Class 10 Mathematics Chapter 10 Notes in Hindi: वृत्त

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1भूमिका: रेखा और वृत्त की स्थितियाँ

2वृत्त की स्पर्श रेखा

3किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या

4हल किए गए उदाहरण

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

एक रेखा और एक वृत्त की तीन संभावित स्थितियाँ: अप्रतिच्छेदी, छेदक और स्पर्श रेखा
स्पर्श रेखा को छेदक रेखा की विशेष स्थिति के रूप में समझना
प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है, पूर्ण प्रमाण
किसी बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या (बिंदु अंदर/पर/बाहर होने पर)
प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है, पूर्ण प्रमाण
दोनों प्रमेयों को प्रमाण और संख्यात्मक प्रश्नों में लगाना

स्पर्श रेखाछेदक रेखास्पर्श बिंदु
प्रमेय 10.1प्रमेय 10.2स्पर्श रेखा की लंबाई

1भूमिका: रेखा और वृत्त की स्थितियाँ

कक्षा 9 में आपने पढ़ा था कि वृत्त किसी तल में स्थित उन सभी बिंदुओं का समूह है
जो एक नियत बिंदु (केंद्र) से एक अचर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। आपने वृत्त से जुड़े कुछ
शब्द भी पढ़े थे, जैसे जीवा, वृत्तखंड, त्रिज्यखंड और चाप। इस अध्याय में हम यह देखेंगे कि
जब एक ही तल में एक वृत्त और एक रेखा दोनों दिए हों, तो उनके बीच कौन-कौन सी स्थितियाँ
बन सकती हैं।

यदि हम एक वृत्त और एक रेखा PQ लें, तो तीन संभावनाएँ हो सकती हैं (चित्र 1):

रेखा PQ और वृत्त में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इस दशा में PQ को वृत्त के सापेक्ष अप्रतिच्छेदी रेखा कहते हैं।
रेखा PQ और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु A और B हैं। इस दशा में PQ को वृत्त की छेदक रेखा कहते हैं।
रेखा PQ और वृत्त में एक और केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु A है। इस दशा में रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।

इन स्थितियों के अतिरिक्त रेखा की वृत्त के सापेक्ष कोई अन्य स्थिति नहीं हो सकती।

चित्र 1: रेखा और वृत्त की तीन संभव स्थितियाँ। कुएँ की घिरनी की रस्सी और साइकिल के पहिए की ज़मीन से छूने वाली रेखा, दोनों स्पर्श रेखा के रोज़मर्रा के उदाहरण हैं। — **चित्र 1**: रेखा और वृत्त की तीन संभव स्थितियाँ। कुएँ की घिरनी की
रस्सी और साइकिल के पहिए की ज़मीन से छूने वाली रेखा, दोनों स्पर्श रेखा के रोज़मर्रा के
उदाहरण हैं।

रोज़मर्रा का उदाहरण

कुएँ पर लगी घिरनी पर दोनों ओर लटकती रस्सी को किरण मानें, तो वह घिरनी द्वारा
निरूपित वृत्त पर स्पर्श रेखा जैसी दिखती है। इसी तरह साइकिल का पहिया जिस रेखा
(ज़मीन) पर चलता है, वह भी पहिए को निरूपित करने वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है, और
स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या (तीली) हमेशा उस रेखा पर लंब दिखती है। यही अवलोकन
आगे प्रमेय 10.1 में सिद्ध किया जाएगा।

2वृत्त की स्पर्श रेखा

ऊपर दी गई तीसरी स्थिति में रेखा वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। इसी
स्थिति को स्पर्श रेखा कहते हैं।

याद रखेंपरिभाषा 1

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक ही बिंदु
पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त और स्पर्श रेखा के इस उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु
(point of contact) कहते हैं, और कहा जाता है कि स्पर्श रेखा वृत्त को उस बिंदु पर
“स्पर्श करती है”।

पुस्तक में दो क्रियाकलाप कराए गए हैं जो यह दिखाते हैं कि स्पर्श रेखा वास्तव में छेदक
रेखा की ही एक विशेष स्थिति है। पहले क्रियाकलाप में एक वृत्ताकार तार पर बिंदु P से जुड़ा
एक सीधा तार AB घुमाया जाता है, जो अधिकांश स्थितियों में वृत्त को दो बिंदुओं पर काटता
है, पर ठीक एक स्थिति में वह केवल P पर ही स्पर्श करता है। दूसरे क्रियाकलाप में एक छेदक
रेखा PQ के समांतर कई रेखाएँ खींची जाती हैं; जैसे-जैसे रेखा छेदक रेखा से दूर हटती है,
उसके द्वारा काटी गई जीवा की लंबाई घटती जाती है, और अंत में दोनों प्रतिच्छेद बिंदु
संपाती होकर एक ही बिंदु बन जाते हैं। दोनों क्रियाकलापों से एक ही निष्कर्ष निकलता है।

मुख्य निष्कर्ष

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा, छेदक रेखा की वह विशेष स्थिति है जब उसकी संगत जीवा के
दोनों सिरे संपाती (coincide) हो जाएँ। क्रियाकलापों से यह निष्कर्ष भी निकलता है कि किसी दिए गए छेदक
रेखा के समांतर वृत्त की अधिक से अधिक दो ही स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, और वृत्त के
किसी एक बिंदु पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है।

प्रमेय 10.1

वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर
लंब होती है।

प्रमाण

दिया है: केंद्र O वाला एक वृत्त और बिंदु P पर वृत्त की एक स्पर्श रेखा XY।

सिद्ध करना है: OP, XY पर लंब है।

XY पर P के अतिरिक्त कोई बिंदु Q लीजिए और OQ मिलाइएप्रमाण की रचना

बिंदु Q वृत्त के बाहर होना चाहिएयदि Q वृत्त के अंदर होता तो XY एक छेदक रेखा बन जाती, स्पर्श रेखा नहीं

OQ > OPQ वृत्त के बाहर है, इसलिए O से Q की दूरी, O से वृत्त की त्रिज्या OP से अधिक है

यह P के अतिरिक्त XY के हर बिंदु के लिए सत्य हैQ, XY पर कोई भी बिंदु हो सकता है (P को छोड़कर)

इसलिए OP, बिंदु O से रेखा XY के सभी बिंदुओं की न्यूनतम दूरी हैक्योंकि रेखा के हर अन्य बिंदु की दूरी OP से अधिक निकली

इसलिए OP, XY पर लंब हैकिसी रेखा पर किसी बाह्य बिंदु से न्यूनतम दूरी सदैव लंब दूरी होती है

टिप्पणियाँ (पुस्तक से)

1. इस प्रमेय से यह भी निष्कर्ष निकलता है कि वृत्त के किसी बिंदु पर एक और केवल
एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है।
2. स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या को उस बिंदु पर वृत्त का अभिलंब (normal)
भी कहा जाता है।

परीक्षा संकेत

प्रमेय 10.1 के प्रमाण की कुंजी यह पंक्ति है: “यदि Q वृत्त के अंदर होता तो XY छेदक
रेखा बन जाती”। यही OQ > OP को सही ठहराती है।

3किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या

अब हम यह देखते हैं कि किसी दिए गए बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा
सकती हैं। यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह बिंदु वृत्त के अंदर है, वृत्त पर है, या
वृत्त के बाहर है।

चित्र 3: बिंदु P की स्थिति के अनुसार स्पर्श रेखाओं की संख्या। तीसरे पैनल में T1 और T2 स्पर्श बिंदु हैं, और हर स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है। — **चित्र 3**: बिंदु P की स्थिति के अनुसार स्पर्श रेखाओं की संख्या।
तीसरे पैनल में T₁ और T₂ स्पर्श बिंदु हैं, और हर स्पर्श बिंदु पर
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है।

तीन स्थितियाँ (पुस्तक की भाषा में)

स्थिति 1: वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की कोई
स्पर्श रेखा नहीं होती (उस बिंदु से जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती
है)।
स्थिति 2: वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की एक और केवल एक
स्पर्श रेखा होती है।
स्थिति 3: वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की ठीक दो
स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

याद रखेंपरिभाषा 2

बाह्य बिंदु P और वृत्त पर उसके स्पर्श बिंदु के बीच की रेखाखंड की लंबाई को बिंदु
P से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई (length of the tangent) कहते हैं। चित्र 3
के तीसरे पैनल में $PT_1$ और $PT_2$ ऐसी ही दो लंबाइयाँ हैं। इन दोनों लंबाइयों में एक उभयनिष्ठ गुण
है, दोनों सदैव बराबर होती हैं, जो हमारा अगला प्रमेय है।

प्रमेय 10.2

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

प्रमाण

दिया है: केंद्र O वाला एक वृत्त, वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु P, और P से
वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR।

सिद्ध करना है: PQ = PR।

OP, OQ और OR मिलाइएप्रमाण की रचना

∠OQP = ∠ORP = 90°प्रमेय 10.1 से, त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है

समकोण त्रिभुज OQP और ORP में: OQ = OR, OP = OPOQ, OR एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ; OP उभयनिष्ठ भुजा

\triangle OQP \cong \triangle ORP

RHS सर्वांगसमता नियम से

PQ = PRCPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

टिप्पणियाँ (पुस्तक से)

1. यह प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय से भी सिद्ध की जा सकती है:
$PQ^2 = OP^2 – OQ^2 = OP^2 – OR^2 = PR^2$ (क्योंकि OQ = OR), जिससे PQ = PR
मिलता है।
2. ∠OPQ = ∠OPR भी सत्य है, अर्थात OP कोण QPR का समद्विभाजक है, यानी
वृत्त का केंद्र सदैव दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता
है।

शब्द की उत्पत्ति

“Tangent” शब्द लैटिन शब्द “tangere” से आया है, जिसका अर्थ है “छूना”। इसे 1583
में डेनिश गणितज्ञ थॉमस फ़िंके (Thomas Fincke) ने प्रचलित किया था।

परीक्षा संकेत

प्रमेय 10.2 का प्रमाण RHS सर्वांगसमता से लिखें: ∠OQP = ∠ORP = 90°, OQ = OR, OP
उभयनिष्ठ। जिन प्रश्नों में त्रिज्या, बाह्य बिंदु की दूरी और स्पर्श रेखा की लंबाई में से
दो दी हों और तीसरी ज्ञात करनी हो, उनमें समकोण त्रिभुज बनाकर पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ,
क्योंकि त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंब होती हैं (प्रमेय 10.1)। परिगत आकृतियों वाले प्रश्नों में
प्रमेय 10.2 से एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर लें।

4हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1

प्र. सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे
वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

हल: माना केंद्र O वाले दो संकेंद्रीय वृत्त $C_1$ (बड़ा) और $C_2$ (छोटा) हैं,
और बड़े वृत्त $C_1$ की जीवा AB, छोटे वृत्त $C_2$ को बिंदु P पर स्पर्श करती है। सिद्ध
करना है कि AP = BP। OP मिलाइए। अब AB, वृत्त $C_2$ की बिंदु P पर स्पर्श रेखा है और
OP उसकी त्रिज्या है, इसलिए प्रमेय 10.1 से OP ⊥ AB। साथ ही AB वृत्त $C_1$ की एक
जीवा भी है, और केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को सदैव समद्विभाजित करता है।
अतः AP = BP।

उदाहरण 2

प्र. केंद्र O वाले एक वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ
खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle PTQ = 2\angle OPQ$ ।

हल: माना $\angle PTQ = \theta$ । प्रमेय 10.2 से TP = TQ, इसलिए $\triangle TPQ$
समद्विबाहु है। अतः
$\angle TPQ = \angle TQP = \dfrac{1}{2}(180^\circ – \theta) = 90^\circ – \dfrac{\theta}{2}$ ।
प्रमेय 10.1 से $\angle OPT = 90^\circ$ । इसलिए
$\angle OPQ = \angle OPT – \angle TPQ = 90^\circ – \left(90^\circ – \dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{2}\angle PTQ$ ।
अतः $\angle PTQ = 2\angle OPQ$ ।

उदाहरण 3

प्र. 5 cm त्रिज्या के एक वृत्त की 8 cm लंबी एक जीवा PQ है। P और Q पर
स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। TP की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया है

त्रिज्या OP = OQ = 5 cm, जीवा PQ = 8 cm

ज्ञात करना है

स्पर्श रेखा की लंबाई TP

हल

OT मिलाइए, मान लीजिए यह PQ को बिंदु R पर प्रतिच्छेद करती है। प्रमेय 10.2 से
TP = TQ, इसलिए $\triangle TPQ$ समद्विबाहु है और TO कोण PTQ का समद्विभाजक है।
अतः OT ⊥ PQ, और इसलिए OT, PQ को समद्विभाजित करती है, अर्थात
PR = RQ = 4 cm। अब समकोण त्रिभुज OPR में:
$OR = \sqrt{OP^2 – PR^2} = \sqrt{5^2 – 4^2} = \sqrt{9} = 3\text{ cm}$ ।

अब $\angle TPR + \angle RPO = 90^\circ = \angle TPR + \angle PTR$ (क्योंकि
समकोण त्रिभुज TRP में $\angle TRP=90^\circ$ ), इसलिए $\angle RPO = \angle PTR$ ।
अतः समकोण त्रिभुज TRP, समकोण त्रिभुज PRO के समरूप है (AA समरूपता से)। इससे
$\dfrac{TP}{PO} = \dfrac{RP}{RO}$ , अर्थात $\dfrac{TP}{5} = \dfrac{4}{3}$ , इसलिए
$TP = \dfrac{20}{3}\text{ cm}$ ।

वैकल्पिक विधि (पाइथागोरस प्रमेय से)

माना TP = x और TR = y। समकोण त्रिभुज PRT में $x^2 = y^2 + 16$ … (1)। समकोण
त्रिभुज OPT में $x^2 + 5^2 = (y+3)^2$ … (2)। समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
$25 = 6y – 7$ , अर्थात $y = \dfrac{32}{6} = \dfrac{16}{3}$ । समीकरण (1) में रखने पर
$x^2 = \dfrac{256}{9} + 16 = \dfrac{400}{9}$ , इसलिए
$x = \dfrac{20}{3}\text{ cm}$ , वही उत्तर दोनों विधियों से
मिलता है।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं प्रमेय 10.1 का पूरा प्रमाण (विरोधाभास/न्यूनतम-दूरी विधि से) लिख सकता हूँ?
क्या मैं प्रमेय 10.2 का पूरा प्रमाण (RHS सर्वांगसमता से) लिख सकता हूँ, और
पाइथागोरस प्रमेय वाली वैकल्पिक विधि भी बता सकता हूँ?
क्या मुझे पता है कि किसी बिंदु से वृत्त पर 0, 1 या 2 स्पर्श रेखाएँ कब संभव हैं?
क्या मैं त्रिज्या, बाह्य बिंदु की दूरी और स्पर्श रेखा की लंबाई में से कोई दो दिए
होने पर तीसरी पाइथागोरस प्रमेय से निकाल सकता हूँ?
क्या मैं परिगत चतुर्भुज (AB + CD = AD + BC जैसे) वाले प्रश्नों में स्पर्श रेखा
की लंबाई की समानता का उपयोग कर सकता हूँ?

सभी परिभाषाएँ एक जगह

स्पर्श रेखा (tangent)वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा

छेदक रेखा (secant)वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा

अप्रतिच्छेदी रेखावह रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो

स्पर्श बिंदु (point of contact)स्पर्श रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु

अभिलंब (normal)स्पर्श बिंदु से त्रिज्या को समाहित करने वाली रेखा को वृत्त के उस बिंदु पर अभिलंब भी कहते हैं

स्पर्श रेखा की लंबाईबाह्य बिंदु और स्पर्श बिंदु के बीच की रेखाखंड की लंबाई

प्रमेय 10.1स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है

प्रमेय 10.2बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है

सारांश और त्वरित दोहराव: परीक्षा से एक रात पहले यही पढ़ें

रेखा और वृत्त की तीन स्थितियाँ: अप्रतिच्छेदी, छेदक, स्पर्श रेखा
स्पर्श रेखा, छेदक रेखा की वह विशेष स्थिति है जब संगत जीवा के दोनों सिरे संपाती हो जाएँ
प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा त्रिज्या (स्पर्श बिंदु से) पर लंब होती है, प्रमाण न्यूनतम-दूरी विधि से (OQ > OP हर दूसरे बिंदु Q के लिए)
वृत्त के अंदर बिंदु से 0, वृत्त पर बिंदु से 1, वृत्त के बाहर बिंदु से ठीक 2 स्पर्श रेखाएँ संभव
प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर, प्रमाण RHS सर्वांगसमता से (∠OQP = ∠ORP = 90°, OQ = OR, OP उभयनिष्ठ)
OP सदैव कोण QPR (दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण) का समद्विभाजक होता है
त्रिज्या, बाह्य बिंदु की दूरी और स्पर्श रेखा की लंबाई में से दो दी हों तो तीसरी पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है (त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंब होते हैं, प्रमेय 10.1); परिगत आकृति के प्रश्नों में प्रमेय 10.2 से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर लें
इस अध्याय में कुल 2 अभ्यास हैं: प्रश्नावली 10.1 (4 प्रश्न) और प्रश्नावली 10.2 (13 प्रश्न)

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स