Class 11 Economics Chapter 8 Notes in Hindi: सांख्यिकीय विधियों के उपयोग

आधार: NCERT अर्थशास्त्र में सांख्यिकी, अध्याय 8 (Reprint 2026-27), परिशिष्ट-अ और ब, तथा CBSE पाठ्यक्रम 2026-27 के परियोजना कार्य (Project Work) दिशानिर्देश। CBSE में यह अध्याय सिद्धांत-प्रश्नपत्र का अलग विषय नहीं है; यह 20 अंक के परियोजना कार्य की तैयारी कराता है। UP, बिहार, राजस्थान और MP बोर्ड इसी पुस्तक से पढ़ाते हैं।

इस अध्याय में आप सीखेंगे

किसी परियोजना (project) के सात चरण: समस्या पहचानना से ग्रंथ सूची तक
लक्ष्य समूह कैसे चुनें, प्राथमिक या द्वितीयक आँकड़े कब लें, प्रश्नावली कैसे बनाएँ
पुस्तक की टूथपेस्ट वाली प्रतिदर्श परियोजना: प्रश्नावली, सारणियाँ, आरेख और प्रेक्षण
उसी सर्वेक्षण पर माध्य (कल्पित माध्य/पद विचलन विधि), मध्यिका, बहुलक, तोरण और वृत्त-आरेख के कोण हल करना
पुस्तक की 12 प्रस्तावित परियोजनाएँ और CBSE परियोजना कार्य की अंक योजना
परिशिष्ट-अ के मुख्य सांख्यिकीय पद और परिशिष्ट ब के यादृच्छिक अंकों का उपयोग

परियोजनालक्ष्य समूहप्राथमिक आँकड़ेद्वितीयक आँकड़ेप्रश्नावलीसाक्षात्कार अनुसूचीआवरण-पत्रप्रतिदर्शसारणीयनदंड-आरेखवृत्त-आरेखआयत-चित्रसमांतर माध्यमानक विचलनसहसंबंधउपसंहारग्रंथ सूचीप्रेक्षणनिर्वचनयादृच्छिक अंक

1 प्रस्तावना: सांख्यिकीय विधियाँ किस काम की

इस पुस्तक में आपने आँकड़े इकट्ठा करना, सजाना, आरेख बनाना, माध्य निकालना, सहसंबंध और सूचकांक सीखे। ये विधियाँ हमारे दैनिक जीवन में भी काम आती हैं और आर्थिक गतिविधियों के आँकड़ों के विश्लेषण में भी।

आर्थिक गतिविधियाँ

उत्पादन, उपभोग, वितरण, बैंकिंग, बीमा, व्यापार एवं परिवहन के आँकड़ों का विश्लेषण

पुस्तक के उदाहरण

उपभोक्ताओं से किसी उत्पाद के बारे में जानना, बाजार में आने वाले नए उत्पाद या सेवा का अध्ययन, विद्यालयों में सूचना-तकनीक का प्रसार

परियोजना का लाभ

सर्वेक्षण करके रिपोर्ट तैयार करने से सही सूचना मिलती है और किसी उत्पाद या प्रणाली को बेहतर बनाने के सुझाव दिए जा सकते हैं

याद करेंपरिभाषा 1

सांख्यिकी: अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए आँकड़ों के संग्रह, संगठन, प्रस्तुतीकरण तथा विश्लेषण करने की विधि। इसका अभिप्राय आँकड़ों से भी है। (परिशिष्ट-अ)

परियोजना = किसी आर्थिक प्रश्न को चुनकर, खुद आँकड़े जुटाकर, इस पुस्तक के सारे सांख्यिकीय उपकरण एक साथ लगाना और निष्कर्ष लिखना।

इस अध्याय का एक वाक्य

2 परियोजना के चरण

पुस्तक परियोजना बनाने के सात चरण बताती है। इन्हें इसी क्रम में याद करें; क्रम पूछा जा सकता है।

चरण 1अध्ययन के क्षेत्र या समस्या को पहचानना (उद्देश्य तय करना)

↓

चरण 2लक्ष्य समूह का चुनाव

↓

चरण 3आँकड़ों का संकलन (प्राथमिक, द्वितीयक या दोनों)

↓

चरण 4आँकड़ों का संगठन एवं प्रस्तुतीकरण (सारणी, दंड-आरेख, वृत्त-आरेख)

↓

चरण 5विश्लेषण एवं व्याख्या (माध्य, मानक विचलन, सहसंबंध)

↓

चरण 6उपसंहार (निष्कर्ष, पूर्वानुमान, सुझाव)

↓

चरण 7ग्रंथ सूची (प्रयोग किए गए द्वितीयक स्रोत)

याद रखने की ट्रिक

“स-ल-सं-प्र-वि-उ-ग्रं”

समस्या → लक्ष्य समूह → संकलन → प्रस्तुतीकरण → विश्लेषण → उपसंहार → ग्रंथ सूची। “समस्या लेकर संकलन, प्रस्तुति, विश्लेषण, उपसंहार, ग्रंथ”।

2.1 अध्ययन के क्षेत्र या समस्या को पहचानना

सबसे पहले बिल्कुल स्पष्ट होना चाहिए कि अध्ययन का उद्देश्य क्या है
उद्देश्य के आधार पर ही आगे आँकड़ों का संग्रह और संसाधन (processing) होता है
पुस्तक के उदाहरण: कार, मोबाइल-फोन, जूता-पॉलिश, नहाने का साबुन या कपड़ा धोने का पाउडर, किसी का भी उत्पादन या बिक्री
किसी क्षेत्र के निवासियों की बिजली या पानी की समस्या
परिवारों में उपभोक्ता जागरूकता, अर्थात् “उपभोक्ताओं के अधिकारों के बारे में जागरूकता”

2.2 लक्ष्य समूह का चुनाव

लक्ष्य समूह (लक्षित समूह, target group) वे लोग हैं जिन पर आप अपना ध्यान केंद्रित करते हैं और जिनसे सूचना लेते हैं। प्रश्नावली के उपयुक्त प्रश्न तभी बनते हैं जब पता हो कि किससे पूछना है, इसलिए यह चरण बहुत महत्त्वपूर्ण है।

परियोजना का विषय	लक्ष्य समूह (पुस्तक)	कारण
कार	मुख्यतः मध्यम आय वर्ग और उच्च आय वर्ग	कार खरीदने वाले यही वर्ग हैं
उपभोक्ता उत्पाद, जैसे साबुन	ग्रामीण एवं शहरी उपभोक्ता	साबुन लगभग हर परिवार खरीदता है
सुरक्षित पेयजल की उपलब्धता	ग्रामीण और शहरी आबादी दोनों	पानी की समस्या दोनों जगह है

2.3 आँकड़ों का संकलन

सर्वेक्षण का उद्देश्य ही तय करता है कि प्राथमिक आँकड़े लिए जाएँ, द्वितीयक आँकड़े, या दोनों।

याद करेंपरिभाषा 2

प्राथमिक आँकड़े वे आँकड़े हैं जो अन्वेषक पहली बार, स्वयं, किसी प्रश्नावली या साक्षात्कार अनुसूची की सहायता से एकत्र करता है।

याद करेंपरिभाषा 3

द्वितीयक आँकड़े वे आँकड़े हैं जो किसी और ने पहले ही एकत्र और प्रकाशित कर रखे हैं, और अन्वेषक उन्हें अपने अध्ययन में प्रयोग करता है।

प्राथमिक आँकड़े (पुस्तक के बिंदु)

प्रश्नावली या साक्षात्कार अनुसूची से
व्यक्तिगत साक्षात्कार, डाक सर्वेक्षण, फोन, ई-मेल से
डाक प्रश्नावली के साथ आवरण-पत्र (covering letter) जो पूछ-ताछ का उद्देश्य बताए
महिला साक्षरता या किसी ब्रांड के साबुन की खपत जैसे अध्ययन में हर परिवार से जानकारी लेनी होगी

द्वितीयक आँकड़े (पुस्तक के बिंदु)

तभी लें जब ये आपकी आवश्यकता के अनुकूल हों
प्रायः तब प्रयोग होते हैं जब समय, धन एवं मानव-संसाधन की कमी हो
या जब सूचनाएँ आसानी से उपलब्ध हों
इनके स्रोत ग्रंथ सूची में लिखे जाते हैं

लक्ष्य समूह का आकार और विशेषताएँ आपके उद्देश्य पर आधारित होती हैं
यदि आँकड़े संकलन के लिए प्रतिदर्श (sample) पद्धति चुनी है, तो देखना होगा कि प्रतिदर्श की विधि उस अध्ययन के लिए उपयुक्त है या नहीं

याद करेंपरिभाषा 4

प्रश्नावली: अन्वेषण के विषय पर अन्वेषक द्वारा तैयार किए गए प्रश्नों की सूची। उत्तरदाता को प्रश्नों के उत्तर देने होते हैं। (परिशिष्ट-अ)

याद करेंपरिभाषा 5

संरचित प्रश्नावली: जिसमें परिमितोत्तर (बंद) प्रश्न होते हैं, जिनके लिए चुनने को वैकल्पिक संभव उत्तर दिए होते हैं। (परिशिष्ट-अ)

आधार	प्रश्नावली	साक्षात्कार अनुसूची
कौन भरता है	उत्तरदाता स्वयं (जैसे डाक से भेजी गई)	गणनाकार (अन्वेषक) उत्तरदाता से पूछकर भरता है
साथ में क्या	डाक प्रश्नावली के साथ आवरण-पत्र	व्यक्तिगत साक्षात्कार
कब उपयोगी	दूर बसे, पढ़े-लिखे उत्तरदाता	जहाँ उत्तरदाता को प्रश्न समझाने पड़ें

2.4 आँकड़ों का संगठन एवं प्रस्तुतीकरण

संग्रह के बाद सूचनाओं को संसाधित करना होता है
सारणीयन (तालिका बनाना) और उपयुक्त आरेख: दंड-आरेख, वृत्त-आरेख आदि (अध्याय 3 और 4)
सतत वर्गों वाले बारंबारता वितरण के लिए आयत-चित्र और तोरण, समय के आँकड़ों के लिए काल श्रेणी आलेख

2.5 विश्लेषण एवं व्याख्या

उपकरण (पुस्तक)	उदाहरण	क्या बताता है
केंद्रीय प्रवृत्ति की माप	माध्य (साथ में मध्यिका, बहुलक)	औसत
परिक्षेपण के माप	मानक विचलन	प्रसरणशीलता (आँकड़े औसत से कितने फैले हैं)
सहसंबंध	कार्ल पियर्सन का r, स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध	चरों के बीच संबंध, यदि हो

हिंदी पुस्तक कहती है कि आप इन मापों के बारे में अध्याय 5, 6 एवं 7 में जानकारी प्राप्त कर चुके हैं। विश्लेषण के बाद हर परिणाम का निर्वचन (interpretation) लिखना जरूरी है: संख्या का अर्थ एक वाक्य में।

2.6 उपसंहार

आखिरी चरण: विश्लेषण के बाद परिणामों की व्याख्या करके सार्थक निष्कर्ष निकालना
यदि संभव हो तो संकलित आँकड़ों के आधार पर भावी परिदृश्य के पूर्वानुमान लगाना
विकास तथा सरकारी नीतियों के बारे में सुझाव देना

2.7 ग्रंथ सूची

इस अनुभाग में उन सभी द्वितीयक स्रोतों का विवरण देना होता है जिनका प्रयोग परियोजना बनाते समय किया गया: पत्रिकाएँ, समाचार-पत्र, शोध रिपोर्ट आदि।

आम गलती

ग्रंथ सूची में अपने सर्वेक्षण के उत्तरदाताओं के नाम नहीं लिखे जाते। इसमें केवल द्वितीयक स्रोत आते हैं। और “उपसंहार” का अर्थ सारांश दोहराना नहीं, बल्कि निष्कर्ष, पूर्वानुमान और सुझाव देना है।

3 CBSE परियोजना कार्य (Project Work): दिशानिर्देश और अंक

CBSE कक्षा 11 में सैद्धांतिक प्रश्नपत्र 80 अंक का है और परियोजना कार्य 20 अंक का (भाग C)। यह अध्याय उसी की तैयारी है। नीचे की बातें CBSE पाठ्यक्रम 2026-27 के “Guidelines for Project Work in Economics” से हैं।

1परियोजना प्रति सत्र

3,500-4,000शब्द (आरेख-ग्राफ़ छोड़कर), हो सके तो हाथ से लिखी

20अंक, आंतरिक और बाह्य परीक्षक के सामने

याद करेंCBSE: परियोजना कार्य के उद्देश्य

कक्षा 11 और 12 में सीखी सैद्धांतिक अवधारणाओं की गहराई में जाना
सैद्धांतिक तर्कों से वास्तविक आर्थिक परिस्थितियों का विश्लेषण और मूल्यांकन करना
आर्थिक सिद्धांत की समझ दिखाना
अर्थशास्त्र के उन पहलुओं को आगे पढ़ना जिनमें रुचि हो
तर्कपूर्ण ढंग से बात रखने का संचार कौशल विकसित करना

परियोजना एक स्वतंत्र, स्व-निर्देशित अध्ययन होनी चाहिए।

1विषय/शीर्षक चुनना

↓

2शोध सामग्री/आँकड़ों का संग्रह

↓

3सामग्री/आँकड़ों का संगठन

↓

4सामग्री/आँकड़ों की प्रस्तुति

↓

5निष्कर्ष के लिए विश्लेषण

↓

6प्रासंगिक निष्कर्ष निकालना

↓

7परियोजना कार्य की प्रस्तुति

शीर्षक	अंक
विषय की प्रासंगिकता (Relevance of the topic)	3
ज्ञान सामग्री/शोध कार्य (Knowledge Content/Research Work)	6
प्रस्तुति तकनीक (Presentation Technique)	3
मौखिकी (Viva-voce)	8
योग	20

CBSE की अपेक्षित जाँच-सूची (Expected Checklist)

विषय/शीर्षक का परिचय
कारण, परिणाम और/या उपाय पहचानना
विभिन्न हितधारक और हर एक पर प्रभाव
स्थितियों के लाभ और हानियाँ
सुझाई गई आर्थिक रणनीतियों के अल्पकालीन और दीर्घकालीन प्रभाव
प्रयोग किए आँकड़ों की वैधता, विश्वसनीयता, उपयुक्तता और प्रासंगिकता
संक्षिप्त और सुसंगत लेखन
संदर्भ-सामग्री का उल्लेख (पाद-टिप्पणी, संसाधन अनुभाग, ग्रंथ सूची)

शिक्षक की भूमिका: समाचार, सरकारी नीतियाँ, RBI बुलेटिन, नीति आयोग, IMF/विश्व बैंक की रिपोर्ट के आधार पर विषय चुनने में मदद; मार्गदर्शक बनकर समय-समय पर चर्चा; आँकड़ों के स्रोत बताना; साहित्यिक चोरी (plagiarism) से बचाना और स्रोत उद्धृत करना सिखाना
प्रस्तुति: सत्र के अंत में परियोजना फ़ाइल आंतरिक और बाह्य परीक्षक के सामने; प्रश्न फ़ाइल से ही पूछे जाते हैं; अध्ययन विद्यार्थी का अपना मौलिक कार्य होना चाहिए
कक्षा 11 के सुझाए विषय (CBSE): सरकारी नीतियों का उत्पादन संभावना वक्र पर प्रभाव; अवसर लागत; स्थानीय बाज़ार में संतुलन कीमत पर प्रभाव; सौर ऊर्जा की परंपरागत स्रोतों से लागत तुलना; अदृश्य हाथ (एडम स्मिथ); स्थानापन्न और पूरक वस्तु की कीमत बदलने का प्रभाव (स्थानीय बाज़ार जाकर); बंपर उत्पादन किसान के लिए वरदान या अभिशाप; कोई समाचार-लेख और उसका आर्थिक मूल्यांकन

4 परियोजनाओं की प्रस्तावित सूची (पुस्तक की 12)

पुस्तक कहती है कि आप इनमें से कोई भी विषय चुन सकते हैं, या कोई भी ऐसा विषय जो आर्थिक मुद्दे से जुड़ा हो। हर परियोजना में आप किसी भूमिका में हैं।

क्र.	आपकी भूमिका	परियोजना का विषय	मुख्य आँकड़े और उपकरण (सुझाव)
1	परिवहन मंत्री का सलाहकार	बेहतर एवं समन्वित परिवहन व्यवस्था	यात्रा का साधन, समय, किराया; वृत्त-आरेख, माध्य
2	ग्रामीण कुटीर उद्योग (धूप, अगरबत्ती, मोमबत्ती, जूट उत्पाद) में कार्यरत	अपनी इकाई के लिए बैंक ऋण का परियोजना प्रस्ताव	लागत, बिक्री, लाभ की सारणी; द्वितीयक बाज़ार आँकड़े
3	कंपनी में बाजार-प्रबंधक	विज्ञापन का उत्पाद की बिक्री पर प्रभाव	विज्ञापन व्यय और बिक्री; सहसंबंध
4	जिला शिक्षा अधिकारी	साक्षरता स्तर और बच्चों के पढ़ाई छोड़ने के कारण	साक्षरता दर, कारणों की सारणी; दंड-आरेख
5	सतर्कता-अधिकारी	अधिकतम खुदरा कीमत (MRP) से अधिक कीमत वसूलने की शिकायत; कुछ दुकानों का दौरा	MRP और वसूली गई कीमत का अंतर; प्रतिशत
6	ग्राम-पंचायत के प्रधान (मुखिया)	सुरक्षित पेयजल जैसे मूलभूत संसाधन	पानी का स्रोत, दूरी; वृत्त-आरेख
7	स्थानीय सरकार का प्रतिनिधि	रोजगार-योजनाओं में महिलाओं की भागीदारी	योजना-वार महिलाओं का प्रतिशत; बहुदंड आरेख
8	ग्राम-विकास खंड का मुख्य चिकित्सा-अधिकारी	स्वास्थ्य एवं स्वच्छता संबंधी समस्याएँ	रोग, शौचालय, स्वच्छ पानी; सारणी
9	खाद्य एवं नागरिक-पूर्ति विभाग का मुख्य निरीक्षक	खाद्य मिलावट की शिकायत; समस्या की गंभीरता का सर्वेक्षण	मिलावट वाले नमूनों का प्रतिशत
10	(किसी क्षेत्र विशेष में)	पोलियो प्रतिरक्षा कार्यक्रम पर रिपोर्ट	आयु-वार प्रतिरक्षित बच्चे; प्रतिशत
11	बैंक अधिकारी	आय एवं व्यय को ध्यान में रखकर लोगों की बचत संबंधी आदतें	आय-बचत; माध्य, सहसंबंध
12	छात्र समूह	किसी गाँव में किसानों की कृषि-गतिविधियाँ एवं कठिनाइयाँ	भूमि, फ़सल, आय, ऋण; सारणी, माध्य

5 प्रतिदर्श परियोजना: टूथपेस्ट का कारखाना

पुस्तक मार्गदर्शन के लिए एक प्रतिदर्श परियोजना देती है। आपका विषय अलग होगा तो विधि भी अलग होगी। स्थिति: X एक उद्यमी है जो टूथपेस्ट बनाने का कारखाना डालना चाहता है। आपको X को सलाह देनी है कि वह कैसे आगे बढ़े।

पहला काम: लोगों की टूथपेस्ट के प्रति रुचियों, टूथपेस्ट पर उनके मासिक व्यय और दूसरे प्रासंगिक तथ्यों का अध्ययन
इसके लिए प्राथमिक समंक (आँकड़े) एकत्र करने का निर्णय, एक प्रश्न सूची (प्रश्नावली) की सहायता से
प्रश्न सूची ऐसी हो कि अध्ययन की हर जरूरी सूचना दे सके
पहले से परखी गई प्रश्न सूची (किसी समरूप अध्ययन की) मिल जाए तो उसे अपनी आवश्यकता के अनुसार संशोधित करके प्रयोग करें; नहीं तो स्वयं बनाएँ

औसत मासिक व्यय

टूथपेस्ट पर

प्रचलित ब्रांड

वर्तमान में माँग वाले ब्रांड

अभिरुचि

इन ब्रांडों के प्रति ग्राहकों का दृष्टिकोण

संघटक

टूथपेस्ट के संघटकों के प्रति पसंद

जनसंचार प्रभाव

माँग पर प्रमुख संचार माध्यमों का प्रभाव

आय से संबंध

आय तथा ऊपर के सभी कारकों के बीच संबंध

5.1 प्रश्नावली का उदाहरण (पुस्तक के 15 प्रश्न)

प्रश्न	क्या पूछा गया	प्रश्न का प्रकार
1-5	नाम, लिंग, परिवार के सदस्यों की आयु, सदस्यों की कुल संख्या, परिवार की मासिक आय	व्यक्तिगत/पारिवारिक सूचना
6	निवास का स्थान: शहरी / ग्रामीण	बंद (दो विकल्प)
7	मुख्य जीविका उपार्जक का व्यवसाय: सेवा, व्यवसाय, विनिर्माण, व्यापारी, अन्य	बहुविकल्पी
8	क्या परिवार दाँत साफ करने के लिए टूथपेस्ट प्रयोग करता है? हाँ / नहीं	बंद (हाँ/नहीं)
9	अच्छे टूथपेस्ट के आवश्यक गुण: प्लेन, जैल, एंटीसेप्टिक, फ़्लेवर्ड, केवीटीज-प्रोटेक्शन, फ़्लोराइड, अन्य (एक से अधिक टिक)	बहु-उत्तर
10-11	कौन-सा ब्रांड; 100 ग्राम के कितने पैक प्रति माह	खुला/संख्यात्मक
12-13	इस टूथपेस्ट से संतुष्ट? नया टूथपेस्ट आज़माने को तैयार? हाँ / नहीं	बंद
14	नए टूथपेस्ट में कौन-से गुण चाहेंगे (एक से अधिक)	बहु-उत्तर
15	जानकारी के प्रमुख स्रोत: सिनेमा, प्रदर्शनियाँ, इंटरनेट, पत्रिकाएँ, समाचार-पत्र, रेडियो, विपणन प्रतिनिधि, टेलीविजन, अन्य	बहु-उत्तर

परीक्षा संकेत

“एक अच्छी प्रश्नावली कैसी हो” पूछा जाए तो इसी प्रश्नावली से उदाहरण दें: प्रश्न छोटे और सरल हों, अधिकतर बंद प्रश्न (हाँ/नहीं, विकल्प) हों ताकि उत्तर गिनकर सारणी बन सके, प्रश्न तर्कसंगत क्रम में हों (पहले पारिवारिक सूचना, फिर उत्पाद), और “अन्य (कृपया स्पष्ट करें)” का विकल्प हो।

6 आँकड़ों का विश्लेषण तथा निर्वचन: सरलीकृत परियोजना रिपोर्ट

सूचनाएँ एकत्र करने के बाद आँकड़ों को संगठित और वर्गीकृत किया जाता है। पुस्तक की अंतिम रिपोर्ट इस प्रकार है। हर सारणी के बाद एक प्रेक्षण (observation) लिखा है: यही निर्वचन है।

100गृहस्थ: कुल प्रतिदर्श की संख्या

67%शहरी

33%ग्रामीण

प्रेक्षण: अधिकांश प्रयोक्ता नगरीय (शहरी) क्षेत्र से थे।

6.1 आयु वितरण

आयु (वर्षों में)	10 से कम	10-20	20-30	30-40	40-50	50 से अधिक	योग
व्यक्तियों की संख्या	74	56	91	146	93	40	500

चित्र 8.1 आयु बंटन का दंड-आरेख: 30 से 40 वर्ष वाले वर्ग में सबसे अधिक 146 व्यक्ति — **चित्र 8.1** आयु बंटन का दंड-आरेख: 30 से 40 वर्ष वाले वर्ग में सबसे अधिक 146 व्यक्ति

प्रेक्षण: सर्वेक्षण किए गए बहुसंख्यक लोग 20-50 आयु-वर्ग से थे: 91 + 146 + 93 = 330, यानी 500 में से 66%।

ध्यान दें

प्रतिदर्श 100 गृहस्थ (परिवार) हैं, पर आयु सारणी में 500 व्यक्ति हैं, क्योंकि इन परिवारों के सभी सदस्यों की आयु पूछी गई (प्रश्न 3)। इकाई ध्यान से लिखें।

6.2 परिवार का आकार

परिवार का आकार	1-2	3-4	5-6	6 से अधिक	योग
परिवारों की संख्या	20	40	30	10	100

चित्र 8.2 परिवार के आकार का दंड-आरेख: 3-4 सदस्यों वाले 40 परिवार सबसे अधिक — **चित्र 8.2** परिवार के आकार का दंड-आरेख: 3-4 सदस्यों वाले 40 परिवार सबसे अधिक

प्रेक्षण: अधिकांश परिवारों में 3-6 सदस्य थे (40 + 30 = 70 परिवार)।

6.3 परिवार की मासिक आय प्रस्थिति: माध्य (पद विचलन विधि)

हिंदी पुस्तक आय वर्ग “10,000 से कम, 10,000-20,000, 20,000-30,000, 30,000 से अधिक” लिखती है; गणना की सारणी में यही वर्ग 0-10000 से 30000-40000 लिए गए हैं।

आय वर्ग (₹)	मध्य बिंदु $x$	बारंबारता $f$	$d' = (x – 20000)/5000$	$fd'$	$fd'^2$
0-10000	5000	20	−3	−60	180
10000-20000	15000	40	−1	−40	40
20000-30000	25000	30	1	30	30
30000-40000	35000	10	3	30	90
योग		Σf = 100		Σfd′ = −40	Σfd′² = 340

सूत्र: समांतर माध्य (पद विचलन विधि)

\bar{X} = A + \frac{\sum fd'}{\sum f} \times c

A

= कल्पित माध्य,

c

= वह सार्व गुणनखंड जिससे विचलन को भाग दिया,

d' = (x – A)/c

दिया है

$A = 20000$ , $c = 5000$ , $\sum f = 100$ , $\sum fd' = -40$

ज्ञात करना है

माध्य मासिक आय

हल किया उदाहरण 1

सूत्र: $\bar{X} = A + \dfrac{\sum fd'}{\sum f} \times c$ (½)
मान रखना: $\bar{X} = 20000 + \dfrac{-40}{100} \times 5000 = 20000 – 2000$ (½)
उत्तर: माध्य मासिक आय = ₹18,000 (1)
निर्वचन: सर्वेक्षण के एक औसत परिवार की मासिक आय ₹18,000 है।

आम गलती

$A$ = 20,000 है, 2,000 नहीं। और $\sum fd'$ ऋणात्मक (−40) है, इसलिए माध्य $A$ से कम आएगा। चिह्न छोड़ने पर 22,000 जैसा गलत उत्तर आता है।

चित्र 8.3 परिवार की मासिक आय का आयत-चित्र: 10,000 से 20,000 वाले वर्ग में सबसे अधिक 40 परिवार — **चित्र 8.3** परिवार की मासिक आय का आयत-चित्र: 10,000 से 20,000 वाले वर्ग में सबसे अधिक 40 परिवार

प्रेक्षण: सर्वेक्षण किए गए अधिकतर परिवारों की मासिक आय ₹10,000 से ₹30,000 के बीच थी (40 + 30 = 70 परिवार)।

मानक विचलन (CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं)

पुस्तक इस परियोजना में “परिक्षेपण के माप” के रूप में मानक विचलन ( $\sigma$ ) भी निकालती है। यह बताता है कि आय अपने माध्य से औसतन कितनी फैली है। CBSE पाठ्यक्रम में परिक्षेपण नहीं है; केवल पढ़ने के लिए सूत्र:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum fd'^2}{\sum f} – \left(\frac{\sum fd'}{\sum f}\right)^2} \times c

आय के लिए: $\sigma = \sqrt{\dfrac{340}{100} – \left(\dfrac{-40}{100}\right)^2} \times 5000 = \sqrt{3.40 – 0.16} \times 5000 = \sqrt{3.24} \times 5000 = 1.8 \times 5000 =$ ₹9,000

निर्वचन: माध्य आय ₹18,000 तथा मानक विचलन ₹9,000 था; परिवारों की आय में काफ़ी अंतर है।

6.4 टूथपेस्ट का मासिक बजट

मासिक व्यय वर्ग (₹)	मध्य बिंदु $x$	बारंबारता $f$	$d' = (x – 100)/40$	$fd'$	$fd'^2$
0-40	20	5	−2	−10	20
40-80	60	20	−1	−20	20
80-120	100	40	0	0	0
120-160	140	30	1	30	30
160-200	180	5	2	10	20
योग		100		10	90

हल किया उदाहरण 2

दिया है: $A = 100$ , $c = 40$ , $\sum f = 100$ , $\sum fd' = 10$
सूत्र: $\bar{X} = A + \dfrac{\sum fd'}{\sum f} \times c$ (½)
मान रखना: $\bar{X} = 100 + \dfrac{10}{100} \times 40 = 100 + 4$ (½)
उत्तर: टूथपेस्ट पर प्रति गृहस्थ माध्य मासिक व्यय = ₹104 (1)
मानक विचलन (पाठ्यक्रम में नहीं): $\sigma = \sqrt{\dfrac{90}{100} – \left(\dfrac{10}{100}\right)^2} \times 40 = \sqrt{0.90 – 0.01} \times 40 = \sqrt{0.89} \times 40 \approx 0.9434 \times 40 \approx$ ₹37.74
निर्वचन: एक औसत परिवार टूथपेस्ट पर लगभग ₹104 प्रति माह खर्च करता है।

आम गलती

वर्गमूल लेना न भूलें: $\sqrt{0.89} \approx 0.94$ होता है, 0.89 नहीं। और $\sum fd'^2$ को सारणी के स्तंभ (6) के योग से ही लें; हर पंक्ति $f \times d'^2$ है, $(fd')^2$ नहीं।

6.5 प्रमुख व्यावसायिक प्रस्थिति: वृत्त-आरेख

सूत्र: वृत्त-आरेख का कोण

कोण = (घटक का मान ÷ कुल मान) × 360°

परिवार का व्यवसाय	परिवारों की संख्या	प्रतिशत	कोण
सेवा (नौकरी-पेशा)	30	30%	30/100 × 360° = 108°
व्यावसायिक	5	5%	18°
विनिर्माता	10	10%	36°
व्यापारी	40	40%	144°
अन्य (कृपया बताएँ)	15	15%	54°
योग	100	100%	360°

चित्र 8.4 प्रमुख व्यावसायिक प्रस्थिति का वृत्त-आरेख: व्यापारी 40% और सेवा 30% — **चित्र 8.4** प्रमुख व्यावसायिक प्रस्थिति का वृत्त-आरेख: व्यापारी 40% और सेवा 30%

प्रेक्षण: सर्वेक्षण किए गए परिवारों में से अधिकांश सेवा-वर्ग या व्यापारी वर्ग के थे (30 + 40 = 70)।

6.6 प्रयोग किए जाने वाले टूथपेस्ट (ब्रांड)

अतिरिक्त चित्र 1 ब्रांड-वार गृहस्थ (पुस्तक की सारणी से): पेप्सोडेंट 20, कोलगेट 18, क्लोज़अप 12; योग 100 — **अतिरिक्त चित्र 1** ब्रांड-वार गृहस्थ (पुस्तक की सारणी से): पेप्सोडेंट 20, कोलगेट 18, क्लोज़अप 12; योग 100

प्रेक्षण: पेप्सोडेंट, कोलगेट, क्लोज़अप अधिक पसंद किए जाने वाले टूथपेस्ट थे; तीनों मिलकर 50 गृहस्थ।

6.7 चयन का आधार

मानकता चिह्न50

गुणवत्ता45

कीमत35

कंपनी ब्रांड35

स्वाद20

विज्ञापन15

संघटक सामग्री10

नये उत्पाद को आज़माना10

दाँतों के डॉक्टर द्वारा प्रेरित5

प्रेक्षण: अधिकांश लोगों ने मानक चिह्न, गुणवत्ता, कीमत तथा कंपनी ब्रांड के आधार पर चयन किया।

ध्यान दें

यहाँ संख्याओं का योग 225 है, 100 नहीं, क्योंकि एक परिवार एक से अधिक आधार टिक कर सकता था (बहु-उत्तर प्रश्न)। ऐसे आँकड़ों का वृत्त-आरेख नहीं बनता, क्योंकि भाग मिलकर एक पूरा नहीं बनाते; दंड-आरेख बनता है। संघटक सामग्री (योग 280) और संचार साधन (योग 165) पर भी यही लागू है।

6.8 स्वाद एवं प्राथमिकता (संतुष्टि)

ब्रांड	संतुष्ट	असंतुष्ट	कुल प्रयोक्ता	असंतुष्टि %
पेप्सोडेंट	18	2	20	10.0%
कोलगेट	16	2	18	11.1%
क्लोज़अप	10	2	12	16.7%
सिबाका	5	4	9	44.4%
ओरल बी	4	3	7	42.9%
संसोडाइन	5	2	7	28.6%
एक्वाफ्रेश	2	3	5	60.0%
मेसवाक	3	2	5	40.0%
एंकर	2	2	4	50.0%
पर्ल	2	2	4	50.0%
बबूल	2	1	3	33.3%
प्रोमिस	2	1	3	33.3%

असंतुष्टि % = असंतुष्ट ÷ (संतुष्ट + असंतुष्ट) × 100। हर ब्रांड के कुल प्रयोक्ता ब्रांड आरेख (6.6) के आँकड़ों से ठीक मिलते हैं।

प्रेक्षण: सर्वाधिक प्रयोग किए जाने वाले टूथपेस्टों में असंतुष्टि का प्रतिशत अपेक्षाकृत कम था (पेप्सोडेंट 10%, कोलगेट 11.1%)।

6.9 संघटक सामग्री की प्राथमिकता

एंटीसेप्टिक80

जेल70

सुगंधित50

सादा40

केरीज संरक्षक30

फ़्लोराइड10

प्रेक्षण: अधिकांश लोगों ने जेल तथा एंटीसेप्टिक टूथपेस्ट को अन्य टूथपेस्टों की अपेक्षा अधिक पसंद किया।

6.10 संचार साधनों का प्रभाव

चित्र 8.5 संचार साधनों की भूमिका का दंड-आरेख: टेलीविजन से 47 परिवार प्रभावित — **चित्र 8.5** संचार साधनों की भूमिका का दंड-आरेख: टेलीविजन से 47 परिवार प्रभावित

प्रेक्षण: अधिसंख्य लोगों को उत्पाद के बारे में टेलीविजन (47) या समाचार-पत्रों (30) के माध्यम से जानकारी मिली।

6.11 परियोजना रिपोर्ट की संक्षिप्त टिप्पणी (उपसंहार)

पुस्तक का निष्कर्ष, बिंदुओं में

बहुसंख्य लोग शहरी क्षेत्रों से थे
अधिकतर लोग 20-50 वर्ष के आयु-वर्ग से थे और उनके परिवार में औसतन 3-6 सदस्य थे
परिवारों की मासिक आय ₹10,000 से ₹30,000 के बीच थी और वे मुख्यतः सेवा-वर्ग (नौकरी-पेशा) एवं व्यापारी वर्ग के थे
टूथपेस्ट पर व्यय परिवार के प्रसाधन बजट का प्रमुख अंग था; गणना से औसत व्यय लगभग ₹104 प्रति गृहस्थ प्रति माह
हिंदी पुस्तक के अनुसार माध्य के परिकलन से लगभग 100 ग्राम टूथपेस्ट के पैक की औसत कीमत ₹29 पाई गई
पारिवारिक सर्वेक्षण में पेप्सोडेंट, कोलगेट तथा क्लोज़अप अधिक पसंद किए जाने वाले ब्रांड थे
लोगों ने उस ब्रांड को प्राथमिकता दी जो अस्थिक्षय संरक्षक या एंटीसेप्टिक थे
अधिकांश लोग विज्ञापनों से प्रभावित थे और सर्वाधिक लोकप्रिय संचार माध्यम टेलीविजन था

X को सलाह (निष्कर्ष से सुझाव)

प्रेक्षणों से X के लिए उपसंहार इस तरह लिखा जा सकता है: (1) मुख्य बाज़ार शहरी, ₹10,000-30,000 आय वाले परिवार; (2) जेल या एंटीसेप्टिक टूथपेस्ट बनाएँ; (3) कीमत ऐसी रखें कि परिवार का मासिक खर्च लगभग ₹104 के आसपास रहे; (4) गुणवत्ता और मानक चिह्न पर ज़ोर दें; (5) विज्ञापन मुख्यतः टेलीविजन और समाचार-पत्रों में दें।

7 इसी सर्वेक्षण पर अध्याय 5 के उपकरण: मध्यिका, बहुलक और तोरण

पुस्तक केवल माध्य निकालती है। परीक्षा में इसी तरह के आँकड़ों पर मध्यिका और बहुलक भी पूछे जाते हैं, इसलिए वही आँकड़े आगे हल किए गए हैं।

सूत्र

मध्यिका

= L + \dfrac{N/2 – cf}{f} \times h

बहुलक

= L + \dfrac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2} \times h

L

= वर्ग की निम्न सीमा,

cf

= उससे पहले वर्ग तक संचयी बारंबारता,

f

= उस वर्ग की बारंबारता,

h

= वर्ग-अंतराल,

f_1

= बहुलक वर्ग की बारंबारता,

f_0

f_2

= उससे पहले और बाद वाले वर्ग की

हल किया उदाहरण 3: आय की मध्यिका और बहुलक

संचयी बारंबारता: 20, 60, 90, 100; $N/2 = 50$ → मध्यिका वर्ग 10000-20000 (c.f. पहली बार 50 से अधिक: 60)
मध्यिका $= 10000 + \dfrac{50 – 20}{40} \times 10000 = 10000 + 7500 =$ ₹17,500
बहुलक वर्ग 10000-20000 ( $f_1 = 40$ , $f_0 = 20$ , $f_2 = 30$ )
बहुलक $= 10000 + \dfrac{40 – 20}{80 – 20 – 30} \times 10000 = 10000 + \dfrac{20}{30} \times 10000 \approx$ ₹16,666.67
निर्वचन: आधे परिवारों की आय ₹17,500 से कम है और सबसे आम आय लगभग ₹16,667 है; माध्य (₹18,000) थोड़ा अधिक है क्योंकि कुछ परिवारों की आय ऊँची है।

अतिरिक्त चित्र 2 आय के "से कम" और "से अधिक" तोरण (17,500, 50) पर कटते हैं; यही मध्यिका ₹17,500 है — **अतिरिक्त चित्र 2** आय के “से कम” और “से अधिक” तोरण (17,500, 50) पर कटते हैं; यही मध्यिका ₹17,500 है

“से कम” तोरण के बिंदु: (10000, 20), (20000, 60), (30000, 90), (40000, 100); हर वर्ग की ऊपरी सीमा पर
“से अधिक” तोरण के बिंदु: (0, 100), (10000, 80), (20000, 40), (30000, 10); हर वर्ग की निम्न सीमा पर
दोनों का कटान बिंदु x-अक्ष पर मध्यिका देता है: ₹17,500, ठीक सूत्र वाला उत्तर

हल किया उदाहरण 4: टूथपेस्ट व्यय की मध्यिका और बहुलक

संचयी बारंबारता: 5, 25, 65, 95, 100; $N/2 = 50$ → मध्यिका वर्ग 80-120
मध्यिका $= 80 + \dfrac{50 – 25}{40} \times 40 =$ ₹105
बहुलक वर्ग 80-120: बहुलक $= 80 + \dfrac{40 – 20}{80 – 20 – 30} \times 40 \approx$ ₹106.67
निर्वचन: माध्य (₹104), मध्यिका (₹105) और बहुलक (₹106.67) लगभग बराबर हैं; व्यय का वितरण लगभग सममित है।

आम गलती

मध्यिका से पहले आँकड़ों को क्रम में रखकर संचयी बारंबारता बनाना जरूरी है। c.f. उस वर्ग से पहले वाले वर्ग की लेते हैं, मध्यिका वर्ग की अपनी नहीं।

8 परिशिष्ट-अ: मुख्य सांख्यिकीय पद

पुस्तक के अंत में पूरी पुस्तक के पदों का शब्द-संग्रह है। परियोजना लिखते और मौखिकी में ये पद सबसे काम आते हैं।

याद करेंपरिभाषा 6

समष्टि: वे सभी व्यष्टि/इकाइयाँ जिनके बारे में सूचना प्राप्त करनी है।

याद करेंपरिभाषा 7

जनगणना विधि: आँकड़ा संग्रह की ऐसी विधि जिसमें समष्टि के सभी व्यक्तियों से प्रेक्षण लिए जाते हैं।

याद करेंपरिभाषा 8

प्रतिदर्श (सर्वेक्षण विधि): ऐसी विधि जिसमें प्रेक्षण समष्टि से चुने हुए व्यष्टियों के प्रतिनिधि समुच्चय (प्रतिदर्श) से प्राप्त किए जाते हैं।

याद करेंपरिभाषा 9

यादृच्छिक प्रतिचयन: प्रतिचयन की ऐसी विधि जिसमें सूचकों के प्रतिनिधि समुच्चय का चयन इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक व्यष्टि को सूचक के रूप में चुने जाने का समान अवसर मिले।

याद करेंपरिभाषा 10

कल्पित माध्य: परिकलन को सरल बनाने के लिए लिया गया कोई सन्निकट मान।

याद करेंपरिभाषा 11

वर्ग का मध्य बिंदु: किसी वर्ग का मध्य मान, जो उस वर्ग के प्रेक्षणों का प्रतिनिधि मान है; = (ऊपरी सीमा + निम्न सीमा) ÷ 2।

पद	अर्थ (परिशिष्ट-अ)
सूचक	व्यष्टि/इकाई जिससे इष्ट सूचना प्राप्त की जाती है
गणनाकार	ऐसा व्यक्ति जो आँकड़ों का संग्रह करता है
प्रतिचयन त्रुटि	प्राचल के आकलन तथा यथार्थ मान के बीच संख्यात्मक अंतर
अप्रतिचयन त्रुटि	आँकड़ों के संग्रह में (i) माप में त्रुटियाँ (ii) अभिलेखन की अशुद्धियाँ (iii) अनुत्तर से उत्पन्न
चर	किसी गुण (ऊँचाई, भार, संख्या) को मापने वाली मात्रा, जिसका मान परिस्थितियों में भिन्न हो सकता है
विविक्त चर / संतत चर	केवल कुछ निश्चित मान (“उछालों” से) / कोई भी संख्यात्मक मान
गुण	गुणात्मक लक्षण, जिसे मापा नहीं जा सकता
बारंबारता वितरण	मात्रात्मक चर का वर्गों में बारंबारताओं सहित वर्गीकरण
सापेक्ष बारंबारता	कुल बारंबारता के अनुपात या प्रतिशत के रूप में किसी वर्ग की बारंबारता
समावेशी / अपवर्जी विधि	ऊपरी सीमा के बराबर प्रेक्षण उसी वर्ग में / अगले वर्ग में
मिलान चिह्न अंकन	मिलान चिह्नों (/) से गिनती, पाँच-पाँच के समूह
काल श्रेणी	कालानुक्रम में व्यवस्थित आँकड़े, या दो-चर आँकड़े जिनमें समय एक चर है
चक्रीयता / मौसमीपन	एक वर्ष से अधिक / कम अवधि में विचरण की आवर्तिता
द्विबहुलकी / बहुबहुलकी वितरण	दो बहुलक / दो से अधिक बहुलक
परास	किसी चर के अधिकतम और न्यूनतम मानों का अंतर
दशमक / शतमक	आँकड़ों को 10 / 100 बराबर भागों में बाँटने वाले मान (99 शतमक)
भारित औसत	भिन्न-भिन्न बिंदुओं को भिन्न भार देकर निकाला औसत
विश्लेषण / नीति	आर्थिक समस्या को कारणों के संदर्भ में समझना / समस्या हल करने का उपाय

9 परिशिष्ट ब: दो अंकों के बेतरतीब (यादृच्छिक) अंक

पुस्तक के अंत में दो अंकों वाली यादृच्छिक संख्याओं की सारणी है। इसका उपयोग यादृच्छिक प्रतिदर्श चुनने में होता है, ताकि हर इकाई को चुने जाने का समान अवसर मिले और अन्वेषक का पक्षपात न आए।

हल किया उदाहरण 5: 100 परिवारों में से 5 का यादृच्छिक प्रतिदर्श

चरण 1: सभी 100 परिवारों को 01 से 100 तक क्रमांक दें (100 के लिए 00 लें)।
चरण 2: सारणी की पहली पंक्ति से दो-दो अंक पढ़ें: 03, 47, 43, 73, 86
चरण 3: इन्हीं क्रमांक वाले परिवार प्रतिदर्श में: परिवार 3, 47, 43, 73 और 86
कोई संख्या दोबारा आए तो उसे छोड़कर अगली संख्या लें।

10 सूत्र, अंतर और आम गलतियाँ एक जगह

मुख्य सूत्र

मध्य बिंदु = (ऊपरी सीमा + निम्न सीमा) ÷ 2

d' = \dfrac{x – A}{c}

और

\bar{X} = A + \dfrac{\sum fd'}{\sum f} \times c

कोण = (मान ÷ योग) × 360° और प्रतिशत = (भाग ÷ योग) × 100

आधार	जनगणना विधि	प्रतिदर्श विधि
किससे सूचना	समष्टि की हर इकाई	प्रतिनिधि प्रतिदर्श
समय, धन, श्रम	अधिक	कम
त्रुटि	प्रतिचयन त्रुटि नहीं	प्रतिचयन त्रुटि संभव
पुस्तक का उदाहरण	महिला साक्षरता/साबुन खपत: हर परिवार से	टूथपेस्ट सर्वेक्षण: 100 गृहस्थ

✓ परियोजना में यह करें

उद्देश्य एक वाक्य में पहले लिखें
हर सारणी के नीचे एक प्रेक्षण लिखें
हर संख्या के साथ इकाई (₹, परिवार, व्यक्ति) लिखें
ग्रंथ सूची में हर द्वितीयक स्रोत दें

✗ यह न करें

बहु-उत्तर आँकड़ों (योग 100 से अधिक) का वृत्त-आरेख
प्रतिदर्श को उद्देश्य से असंबंधित लोगों से चुनना (कार के लिए केवल निम्न आय वर्ग)
किसी और की परियोजना की नकल (मौलिक कार्य अनिवार्य)
निष्कर्ष बिना आँकड़ों के

सभी परिभाषाएँ एक जगह

सांख्यिकीअर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने के लिए आँकड़ों के संग्रह, संगठन, प्रस्तुतीकरण तथा विश्लेषण करने की विधि; इसका अभिप्राय आँकड़ों से भी है

प्राथमिक आँकड़ेअन्वेषक द्वारा पहली बार, स्वयं, प्रश्नावली या साक्षात्कार अनुसूची से एकत्र आँकड़े

द्वितीयक आँकड़ेकिसी और द्वारा पहले एकत्र और प्रकाशित आँकड़े जिन्हें अन्वेषक प्रयोग करता है

प्रश्नावलीअन्वेषण के विषय पर अन्वेषक द्वारा तैयार प्रश्नों की सूची; उत्तरदाता उत्तर देता है

संरचित प्रश्नावलीपरिमितोत्तर (बंद) प्रश्न, जिनके वैकल्पिक संभव उत्तर दिए होते हैं

समष्टिवे सभी व्यष्टि/इकाइयाँ जिनके बारे में सूचना प्राप्त करनी है

जनगणना विधिसमष्टि के सभी व्यक्तियों से प्रेक्षण

प्रतिदर्श (सर्वेक्षण विधि)समष्टि से चुने प्रतिनिधि समुच्चय (प्रतिदर्श) से प्रेक्षण

यादृच्छिक प्रतिचयनहर व्यष्टि को सूचक के रूप में चुने जाने का समान अवसर

कल्पित माध्यपरिकलन को सरल बनाने के लिए लिया गया सन्निकट मान

वर्ग का मध्य बिंदु(ऊपरी सीमा + निम्न सीमा) ÷ 2; वर्ग का प्रतिनिधि मान

पुनरावर्तन: परीक्षा से पहले की रात पढ़ें

अध्ययन के उद्देश्य की पहचान स्पष्ट रूप से की जानी चाहिए
जनसंख्या (समष्टि) तथा प्रतिदर्श का चुनाव सावधानीपूर्वक किया जाना चाहिए
सर्वेक्षण के उद्देश्य से निर्धारित होता है कि किस प्रकार के आँकड़ों का प्रयोग किया जाना चाहिए
प्रश्नावली/साक्षात्कार अनुसूची तैयार की जानी चाहिए
संगृहीत आँकड़ों का विश्लेषण विभिन्न सांख्यिकीय विधियों के द्वारा किया जा सकता है
परिणामों का निर्वचन सार्थक निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए किया जाता है
टूथपेस्ट सर्वेक्षण: 100 गृहस्थ, माध्य आय ₹18,000, माध्य टूथपेस्ट व्यय ₹104, मध्यिका आय ₹17,500
CBSE परियोजना: 20 अंक = 3 + 6 + 3 + 8 (मौखिकी 8)

परीक्षा से पहले खुद से पूछें

क्या मैं परियोजना के सातों चरण क्रम से लिख सकता हूँ?
क्या मैं कार, साबुन और पेयजल के लक्ष्य समूह बता सकता हूँ?
क्या मैं द्वितीयक आँकड़े लेने की दो स्थितियाँ बता सकता हूँ?
क्या मैं पद विचलन विधि से ₹18,000 और ₹104 वाले माध्य फिर से निकाल सकता हूँ?
क्या मैं वृत्त-आरेख के कोण और दोनों तोरणों से मध्यिका निकाल सकता हूँ?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स