बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

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1सर्वसमिका क्या है?

2वर्ग सर्वसमिकाएँ

3द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन

4घन सर्वसमिकाएँ

5परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

समीकरण और सर्वसमिका में क्या अंतर है
सभी मानक वर्ग और घन सर्वसमिकाएँ, और उन्हें ज्यामितीय रूप से कैसे देखें
मध्य पद तोड़कर किसी द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन कैसे करें
गुणनखंडन करके और सार्व गुणनखंड हटाकर किसी परिमेय व्यंजक को कैसे सरल करें

सर्वसमिकाप्रसारगुणनखंडनमध्य पद तोड़नापूर्ण वर्गपरिमेय व्यंजक

1सर्वसमिका क्या है?

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

सर्वसमिका वह समीकरण है जो उसमें उपस्थित चर के हर मान के लिए सत्य होती है। जो समीकरण केवल विशेष मानों के लिए सत्य हो वह सर्वसमिका नहीं है। जैसे $x^2-1=24$ केवल $x=\pm5$ के लिए सत्य है (समीकरण), परंतु $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ सभी $x,y$ के लिए सत्य है (सर्वसमिका)।

कोई भी तीन क्रमागत वर्ग संख्याएँ लीजिए, जैसे $1, 4, 9$ । सबसे छोटी और सबसे बड़ी को जोड़ें, बीच वाली का दोगुना घटाएँ: $(1+9)-2(4)=2$ । $25,36,49$ लेकर देखें: $(25+49)-2(36)=2$ फिर से। यह सदैव 2 देता है, और बीजगणित इसका कारण बताता है: संख्याओं को $(n-1)^2, n^2, (n+1)^2$ लिखने पर, $(n-1)^2+(n+1)^2-2n^2=2n^2+2-2n^2=2$ हर $n$ के लिए मिलता है।

2वर्ग सर्वसमिकाएँ

चित्र 1: (a+b) भुजा वाला वर्ग एक a×a वर्ग, एक b×b वर्ग, और दो ab आयतों में बँटता है, जिससे (a+b)² = a² + 2ab + b² मिलता है। — **चित्र 1**: (a+b) भुजा वाला वर्ग एक a×a वर्ग, एक b×b वर्ग, और दो ab आयतों में बँटता है, जिससे (a+b)² = a² + 2ab + b² मिलता है।

सूत्र

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2

ऋणात्मक और परिमेय

x,y

के लिए भी सत्य, वितरण गुण से सामान्यतः सिद्ध:

(x+y)(x+y)=x(x+y)+y(x+y)

सूत्र

(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2

ऊपर वाली सर्वसमिका में

y

को

-y

से बदलने पर

हल किया गया उदाहरण

प्र. सर्वसमिकाओं से $43^2$ और $29^2$ ज्ञात कीजिए।

$43^2=(40+3)^2=1600+240+9=1849$ । $29^2=(30-1)^2=900-60+1=\;$ $841$

सूत्र

(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx

हर चर-युग्म एक “2×गुणनफल” वाला पद देता है

हल किया गया उदाहरण

प्र. तीन-पद सर्वसमिका से $122^2$ ज्ञात कीजिए।

$122^2=(100+20+2)^2=10000+400+4+2(2000)+2(200)+2(40)=10404+4000+400+80=\;$ $14884$

सूत्र: वर्गों का अंतर, और श्रीधराचार्य का रूप

x^2-y^2 = (x+y)(x-y)

, अर्थात

x^2=(x+y)(x-y)+y^2

750 सामान्य संवत में संख्याओं का वर्ग शीघ्रता से निकालने की विधि के रूप में प्रस्तावित

हल किया गया उदाहरण

प्र. श्रीधराचार्य की विधि से $55^2$ ज्ञात कीजिए।

$55^2=(55+5)(55-5)+5^2=60\times50+25=3000+25=\;$ $3025$

3द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन

ऊपर वाली सर्वसमिकाएँ उल्टी दिशा में भी काम करती हैं: वे केवल प्रसार नहीं, गुणनखंडन भी करती हैं।

हल किया गया उदाहरण

प्र. $9x^2+30x+25$ का गुणनखंडन कीजिए।

$9x^2=(3x)^2$ , $25=5^2$ , $30x=2(3x)(5)$ , जो $a^2+2ab+b^2$ से मेल खाता है, जहाँ $a=3x,b=5$ । अतः $9x^2+30x+25=\;$ $(3x+5)^2$

मध्य पद तोड़ना

$x^2+(a+b)x+ab$ को $(x+a)(x+b)$ के रूप में गुणनखंडित करने के लिए: दो ऐसी संख्याएँ $a,b$ ढूँढ़ें जिनका योग $x$ के गुणांक के बराबर हो और गुणनफल अचर पद के बराबर हो।

हल किया गया उदाहरण

प्र. $x^2-5x-24$ का गुणनखंडन कीजिए।

योग $-5$ और गुणनफल $-24$ वाली दो संख्याएँ चाहिए: ये $-8$ और $3$ हैं।

$x^2-5x-24=x^2-8x+3x-24=x(x-8)+3(x-8)=\;$ $(x-8)(x+3)$

सूत्र (सामान्य द्विघात)

(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd

बीजीय टाइलें: गुणनखंडन को देखना

पुस्तक द्विघात व्यंजकों का गुणनखंडन बीजीय टाइलों से भी करती है: $x^2$ -टाइल ( $x$ भुजा का वर्ग), $x$ -टाइलें ( $x$ लंबी और $1$ चौड़ी पट्टियाँ) और इकाई टाइलें ( $1$ भुजा के वर्ग)। $x^2+7x+12$ का गुणनखंड करने के लिए एक $x^2$ -टाइल, सात $x$ -टाइलें और बारह इकाई टाइलें लेकर उन्हें आयत के रूप में व्यवस्थित कीजिए: $x^2$ -टाइल की दाईं ओर तीन $x$ -टाइलें, उसके नीचे चार, और कोने में बारह इकाई टाइलें $3\times4$ के व्यूह में। आयत की भुजाएँ $x+3$ और $x+4$ हैं, अतः $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$ ।

आयत तभी बनता है जब $x$ वाले पद को सही ढंग से बाँटा जाए: $7x=3x+4x$ काम करता है क्योंकि $3\times4=12$ , जबकि $7x=2x+5x$ नहीं ( $2\times5=10$ )। यही ऊपर दिया गया “मध्य पद तोड़ना” नियम है। इन्हीं टाइलों से $(2x+3)(3x+1)=6x^2+11x+3$ जैसे गुणनफल भी दिखते हैं, और व्यापक रूप में $(px+a)(qx+b)=pqx^2+(pb+aq)x+ab$ ।

सामान्य भूल

जब अचर पद ऋणात्मक हो, तो दोनों संख्याओं $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए; जब धनात्मक हो, तो दोनों का चिह्न मध्य पद के गुणांक के चिह्न जैसा होना चाहिए। इसे उलट देना सबसे सामान्य गुणनखंडन भूल है।

4घन सर्वसमिकाएँ

सर्वसमिका	व्यंजक
योग का घन	$(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
अंतर का घन	$(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$
घनों का अंतर	$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
घनों का योग	$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$
तीन-चर घन सर्वसमिका	$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

घन सर्वसमिकाएँ कहाँ से आती हैं

$(x+y)^3=(x+y)(x+y)^2=(x+y)(x^2+2xy+y^2)$ , वितरण गुण से खोलने पर $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ मिलता है। $y$ को $-y$ से बदलने पर अंतर वाली सर्वसमिका मिलती है, जिसमें चिह्न $+,-,+,-$ क्रम से बदलते हैं।

हल किया गया उदाहरण

प्र. सर्वसमिका से $103^3$ ज्ञात कीजिए।

$103^3=(100+3)^3=100^3+3(100)^2(3)+3(100)(3)^2+3^3=1000000+90000+2700+27=\;$ $1092727$

हल किया गया उदाहरण

प्र. $8n^3-60n^2m+150nm^2-125m^3$ का गुणनखंडन कीजिए।

इसे $(2n)^3-3(2n)^2(5m)+3(2n)(5m)^2-(5m)^3$ लिखें, जो $x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$ से मेल खाता है, जहाँ $x=2n,y=5m$ । अतः यह बराबर है $\;$ $(2n-5m)^3$

याद रखने योग्य विशेष स्थिति

यदि $x+y+z=0$ , तो $x^3+y^3+z^3=3xyz$

क्योंकि सर्वसमिका में पहला गुणनखंड $(x+y+z)$ शून्य हो जाता है, जिससे $x^3+y^3+z^3-3xyz=0$ रह जाता है।

दिया है

$x+y+z=10$ , $xyz=25$ , $x^2+y^2+z^2=38$

ज्ञात करना है

$x^3+y^3+z^3$

हल

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ से: $100=38+2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx=31$

घन सर्वसमिका से: $x^3+y^3+z^3-3(25)=10\big(38-31\big) \Rightarrow x^3+y^3+z^3=70+75=\;$ $145$

5परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

अंश और हर को पूरी तरह गुणनखंडित करें, फिर दोनों में सार्व गुणनखंड को काटें (मानते हुए कि हर कभी शून्य नहीं है)।

दिया है

$\dfrac{x^2-7x+12}{5x^2+5x-100}$ , हर $\ne 0$

सरल कीजिए

हल

अंश: योग $-7$ , गुणनफल $12$ चाहिए: ये $-3,-4$ हैं। अतः $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

हर: $5x^2+5x-100=5(x^2+x-20)$ ; योग $1$ , गुणनफल $-20$ चाहिए: ये $5,-4$ हैं। अतः $=5(x-4)(x+5)$

$\dfrac{(x-3)(x-4)}{5(x-4)(x+5)} = \;$ $\dfrac{x-3}{5(x+5)}$ ( $x-4$ काटते हुए, चूँकि $x\ne4$ )

हल किया गया उदाहरण: क्षेत्रफल शब्द-प्रश्न

प्र. एक आयताकार तालाब की चौड़ाई उसकी लंबाई से 4 मी कम है, और क्षेत्रफल 96 वर्ग मी है। उसके आयाम ज्ञात कीजिए।

मान लें लंबाई $=x$ मी, चौड़ाई $=x-4$ मी। तब $x(x-4)=96 \Rightarrow x^2-4x-96=0$

योग $-4$ , गुणनफल $-96$ चाहिए: ये $-12,8$ हैं। अतः $(x-12)(x+8)=0 \Rightarrow x=12$ ( $x=-8$ अस्वीकार, लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)

लंबाई $=\;$ $12$ मी, चौड़ाई $=8$ मी

इस अध्याय की हर सर्वसमिका वितरण गुण से किसी गुणनफल को खोलने से आती है, बस इसे वर्ग, घन और कई चरों के योग पर लागू किया गया है।

इस अध्याय से याद रखने वाली एक ही बात

सभी सर्वसमिकाएँ एक जगह

$(x+y)^2$

x^2+2xy+y^2

$(x-y)^2$

x^2-2xy+y^2

$(x+y+z)^2$

x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx

$x^2-y^2$

(x+y)(x-y)

$x^2+(a+b)x+ab$

(x+a)(x+b)

$(ax+b)(cx+d)$

acx^2+(ad+bc)x+bd

$x^3-y^3$

(x-y)(x^2+xy+y^2)

$x^3+y^3$

(x+y)(x^2-xy+y^2)

$(x+y)^3$

x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

$(x-y)^3$

x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

$x^3+y^3+z^3-3xyz$

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं बिना देखे सभी 11 सर्वसमिकाएँ बता और उपयोग कर सकता हूँ?
क्या मैं मध्य पद तोड़कर सही चिह्नों के साथ द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन कर सकता हूँ?
क्या मैं श्रीधराचार्य की विधि या (x+y+z)² सर्वसमिका से मन में वर्ग निकाल सकता हूँ?
क्या मैं परिमेय व्यंजक सरल कर सकता हूँ और बता सकता हूँ कि कौन सा मान वर्जित है?

त्वरित पुनरावलोकन: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

सर्वसमिका = सभी मानों के लिए सत्य; समीकरण = केवल विशेष मानों के लिए सत्य
$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$ ; $(x+y+z)^2$ में तीनों वर्ग और तीन गुणन-पद जुड़ते हैं
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ ; तेज़ वर्ग निकालने में उपयोगी: $a^2=(a+b)(a-b)+b^2$
मध्य पद तोड़ना: दिए गए योग और गुणनफल वाली दो संख्याएँ ढूँढ़ें
$(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3$ (घटाव में चिह्न बदलते रहते हैं)
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ ; $x+y+z=0$ पर यह शून्य होता है
परिमेय व्यंजक: दोनों भाग गुणनखंडित करें, काटें, और वर्जित मान भी बताएँ

अभ्यास प्रश्न

1 अंकसर्वसमिका से $(3x-5)^2$ का प्रसार कीजिए।
1 अंकउपयुक्त सर्वसमिका से $998^2$ ज्ञात कीजिए।
2 अंक $25x^2+70xy+49y^2$ का गुणनखंडन कीजिए।
2 अंकमध्य पद तोड़कर $x^2+2x-63$ का गुणनखंडन कीजिए।
2 अंक $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ से $52\times48$ ज्ञात कीजिए।
3 अंकतीन-पद सर्वसमिका से $(2p-3q+r)^2$ का प्रसार कीजिए।
3 अंकयदि $x^3+12x^2q+48xq^2+64q^3=(x+a)^3$ , तो $a$ ज्ञात कीजिए।
2 अंक $\dfrac{9s^2-25t^2}{3s^2+2st-5t^2}$ को सरल कीजिए, मानते हुए हर कभी शून्य नहीं है।
3 अंकयदि $x+y+z=0$ , तो दिखाइए कि $x^3+y^3+z^3=3xyz$ , और इसका उपयोग करके $2^3+(-5)^3+3^3$ ज्ञात कीजिए।
4 अंक30 मी भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे के चारों ओर $s$ मी चौड़ाई का एक समान पथ बनाया गया है। पथ के क्षेत्रफल के लिए $s$ में व्यंजक ज्ञात कीजिए।
3 अंककोई संख्या और उसका व्युत्क्रम मिलकर $\dfrac{13}{6}$ देते हैं। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंक $(x+7)(x-7)$ बराबर है:
(क) $x^2-49$ (ख) $x^2+49$ (ग) $x^2-14x+49$ (घ) $x^2+14x-49$
1 अंकइनमें से कौन सर्वसमिका है, केवल समीकरण नहीं?
(क) $x^2=16$ (ख) $2x+3=11$ (ग) $(x+1)^2=x^2+2x+1$ (घ) $x^2-x=6$
1 अंक $x^2-9x+20$ का गुणनखंडन करने के लिए आवश्यक दो संख्याएँ हैं:
(क) 4 और 5(ख) −4 और −5(ग) 2 और 10(घ) −2 और −10

अभिकथन (A):

a,b>0

होने पर

(a+b)^2

सदैव

a^2+b^2

से बड़ा या बराबर होता है।
तर्क (R):

(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab

, जो

a,b>0

होने पर ऋणेतर होता है।

केस स्टडी

सायरा एक x भुजा का वर्गाकार टाइल, x गुणा 1 आकार की 8 आयताकार पट्टियाँ, और 15 इकाई वर्ग जोड़कर एक बड़ा आयत बनाती है, जिसका कुल क्षेत्रफल x² + 8x + 15 वर्ग इकाई है।

1 अंककिन दो संख्याओं का योग 8 और गुणनफल 15 है?
1 अंकx² + 8x + 15 का दो रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडन कीजिए।
2 अंकसायरा के आयत की लंबाई और चौड़ाई x में बताइए।

उत्तर कुंजी

प्र1

9x^2-30x+25

प्र2

998^2=(1000-2)^2=1000000-4000+4=996004

प्र3

(5x+7y)^2

प्र4योग 2, गुणनफल −63: संख्याएँ 9, −7।

(x+9)(x-7)

प्र5

52\times48=(50+2)(50-2)=2500-4=2496

प्र6

4p^2+9q^2+r^2-12pq+4pr-6qr

प्र7

a=4q

(चूँकि

64q^3=(4q)^3

और प्रारूप

x^3+3x^2(4q)+3x(4q)^2+(4q)^3

से मेल खाता है)

प्र8

\dfrac{(3s-5t)(3s+5t)}{(3s+5t)(s-t)}=\dfrac{3s-5t}{s-t}

प्र9उपपत्ति गुणनखंडित सर्वसमिका से मिलती है;

2+(-5)+3=0

, अतः घनों का योग

=3(2)(-5)(3)=-90

प्र10बाहरी वर्ग

(30+2s)^2

में से बगीचा

30^2

घटाने पर: पथ का क्षेत्रफल

=120s+4s^2

वर्ग मी

प्र11

x+\frac1x=\frac{13}{6} \Rightarrow 6x^2-13x+6=0 \Rightarrow (3x-2)(2x-3)=0 \Rightarrow x=\frac23

या

\frac32

बहुविकल्पीय 1–3(क) · (ग) · (ख)

अभिकथन/तर्कA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडी3 और 5 ·

(x+3)(x+5)

· लंबाई

=x+5

, चौड़ाई

=x+3