं। भुजाएँ $a, b, a, b$ : $s = a + b$ , अतः क्षेत्रफल $= \sqrt{(b)(a)(b)(a)} = \sqrt{ab \cdot ab} = ab$ , जो सत्य है।

उदाहरण 7: समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज

सभी समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज चक्रीय होते हैं। समांतर भुजाएँ $2a$ , $2b$ , समान भुजाएँ $c$ : $s = a + b + c$ , और सूत्र सरल होकर $(a+b)\sqrt{c^2 – (b-a)^2}$ बनता है। ऊँचाई $h = \sqrt{c^2 – (b-a)^2}$ है, अतः यह $(a+b)h$ है: समांतर भुजाओं के योग का आधा × उनके बीच की दूरी।

दिया है

भुजाएँ 5, 5, 12, 12 इकाई वाला चक्रीय चतुर्भुज

ज्ञात करना है

क्षेत्रफल

हल

$s = \frac{5+5+12+12}{2} = 17$ । क्षेत्रफल $= \sqrt{(17-5)(17-5)(17-12)(17-12)} = \sqrt{12 \times 12 \times 5 \times 5} = 12 \times 5 = \;$ $60$ वर्ग इकाई

8.2 गणित में विशेष स्थितियाँ और व्यापकीकरण

कंठस्थ करेंपरिभाषा 11

किसी व्यापक परिणाम में कोई अतिरिक्त शर्त लगाने पर जो परिणाम मिलता है, वह उसकी विशेष स्थिति है। व्यापक परिणाम को उस विशेष स्थिति का व्यापकीकरण कहते हैं। व्यापकीकरण की प्रक्रिया गणित का एक अत्यंत महत्त्वपूर्ण भाग है।

व्यापक परिणाम	अतिरिक्त शर्त	विशेष स्थिति
आयत: $A = ab$ , परिमाप $2(a+b)$	$b = a$	वर्ग: $A = a^2$ , परिमाप $4a$
समकोण △, ∠C = 90°: $a^2 + b^2 = c^2$	$a = b$ (समद्विबाहु)	$c^2 = 2a^2$ , अतः $c = a\sqrt2$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$	$c = 0$	$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$
ब्रह्मगुप्त: $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$	$d = 0$	हीरोन: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

8.3 ब्रह्मगुप्त का सूत्र हीरोन के सूत्र का व्यापकीकरण

चरण 1भुजाएँ

a, b, c

वाला त्रिभुज ऐसा चतुर्भुज ABCD है जिसकी चौथी भुजा की लंबाई

d = 0

है: AB =

a

, BC =

b

, CD =

c

, और शीर्ष A तथा D संपाती हैं

↓

चरण 2कोई भी त्रिभुज चक्रीय होता है (एक सीधी रेखा में न हों ऐसे किन्हीं तीन बिंदुओं से वृत्त खींचा जा सकता है), इसलिए यह चतुर्भुज भी चक्रीय है और ब्रह्मगुप्त का सूत्र लागू होता है

↓

चरण 3

s = \frac12(a+b+c+0) = \frac12(a+b+c)

, जो त्रिभुज का ही अर्द्ध-परिमाप है, और

s – d = s

↓

परिणामक्षेत्रफल

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

: यही हीरोन का सूत्र है

क्या आप जानते हैं?

यदि शीर्ष ग्रह हों, तो A और D का संपाती होना दो ग्रहों का आपस में टकराकर एक विशाल ग्रह बनना होगा। पुस्तक बताती है कि सौरमंडल के प्रारंभिक इतिहास में वास्तव में ऐसा हुआ था।

9 आयत को वर्ग बनाना

कंठस्थ करेंपरिभाषा 12

प्राचीन काल में किसी आकृति को वर्ग करने का अर्थ था: उस आकृति के क्षेत्रफल के समान क्षेत्रफल वाला एक वर्ग बनाना। आकृति आयत, त्रिभुज या वृत्त हो सकती थी।

प्राचीन भारतीय गणितज्ञ बौधायन ने अपने शुल्बसूत्र (800 सामान्य संवत पूर्व) में आयत को वर्ग बनाने की रचना दी।
भुजाएँ $a$ और $b$ ( $a \gt b$ ) वाले आयत के लिए हमें $ab$ वर्ग इकाई क्षेत्रफल वाला वर्ग बनाना है।
नीचे इस रचना का एक सरलीकृत रूप है।

दिया हैआयत ABCD, जिसमें AD =

a

, AB =

b

a \gt b

↓

चरण 1AD पर बिंदु E इस प्रकार लीजिए कि AE = AB हो

↓

चरण 2ED का मध्यबिंदु F ज्ञात कीजिए

↓

चरण 3भुजा AF वाला वर्ग AFGH खींचिए, जिसका शीर्ष H, AB को आगे बढ़ाने पर मिले

↓

चरण 4H को केंद्र मानकर चाप AG खींचिए; यह चाप भुजा BC को K पर काटे

↓

चरण 5K से होकर AH के समांतर रेखा खींचिए; यह GH को P पर काटे

↓

परिणामHP को भुजा मानकर वर्ग HPQS बनाइए: इसका क्षेत्रफल आयत ABCD के क्षेत्रफल के समान है

चित्र 8: a = 9, b = 4 के लिए बौधायन की रचना। छायांकित वर्ग HPQS की भुजा 6 है, अतः इसका क्षेत्रफल 36, आयत के क्षेत्रफल 9 × 4 के समान है। — **चित्र 8**: a = 9, b = 4 के लिए बौधायन की रचना। छायांकित वर्ग HPQS की भुजा 6 है, अतः इसका क्षेत्रफल 36, आयत के क्षेत्रफल 9 × 4 के समान है।

यह रचना सूत्र $\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2 = ab$ का ज्यामितीय रूप है।

AF = \dfrac{AE + AD}{2} = \dfrac{a+b}{2}

F, ED का मध्यबिंदु है और AE =

b

HG = \dfrac{a+b}{2} = HK

वर्ग AFGH की भुजा; HK चाप की त्रिज्या है

BH = AH – AB = AF – AB = \dfrac{a+b}{2} – b = \dfrac{a-b}{2}

AH = AF (वर्ग)

HP^2 = HK^2 – BH^2 = \dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} – \dfrac{a^2-2ab+b^2}{4} = ab

समकोण △HKP में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय, जहाँ KP = BH

वर्ग HPQS का क्षेत्रफल

= HP^2 = ab

= आयत ABCD का क्षेत्रफल

सोचिए और विचार कीजिए: त्रिभुज से वर्ग

पहले त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले आयत में बदलिए (आधार $b$ और ऊँचाई $\frac{h}{2}$ , क्योंकि $\frac12 bh = b \times \frac{h}{2}$ ), फिर उस आयत को बौधायन की रचना से वर्ग बनाइए।

10 वृत्त का क्षेत्रफल

वृत्त एक अत्यंत सरल आकृति है: एक रस्सी और खूँटी से इसे आसानी से बनाया जा सकता है।
मनुष्य हज़ारों वर्षों से अपनी बस्तियों, इमारतों और औज़ारों में वृत्ताकार आकृति का उपयोग करते आ रहे हैं।
प्राचीन लोगों को वृत्त का क्षेत्रफल जानना था: एक बेलनाकार मीनार (जिसकी अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार हो) में कितना अनाज रखा जा सकता है, वृत्ताकार बगीचा या भवन कितना क्षेत्रफल घेरता है।
इसकी ज़रूरत शहरों की योजना बनाने और कर प्रबंधन के लिए थी।

10.1 क्षेत्रफल परिधि के वर्ग का समानुपाती क्यों है

आकृति	परिमाप P	क्षेत्रफल A	P² : A
वर्ग, भुजा $a$	$4a$	$a^2$	$16a^2 : a^2 = 16 : 1$
समबाहु त्रिभुज, भुजा $a$	$3a$	$\frac{\sqrt3}{4}a^2$	$9a^2 : \frac{\sqrt3}{4}a^2 = 36 : \sqrt3$

हर आकृति के लिए अनुपात P² : A केवल आकृति पर निर्भर करता है, उसके पैमाने पर नहीं। इसलिए वृत्त के लिए भी C² : A कोई अचर होना चाहिए। प्रश्न था: कौन-सा अचर?

1500 सामान्य संवत पूर्व से बहुत पहले: बेबीलोनवासीवास्तविक माप से पाया कि C² : A ≈ 12 : 1, अतः

A \approx \dfrac{C^2}{12}

लगभग 1500 सामान्य संवत पूर्व: प्राचीन मिस्रवासीकहीं अधिक उपयुक्त सूत्र:

A \approx \left(\dfrac{8d}{9}\right)^2 = \dfrac{64}{81}(4r^2) = \dfrac{256}{81}r^2

800 सामान्य संवत पूर्व: बौधायन शुल्बसूत्रयही सूत्र, वृत्त के लगभग समान क्षेत्रफल वाला वर्ग बनाने की ज्यामितीय विधि के रूप में

प्राचीन यूनानीजानते थे कि

\dfrac{A}{r^2}

एक अचर है, पर उसका मान नहीं जानते थे; दो सभ्यताओं ने इसे लगभग

\dfrac{256}{81}

माना था

250 सामान्य संवत पूर्व: आर्किमिडीजदर्शाया कि यह अचर ठीक π है, वही अचर जो परिधि के सूत्र में आता है:

A = \pi r^2

लगभग 1500: नीलकंठ सोमयाजीआर्यभटीय पर अपनी टिप्पणी में टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने वाली दृश्य व्याख्या दी

बेबीलोनियों का मान जाँचिए

$C = 2\pi r$ और $A = \pi r^2$ लेने पर $C^2 : A = 4\pi^2 r^2 : \pi r^2 = 4\pi$ । इसे 12 मानना, π ≈ 3 मानने के बराबर है।

10.2 आर्किमिडीज: वृत्त एक त्रिभुज के रूप में

“वृत्त का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान होता है, जिसकी भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या और परिधि के समान होती हैं।”

आर्किमिडीज, पुस्तक के अनुसार

सूत्र

वृत्त का क्षेत्रफल

= \dfrac12 \times \text{परिधि} \times \text{त्रिज्या} = \dfrac12 \times 2\pi r \times r = \pi r^2

उनका प्रमाण सभी नियमित बहुभुजों के एक साझा गुण पर आधारित है: क्षेत्रफल $= \frac12 \times$ बहुभुज का परिमाप $\times$ बहुभुज के भीतर ठीक से बैठने वाले वृत्त की त्रिज्या।
इस सूत्र का प्रमाण, त्रिभुज के क्षेत्रफल को अंतर्वृत्त की त्रिज्या से व्यक्त करने वाले सूत्र ( $r \times s$ ) के प्रमाण का विस्तार है।
फिर उन्होंने एक विचार प्रयोग किया: नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ती जाए तो क्या होगा? बहुभुज वृत्त के निकट पहुँचता है, उसका परिमाप $2\pi r$ के निकट, और क्षेत्रफल $\frac12 \times 2\pi r \times r = \pi r^2$ हो जाता है।

10.3 नीलकंठ की दृश्य व्याख्या

चित्र 9: टुकड़ों में कटा हुआ वृत्त। जैसे-जैसे टुकड़े पतले होते जाते हैं, उन्हें साथ रखने पर वे समांतर चतुर्भुज जैसे बन जाते हैं, जिससे क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = πr × r = πr² मिलता है। — **चित्र 9**: टुकड़ों में कटा हुआ वृत्त। जैसे-जैसे टुकड़े पतले होते जाते हैं, उन्हें साथ रखने पर वे समांतर चतुर्भुज जैसे बन जाते हैं, जिससे क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = πr × r = πr² मिलता है।

चरण 1वृत्त को कई पतले, बराबर टुकड़ों में काटकर उन्हें एक के बाद एक, बारी-बारी से ऊपर और नीचे नोक करके रखिए

↓

चरण 2टुकड़े जितने छोटे होते हैं, चाप उतने ही रेखा के पास आते हैं: आकृति समांतर चतुर्भुज के निकट पहुँचती है

↓

चरण 3आधार = परिधि का आधा =

\pi r

(आधे टुकड़ों के चाप नीचे की ओर हैं); ऊँचाई = त्रिज्या

r

↓

परिणामवृत्त का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई =

\pi r \times r = \pi r^2

11 त्रिज्यखंड और खंड का क्षेत्रफल

कंठस्थ करेंपरिभाषा 13

वृत्त का त्रिज्यखंड वह क्षेत्र है जो एक चाप और उसके सिरों को जोड़ने वाली दोनों त्रिज्याओं से घिरा होता है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 14

वृत्त का खंड (वृत्तखंड) वह क्षेत्र है जो वृत्त की एक चाप और उसके सिरों को मिलाने वाली जीवा से घिरा होता है।

चित्र 10: त्रिज्यखंड (बाएँ) दो त्रिज्याओं से कटता है; खंड (दाएँ) एक जीवा से कटता है। — **चित्र 10**: त्रिज्यखंड (बाएँ) दो त्रिज्याओं से कटता है; खंड (दाएँ) एक जीवा से कटता है।

क्षेत्र	वृत्त का भाग	क्षेत्रफल	उपयोग की गई समरूपता
अर्द्धवृत्ताकार चक्रिका (डिस्क)	$\frac{180}{360} = \frac12$	$\frac12\pi r^2$	परावर्तन समरूपता
चतुर्थांश वृत्ताकार चक्रिका	$\frac{90}{360} = \frac14$	$\frac14\pi r^2$	चौथाई घुमाव वाली समरूपता
कोण $\theta°$ वाला त्रिज्यखंड	$\frac{\theta}{360}$	$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$	घूर्णन सममिति

सूत्र

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= \pi r^2 \times \dfrac{\theta°}{360°}

चाप की लंबाई जैसा ही विचार: त्रिज्यखंड पूरी चक्रिका का

\frac{\theta}{360}

भाग है

एक जीवा वृत्त को लघु भाग (छोटा कोण $\theta$ ) और दीर्घ भाग (कोण $360° – \theta$ ) में बाँटती है; यह त्रिज्यखंड और खंड दोनों पर लागू है।
लघु खंड = त्रिज्यखंड − दो त्रिज्याओं और जीवा से बना त्रिभुज।
दीर्घ खंड = पूरा वृत्त − लघु खंड।

दिया है

त्रिज्या $= 14$ सेमी, त्रिज्यखंड कोण $= 75°$

ज्ञात करना है

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ( $\pi \approx \frac{22}{7}$ )

हल

क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 14^2 \times \frac{75}{360} = \frac{22}{7} \times 196 \times \frac{5}{24} = \;$ $128.33$ वर्ग सेमी (लगभग)

दिया है

त्रिज्या $10$ सेमी; एक जीवा केंद्र पर $60°$ का कोण बनाती है ( $\pi \approx 3.14$ , $\sqrt3 \approx 1.73$ )

ज्ञात करना है

लघु खंड का क्षेत्रफल

हल

त्रिज्यखंड $= 3.14 \times 100 \times \frac{60}{360} = 52.33$ वर्ग सेमी (लगभग)। दो त्रिज्याएँ और जीवा एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं (दो भुजाएँ 10 और बीच का कोण 60°), क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt3}{4} \times 10^2 = 43.25$ वर्ग सेमी।

लघु खंड $= 52.33 – 43.25 = \;$ $9.08$ वर्ग सेमी (लगभग)

परीक्षा संकेत: पैमाना

किसी आकृति की हर लंबाई दोगुनी करें तो क्षेत्रफल $2^2 = 4$ गुना हो जाता है; तीन गुनी करें तो $3^2 = 9$ गुना। इसीलिए 3 : 2 अनुपात वाली परिधियों के क्षेत्रफल 9 : 4 के अनुपात में होते हैं।

चित्र 11: क्षेत्रफल मॉडल: भुजा a + b वाला वर्ग a², ab, ab और b² में बँटता है, इसलिए (a + b)² = a² + 2ab + b²। — **चित्र 11**: क्षेत्रफल मॉडल: भुजा a + b वाला वर्ग a², ab, ab और b² में बँटता है, इसलिए (a + b)² = a² + 2ab + b²।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचिए

क्या मैं अंतर्गत षट्भुज से समझा सकता हूँ कि π, 3 से अधिक क्यों है, और आर्किमिडीज की सीमाएँ बता सकता हूँ?
क्या मैं जू चोंगजी, आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, माधव, जोन्स और लैम्बर्ट को π से जुड़े उनके काम से मिला सकता हूँ?
क्या मैं चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का परिमाप और दो पथों के बीच का सांतरण ज्ञात कर सकता हूँ?
क्या मैं सिद्ध कर सकता हूँ कि माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों में बाँटती है?
क्या मैं हीरोन और ब्रह्मगुप्त के सूत्र लगा सकता हूँ, और दिखा सकता हूँ कि हीरोन का सूत्र $d = 0$ वाली विशेष स्थिति है?
क्या मैं बौधायन की रचना के चरण लिखकर $HP^2 = ab$ सिद्ध कर सकता हूँ?
क्या मैं वृत्त, त्रिज्यखंड, और लघु या दीर्घ खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकता हूँ?

त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहली रात पढ़ें

π = C/D, सभी वृत्तों के लिए समान; $\pi \approx \frac{22}{7}$ या $3.14$ ; π अपरिमेय है (लैम्बर्ट, 1761)
परिधि $C = 2\pi r$ ; चाप की लंबाई $l = 2\pi r \times \frac{\theta°}{360°}$
π के अनुमानित मान: आर्किमिडीज $3\frac{10}{71} \lt \pi \lt 3\frac17$ ; चोंगजी $\frac{355}{113}$ ; आर्यभट 3.1416; माधव का सटीक सूत्र $\pi = 4\left(1 – \frac13 + \frac15 – \frac17 + \cdots\right)$
सांतरण बाहरी पथों के लंबे वक्रीय खंडों की भरपाई करता है
समांतर चतुर्भुज = $bh$ ; त्रिभुज = $\frac12 bh$ ; माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों में बाँटती है
हीरोन: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , $s = \frac12(a+b+c)$ ; साथ ही $\frac{abc}{4R}$ और $\frac{r(a+b+c)}{2}$
ब्रह्मगुप्त (चक्रीय चतुर्भुज): $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ , $s = \frac12(a+b+c+d)$ ; $d = 0$ से हीरोन
बौधायन ने $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 – \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab$ से आयत को वर्ग बनाया
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ ; त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \pi r^2 \times \frac{\theta°}{360°}$

अभ्यास प्रश्न

1 अंक21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए ( $\pi \approx \frac{22}{7}$ लीजिए)।
2 अंक10.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की उस चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर 60° का कोण बनाती है।
3 अंकहीरोन के सूत्र से 8 सेमी, 15 सेमी, 17 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, और आधार × ऊँचाई से सत्यापित कीजिए।
2 अंक9, 9, 16, 16 इकाई भुजाओं वाले चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंक21 सेमी त्रिज्या और 60° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंकएक पहिए का व्यास 63 सेमी है। 500 चक्करों में यह कितनी दूरी तय करेगा?
1 अंकAD, △ABC की माध्यिका है और △ABC का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। △ABD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंक7 सेमी त्रिज्या और 90° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक पार्क समचतुर्भुज आकार का है जिसकी सभी भुजाएँ 13 मी और एक विकर्ण 24 मी है। हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (दो त्रिभुजों में बाँटकर)।
2 अंकदो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 3 : 2 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकπ है:
(क) ठीक 22/7(ख) एक परिमेय संख्या(ग) एक अपरिमेय संख्या(घ) एक पूर्णांक
1 अंकθ = 180° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:
(क) πr²(ख) πr²/2(ग) πr²/4(घ) 2πr²
1 अंकब्रह्मगुप्त का सूत्र लागू होता है:
(क) किसी भी चतुर्भुज पर(ख) किसी भी समांतर चतुर्भुज पर(ग) केवल चक्रीय चतुर्भुज पर(घ) केवल वर्ग पर

अभिकथन (A): त्रिभुज की माध्यिका उसे सदैव दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटती है।
कारण (R): बने हुए दोनों त्रिभुजों के आधार बराबर हैं और सामने वाले शीर्ष से उनकी ऊँचाई एक ही है।

केस स्टडी

एक वृत्ताकार क्यारी की त्रिज्या 14 मी है। माली क्यारी के 90° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड में फूल लगाता है, और त्रिज्यखंड के वक्र तथा सीधे किनारों के साथ एक पगडंडी बनाता है।

1 अंकत्रिज्यखंड की चाप की लंबाई क्या है ( $\pi \approx \frac{22}{7}$ )?
1 अंकत्रिज्यखंड का परिमाप क्या है (दोनों सीधे किनारों सहित)?
2 अंकफूल लगाने के लिए कितना क्षेत्रफल है?

उत्तर कुंजी

प्र1

2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132

सेमी

प्र2

2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times \frac{60}{360} = 11

सेमी

प्र3

s = 20

; क्षेत्रफल

= \sqrt{20 \times 12 \times 5 \times 3} = \sqrt{3600} = 60

वर्ग सेमी; समकोण भी है (

8^2 + 15^2 = 17^2

\frac12(8)(15) = 60

वर्ग सेमी

प्र4

s = 25

; क्षेत्रफल

= \sqrt{16 \times 16 \times 9 \times 9} = 16 \times 9 = 144

वर्ग इकाई

प्र5

\frac{22}{7} \times 21^2 \times \frac{60}{360} = 231

वर्ग सेमी

प्र6परिधि

= \frac{22}{7} \times 63 = 198

सेमी; दूरी

= 198 \times 500 = 99000

सेमी

= 990

मी

प्र724 वर्ग सेमी (48 का आधा)

प्र8चाप

= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times \frac{90}{360} = 11

सेमी; परिमाप

= 11 + 7 + 7 = 25

सेमी

प्र924 मी का विकर्ण 13, 13, 24 भुजाओं वाले दो त्रिभुज बनाता है:

s = 25

, क्षेत्रफल

= \sqrt{25 \times 12 \times 12 \times 1} = 60

; समचतुर्भुज

= 2 \times 60 = 120

वर्ग मी

प्र10त्रिज्याएँ 3 : 2 में हैं, इसलिए क्षेत्रफल

3^2 : 2^2 = 9 : 4

में

बहुविकल्पीय 1-3(ग) · (ख) · (ग)

अभिकथन/कारण(क) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडी22 मी · 50 मी · 154 वर्ग मी