कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ NCERT समाधान (NCERT Solutions) हिंदी में

प्र. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: (i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

हल: (i) $140=2\times70=2\times2\times35=2^2\times5\times7$।
(ii) $156=2\times78=2\times2\times39=2^2\times3\times13$।
(iii) $3825=3\times1275=3\times3\times425=3^2\times5\times85=3^2\times5\times5\times17=3^2\times5^2\times17$।
(iv) $5005=5\times1001=5\times7\times143=5\times7\times11\times13$।
(v) $7429=17\times437=17\times19\times23$।

प्र. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है। (i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54

हल: (i) $26=2\times13$, $91=7\times13$। $\text{HCF}=13$, $\text{LCM}=2\times7\times13=182$। जाँच: $26\times91=2366$ और $13\times182=2366$। दोनों बराबर हैं।
(ii) $510=2\times3\times5\times17$, $92=2^2\times23$। $\text{HCF}=2$, $\text{LCM}=2^2\times3\times5\times17\times23=23460$। जाँच: $510\times92=46920$ और $2\times23460=46920$। दोनों बराबर हैं।
(iii) $336=2^4\times3\times7$, $54=2\times3^3$। $\text{HCF}=2\times3=6$, $\text{LCM}=2^4\times3^3\times7=3024$। जाँच: $336\times54=18144$ और $6\times3024=18144$। दोनों बराबर हैं।

प्र. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए: (i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25

हल: (i) $12=2^2\times3$, $15=3\times5$, $21=3\times7$। उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 3 (सबसे छोटी घात $3^1$): $\text{HCF}=3$। सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातें $2^2,3^1,5^1,7^1$: $\text{LCM}=2^2\times3\times5\times7=420$।
(ii) 17, 23, 29 तीनों अभाज्य हैं, इनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं: $\text{HCF}=1$, $\text{LCM}=17\times23\times29=11339$।
(iii) $8=2^3$, $9=3^2$, $25=5^2$। तीनों में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं: $\text{HCF}=1$, $\text{LCM}=2^3\times3^2\times5^2=1800$।

प्र. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल: $\text{HCF}\times\text{LCM}=306\times657$ से, $\text{LCM}=\dfrac{306\times657}{9}=\dfrac{201042}{9}=22338$।

प्र. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए, संख्या $6^n$ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल: $6^n=(2\times3)^n=2^n\times3^n$। यदि $6^n$ अंक 0 पर समाप्त होती, तो वह 10 से, अर्थात् 2 और 5 दोनों से विभाज्य होती, यानी उसके अभाज्य गुणनखंडन में 5 आना चाहिए। परंतु $6^n$ के गुणनखंडन में केवल 2 और 3 ही आते हैं, 5 कभी नहीं आता (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता से)। अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए $6^n$ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्र. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

हल: $7\times11\times13+13=13\times(7\times11+1)=13\times78$, दो गुणनखंडों (दोनों 1 से बड़े) का गुणनफल, अतः भाज्य संख्या।
$7\times6\times5\times4\times3\times2\times1+5=5\times(1008+1)=5\times1009$, यह भी दो गुणनखंडों (दोनों 1 से बड़े) का गुणनफल है, अतः यह भी भाज्य संख्या है।

प्र. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: दोनों फिर से साथ तभी मिलेंगे जब दोनों ने पूरे-पूरे चक्कर लगा लिए हों, यानी आवश्यक समय $=\text{LCM}(18,12)$। $18=2\times3^2$, $12=2^2\times3$। $\text{LCM}=2^2\times3^2=36$। अतः वे 36 मिनट बाद फिर प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt5$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, $\sqrt5$ परिमेय है। तो सहअभाज्य पूर्णांक $a,b$ ($b\neq0$) मिलेंगे कि $\sqrt5=\dfrac{a}{b}$, यानी $b\sqrt5=a$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $5b^2=a^2$। इसलिए $a^2$, 5 से विभाज्य है, और प्रमेय 1.2 से $a$ भी 5 से विभाज्य होगा। मान लीजिए $a=5c$, किसी पूर्णांक $c$ के लिए। इसे रखने पर $5b^2=25c^2$, यानी $b^2=5c^2$। इसका अर्थ है कि $b^2$ भी 5 से विभाज्य है, और इसलिए $b$ भी 5 से विभाज्य होगा (फिर से प्रमेय 1.2 से, $p=5$ लेकर)। अब $a$ और $b$ दोनों में 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकला, जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $a$ और $b$ सहअभाज्य थे। यह विरोधाभास हमारी गलत मान्यता के कारण आया कि $\sqrt5$ परिमेय है। अतः $\sqrt5$ अपरिमेय है।

प्र. सिद्ध कीजिए कि $3+2\sqrt5$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल: मान लीजिए, इसके विपरीत, $3+2\sqrt5$ परिमेय है। तो सहअभाज्य पूर्णांक $a,b$ ($b\neq0$) मिलेंगे कि $3+2\sqrt5=\dfrac{a}{b}$। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $2\sqrt5=\dfrac{a}{b}-3=\dfrac{a-3b}{b}$, इसलिए $\sqrt5=\dfrac{a-3b}{2b}$। चूँकि $a,b$ पूर्णांक हैं, दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है, इसलिए $\sqrt5$ भी परिमेय हो जाएगी। पर यह प्रश्नावली 1.2, प्रश्न 1 में सिद्ध किए गए तथ्य ($\sqrt5$ अपरिमेय है) का विरोधाभास है। अतः $3+2\sqrt5$ अपरिमेय है।

प्र. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित अपरिमेय हैं: (i) $\dfrac{1}{\sqrt2}$ (ii) $7\sqrt5$ (iii) $6+\sqrt2$

हल: (i) मान लीजिए, इसके विपरीत, $\dfrac{1}{\sqrt2}$ परिमेय है, यानी $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{a}{b}$ ($a,b$ सहअभाज्य पूर्णांक, $b\neq0$)। यहाँ $a\neq0$, क्योंकि $\dfrac{1}{\sqrt2}\neq0$। तो $\sqrt2=\dfrac{b}{a}$। चूँकि $a,b$ पूर्णांक हैं, $\dfrac{b}{a}$ परिमेय है, इसलिए $\sqrt2$ भी परिमेय हो जाएगी, जो $\sqrt2$ के अपरिमेय होने (प्रमेय 1.3) का विरोधाभास है। अतः $\dfrac{1}{\sqrt2}$ अपरिमेय है।
(ii) मान लीजिए, इसके विपरीत, $7\sqrt5$ परिमेय है, यानी $7\sqrt5=\dfrac{a}{b}$। तो $\sqrt5=\dfrac{a}{7b}$, जो परिमेय है (चूँकि 7, $a$, $b$ पूर्णांक हैं), यह $\sqrt5$ के अपरिमेय होने (प्रश्न 1) का विरोधाभास है। अतः $7\sqrt5$ अपरिमेय है।
(iii) मान लीजिए, इसके विपरीत, $6+\sqrt2$ परिमेय है, यानी $6+\sqrt2=\dfrac{a}{b}$। तो $\sqrt2=\dfrac{a}{b}-6=\dfrac{a-6b}{b}$, जो परिमेय है (चूँकि $a,b$ पूर्णांक हैं), यह $\sqrt2$ के अपरिमेय होने का विरोधाभास है। अतः $6+\sqrt2$ अपरिमेय है।