Class 11 Economics Ch 5 Notes in Hindi: केंद्रीय प्रवृत्ति की माप

यह अध्याय टी.आर. जैन एवं वी.के. ओहरी (अंग्रेज़ी संस्करण 2026-27) अध्याय 9-10 को कवर करता है। आधार: NCERT अर्थशास्त्र में सांख्यिकी, अध्याय 5 (Reprint 2026-27) और CBSE पाठ्यक्रम 2026-27 (भाग A, इकाई 3)।

इस अध्याय में आप सीखेंगे

आँकड़ों के पूरे समुच्चय को एक प्रतिनिधि मान (औसत) से संक्षिप्त करना
समांतर माध्य को प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य और पद विचलन, तीनों विधियों से निकालना, व्यष्टिगत, विविक्त और संतत शृंखला में
मध्यिका को सूत्र से और ‘से कम’ तथा ‘से अधिक’ तोरण से निकालना
बहुलक को निरीक्षण, सूत्र और आयत चित्र से निकालना
हर परिणाम की एक पंक्ति में व्याख्या करना और स्थिति के अनुसार सही औसत चुनना

केंद्रीय प्रवृत्ति की मापऔसतसमांतर माध्यभारित समांतर माध्यप्रत्यक्ष विधिकल्पित माध्य विधिपद विचलन विधिसमापवर्तकव्यष्टिगत शृंखलाविविक्त शृंखलासंतत शृंखलामध्य बिंदुमध्यिकासंचयी बारंबारतातोरणचतुर्थकशतमकबहुलकबहुलक वर्गएक-बहुलकीद्विबहुलकीमुक्तांत वितरण

1 केंद्रीय प्रवृत्ति की माप: अर्थ और आवश्यकता

आँकड़ों को सारणी और आलेख में दिखाने के बाद अगला कदम है: पूरे आँकड़ों को एक संख्या में संक्षेप में बताना; केंद्रीय प्रवृत्ति की माप यही संख्यात्मक विधि है
रोज़ के उदाहरण: कक्षा के छात्रों के औसत अंक, किसी क्षेत्र की औसत वर्षा, कारखाने का औसत उत्पादन, किसी फर्म या मोहल्ले के लोगों की औसत आय

पुस्तक का उदाहरण: बैजू

बैजू एक किसान है, जो बिहार के बक्सर जिले के बालापुर गाँव में खाद्यान्न उगाता है
गाँव में 50 छोटे कृषक हैं; बैजू के पास 1 एकड़ भूमि है
बैजू की आर्थिक स्थिति जाँचने के लिए पूछेंगे कि क्या उसकी भूमि:
1. सामान्य अर्थ में औसत से ऊपर है? → समांतर माध्य
2. आधे किसानों की जोत से अधिक है? → मध्यिका
3. अधिकतर किसानों की जोत से अधिक है? → बहुलक
इसके लिए सभी 50 किसानों की जोतों के आँकड़ों को एक मान में संक्षिप्त करना होगा

याद करेंपरिभाषा 1

केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आँकड़ों को किसी एकल मान में इस प्रकार संक्षिप्त करती है कि यह एकल मान संपूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व करे। यह प्रतिनिधि या विशिष्ट मान के रूप में आँकड़ों के संक्षेपण का एक तरीका है।

तीन प्रचलित औसत

समांतर माध्य

सामान्य अर्थ में “औसत”; सबसे अधिक प्रयोग

मध्यिका

बीच का मान; आधे मान इससे कम, आधे अधिक

बहुलक

सबसे अधिक बार आने वाला मान

केंद्रीय प्रवृत्ति के इन मापों को औसत भी कहते हैं; ये तीन सर्वाधिक प्रचलित औसत हैं
दो अन्य औसत भी हैं: ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य, जो विशिष्ट परिस्थितियों में उपयुक्त होते हैं; यह अध्याय केवल ऊपर के तीन औसतों तक सीमित है

2 समांतर माध्य (Arithmetic Mean)

याद करेंपरिभाषा 2

समांतर माध्य सभी प्रेक्षणों के मूल्यों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग देने पर मिलता है। इसे $\bar{X}$ से दर्शाते हैं। यह केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला माप है।

सूत्र

\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + \dots + X_N}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N} = \frac{\Sigma X}{N}

\Sigma X

= सभी प्रेक्षणों का योग,

N

= प्रेक्षणों की कुल संख्या;

i

एक सूचक है जो क्रम से 1, 2, 3, …, N मान लेता है

पुस्तक का उदाहरण: छह परिवारों की मासिक आय

आय (₹ में): 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630

$\bar{X} = \dfrac{1600 + 1500 + 1400 + 1525 + 1625 + 1630}{6} = \dfrac{9280}{6} = 1546.67 \approx$ ₹1,547

व्याख्या: औसतन एक परिवार ₹1,547 प्रति माह कमाता है।

माध्य निकालने का रास्ता: पहले शृंखला पहचानें

व्यष्टिगत शृंखला (असमूहित)

केवल मान दिए हैं, जैसे 40, 50, 55

विविक्त शृंखला

हर मान के साथ उसकी बारंबारता (f) दी है

संतत शृंखला

वर्ग अंतराल दिए हैं; मध्य बिंदु (m) लेते हैं

तीनों प्रकार की शृंखला में तीन विधियाँ चलती हैं: प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि और पद विचलन विधि। तीनों का उत्तर हमेशा एक ही आता है; बाद की दो विधियाँ केवल गणना को आसान बनाती हैं।

2.1 असमूहित आँकड़े (व्यष्टिगत शृंखला)

(क) प्रत्यक्ष विधि

शृंखला के सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग देते हैं: $\bar{X} = \dfrac{\Sigma X}{N}$

दिया है (उदाहरण 1)

अर्थशास्त्र की परीक्षा में छात्रों के अंक: 40, 50, 55, 78, 58; $N = 5$

ज्ञात करना है

समांतर माध्य

हल

सूत्र: $\bar{X} = \dfrac{\Sigma X}{N}$
मान रखने पर: $\bar{X} = \dfrac{40 + 50 + 55 + 78 + 58}{5} = \dfrac{281}{5}$
उत्तर: 56.2 अंक
व्याख्या: अर्थशास्त्र की परीक्षा में छात्रों के औसत अंक 56.2 हैं।

(ख) कल्पित माध्य विधि

जब प्रेक्षण बहुत अधिक हों या संख्याएँ बड़ी हों, तब प्रत्यक्ष विधि से जोड़ना कठिन और समय लेने वाला होता है
तर्क या अनुभव के आधार पर किसी एक संख्या को माध्य मान लेते हैं: यही कल्पित माध्य (A) है
हर प्रेक्षण का A से विचलन $d = X – A$ लेते हैं, उनका योग $\Sigma d$ करते हैं, $N$ से भाग देकर A में जोड़ देते हैं
कोई भी मान, चाहे आँकड़ों में हो या न हो, कल्पित माध्य लिया जा सकता है; गणना सरल रखने के लिए बीच का (केंद्रीय) मान चुनें

सूत्र: कल्पित माध्य विधि (व्यष्टिगत)

\bar{X} = A + \frac{\Sigma d}{N}, \qquad d = X – A

A

= कल्पित माध्य,

X

= व्यष्टिगत प्रेक्षण,

N

= प्रेक्षणों की कुल संख्या,

d

= कल्पित माध्य से प्रेक्षण का विचलन

(ग) पद विचलन विधि

कल्पित माध्य से लिए गए सभी विचलनों को किसी समापवर्तक (c) से भाग देकर और छोटा कर लेते हैं: $d' = \dfrac{X – A}{c}$
उद्देश्य: बड़ी संख्याओं से बचना; अंत में $c$ से गुणा करके वापस सही पैमाने पर आ जाते हैं

सूत्र: पद विचलन विधि (व्यष्टिगत)

\bar{X} = A + \frac{\Sigma d'}{N} \times c, \qquad d' = \frac{X – A}{c}

c

= समापवर्तक (सभी विचलनों का साझा गुणनखंड),

N

= प्रेक्षणों की संख्या,

A

= कल्पित माध्य

उदाहरण 2: 10 परिवारों की साप्ताहिक आय (₹ में) से माध्य आय निकालें। कल्पित माध्य $A = 850$ , समापवर्तक $c = 10$ ।

परिवार	आय (X)	d = X − 850	d′ = (X − 850)/10
क	850	0	0
ख	700	−150	−15
ग	100	−750	−75
घ	750	−100	−10
ङ	5000	+4150	+415
च	80	−770	−77
छ	420	−430	−43
ज	2500	+1650	+165
झ	400	−450	−45
ञ	360	−490	−49
योग	ΣX = 11160	Σd = +2660	Σd′ = +266

हल: तीनों विधियाँ, एक ही उत्तर

प्रत्यक्ष विधि: $\bar{X} = \dfrac{\Sigma X}{N} = \dfrac{11160}{10} = 1116$
कल्पित माध्य विधि: $\bar{X} = A + \dfrac{\Sigma d}{N} = 850 + \dfrac{2660}{10} = 850 + 266 = 1116$
पद विचलन विधि: $\bar{X} = A + \dfrac{\Sigma d'}{N} \times c = 850 + \dfrac{266}{10} \times 10 = 1116$
उत्तर: माध्य साप्ताहिक आय ₹1,116
व्याख्या: इन परिवारों की औसत साप्ताहिक आय ₹1,116 है। ध्यान दें: 10 में से 8 परिवार इससे कम कमाते हैं, क्योंकि ₹5,000 और ₹2,500 जैसे बड़े मान माध्य को ऊपर खींच लेते हैं।

2.2 विविक्त शृंखला

हर प्रेक्षण की बारंबारता (f) को उस प्रेक्षण के मान (X) से गुणा करते हैं, गुणनफलों को जोड़ते हैं ( $\Sigma fX$ ) और बारंबारताओं के योग ( $\Sigma f$ ) से भाग देते हैं
कल्पित माध्य और पद विचलन विधि में हर विचलन को भी उसकी बारंबारता से गुणा करते हैं ( $fd$ , $fd'$ )

सूत्र: विविक्त शृंखला

\text{प्रत्यक्ष: } \bar{X} = \frac{\Sigma fX}{\Sigma f} \qquad \text{कल्पित माध्य: } \bar{X} = A + \frac{\Sigma fd}{\Sigma f} \qquad \text{पद विचलन: } \bar{X} = A + \frac{\Sigma fd'}{\Sigma f} \times c

\Sigma fX

= चरों और बारंबारताओं के गुणनफल का योग,

\Sigma f

= बारंबारताओं का योग,

d = X – A

d' = (X – A)/c

उदाहरण 3: एक आवासीय कॉलोनी में भूखंड केवल तीन आकारों में मिलते हैं: 100, 200 और 300 वर्ग मीटर; भूखंडों की संख्या क्रमशः 200, 50 और 10। माध्य आकार निकालें ( $A = 200$ , $c = 100$ )।

भूखंड का आकार X (वर्ग मीटर)	भूखंडों की संख्या (f)	fX	d = X − 200	fd	d′ = (X − 200)/100	fd′
100	200	20000	−100	−20000	−1	−200
200	50	10000	0	0	0	0
300	10	3000	+100	+1000	+1	+10
योग	Σf = 260	ΣfX = 33000		Σfd = −19000		Σfd′ = −190

हल: तीनों विधियाँ

प्रत्यक्ष: $\bar{X} = \dfrac{\Sigma fX}{\Sigma f} = \dfrac{33000}{260} = 126.92$
कल्पित माध्य: $\bar{X} = 200 + \dfrac{-19000}{260} = 200 – 73.08 = 126.92$
पद विचलन: $\bar{X} = 200 + \dfrac{-190}{260} \times 100 = 200 – 73.08 = 126.92$
उत्तर: 126.92 वर्ग मीटर
व्याख्या: कॉलोनी में भूखंड का औसत आकार लगभग 127 वर्ग मीटर है; यह 100 के पास है क्योंकि अधिकतर (200) भूखंड छोटे हैं।

2.3 संतत शृंखला

यहाँ वर्ग अंतराल दिए होते हैं; प्रक्रिया विविक्त शृंखला जैसी ही है, केवल X की जगह हर वर्ग का मध्य बिंदु (m) लेते हैं
मध्य बिंदु = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) ÷ 2, जैसे 10-20 का मध्य बिंदु 15
वर्ग अंतराल तीन प्रकार के हो सकते हैं; तीनों में माध्य एक ही तरह निकलता है:

वर्ग अंतराल	पहचान	पुस्तक का उदाहरण
अपवर्जी	एक वर्ग की उच्च सीमा अगले की निम्न सीमा है	0-10, 10-20
समावेशी	दोनों सीमाएँ वर्ग में शामिल; वर्गों के बीच खाली अंतर	0-9, 10-19
असमान	वर्गों की चौड़ाई अलग-अलग	0-20, 20-50

सूत्र: संतत शृंखला

\text{प्रत्यक्ष: } \bar{X} = \frac{\Sigma fm}{\Sigma f} \qquad \text{पद विचलन: } \bar{X} = A + \frac{\Sigma fd'}{\Sigma f} \times c, \quad d' = \frac{m – A}{c}

m

= वर्ग का मध्य बिंदु,

A

= कल्पित माध्य (कोई भी मान; बीच का मध्य बिंदु लेने से गणना आसान),

c

= समापवर्तक (प्रायः वर्ग की चौड़ाई)

उदाहरण 4: 70 छात्रों के औसत अंक (क) प्रत्यक्ष विधि (ख) पद विचलन विधि से निकालें ( $A = 35$ , $c = 10$ )।

प्राप्तांक	छात्रों की संख्या (f)	मध्य बिंदु (m)	fm	d′ = (m − 35)/10	fd′
0-10	5	5	25	−3	−15
10-20	12	15	180	−2	−24
20-30	15	25	375	−1	−15
30-40	25	35	875	0	0
40-50	8	45	360	1	8
50-60	3	55	165	2	6
60-70	2	65	130	3	6
योग	Σf = 70		Σfm = 2110		Σfd′ = −34

हल

(क) प्रत्यक्ष विधि: $\bar{X} = \dfrac{\Sigma fm}{\Sigma f} = \dfrac{2110}{70} = 30.14$
(ख) पद विचलन विधि: $\bar{X} = A + \dfrac{\Sigma fd'}{\Sigma f} \times c = 35 + \dfrac{-34}{70} \times 10 = 35 – 4.86 = 30.14$
उत्तर: 30.14 अंक
व्याख्या: इन 70 छात्रों के औसत अंक लगभग 30 हैं।

आम गलतियाँ: माध्य

संतत शृंखला में f को वर्ग की निम्न सीमा से गुणा कर देना; हमेशा मध्य बिंदु m से गुणा करें
पद विचलन विधि में अंत में × c भूल जाना: 35 + (−34/70) लिखने से 34.51 आता है, जो गलत है
ऋण चिह्न छोड़ देना: Σfd′ = −34 है, +34 नहीं; चिह्न बदलते ही उत्तर 39.86 हो जाता है
विविक्त शृंखला में ΣX/N लगाना (बारंबारता अनदेखी); सही है ΣfX/Σf
उत्तर के साथ इकाई (₹, अंक, वर्ग मीटर) न लिखना; अंक योजना में इकाई का भी अंक है

2.4 समांतर माध्य की दो रोचक विशेषताएँ

विचलनों का योग शून्य

समांतर माध्य से मदों के विचलनों का योग सदा शून्य होता है: $\Sigma(X – \bar{X}) = 0$

चरम मूल्यों से प्रभावित

किसी भी सिरे पर कोई बहुत बड़ा या बहुत छोटा मान माध्य को ऊपर या नीचे धकेल सकता है

पुस्तक की क्रियात्मक गतिविधि: X = 4, 6, 8, 10, 12

माध्य $= \dfrac{40}{5} = 8$ ; विचलन $-4, -2, 0, +2, +4$ ; योग $= 0$ ✓ (पहली विशेषता)
हर प्रेक्षण में 2 जोड़ें (6, 8, 10, 12, 14) तो माध्य भी ठीक 2 बढ़कर 10 हो जाता है; उलटे, माध्य 2 बढ़ाना हो तो योग 10 बढ़ना चाहिए, यानी औसतन हर प्रेक्षण 2 बढ़े
पहले तीन मद 2-2 बढ़ें तो योग 6 बढ़ा; माध्य 8 बनाए रखने के लिए अंतिम दो मदों को मिलाकर 6 घटना होगा, जैसे 10 → 7 और 12 → 9
12 के स्थान पर 96 लें तो माध्य $= \dfrac{4 + 6 + 8 + 10 + 96}{5} = \dfrac{124}{5} = 24.8$ ; एक चरम मान ने माध्य को 8 से 24.8 कर दिया, जबकि पाँच में से चार मान 10 या कम हैं (दूसरी विशेषता)

2.5 भारित समांतर माध्य

कभी-कभी मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना ज़रूरी होता है
पुस्तक का उदाहरण: आम (कीमत $P_1$ ) और आलू (कीमत $P_2$ ) की औसत कीमत; साधारण माध्य $\dfrac{P_1 + P_2}{2}$
पर आलू की कीमत की वृद्धि को अधिक महत्व देना हो, तो उपभोक्ता के बजट में आमों का भाग ( $W_1$ ) और आलू का भाग ( $W_2$ ) भार के रूप में लेते हैं: $\dfrac{W_1P_1 + W_2P_2}{W_1 + W_2}$
कीमतें बढ़ने पर आपके लिए अधिक महत्वपूर्ण वस्तुओं की कीमत-वृद्धि में आपकी रुचि होगी; इसका विस्तार अध्याय 7 (सूचकांक) में है

याद करेंपरिभाषा 3

भारित समांतर माध्य वह समांतर माध्य है जिसमें हर मद को उसके महत्व के अनुसार भार (w) देकर जोड़ा जाता है और भारों के योग से भाग दिया जाता है: $\bar{X}_w = \dfrac{w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_nx_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n} = \dfrac{\Sigma wx}{\Sigma w}$

हल किया उदाहरण (अभ्यास के लिए हमारा)

दिया है: आम ₹120 प्रति किलो, बजट में भाग (भार) 1; आलू ₹30 प्रति किलो, भार 3
सूत्र: $\bar{X}_w = \dfrac{\Sigma wx}{\Sigma w}$
मान रखने पर: $\bar{X}_w = \dfrac{1 \times 120 + 3 \times 30}{1 + 3} = \dfrac{210}{4}$
उत्तर: भारित माध्य कीमत ₹52.50 प्रति किलो (साधारण माध्य ₹75 होता)
व्याख्या: बजट में आलू का भाग अधिक है, इसलिए भारित माध्य आलू की कीमत की ओर खिंच जाता है।

3 मध्यिका (Median)

याद करेंपरिभाषा 4

मध्यिका चर का वह स्थितिक मान है जो वितरण को दो समान भागों में बाँटता है: एक भाग के सभी मान मध्यिका से अधिक या उसके बराबर होते हैं और दूसरे भाग के सभी मान उससे कम या उसके बराबर। आँकड़ों को परिमाण के क्रम में रखने पर यह मध्यवर्ती मान है।

मध्यिका मानों की स्थिति से तय होती है, इसलिए सबसे बड़ा मान और बढ़ जाए तब भी मध्यिका अप्रभावित रहती है
पहला काम हमेशा: आँकड़ों को आरोही (छोटे से बड़े) क्रम में व्यवस्थित करना

3.1 व्यष्टिगत शृंखला

सूत्र

\text{मध्यिका} = \left(\frac{N+1}{2}\right)\text{वें मद का आकार}

N

= मदों की संख्या।

(N+1)/2

केवल मध्यिका की अवस्थिति बताता है, मध्यिका नहीं; उस स्थान पर रखा मान मध्यिका है

उदाहरण 5 (विषम संख्या)

प्रेक्षण: 5, 7, 6, 1, 8, 10, 12, 4, 3 ( $N = 9$ )
आरोही क्रम: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12
अवस्थिति $= \dfrac{9+1}{2} = 5$ वाँ मद → मध्यिका = 6
व्याख्या: आधे अंक 6 से अधिक हैं और आधे 6 से कम।

उदाहरण 6 (सम संख्या)

20 छात्रों के अंक: 25, 72, 28, 65, 29, 60, 30, 54, 32, 53, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33
आरोही क्रम: 25, 28, 29, 30, 32, 33, 33, 35, 42, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 60, 65, 72
अवस्थिति $= \dfrac{20+1}{2} = 10.5$ वाँ मद, यानी 10वें (45) और 11वें (46) मद के बीच
मध्यिका $= \dfrac{45 + 46}{2} =$ 45.5 अंक
व्याख्या: सम संख्या में दो मध्य मान होते हैं; मध्यिका उन दोनों का समांतर माध्य है।

3.2 विविक्त शृंखला

मध्यिका की अवस्थिति $(N+1)/2$ वाँ मद ही रहती है ( $N = \Sigma f$ )
इसे संचयी बारंबारता (c.f.) से ढूँढ़ते हैं: जिस पहली c.f. में यह मद आ जाए, उसके सामने का मान मध्यिका है

याद करेंपरिभाषा 5

संचयी बारंबारता किसी मान (या वर्ग) तक की सभी बारंबारताओं का जोड़ है; यह बताती है कि कितने मद उस मान तक आ चुके हैं।

उदाहरण 7: आय (₹ में) 10, 20, 30, 40; व्यक्तियों की संख्या 2, 4, 10, 4। मध्यिका आय निकालें।

आय (₹ में)	व्यक्तियों की संख्या (f)	संचयी बारंबारता (c.f.)
10	2	2
20	4	6
30	10	16
40	4	20

हल

अवस्थिति $= \dfrac{N+1}{2} = \dfrac{20+1}{2} = 10.5$ वाँ प्रेक्षण
10.5वाँ प्रेक्षण c.f. 16 में आता है (c.f. 6 पर अभी केवल 6 व्यक्ति आए थे)
उत्तर: मध्यिका आय = ₹30
व्याख्या: आधे व्यक्ति ₹30 या उससे कम कमाते हैं, आधे ₹30 या उससे अधिक।

3.3 संतत शृंखला

पहले मध्यिका वर्ग ढूँढ़ें: वह वर्ग जिसमें $N/2$ वाँ मद आता है (ध्यान दें: N/2, न कि (N+1)/2)
फिर सूत्र से मध्यिका निकालें; वर्ग असमान आकार के हों तब भी कोई समायोजन नहीं चाहिए

सूत्र: संतत शृंखला की मध्यिका

\text{मध्यिका} = L + \frac{\dfrac{N}{2} – c.f.}{f} \times h

L

= मध्यिका वर्ग की निम्न सीमा,

c.f.

= मध्यिका वर्ग के पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी बारंबारता,

f

= मध्यिका वर्ग की बारंबारता,

h

= मध्यिका वर्ग के अंतराल का परिमाण

उदाहरण 8: एक कारखाने के 160 मजदूरों की दैनिक मजदूरी। मध्यिका दैनिक मजदूरी निकालें। (पुस्तक में आँकड़े 55-60 से 20-25 की ओर दिए हैं; सारणी में इन्हें छोटे से बड़े वर्ग की ओर लिखा है।)

दैनिक मजदूरी (₹)	मजदूरों की संख्या (f)	संचयी बारंबारता
20-25	14	14
25-30	28	42
30-35	33	75
35-40	30	105
40-45	20	125
45-50	15	140
50-55	13	153
55-60	7	160

दिया है

$N = 160$ ; $N/2 = 80$ वाँ मद c.f. 105 वाले वर्ग 35-40 में → $L = 35$ , $c.f. = 75$ , $f = 30$ , $h = 5$

ज्ञात करना है

मध्यिका दैनिक मजदूरी

हल

सूत्र: मध्यिका $= L + \dfrac{N/2 – c.f.}{f} \times h$
मान रखने पर: मध्यिका $= 35 + \dfrac{80 – 75}{30} \times 5 = 35 + \dfrac{25}{30} = 35 + 0.83$
उत्तर: ₹35.83
व्याख्या: 50% मजदूरों को ₹35.83 या उससे कम और 50% को इतनी या इससे अधिक मजदूरी मिलती है।

ध्यान रखें

मध्यिका शृंखला के सभी मानों के प्रति संवेदी नहीं है; यह केवल केंद्रीय मदों के मान पर टिकी है। इसीलिए वह चरम मानों से नहीं हिलती।

3.4 तोरण से मध्यिका (आलेखी विधि)

तोरण को संचयी बारंबारता वक्र भी कहते हैं (अध्याय 4); इसके दो प्रकार हैं:
‘से कम’ तोरण: ‘से कम’ संचयी बारंबारताएँ वर्गों की उच्च सीमाओं के सामने आलेखित; यह कभी घटता नहीं
‘से अधिक’ तोरण: ‘से अधिक’ संचयी बारंबारताएँ वर्गों की निम्न सीमाओं के सामने आलेखित; यह कभी बढ़ता नहीं
दोनों तोरणों का प्रतिच्छेद बिंदु मध्यिका देता है: उस बिंदु से x-अक्ष पर लंब डालें

याद करेंपरिभाषा 6

तोरण (संचयी बारंबारता वक्र) वह वक्र है जिसमें संचयी बारंबारताएँ y-अक्ष पर वर्ग-सीमाओं के सामने आलेखित की जाती हैं; ‘से कम’ और ‘से अधिक’ तोरण एक-दूसरे को मध्यिका पर काटते हैं।

उदाहरण 8 के आँकड़ों से दोनों तोरण:

मजदूरी	‘से कम’ c.f.	मजदूरी	‘से अधिक’ c.f.
25 से कम	14	20 से अधिक	160
30 से कम	42	25 से अधिक	146
35 से कम	75	30 से अधिक	118
40 से कम	105	35 से अधिक	85
45 से कम	125	40 से अधिक	55
50 से कम	140	45 से अधिक	35
55 से कम	153	50 से अधिक	20
60 से कम	160	55 से अधिक	7

चित्र 1: उदाहरण 8 (दैनिक मजदूरी) के ‘से कम’ तोरण (उच्च सीमाओं पर) और ‘से अधिक’ तोरण (निम्न सीमाओं पर) बिंदु E पर कटते हैं, जहाँ संचयी बारंबारता N/2 = 80 और मजदूरी ₹35.83 है; यही सूत्र वाली मध्यिका है — **चित्र 1**: उदाहरण 8 (दैनिक मजदूरी) के ‘से कम’ तोरण (उच्च सीमाओं पर) और ‘से अधिक’ तोरण (निम्न सीमाओं पर) बिंदु E पर कटते हैं, जहाँ संचयी बारंबारता N/2 = 80 और मजदूरी ₹35.83 है; यही सूत्र वाली मध्यिका है

दोनों विधियाँ एक ही उत्तर देती हैं

वर्ग 35-40 में ‘से कम’ तोरण 75 से 105 तक चढ़ता है और ‘से अधिक’ तोरण 85 से 55 तक उतरता है
दोनों $y = 80 = N/2$ पर मिलते हैं, जहाँ $x = 35 + \dfrac{5}{6} = 35.83$
तोरण से मध्यिका = ₹35.83 = सूत्र से मध्यिका ✓
केवल ‘से कम’ तोरण हो तो y-अक्ष पर $N/2 = 80$ से क्षैतिज रेखा खींचें; वह तोरण को जहाँ काटे, वहाँ का x मध्यिका है

3.5 चरम मान: मध्यिका बनाम माध्य

पुस्तक की क्रियात्मक सारणी: हर शृंखला में तीन मान, केवल सबसे बड़ा मान बदलता है।

शृंखला	X (चर के मान)	माध्य	मध्यिका
क	1, 2, 3	2	2
ख	1, 2, 30	11	2
ग	1, 2, 300	101	2
घ	1, 2, 3000	1001	2

क्या देखते हैं? माध्य 2 से 1001 तक उछल गया, मध्यिका हर बार 2 ही रही
चरम मूल्य या चरम मान (outliers) वे मान हैं जो बाकी आँकड़ों से बहुत दूर हैं (जैसे 3000); मध्यिका इनसे प्रभावित नहीं होती
क्या मध्यिका बेहतर है? जब आँकड़ों में चरम मान हों (जैसे आय, जोतों का आकार), तब मध्यिका बेहतर संक्षेपण है; जब ऐसे मान न हों, तब सभी प्रेक्षणों पर आधारित माध्य बेहतर है

आम गलतियाँ: मध्यिका

आँकड़ों को क्रम में रखे बिना बीच का मान उठा लेना; मध्यिका से पहले हमेशा क्रम
संतत शृंखला में (N+1)/2 लगाना; संतत में N/2, व्यष्टिगत और विविक्त में (N+1)/2
सूत्र में मध्यिका वर्ग की अपनी c.f. रखना; c.f. पूर्ववर्ती वर्ग की लेनी है (उदाहरण 8 में 75, 105 नहीं)
आँकड़े अवरोही क्रम में हों (55-60 पहले) तो उन्हें पहले आरोही करें, फिर c.f. बनाएँ
समावेशी वर्ग (10-14, 15-19) में L सीधे 15 लेना; पहले 0.5 घटा-जोड़कर अपवर्जी (14.5-19.5) बनाएँ

4 चतुर्थक और शतमक (CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं)

यह भाग CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं है, पर पुस्तक में है; राज्य बोर्ड और पुस्तक के अभ्यास 3(घ) व 8 इसे पूछते हैं।

याद करेंपरिभाषा 7

चतुर्थक वे माप हैं जो आँकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, हर भाग में बराबर प्रेक्षण। तीन चतुर्थक होते हैं: $Q_1$ (निम्न चतुर्थक), $Q_2$ (मध्यिका) और $Q_3$ (उच्च चतुर्थक)।

चतुर्थक	इससे नीचे	इससे ऊपर	स्थिति (व्यष्टिगत/विविक्त)
$Q_1$ निम्न चतुर्थक	25% मद	75% मद	$\dfrac{N+1}{4}$ वाँ मद
$Q_2$ मध्यिका	50%	50%	$\dfrac{N+1}{2}$ वाँ मद
$Q_3$ उच्च चतुर्थक	75%	25%	$\dfrac{3(N+1)}{4}$ वाँ मद

$Q_1$ और $Q_3$ वे दो सीमाएँ हैं जिनके बीच केंद्रीय 50% आँकड़े होते हैं।

उदाहरण 9: निम्न चतुर्थक

दस छात्रों के अंक: 22, 26, 14, 30, 18, 11, 35, 41, 12, 32
आरोही क्रम: 11, 12, 14, 18, 22, 26, 30, 32, 35, 41
$Q_1 = \dfrac{10+1}{4} = 2.75$ वें मद का आकार $=$ 2रा मद $+ 0.75\,(3$ रा मद $–$ 2रा मद $)$
$= 12 + 0.75\,(14 – 12) = 12 + 1.5 =$ 13.5 अंक
स्वयं करें ( $Q_3$ ): $\dfrac{3(10+1)}{4} = 8.25$ वाँ मद $= 32 + 0.25\,(35 – 32) =$ 32.75 अंक

संतत शृंखला में चतुर्थक मध्यिका के सूत्र जैसे निकलते हैं, बस $N/2$ की जगह $Q_1$ के लिए $N/4$ और $Q_3$ के लिए $3N/4$ (अभ्यास 8 में यही)

याद करेंपरिभाषा 8

शतमक वितरण को 100 बराबर भागों में बाँटते हैं, जिससे 99 विभाजक स्थितियाँ $P_1, P_2, P_3, \dots, P_{99}$ मिलती हैं। $P_{50}$ मध्यिका है।

पुस्तक का उदाहरण

प्रबंधन-प्रवेश परीक्षा में 82 शतमक का अर्थ: आपसे ऊपर कुल परीक्षार्थियों के 18% हैं (82% आपसे नीचे या बराबर)। कुल एक लाख परीक्षार्थी हों, तो आपसे ऊपर लगभग 18,000 परीक्षार्थी हैं, यानी आपका स्थान लगभग 18,001वाँ।

5 बहुलक (Mode)

कभी-कभी हमें शृंखला का सबसे प्ररूपी मान चाहिए, जिसके आस-पास मदों का संकेंद्रण अधिकतम हो
उदाहरण: जूता बनाने वाला जानना चाहेगा कि किस आकार के जूते की माँग सबसे अधिक है, या किस स्टाइल की शर्ट सबसे अधिक माँगी जाती है; यहाँ बहुलक सबसे उपयुक्त माप है
‘बहुलक’ शब्द फ्रेंच के ‘ला मोड (La Mode)’ से है, जो वितरण के सर्वाधिक प्रचलित मान का द्योतक है

याद करेंपरिभाषा 9

बहुलक वह मान है जो शृंखला में सबसे अधिक बार आता है; यह सर्वाधिक प्रेक्षित आँकड़ा मान है। इसे $M_o$ से दर्शाते हैं।

5.1 व्यष्टिगत और विविक्त शृंखला: निरीक्षण से

उदाहरण

आँकड़े 1, 2, 3, 4, 4, 5: 4 दो बार आया, बाकी एक-एक बार → बहुलक = 4
उदाहरण 10: चर 10, 20, 30, 40, 50; बारंबारता 2, 8, 20, 10, 5 → अधिकतम बारंबारता 20, इसलिए बहुलक = 30; एक ही बहुलक है, इसलिए आँकड़े एक-बहुलकी हैं

किसी आँकड़ा-समुच्चय का माध्य और मध्यिका हमेशा एक ही (अद्वितीय) होते हैं, पर बहुलक का एक ही होना ज़रूरी नहीं:

एक-बहुलकी

केवल एक बहुलक (उदाहरण 10)

द्विबहुलकी

दो बहुलक

बहु-बहुलकी

दो से अधिक बहुलक

कोई बहुलक नहीं

कोई मान दूसरों से अधिक बार नहीं: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4

चित्र 2: एक-बहुलकी आँकड़े (एक शिखर, एक बहुलक) और द्वि-बहुलकी आँकड़े (दो शिखर, दो बहुलक) — **चित्र 2**: एक-बहुलकी आँकड़े (एक शिखर, एक बहुलक) और द्वि-बहुलकी आँकड़े (दो शिखर, दो बहुलक)

5.2 संतत शृंखला: सूत्र से

बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है
शर्तें: वर्ग अंतराल समान हों और शृंखला अपवर्जी हो; मध्य बिंदु दिए हों तो पहले वर्ग अंतराल बनाएँ

सूत्र: संतत शृंखला का बहुलक

M_o = L + \frac{D_1}{D_1 + D_2} \times h

L

= बहुलक वर्ग की निम्न सीमा;

D_1

= बहुलक वर्ग की बारंबारता और उसके पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता का अंतर (चिह्न छोड़कर);

D_2

= बहुलक वर्ग की बारंबारता और उसके परवर्ती वर्ग की बारंबारता का अंतर (चिह्न छोड़कर);

h

= वर्ग अंतराल

उदाहरण 11: श्रमिक परिवारों की बहुलक मासिक आय निकालें। आँकड़े ‘से कम’ संचयी आवृत्ति में हैं: 50 से कम 97, 45 से कम 95, 40 से कम 90, 35 से कम 80, 30 से कम 60, 25 से कम 30, 20 से कम 12, 15 से कम 4 (आय हजार ₹ में)।

चरण 1: साधारण बारंबारता सारणी बनाएँ (हर वर्ग की बारंबारता = उसकी ‘से कम’ c.f. − पिछली ‘से कम’ c.f.):

आय समूह (हजार ₹)	आवृत्ति
45-50	97 − 95 = 2
40-45	95 − 90 = 5
35-40	90 − 80 = 10
30-35	80 − 60 = 20
25-30	60 − 30 = 30
20-25	30 − 12 = 18
15-20	12 − 4 = 8
10-15	4

दिया है

बहुलक वर्ग 25-30 (सबसे बड़ी आवृत्ति 30); $L = 25$ ; पूर्ववर्ती वर्ग 20-25 की आवृत्ति 18; परवर्ती वर्ग 30-35 की आवृत्ति 20; $h = 5$

ज्ञात करना है

बहुलक मासिक आय

हल

$D_1 = 30 – 18 = 12$ , $D_2 = 30 – 20 = 10$
सूत्र: $M_o = L + \dfrac{D_1}{D_1 + D_2} \times h$
मान रखने पर: $M_o = 25 + \dfrac{12}{12 + 10} \times 5 = 25 + \dfrac{60}{22} = 25 + 2.727$
उत्तर: 27.727 हजार ₹, यानी लगभग ₹27,727 प्रति माह
व्याख्या: सबसे अधिक श्रमिक परिवारों की मासिक आय लगभग ₹27,700 के आस-पास है।

5.3 आयत चित्र से बहुलक (आलेखी विधि)

बारंबारता वितरण का आयत चित्र बनाएँ; सबसे ऊँचा आयत बहुलक वर्ग है
बहुलक आयत के ऊपरी बाएँ कोने को अगले आयत के ऊपरी बाएँ कोने से, और ऊपरी दाएँ कोने को पिछले आयत के ऊपरी दाएँ कोने से मिलाएँ
दोनों रेखाएँ जहाँ कटें, वहाँ से x-अक्ष पर लंब डालें; वही बहुलक है

चित्र 3: उदाहरण 11 का आयत चित्र: बहुलक वर्ग 25-30 (आवृत्ति 30) में खींचे दो विकर्ण 27.73 हजार ₹ पर कटते हैं; यही सूत्र वाला बहुलक है — **चित्र 3**: उदाहरण 11 का आयत चित्र: बहुलक वर्ग 25-30 (आवृत्ति 30) में खींचे दो विकर्ण 27.73 हजार ₹ पर कटते हैं; यही सूत्र वाला बहुलक है

सूत्र से मिलान

दोनों विकर्ण $x = 25 + \dfrac{12}{22} \times 5 = 27.73$ पर कटते हैं; आलेखी बहुलक = सूत्र वाला बहुलक ✓। सूत्र असल में इसी ज्यामिति से बना है।

आम गलतियाँ: बहुलक

‘से कम’ संचयी आवृत्तियों को ही बारंबारता मान लेना; पहले घटाकर साधारण बारंबारता बनाएँ (उदाहरण 11 का चरण 1)
$D_1$ और $D_2$ उलट देना: $D_1$ हमेशा पूर्ववर्ती वर्ग से (12), $D_2$ परवर्ती से (10)
असमान वर्गों या समावेशी वर्गों पर सीधे सूत्र लगाना; पहले समान और अपवर्जी बनाएँ
उत्तर की इकाई “हजार ₹” छोड़ देना; 27.727 का अर्थ ₹27,727 है, ₹27.73 नहीं

6 समांतर माध्य, मध्यिका और बहुलक की सापेक्षिक स्थिति

मान लें समांतर माध्य = $M_e$ , मध्यिका = $M_i$ , बहुलक = $M_o$ (पादांक e, i, o वर्णमाला के क्रम में)
तीनों का सापेक्षिक परिमाण: $M_e > M_i > M_o$ या $M_e \lt M_i \lt M_o$
मध्यिका सदैव समांतर माध्य और बहुलक के बीच होती है

जाँचकर देखें: उदाहरण 8 के आँकड़े (दैनिक मजदूरी)

माध्य $= \dfrac{\Sigma fm}{\Sigma f} = \dfrac{5930}{160} = ₹37.06$ ; मध्यिका $= ₹35.83$ ; बहुलक $= 30 + \dfrac{5}{5+3} \times 5 = ₹33.13$ (बहुलक वर्ग 30-35)
क्रम: $37.06 > 35.83 > 33.13$ , यानी $M_e > M_i > M_o$ ; मध्यिका बीच में ✓

₹30

Mo 33.13

Mi 35.83

Me 37.06

₹40

7 सारांश: कौन-सा औसत कब?

आधार	समांतर माध्य	मध्यिका	बहुलक
प्रकृति	गणितीय औसत, सभी प्रेक्षणों पर आधारित	स्थितिक मान (बीच का)	सबसे अधिक बार आने वाला मान
चरम मानों का प्रभाव	अनुचित रूप से प्रभावित	अप्रभावित	अप्रभावित
गणना	सरल	क्रम में रखना ज़रूरी	निरीक्षण या सूत्र
आलेखी विधि	नहीं	हाँ, तोरण से	हाँ, आयत चित्र से
मुक्तांत वितरण	कठिन (अंतिम वर्ग मान लेना पड़ता है)	आसानी से	आसानी से
गुणात्मक आँकड़े	उपयुक्त नहीं (गुण जोड़े नहीं जा सकते)	गुणात्मक मापन, जहाँ गुण को क्रम दिया जा सके (जैसे बौद्धिक प्रतिभा)	गुणात्मक आँकड़ों की व्याख्या (जैसे सबसे पसंदीदा भोजन)
अद्वितीय (एक ही)?	हाँ	हाँ	ज़रूरी नहीं (द्वि/बहु-बहुलकी)

समांतर माध्य सबसे अधिक प्रयोग होने वाला औसत है: सरल और सभी प्रेक्षणों पर आधारित, पर चरम मदों से अनुचित रूप से प्रभावित
ऐसे आँकड़ों के लिए मध्यिका बेहतर संक्षेपण है
बहुलक सामान्यतः गुणात्मक आँकड़ों की व्याख्या में प्रयोग होता है
मध्यिका और बहुलक आलेखी रूप से और मुक्तांत वितरणों में भी आसानी से निकलते हैं
इसलिए विश्लेषण के उद्देश्य और वितरण की प्रकृति देखकर उपयुक्त औसत चुनें

याद करेंपरिभाषा 10

मुक्तांत वितरण वह बारंबारता वितरण है जिसका पहला वर्ग नीचे से या अंतिम वर्ग ऊपर से खुला हो, जैसे “100 से कम” या “400 तथा उससे अधिक”।

पुस्तक की क्रियात्मक गतिविधियाँ: कौन-सा औसत?

केवल वयस्कों के जूते बनाने वाली जूता कंपनी को सबसे लोकप्रिय आकार जानना है → बहुलक (सबसे अधिक माँगा गया आकार)
डायरी तथा कॉपी, स्कूल बैग, जीन्स तथा टी शर्ट बनाने वाली कंपनियाँ → बहुलक, क्योंकि उन्हें वही आकार या प्रकार अधिक बनाना है जो सबसे अधिक बिकता है; “औसत आकार” का माप (माध्य) किसी को फिट न भी हो
कक्षा में चायनीज भोजन की पसंद का सर्वेक्षण → पसंद गुणात्मक है, इसलिए बहुलक
क्या बहुलक ग्राफ से निकल सकता है? हाँ, आयत चित्र से (भाग 5.3)

मुख्य सूत्र एक जगह

माप	व्यष्टिगत	विविक्त	संतत
माध्य: प्रत्यक्ष	$\dfrac{\Sigma X}{N}$	$\dfrac{\Sigma fX}{\Sigma f}$	$\dfrac{\Sigma fm}{\Sigma f}$
माध्य: कल्पित माध्य	$A + \dfrac{\Sigma d}{N}$	$A + \dfrac{\Sigma fd}{\Sigma f}$	$A + \dfrac{\Sigma fd}{\Sigma f}$
माध्य: पद विचलन	$A + \dfrac{\Sigma d'}{N} \times c$	$A + \dfrac{\Sigma fd'}{\Sigma f} \times c$	$A + \dfrac{\Sigma fd'}{\Sigma f} \times c$
भारित माध्य	$\dfrac{\Sigma wx}{\Sigma w}$
मध्यिका	$\left(\dfrac{N+1}{2}\right)$ वाँ मद	$\left(\dfrac{N+1}{2}\right)$ वाँ मद, c.f. से	$L + \dfrac{N/2 – c.f.}{f} \times h$
चतुर्थक	$Q_1 = \left(\dfrac{N+1}{4}\right)$ वाँ, $Q_3 = \left(\dfrac{3(N+1)}{4}\right)$ वाँ मद		$N/4$ और $3N/4$ से, मध्यिका जैसा सूत्र
बहुलक	सबसे अधिक बार आने वाला मान		$L + \dfrac{D_1}{D_1 + D_2} \times h$

सभी परिभाषाएँ एक जगह

केंद्रीय प्रवृत्ति की मापआँकड़ों को ऐसे एकल प्रतिनिधि मान में संक्षिप्त करने का तरीका जो पूरे आँकड़ों का प्रतिनिधित्व करे

समांतर माध्यसभी प्रेक्षणों का योग ÷ प्रेक्षणों की संख्या

भारित समांतर माध्यमहत्व के अनुसार भार देकर निकाला माध्य, Σwx/Σw

कल्पित माध्यगणना आसान करने के लिए माना गया माध्य (A)

समापवर्तकसभी विचलनों का साझा गुणनखंड (c), जिससे भाग देकर पद विचलन बनते हैं

मध्यिकावितरण को दो समान भागों में बाँटने वाला स्थितिक मान

संचयी बारंबारताकिसी मान या वर्ग तक की सभी बारंबारताओं का जोड़

तोरणसंचयी बारंबारता वक्र; ‘से कम’ और ‘से अधिक’ तोरण मध्यिका पर कटते हैं

चतुर्थकआँकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटने वाले तीन मान Q1, Q2, Q3

शतमकवितरण को 100 बराबर भागों में बाँटने वाले 99 मान; P50 = मध्यिका

बहुलकशृंखला में सबसे अधिक बार आने वाला मान (Mo)

मुक्तांत वितरणजिसका पहला या अंतिम वर्ग खुला हो

त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहले की रात

केंद्रीय प्रवृत्ति की माप पूरे आँकड़ों को एक प्रतिनिधि मान में संक्षिप्त करती है; तीन प्रचलित औसत: माध्य, मध्यिका, बहुलक
माध्य = ΣX/N; विविक्त ΣfX/Σf; संतत Σfm/Σf; कल्पित माध्य और पद विचलन विधियाँ वही उत्तर देती हैं, केवल गणना आसान करती हैं
माध्य से विचलनों का योग सदा शून्य; माध्य चरम मानों से प्रभावित
भारित माध्य = Σwx/Σw (आम और आलू, बजट में भाग भार)
मध्यिका = बीच का मान; पहले क्रम; व्यष्टिगत/विविक्त (N+1)/2, संतत N/2 और L + (N/2 − c.f.)/f × h
‘से कम’ और ‘से अधिक’ तोरण मध्यिका पर कटते हैं (उदाहरण 8: ₹35.83 दोनों से)
चतुर्थक चार भाग, शतमक सौ भाग (CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं)
बहुलक = सबसे अधिक बार; संतत L + D1/(D1 + D2) × h; आयत चित्र से भी
मध्यिका सदा माध्य और बहुलक के बीच: Me > Mi > Mo या Me < Mi < Mo
गुणात्मक आँकड़ों की व्याख्या → बहुलक; गुणात्मक मापन (क्रम) या चरम मान या मुक्तांत वितरण → मध्यिका; बाकी → माध्य

परीक्षा से पहले खुद को जाँचें

क्या मैं एक ही प्रश्न का माध्य तीनों विधियों से निकालकर दिखा सकता हूँ कि उत्तर एक है?
क्या मैं संतत शृंखला की मध्यिका का सूत्र, हर अक्षर के अर्थ सहित, लिख सकता हूँ?
क्या मैं ‘से कम’ और ‘से अधिक’ तोरण बनाकर मध्यिका पढ़ सकता हूँ?
क्या मैं ‘से कम’ संचयी आवृत्ति से साधारण बारंबारता बनाकर बहुलक निकाल सकता हूँ?
क्या मैं हर उत्तर के बाद इकाई और एक पंक्ति की व्याख्या लिखता हूँ?

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स