Class 10 Mathematics Chapter 12 Notes in Hindi: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

Contents hide

1भूमिका (Introduction)

2ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

2.1 उदाहरण 1: शंकु + अर्धगोला (रशीद का लट्टू)

2.2 उदाहरण 2: घन + अर्धगोला (सजावटी ब्लॉक)

2.3 उदाहरण 3: शंकु + बेलन, भिन्न त्रिज्याओं का वलय सुधार (खिलौना रॉकेट)

2.4 उदाहरण 4: बेलन + अर्धगोलाकार गड्ढा (पक्षी-स्नानागार)

3ठोसों के संयोजन का आयतन

3.1 उदाहरण 5: घनाभ + अर्धबेलन (शांता का शेड)

3.2 उदाहरण 6: बेलन − अर्धगोला (जूस का गिलास)

3.3 उदाहरण 7: अर्धगोला + शंकु, परिगत बेलन से आयतन का अंतर

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

दो या अधिक आधारभूत ठोसों (घनाभ, घन, बेलन, शंकु, गोला, अर्धगोला) को जोड़कर बने संयोजित ठोस को पहचानना
संयोजित ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात करना: बाहर दिखने वाले वक्र और सपाट पृष्ठों को जोड़कर, अलग-अलग TSA जोड़कर नहीं
संयोजित ठोस का आयतन ज्ञात करना: घटकों के आयतनों को सीधे जोड़कर (या घटाकर, जब कोई भाग खोखला/गड्ढेदार हो)
भिन्न त्रिज्याओं वाले दो ठोसों के जुड़ने पर बनने वाले वलय (ring) सुधार को पहचानना और लगाना
खिलौनों, बर्तनों, तंबू, शेड जैसे वास्तविक जीवन के प्रश्न हल करना

संयोजित ठोसवक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)
आयतनवलय सुधारअर्धगोला

1भूमिका (Introduction)

कक्षा 9 में आप कुछ ठोस आकृतियों, जैसे घनाभ, घन, बेलन, शंकु और गोला (तथा गोले का आधा भाग,
अर्धगोला), से परिचित हो चुके हैं। आप यह भी सीख चुके हैं कि इन ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और
आयतन किस प्रकार ज्ञात किया जाता है। अपने दैनिक जीवन में हमें ऐसे अनेक ठोस दिखते हैं जो इन
आधारभूत ठोसों में से दो या अधिक को जोड़कर (संयोजन से) बनते हैं, जैसे ट्रक के पीछे रखा, तेल या पानी ले जाने वाला
बड़ा कंटेनर (container) (बेलन + दो अर्धगोले), विज्ञान प्रयोगशाला की परखनली (बेलन + अर्धगोला), या कोई सुंदर भवन/स्मारक।
ऐसे संयोजित ठोसों को हम अब तक पढ़ी हुई ठोस आकृतियों में से किसी एक के रूप में वर्गीकृत नहीं कर सकते, इसलिए इस
अध्याय में हम सीखेंगे कि ऐसे ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कैसे ज्ञात किया जाए।

चित्र 1: आधारभूत ठोस, जिनके संयोजन से कई ठोस बनते हैं (कक्षा 9 का दोहराव) — **चित्र 1**: आधारभूत ठोस, जिनके संयोजन से कई ठोस बनते हैं (कक्षा 9 का दोहराव)

कक्षा 9 के सूत्र: याद रखिए, इसी अध्याय की नींव हैं

ठोस	वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)	संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)	आयतन
घनाभ (l, b, h)	$2h(l+b)$	$2(lb+bh+hl)$	$lbh$
घन (भुजा a)	$4a^2$	$6a^2$	$a^3$
बेलन (त्रिज्या r, ऊँचाई h)	$2\pi rh$	$2\pi r(r+h)$	$\pi r^2 h$
शंकु (त्रिज्या r, ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}$ )	$\pi rl$	$\pi r(r+l)$	$\tfrac13 \pi r^2 h$
गोला (त्रिज्या r)	$4\pi r^2$		$\tfrac43 \pi r^3$
अर्धगोला (त्रिज्या r)	$2\pi r^2$	$3\pi r^2$	$\tfrac23 \pi r^3$

2ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

मान लीजिए एक बेलन के दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगाकर एक कंटेनर जैसा ठोस बनाया गया है।
जब दोनों अर्धगोलों को बेलन से जोड़ा जाता है, तो जोड़ वाले तल (सपाट वृत्त) ठोस के भीतर छिप जाते हैं
और अब बाहर से दिखाई ही नहीं देते। इसलिए नए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल उन्हीं भागों का होता है
जो बाहर से दिखते हैं, यानी दोनों अर्धगोलों के वक्र पृष्ठ और बेलन का वक्र पृष्ठ।

याद रखेंसबसे महत्वपूर्ण नियम

किसी संयोजित ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = उसके घटक भागों के केवल बाहर दिखने
वाले वक्र/सपाट पृष्ठों का योग होता है। यह घटकों के अलग-अलग TSA का योग कभी नहीं होता, क्योंकि
जोड़ने की प्रक्रिया में कुछ पृष्ठ भीतर छिप जाते हैं और गायब हो जाते हैं।

आम ग़लती

“संयोजित ठोस का TSA = घटकों के TSA का योग” यह ग़लत है। हर बार सोचिए: जुड़ने वाले तल पर
क्या-क्या छिप गया, और उसे दोनों तरफ़ से घटाना है।

2.1 उदाहरण 1: शंकु + अर्धगोला (रशीद का लट्टू)

रशीद को जन्मदिन पर एक लट्टू (playing top) मिला, जो एक शंकु के ऊपर अर्धगोला रखे जाने जैसा
आकार है। पूरे लट्टू की ऊँचाई 5 cm और व्यास 3.5 cm है (π = 22/7 लीजिए)। इसे रंगने के लिए
कितना क्षेत्रफल चाहिए?

चित्र 2: TSA = CSA(अर्धगोला) + CSA(शंकु), दोनों की त्रिज्या r समान है — **चित्र 2**: TSA = CSA(अर्धगोला) + CSA(शंकु), दोनों की त्रिज्या r समान है

हल किया उदाहरण 1

दिया: व्यास = 3.5 cm ⇒ r = 1.75 cm, पूरी ऊँचाई = 5 cm ⇒ शंकु की ऊँचाई $h = 5-1.75 = 3.25$ cm।

हल: शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1.75^2+3.25^2}=\sqrt{3.06+10.56}\approx 3.7$ cm
TSA $=$ CSA(अर्धगोला) $+$ CSA(शंकु) $= 2\pi r^2 + \pi rl = \pi r(2r+l)$
$=\dfrac{22}{7}\times 1.75\times(2\times1.75+3.7) = \dfrac{22}{7}\times1.75\times7.2 \approx$ 39.6 cm²

2.2 उदाहरण 2: घन + अर्धगोला (सजावटी ब्लॉक)

एक सजावटी ब्लॉक दो ठोसों से बना है: एक घन, जिसकी भुजा 5 cm है, और उसके ऊपर लगा एक
अर्धगोला, जिसका व्यास 4.2 cm है। इस ब्लॉक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।

चित्र 3: TSA = घन का TSA − अर्धगोले का आधार वृत्त + अर्धगोले का CSA — **चित्र 3**: TSA = घन का TSA − अर्धगोले का आधार वृत्त + अर्धगोले का CSA

हल किया उदाहरण 2

हल: घन का TSA $=6a^2=6\times5\times5=150$ cm²। जहाँ अर्धगोला जुड़ा है, वहाँ घन के ऊपरी फलक
का उतना भाग (आधार वृत्त, $\pi r^2$ ) अब दिखता ही नहीं, इसलिए यह घटाना है; बदले में अर्धगोले का वक्र
पृष्ठ ( $2\pi r^2$ ) जुड़ता है। $r=2.1$ cm.

ब्लॉक का TSA $=$ घन का TSA $-\pi r^2 + 2\pi r^2 = 150+\pi r^2$
$=150+\dfrac{22}{7}\times2.1\times2.1 = 150+13.86 =$ 163.86 cm²

2.3 उदाहरण 3: शंकु + बेलन, भिन्न त्रिज्याओं का वलय सुधार (खिलौना रॉकेट)

एक लकड़ी का खिलौना रॉकेट शंकु और बेलन को जोड़कर बना है। पूरे रॉकेट की ऊँचाई 26 cm है, शंक्वाकार
भाग की ऊँचाई 6 cm है। शंक्वाकार भाग के आधार का व्यास 5 cm है, जबकि बेलनाकार भाग के आधार का
व्यास केवल 3 cm है। यदि शंक्वाकार भाग पर नारंगी रंग और बेलनाकार भाग पर पीला रंग किया जाना है,
तो प्रत्येक रंग से रँगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14)।

चित्र 4: शंकु का आधार बेलन से चौड़ा है, इसलिए आधार का शेष भाग (वलय) भी रंगना है — **चित्र 4**: शंकु का आधार बेलन से चौड़ा है, इसलिए आधार का शेष भाग (वलय) भी रंगना है

आम ग़लती

जब जुड़ने वाले दोनों ठोसों की त्रिज्या बराबर नहीं हो (जैसे यहाँ शंकु की त्रिज्या 2.5 cm और बेलन
की त्रिज्या 1.5 cm), तो चौड़े ठोस के आधार का बचा हुआ चपटा भाग (वलय) भी दिखता है और उसका
क्षेत्रफल भी TSA में जोड़ना पड़ता है। दोनों त्रिज्या बराबर मान लेना यहाँ एक आम ग़लती है।

हल किया उदाहरण 3

दिया: शंकु: $r=2.5$ cm, $h=6$ cm। बेलन: $r'=1.5$ cm, $h'=26-6=20$ cm।
तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2.5^2+6^2}=\sqrt{6.25+36}=\sqrt{42.25}=6.5$ cm।

नारंगी भाग (शंकु + वलय) $=$ CSA(शंकु) $+\pi r^2-\pi r'^2 = \pi rl+\pi(r^2-r'^2)$
$=3.14\times[(2.5\times6.5)+(2.5^2-1.5^2)] = 3.14\times[16.25+4] = 3.14\times20.25 \approx$
63.585 cm²

पीला भाग (बेलन) $=$ CSA(बेलन) $+$ बेलन का निचला आधार $= 2\pi r'h' + \pi r'^2 = \pi r'(2h'+r')$
$=3.14\times1.5\times(40+1.5) = 4.71\times41.5 \approx$ 195.465 cm²

2.4 उदाहरण 4: बेलन + अर्धगोलाकार गड्ढा (पक्षी-स्नानागार)

मयंक ने अपने बगीचे के लिए एक पक्षी-स्नानागार बनवाया, जो एक बेलन के आकार का है जिसके एक सिरे
पर एक अर्धगोलाकार बर्तन, यानी अर्धगोलाकार गड्ढा (depression), बना हुआ है। बेलन की ऊँचाई 1.45 m और त्रिज्या 30 cm है
(π = 22/7)। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल किया उदाहरण 4

हल: यहाँ भी बेलन का ऊपरी सपाट आधार अर्धगोले के गड्ढे के कारण दिखता ही नहीं (बेलन जितनी ही
त्रिज्या का गड्ढा है), उसकी जगह गड्ढे का वक्र पृष्ठ दिखता है, ठीक वैसे ही जैसे अर्धगोला बाहर जोड़ा
गया हो। इसलिए सूत्र वही रहता है:

TSA $=$ CSA(बेलन) $+$ CSA(अर्धगोला) $= 2\pi rh+2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$
$=2\times\dfrac{22}{7}\times30\times(145+30) = 2\times\dfrac{22}{7}\times30\times175 = 33000$ cm² $=$
3.3 m²

परीक्षा संकेत

पृष्ठीय क्षेत्रफल के हर प्रश्न में पहले पूछिए: “जुड़ने वाले तल पर क्या ग़ायब हुआ, और क्या नया दिखने
लगा?” गड्ढा (depression/cavity) हो तब भी नियम वही रहता है: बाहर निकला हुआ भाग जोड़ना, गड्ढे
से ढका मूल तल घटाना। त्रिज्याएँ बराबर हैं या नहीं, यह हमेशा जाँचिए (उदाहरण 3 देखें)।

3ठोसों के संयोजन का आयतन

पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय हमने घटकों के पृष्ठीय क्षेत्रफल सीधे नहीं जोड़े थे, क्योंकि जोड़ने की
प्रक्रिया में कुछ पृष्ठ भीतर छिपकर ग़ायब हो गए थे। परंतु आयतन के साथ ऐसा नहीं होता, जब दो
ठोसों को जोड़ा जाता है, तो कोई पदार्थ (material) खोया नहीं जाता, इसलिए संयोजित ठोस का आयतन
घटकों के आयतनों के योग के बराबर ही होता है।

याद रखेंसबसे महत्वपूर्ण नियम

संयोजित ठोस का आयतन = घटक ठोसों के आयतनों का सीधा योग (या, यदि कोई भाग खोखला/काटकर
निकाला गया हो, तो घटाव)। पृष्ठीय क्षेत्रफल की तरह यहाँ कुछ भी “छिपकर ग़ायब” नहीं होता।

3.1 उदाहरण 5: घनाभ + अर्धबेलन (शांता का शेड)

शांता एक शेड में उद्योग चलाती है, जो एक घनाभ के ऊपर अर्धबेलन (आधा बेलन) जोड़कर बना है। शेड
के आधार की विमाएँ 7 m × 15 m हैं और घनाभाकार भाग की ऊँचाई 8 m है (π = 22/7)। शेड में समा
सकने वाली हवा का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि मशीनरी 300 m³ और 20 श्रमिक (प्रत्येक 0.08 m³) जगह घेरते हैं।

चित्र 5: घनाभ के ऊपर अर्धबेलन की छत, कुल आयतन = घनाभ + आधा बेलन — **चित्र 5**: घनाभ के ऊपर अर्धबेलन की छत, कुल आयतन = घनाभ + आधा बेलन

हल किया उदाहरण 5

हल: घनाभ की लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई क्रमशः 15 m, 7 m, 8 m। अर्धबेलन का व्यास 7 m (त्रिज्या
3.5 m) और ऊँचाई (लंबाई) 15 m।

कुल आयतन $=$ घनाभ का आयतन $+\tfrac12\times$ बेलन का आयतन $= 15\times7\times8+\tfrac12\times\dfrac{22}{7}\times3.5^2\times15$
$=840+288.75 =$ 1128.75 m³

मशीनरी और श्रमिकों का स्थान $=300+(20\times0.08)=300+1.6=301.6$ m³
शेड में हवा का आयतन $=1128.75-301.6=$ 827.15 m³

3.2 उदाहरण 6: बेलन − अर्धगोला (जूस का गिलास)

एक जूस विक्रेता ऐसे गिलासों में जूस देता है जिनकी तली में एक उभरा हुआ अर्धगोला है, जिससे गिलास
की वास्तविक धारिता कम हो जाती है। गिलास का आंतरिक व्यास 5 cm और ऊँचाई 10 cm है
(π = 3.14)। आभासी और वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए।

हल किया उदाहरण 6

हल: $r=2.5$ cm, $h=10$ cm।
आभासी (apparent) धारिता $=\pi r^2h=3.14\times2.5^2\times10=196.25$ cm³
अर्धगोले का आयतन $=\tfrac23\pi r^3=\tfrac23\times3.14\times2.5^3=32.71$ cm³
वास्तविक धारिता $=$ आभासी $–$ अर्धगोला $=196.25-32.71=$ 163.54 cm³

परीक्षा संकेत

उदाहरण 6 में “आभासी (apparent)” और “वास्तविक (actual)” धारिता का अंतर घटाव से निकलता है: जो जगह
तली के उभरे हुए ठोस अर्धगोले ने घेर रखी है, वह जूस भरने के काम नहीं आती।

3.3 उदाहरण 7: अर्धगोला + शंकु, परिगत बेलन से आयतन का अंतर

एक ठोस खिलौना अर्धगोले पर खड़े लंब वृत्तीय शंकु के रूप में है। शंकु की ऊँचाई 2 cm और आधार का
व्यास 4 cm है (π = 3.14)। खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि एक लंब वृत्तीय बेलन इस खिलौने को
ठीक-ठीक घेरे (परिगत हो), तो बेलन और खिलौने के आयतनों का अंतर भी ज्ञात कीजिए।

चित्र 6: बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले/शंकु की त्रिज्या (2 cm), बेलन की ऊँचाई = अर्धगोले की त्रिज्या + शंकु की ऊँचाई — **चित्र 6**: बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले/शंकु की त्रिज्या (2 cm), बेलन की ऊँचाई = अर्धगोले की त्रिज्या + शंकु की ऊँचाई

हल किया उदाहरण 7

हल: त्रिज्या $r=2$ cm (व्यास 4 cm का आधा)। खिलौने का आयतन $=$ अर्धगोले का आयतन $+$ शंकु का आयतन
$=\tfrac23\pi r^3+\tfrac13\pi r^2h=\tfrac23\times3.14\times2^3+\tfrac13\times3.14\times2^2\times2$
$=16.75+8.37=$ 25.12 cm³

परिगत बेलन की त्रिज्या $=r=2$ cm, ऊँचाई $=r+h=2+2=4$ cm।
बेलन का आयतन $=\pi r^2\times4=3.14\times4\times4=50.24$ cm³
आयतनों का अंतर $=50.24-25.12=$ 25.12 cm³ (यह संयोग नहीं है: शंकु की ऊँचाई त्रिज्या के बराबर होने से, $h=r$ , खिलौने का आयतन $\pi r^3$ और परिगत बेलन का आयतन $2\pi r^3$ है, यानी ठीक दोगुना)

क्या आप जानते हैं?

दोनों प्रश्नावलियों (12.1 और 12.2) के कई प्रश्न असली वस्तुओं पर आधारित हैं: दवा का कैप्सूल,
तंबू, गुलाबजामुन, कलमदान, लोहे का स्तंभ, काँच का बर्तन।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचिए

क्या मैं बता सकता/सकती हूँ कि किसी संयोजित ठोस के TSA में कौन-सा तल “छिप” जाता है?
क्या मुझे पता है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल में घटाव/जोड़ होता है, पर आयतन में घटकों के आयतन जुड़ते हैं, और घटाव तभी होता है जब कोई भाग खोदकर/काटकर निकाला गया हो या कोई ठोस उभार भीतर की जगह घेरता हो (उदाहरण 6)?
क्या मैं भिन्न त्रिज्याओं वाले दो ठोसों में वलय (ring) का क्षेत्रफल पहचान सकता/सकती हूँ?
क्या मुझे सभी आधारभूत ठोसों के CSA/TSA/आयतन सूत्र बिना देखे याद हैं?
क्या मैं “आभासी” और “वास्तविक” धारिता में अंतर समझा सकता/सकती हूँ?

सभी परिभाषाएँ एक साथ

संयोजित ठोसदो या अधिक आधारभूत ठोसों को जोड़कर बना नया ठोस

CSA (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)ठोस के केवल घुमावदार पृष्ठ का क्षेत्रफल, सपाट आधार छोड़कर

TSA (संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल)ठोस के सभी बाहर-दिखने वाले पृष्ठों (वक्र + सपाट) का कुल क्षेत्रफल

वलय (Ring)जब दो जुड़े ठोसों की त्रिज्या भिन्न हो, तो चौड़े ठोस के आधार का बचा हुआ चपटा भाग

परिगत ठोस (Circumscribing solid)दिए गए ठोस को ठीक-ठीक घेरने वाला बड़ा ठोस (जैसे खिलौने को घेरने वाला बेलन)

त्वरित पुनरावृत्ति: परीक्षा से पहली रात यही पढ़ें

संयोजित ठोस का TSA = केवल बाहर दिखने वाले पृष्ठों का योग, घटकों के अलग-अलग TSA का योग नहीं
संयोजित ठोस का आयतन = घटकों के आयतनों का सीधा योग (या स्पष्ट घटाव, जब भाग खोखला/काटा गया हो)
भिन्न त्रिज्याएँ ⇒ वलय (ring) का क्षेत्रफल भी TSA में जोड़ना है: $\pi(r^2-r'^2)$
π = 22/7 लिया जाता है, जब तक प्रश्न स्वयं π = 3.14 (या कोई और मान) न बताए
त्रिज्या r, ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई $l=\sqrt{r^2+h^2}$ , शंकु के हर प्रश्न में यही पहला कदम है
अर्धगोला: CSA $=2\pi r^2$ , TSA $=3\pi r^2$ , आयतन $=\tfrac23\pi r^3$

स्वयं जाँचें: कुछ अभ्यास प्रश्न

1 अंकदो घन, जिनमें से प्रत्येक की भुजा a है, आमने-सामने जोड़े जाते हैं। परिणामी घनाभ का TSA ज्ञात कीजिए।
2 अंकत्रिज्या 3.5 cm के एक अर्धगोले पर उसी त्रिज्या का एक शंकु (ऊँचाई 4 cm) अध्यारोपित है। संयोजित ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
3 अंकएक बेलन (त्रिज्या 7 cm, ऊँचाई 6 cm) के दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा है। पूरे ठोस का TSA और आयतन दोनों ज्ञात कीजिए।

पूरा प्रश्न-बैंक (महत्वपूर्ण प्रश्न, MCQ और NCERT समाधान) अलग पोस्ट के रूप में उपलब्ध है।

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स