रैखिक बहुपदों का परिचय

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1बीजीय व्यंजक और बहुपद

2रैखिक बहुपद और रैखिक प्रतिरूप

3संबंध y = ax + b ज्ञात करना

4रेखाएँ आलेखित करना: ढलान और y-अंतःखंड

अध्याय मानचित्र: सब कुछ कैसे जुड़ा है

1 · बीजीय व्यंजक और बहुपदपद, चर, गुणांक और घात यह तय करते हैं कि व्यंजक किस प्रकार का बहुपद है

2 · रैखिक बहुपद और प्रतिरूपघात 1 का अर्थ है क्रमागत मानों में नियत अंतर: रैखिक वृद्धि या रैखिक ह्रास

रैखिक बहुपदों का परिचय

3 · संबंध y = ax + b ज्ञात करनाकिन्हीं भी दो आँकड़ा बिंदुओं से पूरा रैखिक संबंध ज्ञात हो जाता है

4 · रेखाएँ आलेखित करना: ढलान और y-अंतःखंडa रेखा की तीव्रता और दिशा तय करता है, b यह तय करता है कि रेखा y-अक्ष को कहाँ काटती है

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

किसी बहुपद के पद, चर, गुणांक और घात कैसे पहचानें
किसी प्रतिरूप को “रैखिक” क्या बनाता है, और रैखिक वृद्धि व रैखिक ह्रास में अंतर
वास्तविक आँकड़ों से दो चरों के बीच संबंध y = ax + b कैसे ज्ञात करें
किसी रेखा को आलेखित करके उसका ढलान और y-अंतःखंड कैसे पढ़ें, और दो रेखाएँ समानांतर कब होती हैं

बीजीय व्यंजकबहुपदघातरैखिक बहुपदरैखिक वृद्धिरैखिक ह्रासढलानy-अंतःखंडसमानांतर रेखाएँ

1बीजीय व्यंजक और बहुपद

एक दुकान पर सीलबंद डिब्बे बिकते हैं: लाल डिब्बे में 4 पेन होते हैं, नीले डिब्बे में 5 पेंसिलें। यदि मीरा x लाल डिब्बे और y नीले डिब्बे खरीदती है, और उसे 3 पेन मुफ़्त मिलते हैं, तो कुल पेन और पेंसिलों की संख्या $4x + 5y + 3$ है। यह एक बीजीय व्यंजक है: संख्याओं, चरों और संक्रिया चिह्नों का संयोजन।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

किसी बीजीय व्यंजक में + या − चिह्नों से अलग किए गए भाग उसके पद कहलाते हैं। अज्ञात संख्याओं को दर्शाने वाले अक्षर चर कहलाते हैं। किसी चर को गुणा करने वाली संख्या उसका गुणांक है, और बिना चर वाला पद अचर पद कहलाता है।

$4x + 5y + 3$ में: पद हैं $4x$ , $5y$ और $3$ ; चर हैं $x$ और $y$ ; $x$ और $y$ के गुणांक क्रमशः $4$ और $5$ हैं; और $3$ अचर पद है।

एक चर बनाम दो चर

यह अध्याय केवल एक चर वाले व्यंजकों तक सीमित है, जैसे $x^2+5x+1$ या $3z+7$ । $4x+5y+3$ जैसा दो-चर व्यंजक इस अध्याय में पढ़े जाने वाले बहुपदों की श्रेणी में नहीं आता।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

एक चर और उसकी घातों वाला बीजीय व्यंजक बहुपद (या एकचरीय बहुपद) कहलाता है। किसी बहुपद में चर की अधिकतम घात उसकी घात कहलाती है।

घात	नाम	उदाहरण
0	अचर बहुपद	$8$ ( $8x^0$ के रूप में)
1	रैखिक बहुपद	$3z + 7$
2	द्विघाती बहुपद	$x^2 + 5x + 1$
3	त्रिघाती बहुपद	$5y^3 + y^2 + 2y – 1$

हल किया गया उदाहरण

प्र. $7x^3 – 2x^2 + 5x – 9$ की घात और $x^2$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

उ. $x$ की अधिकतम घात 3 है, अतः घात $= 3$ (त्रिघाती बहुपद)। $x^2$ का गुणांक है $\;$ $-2$

2रैखिक बहुपद और रैखिक प्रतिरूप

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

घात 1 वाला बहुपद, जैसे $4x$ या $200 + 50m$ , रैखिक बहुपद कहलाता है। जब किसी रैखिक बहुपद को किसी अचर के बराबर रखा जाता है, तो हमें एक रैखिक समीकरण मिलता है।

एक शतरंज क्लब ₹200 सदस्यता शुल्क और हर खेले गए मैच के लिए ₹50 लेता है। यदि $m$ खेले गए मैचों की संख्या है, तो कुल शुल्क $200 + 50m$ है, जो $m$ में एक रैखिक बहुपद है।

खेले गए मैच	1	2	3	4	$m$
दिया गया शुल्क (₹)	250	300	350	400	$200+50m$

कंठस्थ करेंपरिभाषा 4

रैखिक प्रतिरूप संख्याओं का वह अनुक्रम है जिसमें किन्हीं भी दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर नियत रहता है। जब यह नियत अंतर हर बार जोड़ा जाता है, तो उसे रैखिक वृद्धि कहते हैं; जब घटाया जाता है, तो रैखिक ह्रास।

रैखिक वृद्धि

राशि नियत मात्रा से बढ़ती है
शतरंज शुल्क: +₹50 प्रति मैच
धनात्मक ढलान वाली रेखा से दर्शाई जाती है

रैखिक ह्रास

राशि नियत मात्रा से घटती है
जेब-खर्च: −₹5 प्रतिदिन
ॠणात्मक ढलान वाली रेखा से दर्शाई जाती है

हल किया गया उदाहरण

प्र. वर्गाकार टाइलों के बढ़ते प्रतिरूप में चरण 1, 2, 3, 4, 5 पर क्रमशः 1, 3, 5, 7, 9 टाइलें हैं। चरण $n$ पर टाइलों की संख्या का नियम, और चरण 20 पर टाइलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

क्रमागत पदों के बीच अंतर सदैव 2 है, अतः यह एक रैखिक प्रतिरूप है। हर चरण में टाइलों की संख्या, चरण संख्या के दुगने से एक कम है: टाइलें $= 2n – 1$ ।

चरण 20 पर: $2(20) – 1 = \;$ $39$ टाइलें

सामान्य भूल

हर बढ़ता हुआ प्रतिरूप रैखिक नहीं होता। कोई प्रतिरूप तभी रैखिक है जब क्रमागत पदों के बीच का अंतर हर बार बिल्कुल समान रहे, केवल “बढ़ता जाना” काफ़ी नहीं।

3संबंध y = ax + b ज्ञात करना

दो चरों $x$ और $y$ के बीच का रैखिक संबंध $y = ax + b$ लिखा जाता है। यदि हमें मानों के दो युग्म ज्ञात हों, तो दो समीकरणों को साथ हल करके $a$ और $b$ ज्ञात किए जा सकते हैं।

दिया है

एक डेटा प्लान का बिल $y = ax+b$ है, जहाँ $x$ = उपयोग किए गए GB। 10 GB के लिए ₹350; 20 GB के लिए ₹550

ज्ञात करना है

$a$ और $b$ के मान

हल

दोनों आँकड़े रखने पर: $350 = 10a + b$ और $550 = 20a + b$

पहले समीकरण से $b = 350 – 10a$ । इसे दूसरे में रखने पर: $550 = 20a + 350 – 10a \Rightarrow 10a = 200 \Rightarrow a = 20$

तब $b = 350 – 10(20) = 150$ । अतः संबंध है $\;$ $y = 20x + 150$

परीक्षा टिप

यहाँ $a = 20$ का अर्थ है हर अतिरिक्त GB के लिए ₹20, और $b = 150$ का अर्थ है कि 0 GB उपयोग करने पर भी ₹150 का नियत मासिक शुल्क है। $a$ और $b$ का अर्थ समझना एक सामान्य आगे का प्रश्न है।

4रेखाएँ आलेखित करना: ढलान और y-अंतःखंड

$y = 2x + 1$ को आलेखित करने के लिए केवल दो बिंदु चाहिए। जब $x=0$ , $y=1$ , अर्थात बिंदु A $(0,1)$ । जब $x=3$ , $y=7$ , अर्थात बिंदु B $(3,7)$ । A और B को अंकित करके रूलर से जोड़ने और दोनों दिशाओं में बढ़ाने पर रेखा प्राप्त होती है।

चित्र 1: रेखा y = 2x + 1, केवल दो बिंदुओं A(0, 1) और B(3, 7) से खींची गई। — **चित्र 1**: रेखा y = 2x + 1, केवल दो बिंदुओं A(0, 1) और B(3, 7) से खींची गई।

किसी बिंदु का रेखा पर होना जाँचना

कोई बिंदु किसी रेखा पर तभी होता है जब उसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हों। $y=2x+1$ के लिए: क्या $(7,15)$ इस पर है? $x=7$ रखने पर: $2(7)+1=15$ , जो मेल खाता है, अतः हाँ।

मूलबिंदु से गुज़रने वाली रेखाओं के समूह को आलेखित करने पर पता चलता है कि $y=ax$ में संख्या $a$ क्या नियंत्रित करती है:

चित्र 2: y = 2x, y = x और y = x/2 सभी मूलबिंदु से गुज़रती हैं। बड़ा a रेखा को अधिक तीव्र बनाता है। — **चित्र 2**: y = 2x, y = x और y = x/2 सभी मूलबिंदु से गुज़रती हैं। बड़ा a रेखा को अधिक तीव्र बनाता है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 5

$y=ax+b$ में $a$ को रेखा का ढलान कहते हैं। यह दिशा (धनात्मक ढलान ऊपर जाता है, ॠणात्मक ढलान नीचे) और तीव्रता (बड़ा $|a|$ अधिक तीव्र) दोनों दर्शाता है।

चित्र 3: y = –3x, y = –x और y = –x/3 सभी बाएँ से दाएँ नीचे गिरती हैं; ॠणात्मक ढलान का अर्थ है रैखिक ह्रास। — **चित्र 3**: y = –3x, y = –x और y = –x/3 सभी बाएँ से दाएँ नीचे गिरती हैं; ॠणात्मक ढलान का अर्थ है रैखिक ह्रास।

अब समान ढलान परंतु भिन्न अचर पद वाली रेखाओं की तुलना कीजिए:

चित्र 4: y = 2x – 1, y = 2x + 1 और y = 2x + 5, सभी का ढलान 2 है। केवल b बदलने पर रेखा ऊपर-नीचे खिसकती है, दिशा नहीं बदलती। — **चित्र 4**: y = 2x – 1, y = 2x + 1 और y = 2x + 5, सभी का ढलान 2 है। केवल b बदलने पर रेखा ऊपर-नीचे खिसकती है, दिशा नहीं बदलती।

चित्र 5: हर रेखा y-अक्ष को अलग बिंदु पर काटती है: (0, 3), (0, 5) और (0, –2)। — **चित्र 5**: हर रेखा y-अक्ष को अलग बिंदु पर काटती है: (0, 3), (0, 5) और (0, –2)।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 6

$y=ax+b$ में अचर $b$ को y-अंतःखंड कहते हैं: रेखा सदैव y-अक्ष को बिंदु $(0, b)$ पर काटती है।

सूत्र

y = ax + b

a

= रेखा का ढलान ·

b

= y-अंतःखंड, वह बिंदु

(0,b)

जहाँ रेखा y-अक्ष से मिलती है

✓ सत्य

$b$ को स्थिर रखकर $a$ बदलने से ढलान बदलता है, y-अंतःखंड नहीं
$a$ को स्थिर रखकर $b$ बदलने से रेखा ऊपर-नीचे खिसकती है, मूल रेखा के समानांतर रहती है
समान $a$ परंतु भिन्न $b$ वाली रेखाएँ $y=ax+b$ समानांतर होती हैं

✗ असत्य

$b$ बदलने से रेखा तीखी या चपटी हो जाती है
भिन्न ढलान वाली दो रेखाएँ भी समानांतर होती हैं, बस उनके y-अंतःखंड पास-पास होने चाहिए
$y=ax$ में अचर पद नहीं है, इसलिए $a$ भी 0 होगा

क्या आप जानते हैं?

एक ऑटो-रिक्शा किराया जो ₹25 से शुरू होकर पहले 2 किमी बाद हर किमी पर ₹15 बढ़ता है, यह भी एक वास्तविक रैखिक संबंध है: किराया $= 15n – 5$ , जब $n \ge 2$ किमी। ढलान, ₹15, ठीक प्रति-किमी दर के बराबर है; दूरी-समय आलेख में चाल को ढलान के रूप में पढ़ते समय आप यही विचार फिर देखेंगे।

हर सरल रेखा को केवल दो संख्याओं से पूरी तरह वर्णित किया जा सकता है: उसका ढलान और उसका y-अंतःखंड।

इस अध्याय से याद रखने वाली एक ही बात

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं किसी बहुपद की घात, गुणांक और अचर पद तुरंत पहचान सकता हूँ?
क्या मैं केवल ढलान के चिह्न से रैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रास में अंतर बता सकता हूँ?
क्या मैं दो दिए गए आँकड़ा बिंदुओं से y = ax + b में a और b ज्ञात कर सकता हूँ?
क्या मैं दो बिंदुओं से रेखा आलेखित कर सकता हूँ, और उसके ढलान व y-अंतःखंड का अर्थ बता सकता हूँ?

त्वरित पुनरावलोकन: परीक्षा से एक रात पहले पढ़ें

बहुपद की घात = चर की अधिकतम घात; घात 1 रैखिक है
रैखिक प्रतिरूप: क्रमागत पदों के बीच नियत अंतर (वृद्धि = जोड़ा गया, ह्रास = घटाया गया)
y = ax + b: दो ज्ञात (x, y) युग्म रखकर हल करने से a, b मिलते हैं
दो बिंदु किसी रेखा को निश्चित करते हैं; कोई बिंदु रेखा पर तभी है जब वह समीकरण को संतुष्ट करे
a = ढलान (तीव्रता और दिशा); b = y-अंतःखंड, बिंदु (0, b)
समान a, भिन्न b: समानांतर रेखाएँ। समान b, भिन्न a: रेखाएँ जो y-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं

अभ्यास प्रश्न

1 अंकx में घात 3 का एक बहुपद लिखिए, जिसमें $x^2$ का गुणांक $-4$ हो।
1 अंक $t = 2$ पर $4t^3 – t^2 + 6$ का मान ज्ञात कीजिए।
2 अंकयदि किसी संख्या को 3 से गुणा करके 5 जोड़ा जाए, तो परिणाम $-16$ मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
2 अंकएक धनात्मक संख्या दूसरी संख्या की 4 गुनी है। यदि दोनों में 20 जोड़ा जाए, तो एक नई संख्या दूसरी की दुगनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
2 अंकरवि के पास ₹600 हैं और वह हर महीने ₹200 बचाता है। $n$ महीनों बाद की राशि के लिए रैखिक व्यंजक लिखिए, और 8 महीने बाद की राशि ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक दो-अंकीय संख्या के अंकों में 2 का अंतर है। अंक पलटने पर बनी संख्या को मूल संख्या में जोड़ने पर 132 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
4 अंक $y = -2x+3$ और $2y = 4x+7$ (पहले $y=ax+b$ रूप में लिखिए) के आलेख खींचिए। उनके ढलान और y-अंतःखंड ज्ञात कीजिए। क्या वे समानांतर हैं?
3 अंकएक रैखिक बहुपद $p(x)$ का आलेख $(2, 7)$ और $(4, 13)$ से होकर जाता है। $p(x)$ ज्ञात कीजिए।
4 अंकमान लीजिए $p(x) = ax+b$ और $q(x) = cx+d$ । दिया है $p(0)=4$ , $p(x)-q(x)$ , x-अक्ष को $(1,0)$ पर काटता है, और सभी $x$ के लिए $p(x)+q(x) = 8x+6$ । $p(x)$ और $q(x)$ ज्ञात कीजिए।
3 अंक $f(x) = ax + a$ , $a > 0$ के रूप की सभी रेखाओं में क्या समानता है? y-अंतःखंड की सहायता से स्पष्ट कीजिए।

बहुविकल्पीय प्रश्न

1 अंकबहुपद $5 – 3x^2 + x^4$ की घात है:
(a) 5(b) 4(c) 3(d) 2
1 अंकरेखा $3y = 6x – 9$ का y-अंतःखंड है:
(a) 6(b) 2(c) –3(d) –9
1 अंककौन-सा रेखा युग्म समानांतर है?
(a) y = 3x+1, y = 3x-4(b) y = 2x, y = -2x(c) y = x+2, y = 2x+2(d) y = 5, x = 5

अभिकथन (A): रेखाएँ

y = 4x + 3

और

y = 4x – 7

कभी नहीं मिलतीं।
तर्क (R): समान ढलान और भिन्न y-अंतःखंड वाली रेखाएँ समानांतर होती हैं।

केस स्टडी

एक पानी की टंकी में शुरुआत में 500 लीटर पानी है। एक पंप हर मिनट 40 लीटर पानी जोड़ता है। मान लीजिए

x

मिनट बाद टंकी में

y

लीटर पानी है।

1 अंक $y$ और $x$ के बीच रैखिक संबंध लिखिए।
1 अंकक्या यह रैखिक वृद्धि है या रैखिक ह्रास? ढलान क्या है?
2 अंक12 मिनट बाद टंकी में कितने लीटर पानी होगा?

उत्तर कुंजी

प्र1उदा.

x^3 – 4x^2 + x + 1

(कोई भी घात-3 बहुपद जिसमें

x^2

का गुणांक

-4

हो)

प्र2

4(8) – 4 + 6 = 34

प्र3

3x+5=-16 \Rightarrow x = -7

प्र4संख्याएँ 10 और 40 हैं (चूँकि

4x+20 = 2(x+20) \Rightarrow x=10

)

प्र5राशि

= 600+200n

; 8 महीने बाद

= ₹2200

प्र6संख्या 57 (या 75) है; अंकों में 2 का अंतर और

57+75=132

प्र7

y=-2x+3

: ढलान

-2

, y-अंतःखंड 3।

2y=4x+7 \Rightarrow y=2x+3.5

: ढलान 2, y-अंतःखंड 3.5। समानांतर नहीं (भिन्न ढलान)

प्र8

p(x) = 3x+1

प्र9

p(x)=3x+4

q(x)=5x+2

प्र10सभी

(0,a)

से गुज़रती हैं, अर्थात y-अंतःखंड सदैव ढलान के बराबर होता है

बहुविकल्पीय 1–3(b) · (c) · (a)

अभिकथन/तर्कA और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या करता है

केस स्टडी

y = 40x+500

· रैखिक वृद्धि, ढलान 40 · 980 लीटर