कक्षा 10 गणित अध्याय 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर सहित (Important Questions with Answers) हिंदी में

प्र. दो चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप लिखिए।

उत्तर: $ax+by+c=0$, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$, $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हैं ($a^2+b^2 \ne 0$)। दो ऐसे समीकरण एक साथ लेने पर युग्म $a_1x+b_1y+c_1=0$, $a_2x+b_2y+c_2=0$ बनता है।

प्र. असंगत युग्म की परिभाषा दीजिए।

उत्तर: जिस रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता, उसे असंगत युग्म कहते हैं।

प्र. आश्रित युग्म की परिभाषा दीजिए।

उत्तर: जब युग्म के दोनों समीकरण तुल्य हों, तो उनके अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ हल होते हैं; ऐसे युग्म को आश्रित युग्म कहते हैं। यह सदैव संगत भी होता है।

प्र. युग्म $2x+3y-9=0$ और $4x+6y-18=0$ के अनुपात $a_1/a_2$, $b_1/b_2$ और $c_1/c_2$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a_1/a_2=2/4=1/2$, $b_1/b_2=3/6=1/2$, $c_1/c_2=-9/-18=1/2$, तीनों बराबर हैं।

प्र. यदि किसी युग्म के लिए $a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2$ है, तो रेखाएँ किस प्रकार की होंगी और युग्म के कितने हल होंगे?

उत्तर: रेखाएँ समांतर होंगी, और युग्म का कोई हल नहीं होगा (असंगत युग्म)।

प्र. प्रतिस्थापन विधि में चरण 2 में यदि चर पूर्णतः समाप्त हो जाए और बचा कथन सत्य निकले, तो क्या निष्कर्ष निकलता है?

उत्तर: युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं (रेखाएँ संपाती हैं)।

प्र. विलोपन विधि का पहला चरण क्या है?

उत्तर: दोनों समीकरणों को उपयुक्त अचरों से गुणा करना, ताकि किसी एक चर ($x$ या $y$) के गुणांक संख्यात्मक रूप से बराबर हो जाएँ।

प्र. युग्म $x-y=8$ और $3x-3y=16$ के लिए $a_1/a_2$ और $b_1/b_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a_1/a_2=1/3$ और $b_1/b_2=-1/-3=1/3$, दोनों बराबर हैं।

प्र. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: $x+y=14$, $x-y=4$।

उत्तर: पहले समीकरण से $x=14-y$। दूसरे में रखने पर $(14-y)-y=4 \Rightarrow 14-2y=4 \Rightarrow y=5$। फिर $x=9$। अतः $x=9, y=5$।

प्र. विलोपन विधि से हल कीजिए: $3x+4y=10$, $2x-2y=2$।

उत्तर: (1) $3x+4y=10$, (2) $2x-2y=2$। $y$ के गुणांक बराबर करने के लिए (2) को 2 से गुणा करें: $4x-4y=4$ …(3)। (1) और (3) को जोड़ने पर $7x=14 \Rightarrow x=2$। (1) में रखने पर $6+4y=10 \Rightarrow y=1$। अतः $x=2, y=1$।

प्र. जाँच कीजिए कि युग्म $9x+3y+12=0$ और $18x+6y+24=0$ संगत है या असंगत।

उत्तर: $a_1/a_2=9/18=1/2$, $b_1/b_2=3/6=1/2$, $c_1/c_2=12/24=1/2$, तीनों बराबर, अतः युग्म संपाती और संगत (आश्रित) है, अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्र. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तिगुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लें बड़ी संख्या $x$, छोटी $y$। $x-y=26$, $x=3y$। हल करने पर $3y-y=26 \Rightarrow y=13, x=39$।

प्र. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे से 18° अधिक है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x+y=180$, $x-y=18$। जोड़ने पर $2x=198 \Rightarrow x=99°$, $y=81°$।

प्र. युग्म $2x-3y=8$ और $4x-6y=9$ की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a_1/a_2=2/4=1/2$, $b_1/b_2=-3/-6=1/2$, परंतु $c_1/c_2=-8/-9=8/9$। पहले दो बराबर पर तीसरा भिन्न, अतः रेखाएँ समांतर हैं, युग्म असंगत है, कोई हल नहीं।

प्र. युग्म $x+y=5$ और $2x+2y=10$ का हल ग्राफीय दृष्टि से समझाइए।

उत्तर: दोनों समीकरण तुल्य हैं ($a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=1/2$), अतः दोनों का ग्राफ एक ही रेखा है। रेखा के हर बिंदु पर हल है, अर्थात अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्र. भिन्नात्मक गुणांक वाले युग्म $\dfrac{x}{2}+\dfrac{2y}{3}=-1$ और $x-\dfrac{y}{3}=3$ को सामान्य रूप में (भिन्न हटाकर) लिखिए।

उत्तर: पहले को 6 से गुणा करने पर $3x+4y=-6$। दूसरे को 3 से गुणा करने पर $3x-y=9$।

प्र. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: $7x-15y=2$, $x+2y=3$।

उत्तर: दूसरे समीकरण से $x=3-2y$। पहले में रखने पर $7(3-2y)-15y=2 \Rightarrow 21-14y-15y=2 \Rightarrow -29y=-19 \Rightarrow y=\dfrac{19}{29}$। फिर $x=3-2\left(\dfrac{19}{29}\right)=\dfrac{49}{29}$। अतः $x=\dfrac{49}{29}, y=\dfrac{19}{29}$।

प्र. विलोपन विधि से हल कीजिए: दो व्यक्तियों की आय का अनुपात 9:7 और व्यय का अनुपात 4:3 है; प्रत्येक ₹2000 प्रतिमाह बचाता है। उनकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लें आय ₹$9x$, ₹$7x$ और व्यय ₹$4y$, ₹$3y$। $9x-4y=2000$, $7x-3y=2000$। (1)×3 और (2)×4 करने पर $27x-12y=6000$, $28x-12y=8000$। घटाने पर $x=2000$। फिर $y=4000$। आय $=₹18{,}000$ और $₹14{,}000$।

प्र. किसी शहर में टैक्सी का किराया निश्चित शुल्क और प्रति km शुल्क से मिलकर बनता है। 10 km का किराया ₹105 और 15 km का ₹155 है। निश्चित शुल्क, प्रति km शुल्क और 25 km की यात्रा का किराया ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x+10y=105$, $x+15y=155$। घटाने पर $5y=50 \Rightarrow y=10$, फिर $x=5$। निश्चित शुल्क ₹5, प्रति km ₹10। 25 km का किराया $=5+10(25)=₹255$।

प्र. एक क्रिकेट टीम के कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें ₹3800 में खरीदती हैं, और बाद में 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में। एक बल्ले और एक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $7x+6y=3800$, $3x+5y=1750$। (1)×5 और (2)×6 से $35x+30y=19000$, $18x+30y=10500$। घटाने पर $17x=8500 \Rightarrow x=500$। फिर $y=50$। बल्ला ₹500, गेंद ₹50।

प्र. यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ने पर भिन्न $\dfrac{9}{11}$ हो जाए, और दोनों में 3 जोड़ने पर $\dfrac{5}{6}$ हो जाए, तो भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लें भिन्न $\dfrac{x}{y}$। $\dfrac{x+2}{y+2}=\dfrac{9}{11} \Rightarrow 11x-9y=-4$। $\dfrac{x+3}{y+3}=\dfrac{5}{6} \Rightarrow 6x-5y=-3$। हल करने पर $x=7, y=9$। भिन्न $=\dfrac{7}{9}$।

प्र. पाँच साल बाद जैकब की आयु उसके बेटे की आयु की तिगुनी होगी। पाँच साल पहले जैकब की आयु बेटे की आयु की सात गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लें जैकब की आयु $x$, बेटे की $y$। $x+5=3(y+5) \Rightarrow x-3y=10$। $x-5=7(y-5) \Rightarrow x-7y=-30$। घटाने पर $4y=40 \Rightarrow y=10$, फिर $x=40$। जैकब 40 वर्ष, बेटा 10 वर्ष।

प्र. मीना बैंक से ₹2000 निकालती है, केवल ₹50 और ₹100 के नोटों में; उसे कुल 25 नोट मिलते हैं। हर प्रकार के कितने नोट मिले?

उत्तर: $x+y=25$, $50x+100y=2000 \Rightarrow x+2y=40$। घटाने पर $y=15$, फिर $x=10$। ₹50 के 10 नोट, ₹100 के 15 नोट।

प्र. पाँच साल पहले नूरी की आयु सोनू से तिगुनी थी। दस साल बाद नूरी की आयु सोनू से दोगुनी होगी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए, तथा जाँचिए कि पाँच साल पहले और दस साल बाद की शर्तें संतुष्ट होती हैं या नहीं।

उत्तर: मान लें नूरी की आयु $x$, सोनू की $y$। $x-5=3(y-5) \Rightarrow x-3y=-10$। $x+10=2(y+10) \Rightarrow x-2y=10$। घटाने पर $y=20$, फिर $x=50$। जाँच: 5 साल पहले नूरी 45, सोनू 15, $45=3(15)$ ✓। 10 साल बाद नूरी 60, सोनू 30, $60=2(30)$ ✓। अतः नूरी 50 वर्ष, सोनू 20 वर्ष।

प्र. एक दो-अंकों की संख्या और उसके अंक पलटने से बनी संख्या का योग 66 है; अंकों में 2 का अंतर है। संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?

उत्तर: मान लें दहाई का अंक $x$, इकाई का अंक $y$। $(10x+y)+(10y+x)=66 \Rightarrow x+y=6$। अंकों में अंतर 2: $x-y=2$ या $y-x=2$।
पहली स्थिति: $x+y=6$ और $x-y=2$ को जोड़ने पर $2x=8 \Rightarrow x=4$, फिर $y=2$। संख्या $=10(4)+2=42$।
दूसरी स्थिति: $x+y=6$ और $y-x=2$ को जोड़ने पर $2y=8 \Rightarrow y=4$, फिर $x=2$। संख्या $=10(2)+4=24$।
जाँच: $42+24=66$ ✓ और दोनों में अंकों का अंतर $4-2=2$ ✓।
दोनों ही मान्य हैं, अतः ऐसी दो संख्याएँ हैं: 42 और 24।

प्र. ग्राफीय विधि से जाँच कीजिए कि युग्म $x+3y=6$ और $2x-3y=12$ संगत है या नहीं। यदि संगत है तो ग्राफ से हल ज्ञात कीजिए, तथा हल को बीजगणितीय रूप से भी सत्यापित कीजिए।

उत्तर: तालिका: $x+3y=6$ के लिए $(0,2)$ और $(6,0)$; $2x-3y=12$ के लिए $(0,-4)$ और $(3,-2)$। दोनों रेखाएँ ग्राफ पेपर पर खींचने से बिंदु $B(6,0)$ पर मिलती हैं, अतः युग्म संगत है और हल $x=6, y=0$ है। सत्यापन: $6+3(0)=6$ ✓, $2(6)-3(0)=12$ ✓। (अनुपात जाँच: $a_1/a_2=1/2$, $b_1/b_2=3/-3=-1$, बराबर नहीं, इसलिए प्रतिच्छेदी, अद्वितीय हल, यह भी पुष्टि करता है)।

प्र. रेखाएँ $x-y+1=0$ और $3x+2y-12=0$ खींचिए। इन रेखाओं और $x$-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए (ग्राफ में)।

उत्तर: सारणी: $x-y+1=0$, अर्थात $y=x+1$: $(-1,0)$, $(0,1)$, $(2,3)$।
$3x+2y-12=0$, अर्थात $y=\dfrac{12-3x}{2}$: $(0,6)$, $(2,3)$, $(4,0)$।
इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दोनों रेखाएँ खींचिए।
$x-y+1=0$ का $x$-अक्ष प्रतिच्छेदन: $y=0 \Rightarrow x=-1$, अर्थात $(-1,0)$। $3x+2y-12=0$ का $x$-अक्ष प्रतिच्छेदन: $y=0 \Rightarrow x=4$, अर्थात $(4,0)$। दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन: $x+1=\dfrac{12-3x}{2} \Rightarrow 2x+2=12-3x \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2, y=3$, अर्थात $(2,3)$। त्रिभुज के शीर्ष: $(-1,0)$, $(4,0)$ और $(2,3)$।
इन तीनों शीर्षों से बने त्रिभुज को ग्राफ में छायांकित कीजिए।

प्र. किसी पुस्तकालय में पहले तीन दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क है, और उसके बाद हर अतिरिक्त दिन के लिए एक और शुल्क है। सरिता ने 7 दिन तक रखी किताब के लिए ₹27 दिए, जबकि सूसी ने 5 दिन तक रखी किताब के लिए ₹21 दिए। निश्चित शुल्क और प्रति अतिरिक्त दिन का शुल्क ज्ञात कीजिए, तथा 10 दिनों के लिए कुल शुल्क भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लें निश्चित शुल्क ₹$x$, अतिरिक्त प्रति दिन शुल्क ₹$y$। सरिता (7 दिन $=$ 3 दिन $+$ 4 अतिरिक्त): $x+4y=27$। सूसी (5 दिन $=$ 3 दिन $+$ 2 अतिरिक्त): $x+2y=21$। घटाने पर $2y=6 \Rightarrow y=3$, फिर $x=15$। निश्चित शुल्क ₹15, अतिरिक्त प्रति दिन ₹3। 10 दिन का शुल्क $= 15+3(7)=₹36$ (3 दिन निश्चित $+$ 7 अतिरिक्त दिन)।