समष्टि मापन: परिमाप और क्षेत्रफल

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1परिमाप और परिधि

2चाप की लंबाई

3आयत, समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज का क्षेत्रफल

4हीरोन का सूत्र

5चक्रीय चतुर्भुज के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र

6वृत्त और उसके त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ा है

1 · परिमाप और परिधिआकृति के चारों ओर की दूरी; वृत्तों के लिए यह व्यास से अनुपात सदैव π होता है

2 · चाप की लंबाईपूर्ण परिधि का एक भाग, जो केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण से तय होता है

परिमाप और क्षेत्रफल

3 · त्रिभुज और चतुर्भुज का क्षेत्रफलआधार × ऊँचाई, हीरोन का सूत्र, और चक्रीय चतुर्भुज के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र

4 · वृत्त और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफलπr², और लंबाई जैसा ही θ/360 भाग वाला विचार क्षेत्रफल पर लागू

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

चाप और त्रिज्यखंड सहित आकृतियों का परिमाप और परिधि कैसे ज्ञात करें
हीरोन के सूत्र सहित, त्रिभुज का क्षेत्रफल एक से अधिक तरीकों से कैसे ज्ञात करें
ब्रह्मगुप्त के सूत्र से चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी चार भुजाओं से क्यों ज्ञात हो सकता है
वृत्त का क्षेत्रफल πr² और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, दोनों वृत्त की सममिति से कैसे निकलते हैं

परिमापपरिधिचाप की लंबाईहीरोन का सूत्रचक्रीय चतुर्भुजत्रिज्यखंडवृत्तखंड

1परिमाप और परिधि

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

किसी आकृति का परिमाप उसकी सीमा के चारों ओर की कुल दूरी है। वर्ग: $4a$ । समबाहु त्रिभुज: $3a$ । आयत: $2(a+b)$ ।

किसी भी वर्ग के लिए, परिमाप : भुजा सदैव 4 : 1 होता है। किसी भी समबाहु त्रिभुज के लिए, यह सदैव 3 : 1 होता है। वृत्त के लिए, परिधि और व्यास का यह स्थिर अनुपात π (पाई) कहलाता है, और यह हर आकार के वृत्त के लिए समान रहता है।

लगभग 1900 ई. पू., मेसोपोटामियावृत्त की तुलना अंतर्निर्मित षट्भुज से करके π ≈ 3.125 का अनुमान

250 ई. पू., आर्किमिडीज़π को अंतर्वृत्त और परिवृत्त बहुभुजों के बीच बाँधा:

3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}

480 ई., ज़ू छोंगझी

\frac{355}{113} \approx 3.1415929

ज्ञात किया, जो 800 वर्षों तक सबसे सटीक रहा

499 ई., आर्यभट्टπ ≈ 3.1416 दिया, इसे आसन्न (“निकटतम”) कहा, यह संकेत करते हुए कि इसकी कोई ठीक भिन्न नहीं है

14वीं शताब्दी, माधवपहली ठीक अनंत श्रेणी खोजी:

\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots

सामान्य भूल

π अपरिमेय है (लैंबर्ट, 1761 द्वारा सिद्ध), अतः $\pi \ne \dfrac{22}{7}$ ठीक-ठीक। यह केवल एक सुविधाजनक सन्निकटन है। लिखें $\pi \approx \dfrac{22}{7}$ , कभी न लिखें $\pi = \dfrac{22}{7}$ ।

सूत्र

परिधि

= \pi d = 2\pi r

2चाप की लंबाई

चित्र 1: त्रिज्यखंड OAB। चाप AB केंद्र O पर कोण θ° अंतरित करता है। — **चित्र 1**: त्रिज्यखंड OAB। चाप AB केंद्र O पर कोण θ° अंतरित करता है।

अर्धवृत्त (θ = 180°) परिधि का आधा है: $2\pi r \div 2 = \pi r$ । चतुर्थांश वृत्त (θ = 90°) एक चौथाई है: $\pi r/2$ । सामान्यतः:

सूत्र

चाप की लंबाई

= 2\pi r \times \dfrac{\theta}{360}

\theta

= चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, डिग्री में

दिया है

त्रिज्या $r=6.3$ मी, त्रिज्यखंड कोण $=120°$

ज्ञात करना है

चाप की लंबाई (उपयोग करें $\pi\approx\frac{22}{7}$ )

हल

चाप $=2\times\frac{22}{7}\times6.3\times\frac{120}{360}=2\times\frac{22}{7}\times6.3\times\frac13=\;$ $13.2$ मी

क्या आप जानते हैं? दौड़ ट्रैक पर स्टैगर

400 मी ट्रैक पर, बाहरी लेन के धावक आगे से शुरू करते हैं क्योंकि उनके मुड़े हुए भाग की त्रिज्या बड़ी है, अतः चाप भी लंबा। लेन के बीच का “स्टैगर” इसकी ठीक भरपाई करता है ताकि हर धावक 400 मी दौड़े।

3आयत, समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज का क्षेत्रफल

आकृति	क्षेत्रफल सूत्र
आयत (भुजाएँ $a,b$ )	$ab$
वर्ग (भुजा $a$ )	$a^2$ (आयत की विशेष स्थिति, $b=a$ )
समांतर चतुर्भुज	आधार $\times$ ऊँचाई
त्रिभुज	$\tfrac12 \times$ आधार $\times$ ऊँचाई

चित्र 2: दो सर्वांगसम त्रिभुज मिलकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा होता है। — **चित्र 2**: दो सर्वांगसम त्रिभुज मिलकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई का आधा होता है।

प्रमेय: माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों में बाँटती है

यदि AD, △ABC की माध्यिका है (D, BC का मध्यबिंदु है), तो △ABD और △ACD के आधार समान (BD = DC) और A से ऊँचाई समान है, अतः दोनों का क्षेत्रफल $\tfrac12 \times BD \times h$ है: ठीक बराबर, भले ही दोनों त्रिभुज सामान्यतः भिन्न आकार के हों।

4हीरोन का सूत्र

सूत्र

s=\dfrac{a+b+c}{2}

, क्षेत्रफल

=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

a, b, c

तीन भुजाओं की लंबाइयाँ हैं;

s

अर्द्ध-परिमाप है। ऊँचाई ज्ञात न होने पर भी काम करता है।

दिया है

3, 4, 5 इकाई भुजाओं वाला त्रिभुज

ज्ञात करना है

इसका क्षेत्रफल, और $\tfrac12\times$ आधार $\times$ ऊँचाई से सत्यापन

हल

$s=\dfrac{3+4+5}{2}=6$ । क्षेत्रफल $=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=\sqrt{6\times3\times2\times1}=\sqrt{36}=\;$ $6$ वर्ग इकाई

जाँच: $3^2+4^2=5^2$ , अतः 3, 4 भुजाओं के बीच के शीर्ष पर समकोण है। क्षेत्रफल $=\tfrac12(3)(4)=6$ वर्ग इकाई। मेल खाता है!

त्रिभुज-क्षेत्रफल के दो और सूत्र

क्षेत्रफल $=\dfrac{abc}{4R}$ ( $R$ = परित्रिज्या) और क्षेत्रफल $=rs$ ( $r$ = अंतःत्रिज्या, $s$ = अर्द्ध-परिमाप)। दोनों त्रिभुज के क्षेत्रफल को उससे जुड़े वृत्तों से जोड़ते हैं: परिवृत्त और अंतःवृत्त।

5चक्रीय चतुर्भुज के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र

सामान्य भूल

त्रिभुज के विपरीत, चतुर्भुज का क्षेत्रफल केवल उसकी चार भुजाओं की लंबाइयों से निर्धारित नहीं होता: वही चार भुजाएँ 3, 3, 3, 3 कोणों के अनुसार बहुत भिन्न क्षेत्रफल घेर सकती हैं। सदैव एक अतिरिक्त जानकारी चाहिए (एक कोण, एक विकर्ण, या चक्रीय होने जैसा कोई विशेष गुण)।

सूत्र

s=\dfrac{a+b+c+d}{2}

, क्षेत्रफल

=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

केवल चक्रीय चतुर्भुज के लिए मान्य (ब्रह्मगुप्त, 628 ई.)। जब एक भुजा

d\to0

हो (चतुर्भुज त्रिभुज में सिमट जाता है) तो यह हीरोन के सूत्र में बदल जाता है।

दिया है

5, 5, 12, 12 इकाई भुजाओं वाला चक्रीय चतुर्भुज

ज्ञात करना है

इसका क्षेत्रफल

हल

$s=\dfrac{5+5+12+12}{2}=17$ । क्षेत्रफल $=\sqrt{(17-5)(17-5)(17-12)(17-12)}=\sqrt{12\times12\times5\times5}=12\times5=\;$ $60$ वर्ग इकाई

क्या आप जानते हैं?

बौधायन की शुल्बसूत्र (800 ई. पू.) में बताया गया है कि केवल परकार और रूलर से, किसी दिए गए आयत के बराबर क्षेत्रफल वाला वर्ग कैसे बनाएँ, एक प्राचीन तकनीक जिसे “वर्गीकरण” कहते हैं।

6वृत्त और उसके त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

चित्र 3: टुकड़ों में कटा हुआ वृत्त। जैसे-जैसे टुकड़े पतले होते जाते हैं, उन्हें साथ रखने पर वे समांतर चतुर्भुज जैसे बन जाते हैं, जिससे क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = πr × r = πr² मिलता है। — **चित्र 3**: टुकड़ों में कटा हुआ वृत्त। जैसे-जैसे टुकड़े पतले होते जाते हैं, उन्हें साथ रखने पर वे समांतर चतुर्भुज जैसे बन जाते हैं, जिससे क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = πr × r = πr² मिलता है।

सूत्र

वृत्त का क्षेत्रफल

= \pi r^2

आर्किमिडीज़ (250 ई. पू.) ने इसे नियमित बहुभुजों की सीमा से सिद्ध किया; नीलकंठ (लगभग 1500) ने ऊपर दिखाई गई टुकड़े-पुनर्व्यवस्था विधि दी

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

त्रिज्यखंड वह क्षेत्र है जो एक चाप और उसके अंत्य बिंदुओं तक की दो त्रिज्याओं से घिरा हो। वृत्तखंड वह क्षेत्र है जो एक चाप और उसके अंत्य बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा से घिरा हो।

सूत्र

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= \pi r^2 \times \dfrac{\theta}{360}

अर्धवृत्तीय चक्र

=\tfrac12\pi r^2

; चतुर्थांश चक्र

=\tfrac14\pi r^2

, चाप की लंबाई जैसे ही तर्क से

दिया है

त्रिज्या $=14$ सेमी, त्रिज्यखंड कोण $=75°$

ज्ञात करना है

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (उपयोग करें $\pi\approx\frac{22}{7}$ )

हल

क्षेत्रफल $=\dfrac{22}{7}\times14^2\times\dfrac{75}{360}=\dfrac{22}{7}\times196\times\dfrac{75}{360}=\;$ $128.33$ वर्ग सेमी

वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल दोनों एक ही विचार से आते हैं: इसे पूर्ण के θ/360 भाग में काटें, या इतना पतला काटें कि वक्र सीधी रेखाएँ बन जाएँ।

इस अध्याय से याद रखने वाली एक ही बात

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं वृत्त की परिधि, चाप की लंबाई, और त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कर सकता हूँ?
क्या मैं हीरोन का सूत्र लगा सकता हूँ, और संभव होने पर ½ × आधार × ऊँचाई से जाँच सकता हूँ?
क्या मैं चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र उपयोग कर सकता हूँ?
क्या मैं वृत्त और किसी त्रिज्यखंड या अर्धवृत्तीय/चतुर्थांश चक्र का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकता हूँ?

त्वरित पुनरावलोकन: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

परिधि $=2\pi r$ ; चाप की लंबाई $=2\pi r\times\frac{\theta}{360}$
π अपरिमेय है; $\pi\approx\frac{22}{7}$ या $3.14$ , कभी ठीक बराबर नहीं
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac12$ आधार × ऊँचाई $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ (हीरोन का)
माध्यिका त्रिभुज को दो समान-क्षेत्रफल त्रिभुजों में बाँटती है
चक्रीय चतुर्भुज क्षेत्रफल (ब्रह्मगुप्त): $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^2$ ; त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\pi r^2\times\frac{\theta}{360}$

अभ्यास प्रश्न

1 अंक21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए (उपयोग करें $\pi\approx\frac{22}{7}$ )।
2 अंक10.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 60° केंद्रीय कोण वाले चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
3 अंकहीरोन के सूत्र से 8 सेमी, 15 सेमी, 17 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, और आधार × ऊँचाई से सत्यापित कीजिए।
2 अंक9, 9, 16, 16 इकाई भुजाओं वाले चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंक21 सेमी त्रिज्या और 60° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंकएक पहिए का व्यास 63 सेमी है। 500 चक्करों में यह कितनी दूरी तय करेगा?
3 अंक△ABC की माध्यिका AD है, जिसका क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। △ABD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 अंक7 सेमी त्रिज्या और 90° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक पार्क समचतुर्भुज आकार का है जिसकी सभी भुजाएँ 13 मी और एक विकर्ण 24 मी है। हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (दो त्रिभुजों में बाँटकर)।
2 अंकदो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 3:2 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकπ है:
(a) ठीक-ठीक 22/7(b) एक परिमेय संख्या(c) एक अपरिमेय संख्या(d) एक पूर्णांक
1 अंकθ = 180° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:
(a) πr²(b) πr²/2(c) πr²/4(d) 2πr²
1 अंकब्रह्मगुप्त का सूत्र लागू होता है:
(a) किसी भी चतुर्भुज पर(b) किसी भी समांतर चतुर्भुज पर(c) केवल चक्रीय चतुर्भुज पर(d) केवल वर्ग पर

अभिकथन (A): त्रिभुज की माध्यिका उसे सदैव दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटती है।
तर्क (R): बनने वाले दोनों त्रिभुजों के आधार समान हैं और वे सम्मुख शीर्ष से समान ऊँचाई साझा करते हैं।

केस स्टडी

एक गोलाकार फूलों की क्यारी की त्रिज्या 14 मी है। एक माली क्यारी के 90° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड में फूल लगाना चाहता है, और त्रिज्यखंड के घुमावदार व सीधे किनारों पर एक पथ बनाना चाहता है।

1 अंकत्रिज्यखंड की चाप लंबाई क्या है (उपयोग करें $\pi\approx\frac{22}{7}$ )?
1 अंकत्रिज्यखंड का परिमाप क्या है (दोनों सीधे किनारों सहित)?
2 अंकफूल लगाने के लिए कितना क्षेत्रफल होगा?

उत्तर कुंजी

प्र1

2\times\frac{22}{7}\times21=132

सेमी

प्र2

2\times\frac{22}{7}\times10.5\times\frac{60}{360}=11

सेमी

प्र3

s=20

; क्षेत्रफल

=\sqrt{20\times12\times5\times3}=\sqrt{3600}=60

वर्ग सेमी; समकोण भी है (

8^2+15^2=17^2

\tfrac12(8)(15)=60

वर्ग सेमी

प्र4

s=25

; क्षेत्रफल

=\sqrt{16\times16\times9\times9}=16\times9=144

वर्ग इकाई

प्र5

\frac{22}{7}\times21^2\times\frac{60}{360}=231

वर्ग सेमी

प्र6परिधि

=\frac{22}{7}\times63=198

सेमी; दूरी

=198\times500=99000

सेमी

=990

मी

प्र724 वर्ग सेमी (48 का आधा)

प्र8चाप

=2\times\frac{22}{7}\times7\times\frac{90}{360}=11

सेमी; परिमाप

=11+7+7=25

सेमी

प्र9हर अर्ध-विकर्ण समचतुर्भुज को 13,13,24 भुजाओं वाले 2 त्रिभुजों में बाँटता है:

s=25

, क्षेत्रफल

=\sqrt{25\times12\times12\times1}=60

; कुल समचतुर्भुज क्षेत्रफल

=2\times60=120

वर्ग मी

प्र10परिधि अनुपात 3:2 का अर्थ त्रिज्या अनुपात भी 3:2, अतः क्षेत्रफल अनुपात

=3^2:2^2=9:4

बहुविकल्पीय 1–3(c) · (b) · (c)

अभिकथन/तर्कA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडी22 मी · 50 मी · 154 वर्ग मी