सांख्यिकी

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1भूमिका (Introduction)
2वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य (Mean of Grouped Data)
2.1 वर्ग चिह्न (Class Mark)
2.2 प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
2.3 कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)
2.4 पग-विचलन विधि (Step-deviation Method)
2.5 कौन सी विधि कब प्रयोग करें?
3वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data)
4वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data)
4.1 संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)
4.2 माध्यक वर्ग और सूत्र
4.3 माध्यक दिया हो तो लुप्त बारंबारताएँ ज्ञात करना
5माध्य, माध्यक और बहुलक की तुलना
इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे
  • वर्गीकृत आँकड़ों (grouped data) का माध्य तीन विधियों से निकालना: प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि और पग-विचलन विधि
  • वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (mode) निकालना और बहुलक वर्ग पहचानना
  • संचयी बारंबारता (cumulative frequency) की सहायता से वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक (median) निकालना
  • माध्य, बहुलक और माध्यक में से किसी स्थिति के लिए कौन सा मापक सही है, यह तय करना
  • माध्य (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य और पग-विचलन विधि), बहुलक और माध्यक (सूत्र से) वाले प्रश्न हल करना, लुप्त बारंबारता वाले प्रश्नों सहित
वर्गीकृत आँकड़ेमाध्यबहुलक
माध्यकसंचयी बारंबारतावर्ग चिह्न

1भूमिका (Introduction)

कक्षा 9 में आपने आँकड़ों को अवर्गीकृत (ungrouped) और वर्गीकृत (grouped) बारंबारता
बंटनों में वर्गीकृत करना सीखा था, और दंड आलेख, आयत चित्र जैसे आलेखों से आँकड़ों को
चित्रीय रूप में दिखाना भी सीखा था। इसके साथ ही आपने अवर्गीकृत आँकड़ों के तीन केंद्रीय
प्रवृत्ति के मापक (measures of central tendency) भी पढ़े थे: माध्य, माध्यक और बहुलक।

इस अध्याय में हम इन्हीं तीनों मापकों को अवर्गीकृत आँकड़ों से वर्गीकृत आँकड़ों तक
आगे बढ़ाएँगे, साथ ही माध्यक के लिए ज़रूरी संचयी बारंबारता की अवधारणा भी पढ़ेंगे।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 1

केंद्रीय प्रवृत्ति का मापक (measure of central tendency) वह एक संख्या है जो पूरे
आँकड़ों के समूह का प्रतिनिधित्व करती है: यह बताती है कि आँकड़े सामान्यतः किस मान के
आसपास केंद्रित हैं। माध्य, माध्यक और बहुलक इसी के तीन अलग-अलग मापक हैं।

क्या आप जानते हैं?

औसत अंक, किसी शहर की साक्षरता दर, बल्ब का औसत जीवन काल या दुकान में सबसे ज़्यादा बिकने
वाला जूते का साइज़, इन सब के पीछे माध्य, माध्यक या बहुलक में से कोई एक मापक काम कर रहा होता है।

2वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य (Mean of Grouped Data)

2.1 वर्ग चिह्न (Class Mark)

वर्गीकृत आँकड़ों में हर प्रेक्षण (observation) का ठीक-ठीक मान नहीं पता होता, केवल यह पता
होता है कि वह किस वर्ग अंतराल (class interval) में आता है। इसलिए हम मान लेते हैं कि हर
वर्ग की बारंबारता उस वर्ग के मध्य बिंदु पर केंद्रित है, और इसी मध्य बिंदु को उस पूरे
वर्ग का प्रतिनिधि मान मान लिया जाता है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 2

वर्ग चिह्न (class mark) किसी वर्ग अंतराल की उपरि सीमा और निम्न सीमा का औसत
होता है: वर्ग चिह्न xi=उपरि सीमा+निम्न सीमा2x_i = \dfrac{\text{उपरि सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2}। यही xix_i
उस वर्ग के लिए प्रयोग किया जाता है।

हल किया उदाहरण 1

प्र. 30 विद्यार्थियों के गणित के 100 अंकों में से प्राप्त अंकों को वर्ग अंतरालों में बाँटा
गया है। पहले वर्ग 10-25 का वर्ग चिह्न ज्ञात कीजिए।

हल: वर्ग चिह्न =10+252=352=17.5= \dfrac{10+25}{2} = \dfrac{35}{2} = 17.5

याद रखिए

अवर्गीकृत आँकड़ों को वर्ग अंतरालों में बाँटते समय, किसी उपरि वर्ग सीमा (upper class limit)
पर आने वाला प्रेक्षण अगले वर्ग अंतराल में लिया जाता है। जैसे, 40 अंक पाने वाले 4 विद्यार्थी
वर्ग 25-40 में नहीं, वर्ग 40-55 में गिने जाते हैं।

2.2 प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

वर्ग चिह्न (xix_i) को उस वर्ग की पूरी बारंबारता का प्रतिनिधि मान मान लेने के बाद, माध्य
वही पुराना सूत्र प्रयोग करके निकाला जाता है जो अवर्गीकृत आँकड़ों में प्रयोग होता था, बस
अब xix_i असली प्रेक्षण नहीं, वर्ग चिह्न है।

प्रत्यक्ष विधि का सूत्र
xˉ=∑fixi∑fi\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
जहाँ xix_i = iiवें वर्ग का वर्ग चिह्न, fif_i = iiवें वर्ग की बारंबारता
चित्र 1: 30 विद्यार्थियों के अंकों का वर्गीकृत बारंबारता बंटन (वर्ग 10-25 से 85-100 तक), हर बार की ऊँचाई उस वर्ग की बारंबारता दिखाती है
चित्र 1: 30 विद्यार्थियों के अंकों का वर्गीकृत बारंबारता बंटन (वर्ग 10-25 से 85-100 तक), हर बार की ऊँचाई उस वर्ग की बारंबारता दिखाती है
हल किया उदाहरण 2

प्र. नीचे दी गई सारणी से प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए।

वर्ग अंतराल विद्यार्थियों की संख्या (fif_i) वर्ग चिह्न (xix_i) fixif_i x_i
10 – 25 2 17.5 35.0
25 – 40 3 32.5 97.5
40 – 55 7 47.5 332.5
55 – 70 6 62.5 375.0
70 – 85 6 77.5 465.0
85 – 100 6 92.5 555.0
योग ∑fi=30\mathbf{\sum f_i = 30} ∑fixi=1860.0\mathbf{\sum f_i x_i = 1860.0}

हल: xˉ=∑fixi∑fi=1860.030=  \bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \dfrac{1860.0}{30} = \;6262

परीक्षा संकेत

यही आँकड़े अगर अवर्गीकृत रूप में दिए जाएँ (हर विद्यार्थी का ठीक-ठीक प्राप्तांक), तो सही
माध्य 59.3 आता है, जबकि वर्गीकृत करने के बाद प्रत्यक्ष विधि से 62 आता है। यह अंतर वर्ग
चिह्न वाली अनुमानित धारणा (approximation) की वजह से है: वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य
सामान्यतः एक सन्निकट (approximate) मान होता है, ठीक-ठीक नहीं (पुस्तक: “59.3 सही माध्य है,
जबकि 62 एक सन्निकट माध्य है”)।

2.3 कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

जब xix_i और fif_i के मान बड़े होते हैं, तो fixif_i x_i का गुणनफल निकालना थकाऊ हो जाता
है। इसलिए किसी एक वर्ग चिह्न को कल्पित माध्य (assumed mean) aa मान लिया जाता
है, और बाकी सभी वर्ग चिह्नों का aa से विचलन (deviation) di=xi−ad_i = x_i – a निकाला
जाता है, इससे छोटी संख्याओं के साथ काम करना पड़ता है।

di=xi−ad_i = x_i – aहर वर्ग चिह्न का कल्पित माध्य से विचलन
dˉ=∑fidi∑fi=∑fi(xi−a)∑fi=xˉ−a\bar{d} = \dfrac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \dfrac{\sum f_i (x_i-a)}{\sum f_i} = \bar{x} – aविचलनों का भारित माध्य, xi=di+ax_i=d_i+a रखने पर
xˉ=a+dˉ\bar{x} = a + \bar{d}दोनों ओर aa जोड़ने पर
कल्पित माध्य विधि का सूत्र
xˉ=a+∑fidi∑fi\bar{x} = a + \dfrac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
जहाँ aa = कल्पित माध्य (आमतौर पर बीच वाला वर्ग चिह्न), di=xi−ad_i = x_i – a
हल किया उदाहरण 3

प्र. उदाहरण 2 वाली सारणी में a=47.5a = 47.5 (यानी 40-55 वर्ग का चिह्न) लेकर कल्पित
माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए।

वर्ग चिह्न (xix_i) fif_i di=xi−47.5d_i = x_i – 47.5 fidif_i d_i
17.5 2 −30 −60
32.5 3 −15 −45
47.5 7 0 0
62.5 6 15 90
77.5 6 30 180
92.5 6 45 270
∑fi=30\mathbf{\sum f_i = 30} ∑fidi=435\mathbf{\sum f_i d_i = 435}

हल: xˉ=47.5+43530=47.5+14.5=  \bar{x} = 47.5 + \dfrac{435}{30} = 47.5 + 14.5 = \;6262 (प्रत्यक्ष विधि जैसा ही उत्तर)

परीक्षा संकेत

aa के लिए कोई भी वर्ग चिह्न चुनें, माध्य हमेशा वही आएगा: aa की पसंद पर माध्य निर्भर
नहीं करता। हिसाब आसान बनाने के लिए बीच वाला वर्ग चिह्न चुनना सुविधाजनक रहता है।

2.4 पग-विचलन विधि (Step-deviation Method)

उदाहरण 3 की सारणी में did_i वाले स्तंभ के सभी मान 15 के गुणज हैं (यहाँ 15, हर वर्ग
अंतराल की वर्ग माप है)। ऐसी स्थिति में हर did_i को वर्ग माप hh से भाग देकर और छोटी संख्या बना ली जाती है, जिसे
uiu_i कहते हैं। इसी को पग-विचलन विधि कहते हैं।

पग-विचलन विधि का सूत्र
ui=xi−ahxˉ=a+h(∑fiui∑fi)u_i = \dfrac{x_i – a}{h} \qquad \bar{x} = a + h\left(\dfrac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right)
जहाँ aa = कल्पित माध्य, hh = वर्ग माप (असमान वर्ग मापों में: सभी did_i का कोई उपयुक्त सार्व गुणनखंड)
इन चिह्नों का मतलब
xix_iiiवें वर्ग का वर्ग चिह्न–
fif_iiiवें वर्ग की बारंबारता–
aaकल्पित माध्य (assumed mean)–
hhवर्ग माप (class size)–
हल किया उदाहरण 4

प्र. उदाहरण 2/3 वाली सारणी में a=47.5a = 47.5, h=15h = 15 लेकर पग-विचलन विधि से माध्य
ज्ञात कीजिए।

xix_i fif_i di=xi−47.5d_i = x_i – 47.5 ui=di15u_i = \dfrac{d_i}{15} fiuif_i u_i
17.5 2 −30 −2 −4
32.5 3 −15 −1 −3
47.5 7 0 0 0
62.5 6 15 1 6
77.5 6 30 2 12
92.5 6 45 3 18
∑fi=30\mathbf{\sum f_i = 30} ∑fiui=29\mathbf{\sum f_i u_i = 29}

हल: xˉ=47.5+15×2930=47.5+14.5=  \bar{x} = 47.5 + 15 \times \dfrac{29}{30} = 47.5 + 14.5 = \;6262 (तीनों विधियों का उत्तर एक ही है)

आम ग़लती

यह मान लेना ग़लत है कि पग-विचलन विधि केवल बराबर वर्ग मापों में ही चलती है। पुस्तक के
अनुसार पग-विचलन विधि तभी सुविधाजनक होती है जब सभी did_i में कोई सार्व गुणनखंड
(common factor) हो। यदि वर्ग माप असमान हों और xix_i संख्यात्मक रूप से बड़े हों, तो भी सभी
did_i का एक उपयुक्त सर्वनिष्ठ गुणनखंड hh लेकर ui=xi−ahu_i = \dfrac{x_i-a}{h} से पग-विचलन विधि
प्रयोग की जा सकती है। हल किया उदाहरण 5 में पुस्तक h=20h = 20 लेती है; वहाँ 100-150 वर्ग के लिए
ui=−3.75u_i = -3.75 आता है, अर्थात hh का हर did_i को पूरा-पूरा विभाजित करना ज़रूरी नहीं, वह केवल
हिसाब को सुविधाजनक बनाता है।

हल किया उदाहरण 5 (असमान वर्ग माप)

प्र. एक दिवसीय क्रिकेट मैचों में गेंदबाज़ों द्वारा लिए गए विकिटों का बंटन नीचे दिया है।
उपयुक्त विधि चुनकर माध्य विकिट ज्ञात कीजिए।

विकिटों की संख्या गेंदबाज़ों की संख्या
20 – 60 7
60 – 100 5
100 – 150 16
150 – 250 12
250 – 350 2
350 – 450 3

हल: वर्ग माप असमान हैं और xix_i के मान बड़े हैं, इसलिए पुस्तक की तरह a=200a = 200 और h=20h = 20
लेकर पग-विचलन विधि प्रयोग करते हैं (h=20h = 20 यहाँ कोई वर्ग माप नहीं, एक सुविधाजनक संख्या है; सभी
did_i इसके गुणज नहीं हैं, इसलिए एक uiu_i भिन्नात्मक आता है)।

विकिटों की संख्या fif_i xix_i di=xi−200d_i = x_i – 200 ui=di20u_i = \dfrac{d_i}{20} fiuif_i u_i
20 – 60 7 40 −160 −8 −56
60 – 100 5 80 −120 −6 −30
100 – 150 16 125 −75 −3.75 −60
150 – 250 12 200 0 0 0
250 – 350 2 300 100 5 10
350 – 450 3 400 200 10 30
योग ∑fi=45\mathbf{\sum f_i = 45} ∑fiui=−106\mathbf{\sum f_i u_i = -106}

ध्यान दीजिए: 100-150 वर्ग के लिए ui=−3.75u_i = -3.75 आता है, यानी uiu_i का पूर्णांक होना ज़रूरी नहीं।
xˉ=200+20(−10645)=200−47.11=  \bar{x} = 200 + 20\left(\dfrac{-106}{45}\right) = 200 – 47.11 = \;152.89152.89
इसका अर्थ है कि इन 45 गेंदबाज़ों ने एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में 152.89 की औसत से विकिट लिए हैं।

2.5 कौन सी विधि कब प्रयोग करें?

विधि कब उपयुक्त है
प्रत्यक्ष विधि जब xix_i और fif_i के मान पर्याप्त रूप से छोटे हों
कल्पित माध्य विधि जब xix_i और fif_i के मान संख्यात्मक रूप से बड़े हों
पग-विचलन विधि जब xix_i और fif_i के मान बड़े हों और सभी did_i में कोई सार्व गुणनखंड हो (वर्ग माप असमान हों तब भी, ऊपर आम ग़लती वाला बॉक्स देखें)
परीक्षा संकेत

तीनों विधियों से माध्य हमेशा एक ही आता है: विधि सिर्फ हिसाब को आसान बनाने के
लिए बदलती है, उत्तर नहीं बदलता। कल्पित माध्य विधि और पग-विचलन विधि, प्रत्यक्ष विधि के
ही सरल रूप हैं।

हल किया उदाहरण 6 (तीनों विधियाँ एक ही प्रश्न पर)

प्र. नीचे दी हुई सारणी भारत के विभिन्न राज्यों एवं संघीय क्षेत्रों के ग्रामीण क्षेत्रों के
प्राथमिक विद्यालयों में महिला शिक्षकों के प्रतिशत बंटन को दर्शाती है। तीनों विधियों से महिला
शिक्षकों का माध्य प्रतिशत ज्ञात कीजिए। (a=50a = 50, h=10h = 10 लीजिए।)

महिला शिक्षकों का प्रतिशत fif_i xix_i di=xi−50d_i = x_i – 50 ui=di10u_i = \dfrac{d_i}{10} fixif_i x_i fidif_i d_i fiuif_i u_i
15 – 25 6 20 −30 −3 120 −180 −18
25 – 35 11 30 −20 −2 330 −220 −22
35 – 45 7 40 −10 −1 280 −70 −7
45 – 55 4 50 0 0 200 0 0
55 – 65 4 60 10 1 240 40 4
65 – 75 2 70 20 2 140 40 4
75 – 85 1 80 30 3 80 30 3
योग 35\mathbf{35} 1390\mathbf{1390} −360\mathbf{-360} −36\mathbf{-36}

हल: प्रत्यक्ष विधि: xˉ=139035=39.71\bar{x} = \dfrac{1390}{35} = 39.71
कल्पित माध्य विधि: xˉ=50+−36035=50−10.29=39.71\bar{x} = 50 + \dfrac{-360}{35} = 50 – 10.29 = 39.71
पग-विचलन विधि: xˉ=50+(−3635)×10=39.71\bar{x} = 50 + \left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10 = 39.71
अतः महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत 39.7139.71 है।

3वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode of Grouped Data)

कक्षा 9 में आपने पढ़ा था कि बहुलक (mode) वह मान है जो दिए हुए प्रेक्षणों में सबसे
अधिक बार आता है, यानी जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है। वर्गीकृत बारंबारता बंटन में केवल
बारंबारता देखकर बहुलक नहीं बताया जा सकता, यहाँ केवल वह वर्ग पहचाना जा सकता है
जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है।

यह भी संभव है कि एक से अधिक मानों की एक ही अधिकतम बारंबारता हो। ऐसे आँकड़ों को
बहुबहुलकीय (multi-modal) आँकड़े कहते हैं। इस अध्याय में केवल एक ही बहुलक वाले प्रश्न लिए
जाते हैं।

हल किया उदाहरण 7 (अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक, याद कीजिए)

प्र. किसी गेंदबाज़ द्वारा 10 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकिटों की संख्याएँ हैं:
2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

विकिटों की संख्या 0 1 2 3 4 5 6
मैचों की संख्या 1 1 3 2 1 1 1

हल: गेंदबाज़ ने अधिकतम मैचों (3) में 2 विकिट लिए हैं, इसलिए बहुलक 22 है।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 3

बहुलक वर्ग (modal class) वह वर्ग अंतराल है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है।
बहुलक इसी वर्ग के अंदर स्थित एक मान होता है।

बहुलक का सूत्र
बहुलक=l+(f1−f02f1−f0−f2)×h\text{बहुलक} = l + \left(\dfrac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h
ll = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा, hh = वर्ग माप, f1f_1 = बहुलक वर्ग की बारंबारता,
f0f_0 = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता, f2f_2 = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
चित्र 2: 20 परिवारों के आँकड़े: सबसे ऊँचा बार (3-5) ही बहुलक वर्ग है, बहुलक इसी वर्ग के अंदर का एक मान है
चित्र 2: 20 परिवारों के आँकड़े: सबसे ऊँचा बार (3-5) ही बहुलक वर्ग है, बहुलक इसी वर्ग के अंदर का एक मान है
हल किया उदाहरण 8

प्र. एक मोहल्ले के 20 परिवारों के सदस्यों की संख्या नीचे दी गई है। बहुलक ज्ञात कीजिए।

परिवार माप परिवारों की संख्या
1 – 3 7
3 – 5 8
5 – 7 2
7 – 9 2
9 – 11 1
दिया है

बहुलक वर्ग = 3-5 (सबसे अधिक बारंबारता 8), l=3l=3, h=2h=2, f1=8f_1=8, f0=7f_0=7, f2=2f_2=2

ज्ञात करना है

बहुलक

हल: बहुलक=3+(8−72(8)−7−2)×2=3+27=  \text{बहुलक} = 3 + \left(\dfrac{8-7}{2(8)-7-2}\right) \times 2 = 3 + \dfrac{2}{7} = \;3.2863.286

हल किया उदाहरण 9 (बहुलक बनाम माध्य)

प्र. धारा 2.2 वाली 30 विद्यार्थियों के अंकों की सारणी से बहुलक ज्ञात कीजिए और
माध्य से तुलना कीजिए।

हल: सबसे अधिक बारंबारता (7) वाला वर्ग 40-55 है, इसलिए बहुलक वर्ग 40-55 है।
l=40l=40, h=15h=15, f1=7f_1=7, f0=3f_0=3, f2=6f_2=6।
बहुलक=40+(7−32(7)−3−6)×15=40+45×15=  \text{बहुलक} = 40 + \left(\dfrac{7-3}{2(7)-3-6}\right) \times 15 = 40 + \dfrac{4}{5}\times15 = \;5252
यहाँ बहुलक (52) माध्य (62) से कम है: अधिकतम विद्यार्थियों ने 52 अंक प्राप्त किए, जबकि
औसतन एक विद्यार्थी ने 62 अंक प्राप्त किए। परंतु किन्हीं और प्रश्नों में बहुलक, माध्य के
बराबर या उससे बड़ा भी हो सकता है।

असमान वर्ग मापों वाले वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक भी निकाला जा सकता है, परंतु पुस्तक इसकी
चर्चा नहीं करती।

आम ग़लती

बहुलक वर्ग को केवल “सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग” समझकर उसी की वर्ग चिह्न को
बहुलक मान लेना ग़लत है। बहुलक हमेशा ऊपर वाले सूत्र से ही निकाला जाता है, वर्ग चिह्न से
नहीं। दूसरी सबसे बड़ी ग़लती: f0f_0 और f2f_2 को उल्टा रख देना: f0f_0 हमेशा पहले
वाले वर्ग की और f2f_2 बाद वाले वर्ग की बारंबारता है।

4वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक (Median of Grouped Data)

कक्षा 9 में आपने अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक निकालना सीखा था: प्रेक्षणों को आरोही क्रम
में रखकर, यदि nn विषम है तो माध्यक (n+12)\left(\dfrac{n+1}{2}\right)वें प्रेक्षण का मान होता है,
और यदि nn सम है तो माध्यक (n2)\left(\dfrac{n}{2}\right)वें और (n2+1)\left(\dfrac{n}{2}+1\right)वें
प्रेक्षणों के मानों का औसत होता है।

हल किया उदाहरण 10 (अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक, याद कीजिए)

प्र. एक परीक्षा में 100 विद्यार्थियों द्वारा 50 में से प्राप्त अंक नीचे दिए हैं। माध्यक ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक विद्यार्थियों की संख्या संचयी बारंबारता
20 6 6
25 20 6 + 20 = 26
28 24 26 + 24 = 50
29 28 50 + 28 = 78
33 15 78 + 15 = 93
38 4 93 + 4 = 97
42 2 97 + 2 = 99
43 1 99 + 1 = 100

हल: n=100n = 100 सम है, इसलिए माध्यक 50वें और 51वें प्रेक्षणों का औसत है। संचयी बारंबारता
से 50वाँ प्रेक्षण 28 है (28 तक ठीक 50 विद्यार्थी हैं) और 51वाँ प्रेक्षण 29 है।
माध्यक =28+292=  = \dfrac{28 + 29}{2} = \;28.528.5: लगभग 50% विद्यार्थियों ने 28.5 से
कम अंक और शेष 50% ने 28.5 से अधिक अंक प्राप्त किए।

ऊपर “संचयी बारंबारता” वाला स्तंभ ही वर्गीकृत आँकड़ों के माध्यक की कुंजी है, जो आगे देखेंगे।

4.1 संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)

कंठस्थ करेंपरिभाषा 4

किसी वर्ग की संचयी बारंबारता (cumulative frequency) उस वर्ग तक के (उस वर्ग सहित)
सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग है। जैसे, नीचे के उदाहरण में वर्ग 10-20 की संचयी बारंबारता
5+3=85 + 3 = 8 है: 20 से कम अंक पाने वाले 8 विद्यार्थी।

परीक्षा संकेत

पुस्तक के सारांश (बिंदु 3) में यह वाक्य “उस वर्ग से पहले वाले सभी वर्गों की बारंबारताओं का
योग” के रूप में छपा है, परंतु पुस्तक की हर सारणी और हर उदाहरण उस वर्ग की अपनी बारंबारता भी
जोड़ता है (वर्ग 10-20 की संचयी बारंबारता 5+3=85 + 3 = 8)। इसलिए हल करते समय उस वर्ग को हमेशा
शामिल कीजिए। माध्यक के सूत्र वाला cfcf अलग चीज़ है: वह माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले
वर्ग की संचयी बारंबारता है।

संचयी बारंबारता बंटन दो प्रकार का होता है:

कम प्रकार (less than type)

  • बताता है कि किसी मान से कम कितने प्रेक्षण हैं
  • वर्ग की उपरि सीमाओं (10, 20, 30…) पर आधारित

अधिक प्रकार (more than type)

  • बताता है कि कितने प्रेक्षण किसी मान के बराबर या उससे अधिक हैं
  • वर्ग की निम्न सीमाओं (0, 10, 20…) पर आधारित
हल किया उदाहरण 11

प्र. 53 विद्यार्थियों के अंकों का बंटन नीचे दिया गया है। इसकी कम प्रकार और अधिक
प्रकार, दोनों संचयी बारंबारता सारणियाँ बनाइए।

अंक विद्यार्थियों की संख्या (ff) संचयी बारंबारता (कम प्रकार, cfcf)
0 – 10 5 5
10 – 20 3 8
20 – 30 4 12
30 – 40 3 15
40 – 50 3 18
50 – 60 4 22
60 – 70 7 29
70 – 80 9 38
80 – 90 7 45
90 – 100 8 53

यहाँ 10, 20, 30… वर्गों की उपरि सीमाएँ हैं, इसलिए यह “कम प्रकार” (10 से कम, 20 से कम …)
संचयी बारंबारता है। “अधिक प्रकार” सारणी वर्गों की निम्न सीमाओं (0, 10, 20 … 90) से बनती है:
सभी 53 विद्यार्थियों ने 0 या उससे अधिक अंक पाए, फिर हर बार पिछले वर्ग की बारंबारता घटाते जाते हैं।

प्राप्तांक विद्यार्थियों की संख्या (संचयी बारंबारता, अधिक प्रकार)
0 से अधिक या उसके बराबर 53
10 से अधिक या उसके बराबर 53 − 5 = 48
20 से अधिक या उसके बराबर 48 − 3 = 45
30 से अधिक या उसके बराबर 45 − 4 = 41
40 से अधिक या उसके बराबर 41 − 3 = 38
50 से अधिक या उसके बराबर 38 − 3 = 35
60 से अधिक या उसके बराबर 35 − 4 = 31
70 से अधिक या उसके बराबर 31 − 7 = 24
80 से अधिक या उसके बराबर 24 − 9 = 15
90 से अधिक या उसके बराबर 15 − 7 = 8

माध्यक निकालने के लिए इन दोनों में से किसी भी संचयी बारंबारता बंटन का प्रयोग किया जा सकता है।

4.2 माध्यक वर्ग और सूत्र

वर्गीकृत आँकड़ों में बीच वाला प्रेक्षण सीधे नहीं दिखता, वह किसी एक वर्ग अंतराल के अंदर
कहीं होता है। इस वर्ग को खोजने के लिए हम सभी वर्गों की संचयी बारंबारता और n2\dfrac{n}{2}
निकालते हैं, और वह वर्ग खोजते हैं जिसकी संचयी बारंबारता n2\dfrac{n}{2} से बड़ी (और
n2\dfrac{n}{2} के सबसे नज़दीक) हो।

कंठस्थ करेंपरिभाषा 5

माध्यक वर्ग (median class) वह वर्ग अंतराल है जिसकी संचयी बारंबारता n2\dfrac{n}{2}
से बड़ी है और सबसे नज़दीक है।

माध्यक का सूत्र
माध्यक=l+(n2−cff)×h\text{माध्यक} = l + \left(\dfrac{\frac{n}{2} – cf}{f}\right) \times h
ll = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा, nn = प्रेक्षणों की कुल संख्या, cfcf = माध्यक
वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता, ff = माध्यक वर्ग की बारंबारता, hh = वर्ग माप
हल किया उदाहरण 12

प्र. हल किए उदाहरण 11 की सारणी से माध्यक ज्ञात कीजिए।

दिया है

n=53n = 53, इसलिए n2=26.5\dfrac{n}{2} = 26.5

ज्ञात करना है

माध्यक

हल: संचयी बारंबारता सारणी में 60-70 वर्ग की संचयी बारंबारता 29 है, जो 26.5 से बड़ी
है और सबसे नज़दीक है, इसलिए 60-70 माध्यक वर्ग है। यहाँ l=60l=60, cf=22cf=22 (60-70 से
ठीक पहले वाले 50-60 वर्ग की संचयी बारंबारता), f=7f=7, h=10h=10।
माध्यक=60+(26.5−227)×10=60+457=  \text{माध्यक} = 60 + \left(\dfrac{26.5-22}{7}\right) \times 10 = 60 + \dfrac{45}{7} = \;66.466.4

हल किया उदाहरण 13 (“कम प्रकार” से माध्यक)

प्र. किसी स्कूल की कक्षा X की 51 लड़कियों की ऊँचाइयों (cm में) का सर्वेक्षण “कम प्रकार”
के रूप में नीचे दिया गया है। माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

ऊँचाई (cm में) लड़कियों की संख्या
140 से कम 4
145 से कम 11
150 से कम 29
155 से कम 40
160 से कम 46
165 से कम 51

हल: पहले इसे साधारण वर्ग अंतरालों और बारंबारता में बदलें, जैसे 140-145 की
बारंबारता =11−4=7= 11-4=7। इससे बनी सारणी में माध्यक वर्ग 145-150 आता है (n=51n=51,
n2=25.5\dfrac{n}{2}=25.5, जो 145-150 की संचयी बारंबारता 29 से कम और ठीक पहले वाली 140-145
की संचयी बारंबारता 11 से अधिक है)। l=145l=145, cf=11cf=11, f=18f=18, h=5h=5।
माध्यक=145+(25.5−1118)×5=145+72.518=  \text{माध्यक} = 145 + \left(\dfrac{25.5-11}{18}\right) \times 5 = 145 + \dfrac{72.5}{18} = \;149.03 cm149.03\ \text{cm}
अर्थात् लगभग 50% लड़कियों की ऊँचाई 149.03 cm से कम या उसके बराबर है और शेष 50% की इससे अधिक।

परीक्षा संकेत

जब आँकड़े “से कम” (less than) रूप में दिए हों, तो पहले उन्हें सामान्य वर्ग अंतराल + अलग
बारंबारता वाली सारणी में बदलना पहला कदम है: सीधे
संचयी मानों को ff मानकर सूत्र में मत डालिए।

4.3 माध्यक दिया हो तो लुप्त बारंबारताएँ ज्ञात करना

हल किया उदाहरण 14

प्र. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 525 है। यदि बारंबारताओं का योग 100 है, तो xx और yy
का मान ज्ञात कीजिए।

वर्ग अंतराल बारंबारता संचयी बारंबारता
0 – 100 2 2
100 – 200 5 7
200 – 300 xx 7+x7 + x
300 – 400 12 19+x19 + x
400 – 500 17 36+x36 + x
500 – 600 20 56+x56 + x
600 – 700 yy 56+x+y56 + x + y
700 – 800 9 65+x+y65 + x + y
800 – 900 7 72+x+y72 + x + y
900 – 1000 4 76+x+y76 + x + y

हल: n=100n = 100, इसलिए 76+x+y=10076 + x + y = 100, अर्थात् x+y=24x + y = 24 …(1)
माध्यक 525 है, जो वर्ग 500-600 में स्थित है। अतः l=500l = 500, f=20f = 20, cf=36+xcf = 36 + x, h=100h = 100, n2=50\dfrac{n}{2} = 50।
525=500+(50−36−x20)×100525 = 500 + \left(\dfrac{50 – 36 – x}{20}\right) \times 100
25=(14−x)×5=70−5x⇒5x=45⇒x=925 = (14 – x) \times 5 = 70 – 5x \Rightarrow 5x = 45 \Rightarrow x = 9
(1) से 9+y=249 + y = 24, अतः y=15y = 15। उत्तर: x=9, y=15x = 9,\ y = 15

परीक्षा संकेत

ऐसे प्रश्नों में दो बातें समीकरण देती हैं: बारंबारताओं का योग (पहला समीकरण) और माध्यक का सूत्र
(दूसरा समीकरण)। माध्यक का मान देखकर पहले माध्यक वर्ग पहचानिए, उसी से ll, ff, hh मिलते हैं।

आम ग़लती

बहुलक और माध्यक, दोनों सूत्र तभी लागू होते हैं जब वर्ग अंतराल सतत (continuous)
हों। यदि आँकड़े 118-126, 127-135 जैसे असतत (discontinuous) रूप में दिए हों (जैसे नाप
पूर्णांकों में), तो सूत्र लगाने से पहले उन्हें सतत वर्गों (117.5-126.5, 126.5-135.5 …) में
बदलना ज़रूरी है, हर उपरि सीमा में 0.5 जोड़कर और हर निम्न सीमा में से 0.5 घटाकर।

असमान वर्ग मापों वाले वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक भी परिकलित किया जा सकता है, परंतु पुस्तक
इसकी चर्चा नहीं करती।

5माध्य, माध्यक और बहुलक की तुलना

मापक कब उपयुक्त है उदाहरण
माध्य सबसे अधिक प्रयोग होने वाला मापक: सभी प्रेक्षणों पर आधारित है, दोनों चरम मानों (सबसे बड़े और सबसे छोटे) के बीच स्थित होता है, दो या अधिक बंटनों की तुलना में सहायक; परंतु चरम मान (extreme values) इसे प्रभावित करते हैं अलग-अलग स्कूलों के औसत परिणामों की तुलना
माध्यक “प्रतीकात्मक (typical)” मान चाहिए तब उपयुक्त; जिन स्थितियों में चरम (बहुत बड़े या बहुत छोटे) मान संबद्ध हो सकते हैं, उनमें माध्य के स्थान पर माध्यक लिया जाता है श्रमिकों की उत्पादकता दर, किसी देश की औसत मज़दूरी
बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला/सबसे लोकप्रिय मान चाहिए तब उपयुक्त सबसे ज़्यादा देखा जाने वाला टीवी कार्यक्रम, सबसे ज़्यादा माँग वाला उपभोक्ता सामान
माध्य कब अच्छा प्रतिनिधि नहीं होता

लगभग एक-सी बारंबारताओं वाले वर्गों का माध्य आँकड़ों का अच्छा प्रतिनिधि होता है। परंतु यदि एक
वर्ग की बारंबारता 2 हो और शेष पाँच वर्गों की बारंबारताएँ 20, 25, 20, 21 और 18 हों, तो इनका माध्य
आँकड़ों का सही प्रतिबिंब नहीं देगा। ऐसी स्थितियों में (जहाँ चरम मान हो सकते हैं) माध्य के स्थान
पर माध्यक लिया जाता है।

आनुभाविक संबंध (Empirical Relationship)
3 माध्यक=बहुलक+2 माध्य3\,\text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}
यह पुस्तक के अनुसार एक आनुभाविक संबंध है। तीनों में से कोई भी दो मापक ज्ञात हों, तो इससे तीसरे मापक का अनुमानित मान निकाला जा सकता है
परीक्षा संकेत

“माध्य = 25, माध्यक = 28 हो तो बहुलक ज्ञात कीजिए” जैसे प्रश्नों में सीधे
3 माध्यक=बहुलक+2 माध्य3\,\text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य} में मान रखें, नया सूत्र याद नहीं करना। उत्तर
अनुमानित (≈) मान होता है, क्योंकि संबंध आनुभाविक है।

पाठ्यक्रम नोट: तोरण (ogive)

पुस्तक की भूमिका में संचयी बारंबारता वक्रों (तोरण, ogive) को खींचने का उल्लेख है, और
“पाठकों के लिए विशेष” में भी तोरण की संरचना की बात आती है, परंतु पुनर्मुद्रण 2026-27 के इस
अध्याय में तोरण खींचने का कोई अनुभाग या प्रश्नावली-प्रश्न नहीं है। CBSE 2026-27 के कक्षा 10 गणित
पाठ्यक्रम में सांख्यिकी के अंतर्गत वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक है, और माध्यक व
बहुलक बीजगणितीय विधि (सूत्र) से; तोरण उसमें नहीं है। इसलिए इन नोट्स में माध्यक सूत्र से ही
निकाला गया है।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें
  • वर्ग चिह्न की परिभाषा और सूत्र बिना देखे लिख सकता/सकती हूँ?
  • माध्य की तीनों विधियाँ (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य, पग-विचलन) लागू कर सकता/सकती हूँ, और जानता/जानती हूँ किसमें कौन सी उपयुक्त है?
  • बहुलक वर्ग और माध्यक वर्ग, दोनों सही पहचान सकता/सकती हूँ?
  • “कम प्रकार” डेटा को साधारण बारंबारता सारणी में बदल सकता/सकती हूँ?
  • 3 माध्यक=बहुलक+2 माध्य3\,\text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य} से तीसरा मापक निकाल सकता/सकती हूँ?
सभी परिभाषाएँ एक जगह
केंद्रीय प्रवृत्ति का मापकआँकड़ों के समूह का प्रतिनिधि मान: माध्य, माध्यक, बहुलक
वर्ग चिह्न (xix_i)वर्ग अंतराल की उपरि और निम्न सीमा का औसत
प्रत्यक्ष / कल्पित माध्य / पग-विचलन विधिमाध्य निकालने की तीन विधियाँ, उत्तर सदैव समान
बहुलक वर्गसबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग अंतराल
बहुबहुलकीय आँकड़ेजिनमें एक से अधिक मानों की एक ही अधिकतम बारंबारता हो
संचयी बारंबारताउस वर्ग तक (उस वर्ग सहित) की सभी बारंबारताओं का योग
माध्यक वर्गवह वर्ग जिसकी संचयी बारंबारता n/2n/2 से अधिक और उसके निकटतम हो
आनुभाविक संबंध3 माध्यक=बहुलक+2 माध्य3\,\text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य}
त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहले यह ज़रूर पढ़ें
  • माध्य की तीन विधियाँ (प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य, पग-विचलन), तीनों में उत्तर हमेशा एक ही आता है
  • बहुलक = l+(f1−f02f1−f0−f2)hl + \left(\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right)h, बहुलक वर्ग की बारंबारता सबसे अधिक
  • माध्यक = l+(n/2−cff)hl + \left(\dfrac{n/2-cf}{f}\right)h, माध्यक वर्ग की संचयी बारंबारता n/2n/2 से ठीक बड़ी
  • “से कम” वाले आँकड़ों को पहले साधारण वर्ग-बारंबारता में बदलें, तभी सूत्र लगाएँ
  • असतत वर्गों (118-126 प्रकार) को सूत्र लगाने से पहले सतत वर्गों में बदलें: हर उपरि सीमा में 0.5 जोड़ें और हर निम्न सीमा में से 0.5 घटाएँ (118-126 → 117.5-126.5)
  • 3 माध्यक=बहुलक+2 माध्य3\,\text{माध्यक} = \text{बहुलक} + 2\,\text{माध्य} (आनुभाविक संबंध, उत्तर अनुमानित)
  • तोरण (ogive)/ग्राफ़ीय विधि न इस पुनर्मुद्रण के अध्याय में अनुभाग के रूप में है, न CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में; माध्यक सूत्र से
इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री
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