मैं ऊपर-नीचे, और गोल-गोल: वृत्त

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1परिभाषाएँ और सममिति

2बिंदुओं से गुज़रने वाले वृत्त

3जीवाएँ, कोण, और केंद्र से दूरी

4चाप द्वारा अंतरित कोण

5संवृत्तीय बिंदु और चक्रीय चतुर्भुज

अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ा है

1 · बिंदुओं से गुज़रने वाले वृत्तदो बिंदु अनंत वृत्त देते हैं; तीन असंरेखीय बिंदु ठीक एक वृत्त देते हैं: परिवृत्त

2 · जीवाएँ और केंद्रसमान जीवाएँ, केंद्र पर समान कोण, और केंद्र से समान दूरी, ये तीनों एक-दूसरे को दर्शाते हैं

वृत्त

3 · चाप और अंतरित कोणकिसी चाप का केंद्र पर कोण सदैव वृत्त पर किसी भी अन्य बिंदु पर उसके कोण का दुगना होता है

4 · संवृत्तीय बिंदुकिसी जीवा पर समान कोण, या सम्मुख कोणों का योग 180°, दोनों चार बिंदुओं को एक ही वृत्त पर ले आते हैं

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

किन्हीं भी तीन असंरेखीय बिंदुओं से ठीक एक वृत्त क्यों गुज़रता है
समान जीवाएँ, केंद्र पर समान कोण, और केंद्र से समान दूरी आपस में कैसे जुड़ी हैं
किसी चाप का केंद्र पर कोण सदैव वृत्त के किनारे पर उसके कोण का दुगना क्यों होता है
चार बिंदु संवृत्तीय कब होते हैं, और चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° क्यों होता है

जीवाव्यासपरिवृत्तपरिकेंद्रसंवृत्तीयचक्रीय चतुर्भुजचापअंतरित कोण

1परिभाषाएँ और सममिति

चित्र 1: वृत्त के भाग: केंद्र O, त्रिज्या OQ, व्यास PQ (केंद्र से गुज़रने वाली जीवा), और जीवा BC। — **चित्र 1**: वृत्त के भाग: केंद्र O, त्रिज्या OQ, व्यास PQ (केंद्र से गुज़रने वाली जीवा), और जीवा BC।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

वृत्त किसी समतल में एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर स्थित सभी बिंदुओं का बिंदुपथ है। जीवा वृत्त पर किन्हीं भी दो बिंदुओं को जोड़ती है; व्यास केंद्र से गुज़रने वाली जीवा है, जो सबसे लंबी संभावित जीवा है।

सममिति

वृत्त में अपने केंद्र के परितः पूर्ण घूर्णन सममिति होती है (किसी भी कोण से घुमाने पर वह अपरिवर्तित रहता है) और हर व्यास के अनुदिश परावर्तन सममिति होती है।

2बिंदुओं से गुज़रने वाले वृत्त

दो बिंदुओं A, B से अनंत वृत्त गुज़रते हैं, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित हर बिंदु को केंद्र मानकर एक वृत्त बनता है (क्योंकि उस पर स्थित हर बिंदु A और B से समदूरस्थ है)।

चित्र 2: त्रिभुज ABC का परिवृत्त: O, A, B और C से समदूरस्थ है, अतः OA = OB = OC परित्रिज्या है। — **चित्र 2**: त्रिभुज ABC का परिवृत्त: O, A, B और C से समदूरस्थ है, अतः OA = OB = OC परित्रिज्या है।

प्रमेय 1

किन्हीं भी तीन असंरेखीय बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय वृत्त गुज़रता है

O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है (चूँकि OA = OB चाहिए)A, B से समदूरस्थ कोई भी केंद्र उस समद्विभाजक पर होना चाहिए

O, AC के लंब समद्विभाजक पर भी स्थित है (चूँकि OA = OC)A, C पर वही तर्क लागू

दो असमांतर रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं, अतः O अद्वितीय हैA, B, C असंरेखीय हैं इसलिए ये समद्विभाजक समांतर नहीं हैं

O केंद्र और OA त्रिज्या वाला वृत्त A, B, C से होकर गुज़रता हैरचना से, OA = OB = OC

परिकेंद्र कहाँ स्थित होता है

न्यूनकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र O त्रिभुज के भीतर होता है। अधिककोण त्रिभुज के लिए, O बाहर होता है। समकोण त्रिभुज के लिए, O ठीक कर्ण के मध्यबिंदु पर स्थित होता है।

3जीवाएँ, कोण, और केंद्र से दूरी

प्र 2

समान जीवाएँ → केंद्र पर समान कोण

यदि AB = DE, तो △CAB ≅ △CDE (SSS से, सभी त्रिज्याएँ समान, दी गई जीवाएँ समान), अतः ∠ACB = ∠DCE।

प्र 3

केंद्र पर समान कोण → समान जीवाएँ

विलोम: यदि ∠ACB = ∠DCE, तो △ACB ≅ △DCE (SAS से, दो त्रिज्याएँ और अंतर्विष्ट कोण), अतः AB = DE।

प्र 4

केंद्र से मध्यबिंदु ⊥ जीवा

△CAB समद्विबाहु है (CA = CB), अतः यदि M, AB का मध्यबिंदु है, तो △CMA ≅ △CMB (SAS), जिससे ∠CMA = ∠CMB = 90°।

प्र 5

केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है

प्रमेय 4 का विलोम: केंद्र से किसी जीवा पर लंब खींचें, वह ठीक मध्यबिंदु पर गिरता है।

प्रमेय 6

समान लंबाई की जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं

दिया है AB = FG, जहाँ E, H मध्यबिंदु हैं (केंद्र C से लंबों के पाद)CE, CH ठीक केंद्र से दोनों जीवाओं की दूरियाँ हैं

CA = CF और CB = CG (सभी त्रिज्याएँ), और AB = FG (दिया है)△CAB और △CFG के लिए SSS की स्थापना

△CAB ≅ △CFG (SSS से), अतः C से उनके शीर्षलंब समान हैं: CE = CHसर्वांगसम त्रिभुजों के संगत शीर्षलंब सर्वांगसम होते हैं

प्रमेय 7 (विलोम) और प्रमेय 8

प्र 7: केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ समान लंबाई की होती हैं। प्र 8: दो असमान जीवाओं में से बड़ी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है, बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से त्रिज्या, आधी-जीवा और लंब-दूरी वाले दो समकोण त्रिभुजों पर सिद्ध।

सूत्र

जीवा की लंबाई

= 2\sqrt{r^2-d^2}

r

= त्रिज्या,

d

= केंद्र से जीवा की लंब दूरी। व्यास केंद्र के सबसे निकट (d = 0) और सबसे लंबी संभावित जीवा है।

दिया है

त्रिज्या $r=13$ सेमी, जीवा केंद्र से 5 सेमी दूर है

ज्ञात करना है

जीवा की लंबाई

हल

जीवा $=2\sqrt{13^2-5^2}=2\sqrt{169-25}=2\sqrt{144}=2(12)=\;$ $24$ सेमी

4चाप द्वारा अंतरित कोण

चित्र 3: ∠ACB (केंद्र पर) सदैव ∠ADB (दीर्घ चाप पर किसी बिंदु D पर) का दुगना होता है। — **चित्र 3**: ∠ACB (केंद्र पर) सदैव ∠ADB (दीर्घ चाप पर किसी बिंदु D पर) का दुगना होता है।

प्रमेय 9

कोई चाप केंद्र पर जो कोण अंतरित करता है, वह चाप के बाहर वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगना होता है

D को C से होकर बढ़ाकर वृत्त पर E तक मिलाएँकाम करने के लिए दो समद्विबाहु त्रिभुज बनते हैं

△DCB समद्विबाहु (CB = CD), अतः ∠CBD = ∠CDB; बाह्य कोण ∠BCE = 2∠BDCत्रिभुज का बाह्य कोण = दो दूरस्थ अंतः कोणों का योग

इसी तरह △DCA से बाह्य कोण ∠ACE = 2∠ADC मिलता हैदूसरी ओर वही तर्क

∠BCA = ∠BCE + ∠ECA = 2(∠BDC + ∠CDA) = 2∠BDAदोनों परिणामों को जोड़ने पर

उपप्रमेय: अर्धवृत्त में कोण

यदि AB व्यास है, तो D से न गुज़रने वाला चाप केंद्र पर सरल कोण (180°) अंतरित करता है। अतः D पर वह आधा होगा: किसी भी बिंदु D के लिए ∠ADB = 90°।

एक ही वृत्तखंड के कोण

एक ही चाप पर स्थित हर बिंदु किसी दी गई जीवा को समान कोण पर देखता है। यह प्रमेय 9 से सीधे निकलता है, क्योंकि ऐसे सभी बिंदु “चाप के बाहर” होते हैं और वही केंद्रीय कोण साझा करते हैं।

दिया है

एक चाप केंद्र पर 70° अंतरित करता है

ज्ञात करना है

वृत्त पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण

हल

वृत्त पर कोण $=\dfrac{70°}{2}=\;$ $35°$

5संवृत्तीय बिंदु और चक्रीय चतुर्भुज

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु संवृत्तीय कहलाते हैं। जिस चतुर्भुज के शीर्ष संवृत्तीय हों, वह चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।

प्रमेय 10

यदि AB, दो बिंदुओं C, D पर एक ही ओर समान कोण अंतरित करे, तो A, B, C, D संवृत्तीय हैं। खंडन द्वारा उपपत्ति: D को A, B, C वाले वृत्त से बाहर रखने पर किसी कोण का स्वयं के बराबर और स्वयं से बड़ा दोनों होना अनिवार्य हो जाता है।

चित्र 4: चक्रीय चतुर्भुज ABCD। ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°। — **चित्र 4**: चक्रीय चतुर्भुज ABCD। ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°।

प्रमेय 11

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है

∠BAD, कोण BOD (प्रतिवर्ती) का आधा है, चूँकि A, चाप BCD के बाहर हैचाप BCD और बिंदु A पर प्रमेय 9 का प्रयोग

∠BCD, कोण BOD (अप्रतिवर्ती) का आधा है, चूँकि C, चाप BAD के बाहर हैचाप BAD और बिंदु C पर प्रमेय 9 का प्रयोग

∠BAD + ∠BCD = (प्रतिवर्ती BOD + BOD) का आधा = 360° का आधा = 180°O पर प्रतिवर्ती और अप्रतिवर्ती कोण मिलकर एक पूर्ण चक्कर बनाते हैं

प्रमेय 12 (विलोम) और एक उपयोगी परिणाम

प्र 12: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° हो, तो वह चक्रीय है (खंडन द्वारा उपपत्ति, प्रमेय 10 जैसी)। परिणाम: चक्रीय चतुर्भुज के किसी शीर्ष पर बाह्य कोण, सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है, क्योंकि दोनों एक ही अंतः कोण के संपूरक हैं।

दिया है

चक्रीय चतुर्भुज PQRS में ∠P = (2x+10)°, ∠R = (3x−20)°

ज्ञात करना है

$x$ , तथा ∠P और ∠R के मान

हल

सम्मुख कोण: $(2x+10)+(3x-20)=180 \Rightarrow 5x-10=180 \Rightarrow x=38$

∠P $=2(38)+10=\;$ $86°$ , ∠R $=3(38)-20=\;$ $94°$

इस अध्याय का हर वृत्त प्रमेय एक ही तथ्य पर आधारित है: कोई भी दो त्रिज्याएँ समान होती हैं, जो एक के बाद एक त्रिभुज को समद्विबाहु बना देती हैं।

इस अध्याय से याद रखने वाली एक ही बात

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं त्रिभुज का परिवृत्त बना सकता हूँ और बता सकता हूँ कि उसका केंद्र कहाँ है?
क्या मैं “समान जीवाएँ”, “केंद्र पर समान कोण” और “केंद्र से समदूरस्थ” के बीच आ-जा सकता हूँ?
क्या मैं “केंद्र पर कोण = वृत्त पर कोण का दुगना” बता और उपयोग कर सकता हूँ, अर्धवृत्त वाले 90° सहित?
क्या मैं सिद्ध कर सकता हूँ कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है, और इसे संख्यात्मक प्रश्नों में उपयोग कर सकता हूँ?

त्वरित पुनरावलोकन: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

वृत्त = केंद्र से समदूरस्थ बिंदुपथ; व्यास = सबसे लंबी जीवा
3 असंरेखीय बिंदु → अद्वितीय परिवृत्त; केंद्र = भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का मिलन बिंदु
समान जीवाएँ ⟺ केंद्र पर समान कोण ⟺ केंद्र से समदूरस्थ; बड़ी जीवा सदैव केंद्र के अधिक निकट
जीवा की लंबाई $=2\sqrt{r^2-d^2}$
केंद्र पर कोण = वृत्त पर कोण का दुगना (एक ही चाप); अर्धवृत्त में कोण = 90°
चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोणों का योग 180°; बाह्य कोण = सम्मुख अंतः कोण

अभ्यास प्रश्न

2 अंक17 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्र से 8 सेमी दूर एक जीवा है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
1 अंकएक चाप केंद्र पर 96° अंतरित करता है। वृत्त पर किसी बिंदु पर वह कितना कोण अंतरित करेगा?
2 अंक20 सेमी व्यास वाले वृत्त में 16 सेमी लंबी जीवा है। केंद्र से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
3 अंकसिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक सदैव केंद्र से होकर गुज़रता है।
1 अंकAB वृत्त का व्यास है और C वृत्त पर कोई बिंदु है। ∠ACB क्या है? क्यों?
2 अंकचक्रीय चतुर्भुज WXYZ में ∠W = 85°। ∠Y ज्ञात कीजिए। यदि ∠X = 100°, तो ∠Z ज्ञात कीजिए।
3 अंकचक्रीय चतुर्भुज EFGH में ∠E = (3x+5)° और ∠G = (2x+15)°। x, ∠E और ∠G ज्ञात कीजिए।
2 अंक24 सेमी लंबी एक जीवा केंद्र से 5 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
4 अंक13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र के विपरीत ओर 10 सेमी और 24 सेमी लंबाई की दो समांतर जीवाएँ हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
3 अंककारण सहित स्पष्ट कीजिए कि वृत्त की कोई भी जीवा व्यास से लंबी क्यों नहीं हो सकती।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकअधिककोण त्रिभुज का परिकेंद्र स्थित होता है:
(a) त्रिभुज के भीतर(b) त्रिभुज के बाहर(c) किसी भुजा के मध्यबिंदु पर(d) किसी शीर्ष पर
1 अंकचक्रीय चतुर्भुज में यदि एक कोण 65° है, तो सम्मुख कोण है:
(a) 65°(b) 115°(c) 25°(d) 180°
1 अंकअर्धवृत्त में कोण सदैव होता है:
(a) 45°(b) 60°(c) 90°(d) 180°

अभिकथन (A): एक ही वृत्त की दो समान लंबाई की जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।
तर्क (R): समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं, और इससे उनकी केंद्र से लंब दूरियाँ भी समान होने पर विवश हो जाती हैं।

केस स्टडी

एक गोलाकार पार्क की सीमा पर चार द्वार A, B, C, D हैं, जो चतुर्भुज ABCD बनाते हैं। एक सर्वेक्षक ∠A = 78° और ∠B = 95° मापता है।

1 अंकABCD चक्रीय चतुर्भुज क्यों होना चाहिए?
1 अंक∠C ज्ञात कीजिए।
2 अंक∠D ज्ञात कीजिए।

उत्तर कुंजी

प्र1

2\sqrt{17^2-8^2}=2\sqrt{289-64}=2\sqrt{225}=30

सेमी

प्र2

96/2=48°

प्र3त्रिज्या

=10

;

\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6

सेमी

प्र4प्रमेय 4/5 से: केंद्र, जीवा के दोनों अंतिम बिंदुओं से समदूरस्थ है, अतः वह उनके लंब समद्विभाजक पर होना चाहिए

प्र5

90°

, अर्धवृत्त में कोण (प्रमेय 9 का उपप्रमेय)

प्र6∠Y

=180-85=95°

; ∠Z

=180-100=80°

प्र7

(3x+5)+(2x+15)=180 \Rightarrow x=32

; ∠E

=101°

, ∠G

=79°

प्र8

r=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13

सेमी

प्र9आधी-जीवाएँ 5, 12; केंद्र से दूरियाँ

\sqrt{13^2-5^2}=12

और

\sqrt{13^2-12^2}=5

; विपरीत ओर, अतः कुल दूरी

=12+5=17

सेमी

प्र10केंद्र से न गुज़रने वाली कोई भी जीवा त्रिज्या को कर्ण मानकर समकोण त्रिभुज बनाती है, अतः वह

2r

से छोटी होती है; व्यास (केंद्र से होकर) अधिकतम मान

2r

प्राप्त करता है

बहुविकल्पीय 1–3(b) · (b) · (c)

अभिकथन/तर्कA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडीचारों द्वार पार्क की गोलाकार सीमा पर हैं, इसलिए A, B, C, D एक ही वृत्त पर (चक्रीय) हैं, और यही ABCD को चक्रीय चतुर्भुज बनाता है · ∠C

=180°-78°=102°

· ∠D

=180°-95°=85°