संख्याओं का संसार

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1गिनती से शून्य और पूर्णांक तक

2परिमेय संख्याएँ

3अपरिमेय संख्याएँ

4वास्तविक संख्याएँ और दशमलव प्रसार

अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ा है

1 · गिनती से शून्य और पूर्णांक तकप्राकृत संख्याएँ, ब्रह्मगुप्त का शून्य, और चिह्नित संख्याओं के नियम

2 · परिमेय संख्याएँp/q संख्याएँ, उनका अंकगणित, संख्या रेखा, और सघनता

संख्याओं का संसार

3 · अपरिमेय संख्याएँ√2 और π जैसी संख्याएँ जिन्हें कोई भिन्न कभी नहीं पकड़ सकती

4 · वास्तविक संख्याएँ और दशमलवहर परिमेय संख्या सांत या आवर्ती होती है; हर अपरिमेय संख्या न तो सांत, न आवर्ती

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

संख्या पद्धति गिनती से शुरू होकर शून्य, ऋणात्मक संख्याओं और भिन्नों तक कैसे बढ़ी
परिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा, भाग करना, और उन्हें संख्या रेखा पर दर्शाना
√2 अपरिमेय है यह कैसे सिद्ध करें, और अपरिमेय लंबाई की रचना कैसे करें
किसी भिन्न का दशमलव प्रसार सांत होगा या आवर्ती, यह अनुमान लगाना और दोनों रूपों में बदलना

प्राकृत संख्यापूर्णांकपरिमेय संख्याअपरिमेय संख्यावास्तविक संख्यासघनतासांत दशमलवआवर्ती दशमलव

1गिनती से शून्य और पूर्णांक तक

~35,000 वर्ष पूर्वलेबोंबो अस्थि: 29 गिनती के निशान, गिनती के सबसे पुराने प्रमाणों में से एक

वैदिक कालसंस्कृत ग्रंथों में

10^{12}

तक की घातों के नाम; ऋग्वेद में बड़ी राशियों के लिए 10 की घातों का प्रयोग

628 ई.ब्रह्मगुप्त के ब्राह्मस्फुटसिद्धांत में शून्य की औपचारिक परिभाषा और ऋणात्मक संख्याओं (“ॠण”) के नियम

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

प्राकृत संख्याएँ $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ गिनने वाली संख्याएँ हैं। ये योग के अंतर्गत संवृत हैं (दो प्राकृत संख्याओं का योग सदैव प्राकृत संख्या होता है) परंतु घटाव के अंतर्गत नहीं ( $3-5$ प्राकृत संख्या नहीं है)।

शून्य के नियम

a + 0 = a

a – 0 = a

a \times 0 = 0

ये तीन नियम ब्रह्मगुप्त (628 ई.) ने दिए थे। उन्होंने

0 \div 0 = 0

भी लिखा था, पर वह गलत है: शून्य से भाग परिभाषित ही नहीं है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

पूर्णांक $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ प्राकृत संख्याओं, शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को मिलाकर बनते हैं।

ऋणात्मक संख्याएँ आ जाने के बाद हर गणना में यह तय करना पड़ता है कि उत्तर पर कौन-सा चिह्न लगेगा। नीचे दिए पाँच नियम हर स्थिति को ढक लेते हैं।

संक्रिया	चिह्न का नियम	उदाहरण
जोड़, दोनों चिह्न समान	दोनों संख्याएँ जोड़ दें और वही चिह्न लगा दें	$5 + 4 = 9$ $(-5) + (-4) = -9$
जोड़, चिह्न अलग-अलग	चिह्न छोड़कर छोटी संख्या को बड़ी में से घटाएँ, फिर उत्तर पर बड़ी संख्या का चिह्न लगाएँ	$8 + (-3) = 5$ $3 + (-8) = -5$
घटाव	जिस संख्या को घटाना है उसका चिह्न बदल दें, फिर ऊपर वाले जोड़ के नियम लगाएँ	$5 – (-3) = 5 + 3 = 8$ $(-5) – 3 = (-5) + (-3) = -8$
गुणा या भाग, दोनों चिह्न समान	उत्तर धनात्मक	$3 \times 4 = 12$ $(-3) \times (-4) = 12$ $(-12) \div (-4) = 3$
गुणा या भाग, चिह्न अलग-अलग	उत्तर ऋणात्मक	$(-3) \times 4 = -12$ $12 \div (-4) = -3$

याद रखने की तरकीब

चिह्न समान हों तो +, अलग हों तो −

यह तरकीब सिर्फ़ गुणा और भाग के लिए है। जोड़ में चिह्न बड़ी संख्या से आता है, इसीलिए $(-5) + 4 = -1$ होता है जबकि $(-5) \times 4 = -20$ ।

आम गलती

$(-5) + (-4) = -1$ लिख देना। दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हैं, इसलिए उन्हें जोड़ा जाता है और उत्तर पर ऋण चिह्न रहता है: $-9$ । घटाना तभी है जब दोनों चिह्न अलग हों।

2परिमेय संख्याएँ

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ । परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $\mathbb{Q}$ से दर्शाते हैं।

वास्तविक संख्याएँ (R)

परिमेय (Q)p/q रूप; इसमें N, Z, भिन्न शामिल

अपरिमेयp/q रूप में नहीं लिखी जा सकतीं, जैसे √2, π

हर परिमेय संख्या के अनंत समतुल्य रूप होते हैं: $-\dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{3}{9}$ । इसका मानक रूप वह है जिसमें $p$ और $q$ का 1 के अतिरिक्त कोई सार्व गुणनखंड न हो (वे सहअभाज्य हों)।

संक्रिया	नियम	उदाहरण
समानता	$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ तभी जब $ad=bc$	$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ , क्योंकि $2\times9=3\times6$
जोड़ या घटाव, हर समान	$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$	$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$
जोड़ या घटाव, हर अलग-अलग	पहले हरों का ल.स. लें, या सीधे $\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$ लगाएँ	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$
गुणा	$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$	$\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}=\frac{10}{21}$
भाग	$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$ , जहाँ $c\ne0$	$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$

संवृत गुण (क्लोज़र)

परिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, और भाग के अंतर्गत भी, बशर्ते हम कभी शून्य से भाग न दें। दो परिमेय संख्याओं पर इनमें से कोई भी संक्रिया करने पर परिणाम सदैव परिमेय संख्या ही होता है।

$\dfrac{p}{q}$ को संख्या रेखा पर दर्शाने के लिए, इकाई अंतराल को $q$ बराबर भागों में बाँटें और 0 से $p$ भाग गिनें (धनात्मक हो तो दाईं ओर, ऋणात्मक हो तो बाईं ओर)।

1/2

3/2

कंठस्थ करेंपरिभाषा 4

किसी परिमेय संख्या का निरपेक्ष मान $|x|$ , शून्य से उसकी दूरी है, अतः $|x| \ge 0$ सदैव सत्य है। दो परिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच संख्या रेखा पर दूरी $|a-b|$ है।

हल किया गया उदाहरण

प्र. $\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{2}{3}$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

औसत लीजिए: $\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2} = \dfrac{\frac{3+4}{6}}{2} = \dfrac{7}{12}$ । चूँकि $\dfrac{1}{2} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3}$ , यह सही है।

क्या आप जानते हैं?

ऊपर वाली औसत की तरकीब कभी समाप्त नहीं होती: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच, चाहे वे कितनी भी करीब हों, सदैव एक और परिमेय संख्या मिल जाती है। इस गुण को सघनता कहते हैं, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

3अपरिमेय संख्याएँ

कंठस्थ करेंपरिभाषा 5

अपरिमेय संख्या को किन्हीं भी पूर्णांकों $p, q$ के लिए $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसका दशमलव प्रसार न कभी सांत होता है, न आवर्ती। उदाहरण: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ ।

इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ होती है। क्या $\sqrt2$ परिमेय है? हम विरोधाभास द्वारा उपपत्ति से सिद्ध करते हैं कि नहीं: जो सिद्ध करना है उसके विपरीत मान लें, और दिखाएँ कि यह तार्किक असंभवता की ओर ले जाता है।

मान लें

\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}

, न्यूनतम रूप में (

p,q

सहअभाज्य)चरण 1: खंडित की जाने वाली मान्यता

2 = \dfrac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2q^2 = p^2

चरण 2-3: दोनों पक्षों का वर्ग लें, भिन्न हटाएँ

p^2

सम है

\Rightarrow

p

सम है। मान लें

p=2k

चरण 4: पूर्ण वर्ग तभी सम होता है जब उसका मूल सम हो

2q^2=4k^2 \Rightarrow q^2=2k^2

चरण 5-6: प्रतिस्थापित करें और सरल करें

q^2

सम है

\Rightarrow

q

सम हैचरण 7: p जैसा ही तर्क

p

और

q

दोनों सम हैं, जो “सहअभाज्य” का खंडन करता हैचरण 8: विरोधाभास

निष्कर्ष

चूँकि मान्यता विरोधाभास की ओर ले जाती है, वह असत्य होनी चाहिए। अतः $\sqrt2$ को $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता; यह अपरिमेय है।

अपरिमेय लंबाइयों की रचना रूलर और परकार से ठीक-ठीक की जा सकती है, इसी समकोण त्रिभुज विधि को बार-बार दोहराकर। हर नई भुजा की लंबाई 1 है, पिछले कर्ण के लंबवत:

चित्र 1: वर्गमूल सर्पिल। पिछले कर्ण के लंबवत खींची गई हर नई इकाई-लंबाई भुजा, अगली संख्या का वर्गमूल देती है। — **चित्र 1**: वर्गमूल सर्पिल। पिछले कर्ण के लंबवत खींची गई हर नई इकाई-लंबाई भुजा, अगली संख्या का वर्गमूल देती है।

परीक्षा टिप

$\sqrt2$ को स्वयं संख्या रेखा पर अंकित करने के लिए (केवल त्रिभुज नहीं): ऊपर की तरह $OB=\sqrt2$ बनाने के बाद, परकार को $OB$ लंबाई पर खोलें, बिंदु को O पर रखें, और एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को काटे। वह प्रतिच्छेद बिंदु ठीक $\sqrt2$ है।

4वास्तविक संख्याएँ और दशमलव प्रसार

कंठस्थ करेंपरिभाषा 6

वास्तविक संख्याएँ $\mathbb{R}$ , सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संयोजन हैं, जो संख्या रेखा को बिना किसी रिक्तता के पूरी तरह भर देती हैं।

संख्या समुच्चय	चिह्न	दशमलव प्रसार
परिमेय	$\mathbb{Q}$	सदैव सांत या आवर्ती
अपरिमेय	$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$	न कभी सांत, न आवर्ती

बिना भाग किए प्रकार का अनुमान लगाना

$\dfrac{p}{q}$ को न्यूनतम रूप में लिखें। दशमलव सांत तभी होता है जब $q$ के केवल अभाज्य गुणनखंड 2, 5, या दोनों हों। कोई भी अन्य अभाज्य गुणनखंड (3, 7, 11, …) $q$ में होने पर दशमलव आवर्ती होता है।

हल किया गया उदाहरण

प्र. क्या $\dfrac{7}{20}$ सांत होगा?

$20 = 2^2\times 5$ , केवल 2 और 5। अतः सांत होगा: $\dfrac{7}{20}=\dfrac{7\times5}{20\times5}=\dfrac{35}{100}=\;$ $0.35$

आवर्ती दशमलव को वापस $\dfrac{p}{q}$ में बदलने की विधि हर बार एक जैसी है: आवर्ती खंड को खिसकाने के लिए गुणा करें, फिर उसे हटाने के लिए घटाएँ।

दिया है

$x = 0.4\overline{5} = 0.4555\ldots$ (5 आवर्ती है, 4 नहीं)

ज्ञात करना है

$x$ को $\dfrac{p}{q}$ के रूप में

हल

अनावर्ती अंक: 1, अतः 10 से गुणा करें: $10x = 4.5\overline{5}$

आवर्ती खंड: 1 अंक, अतः फिर 10 से गुणा करें: $100x = 45.5\overline{5}$

घटाएँ: $100x – 10x = 45.5\overline5 – 4.5\overline5 \Rightarrow 90x = 41 \Rightarrow x = \;$ $\dfrac{41}{90}$

क्या आप जानते हैं? चक्रीय संख्याएँ

$\dfrac{1}{7}=0.\overline{142857}$ । $142857$ को $1,2,3,4,5,6$ से गुणा करने पर वही छह अंक उसी क्रम में घूमते रहते हैं: $142857, 285714, 428571, \ldots$ इसे चक्रीय संख्या कहते हैं।

सामान्य भूल

$0.\overline{9} = 0.999\ldots$ ठीक $1$ के बराबर है, “1 से थोड़ा कम” नहीं। उपपत्ति: मान लें $x=0.\overline9$ । तब $10x=9.\overline9$ , अतः $10x-x=9.\overline9-0.\overline9=9$ , जिससे $9x=9$ , अतः $x=1$ ।

हर संख्या या तो परिमेय है (जिसका दशमलव सांत या आवर्ती होता है) या अपरिमेय (जिसका दशमलव कभी किसी प्रारूप में नहीं टिकता)। कोई तीसरा विकल्प नहीं है।

इस अध्याय से याद रखने वाली एक ही बात

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं जोड़, घटाव, गुणा और भाग में चिह्न का नियम बिना झिझक बता और उपयोग कर सकता हूँ?
क्या मैं दो परिमेय संख्याओं को जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकता हूँ?
क्या मैं √2 की अपरिमेयता की पूरी उपपत्ति चरण-दर-चरण दोहरा सकता हूँ?
क्या मैं केवल हर से सांत/आवर्ती का अनुमान लगा सकता हूँ, और आवर्ती दशमलव को p/q में बदल सकता हूँ?

त्वरित पुनरावलोकन: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; अपरिमेय संख्याएँ R में हैं परंतु Q में नहीं
शून्य: a+0=a, a-0=a, a×0=0। चिह्न: समान चिह्न गुणा करने पर +, भिन्न चिह्न पर −
परिमेय = p/q, q≠0; +, −, ×, ÷ (0 से भाग छोड़कर) के अंतर्गत संवृत
सघनता: दो परिमेय संख्याओं का औसत सदैव उनके बीच स्थित होता है
√2 अपरिमेय है: विरोधाभास द्वारा उपपत्ति, p/q न्यूनतम रूप मानें, p और q दोनों सम निकलते हैं
सांत तभी जब हर के केवल अभाज्य गुणनखंड 2 और/या 5 हों; अन्यथा आवर्ती
0.999… = 1 ठीक-ठीक, बीजगणित से सिद्ध

अभ्यास प्रश्न

2 अंकदीर्घ विभाजन द्वारा $\dfrac{3}{50}$ और $\dfrac{2}{9}$ को दशमलव में बदलिए। बताइए कौन सांत है।
3 अंकसिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
1 अंक $0.0125$ को $\dfrac{p}{q}$ के रूप में लिखिए।
2 अंक $2.4\overline{18}$ को $\dfrac{p}{q}$ के रूप में लिखिए।
2 अंक $\dfrac{1}{4}$ और $\dfrac{2}{5}$ के बीच 4 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
2 अंकयदि $\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{6}=\dfrac{25}{12}$ , तो परिमेय संख्या $x$ ज्ञात कीजिए।
2 अंकबिना भाग किए बताइए कि क्या $\dfrac{17}{40}$ सांत है। यदि हाँ, तो कितने दशमलव स्थान?
3 अंकएक परिमेय संख्या के न्यूनतम रूप का हर $2^3\times5^2$ है। इसके दशमलव प्रसार में कितने स्थान होंगे? स्पष्ट कीजिए।
2 अंकमान लें $a$ और $b$ अशून्य परिमेय संख्याएँ हैं जिनमें $a+\dfrac{1}{b}=0$ है। गुणनफल $ab$ धनात्मक है या ऋणात्मक? कारण दीजिए।
3 अंकदिखाइए कि किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं $a < b$ के लिए $\dfrac{a+b}{2}$ सदैव $a$ और $b$ के बीच स्थित होता है।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकइनमें से कौन अपरिमेय है?
(a) $\sqrt{16}$ (b) $\sqrt{18}$ (c) $0.3\overline{3}$ (d) $\frac{22}{7}$
1 अंक $\dfrac{7}{16}$ का दशमलव प्रसार है:
(a) सांत(b) आवर्ती(c) कोई नहीं(d) कह नहीं सकते
1 अंक $(-7) \times (-8)$ बराबर है:
(a) –56(b) 56(c) –15(d) 15

अभिकथन (A): 0 और 1 के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं।
तर्क (R): परिमेय संख्याएँ सघन हैं: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं का औसत उनके बीच स्थित एक और परिमेय संख्या है।

केस स्टडी

एक विद्यार्थी एक इकाई वर्ग और उसका विकर्ण बनाता है, फिर उस विकर्ण को अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा के रूप में उपयोग करता है, और इस रचना को दोहराकर चित्र 1 जैसा वर्गमूल सर्पिल बनाता है।

1 अंकपहले इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई क्या है?
1 अंकक्या यह लंबाई परिमेय है या अपरिमेय? आप कैसे जानते हैं?
2 अंकसर्पिल में चौथे त्रिभुज का कर्ण कितनी लंबाई का होगा?

उत्तर कुंजी

प्र1

3/50=0.06

(सांत);

2/9=0.\overline{2}

(आवर्ती)

प्र2विरोधाभास द्वारा उपपत्ति, √2 की उपपत्ति जैसी संरचना,

p^2=5q^2

का उपयोग करके

प्र3

0.0125 = \dfrac{125}{10000}=\dfrac{1}{80}

प्र4

x=2.41818\ldots \Rightarrow \dfrac{133}{55}

(दो-चरण गुणा-घटाव विधि से)

प्र5उदा.

0.26, 0.28, 0.30, 0.32

(0.25 और 0.4 के बीच कोई भी 4 मान)

प्र6

\dfrac{3x}{12}+\dfrac{2x}{12}=\dfrac{25}{12} \Rightarrow 5x=25 \Rightarrow x=5

प्र7

40=2^3\times5

, केवल 2 और 5, अतः सांत, 3 दशमलव स्थानों में

प्र83 दशमलव स्थान (2 और 5 को संतुलित करने के बाद हर की उच्चतर घात

10^3

है)

प्र9

a=-1/b \Rightarrow ab=-1

, अतः

ab

ऋणात्मक है

प्र10चूँकि

a \lt b

, दोनों पक्षों में

a

जोड़ने पर

2a \lt a+b

मिलता है, अतः

a \lt \frac{a+b}{2}

; इसी तरह

\frac{a+b}{2} \lt b

बहुविकल्पीय 1–3(b) · (a) · (b)

अभिकथन/तर्कA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडी√2 · अपरिमेय, क्योंकि 2 पूर्ण वर्ग नहीं है (विरोधाभास द्वारा सिद्ध) · √5