- “मापनी” का वास्तविक अर्थ, तथा बिना मापनी की आकृति मानचित्र क्यों नहीं, केवल रेखाचित्र क्यों कहलाती है
- मापनी व्यक्त करने की दो पद्धतियाँ, तथा उनकी इकाइयों को आपस में कैसे बदलें
- मापनी दिखाने की तीन विधियाँ, तथा हर एक का वह एक लाभ जो दूसरों के पास नहीं
- निरूपक भिन्न ही एकमात्र सचमुच सार्वत्रिक विधि क्यों है
- मापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में, और वापस, कैसे बदलें
- हाथ से आलेखी (बार) मापनी कैसे बनाएँ, एक बेढब, गैर-पूर्णांक लंबाई की तरकीब सहित
1मापनी क्या है
हर मानचित्र, धरातल को वास्तविक आकार से बहुत छोटा करके बनाया गया चित्र है। मापनी यही बताती है कि कितना छोटा। बिना मापनी के बना रेखाओं और आकृतियों का जाल मानचित्र नहीं, केवल “रेखाचित्र” कहलाता है, यह एक ऐसा एक-अंक तथ्य है जिसे पुस्तक के शब्दों में ही याद रखना चाहिए।
मापनी मानचित्र पर किन्हीं दो स्थानों के बीच की दूरी तथा धरातल पर उन्हीं दो स्थानों के बीच की वास्तविक दूरी के बीच का अनुपात है। यह मानचित्र (या उसके किसी भाग) का संबंध उस भू-भाग से बताती है जिसे वह दर्शाता है।
अध्याय 21 में मापनी को हर मानचित्र के आवश्यक तत्व के रूप में पहले ही पढ़ाया जा चुका है। यह अध्याय उसी से जुड़े प्रश्नों के उत्तर देता है: मापनी इतनी महत्त्वपूर्ण क्यों है, इसका अर्थ क्या है, इसे दिखाने के कौन-कौन से तरीके हैं, तथा दूरी और क्षेत्रफल मापने में यह कितनी उपयोगी है।
2माप की पद्धतियाँ
मापनी दिखाने की विधियों से पहले, वे दो पद्धतियाँ जान लें जिनमें मापनी व्यक्त की जा सकती है। भारत आज मीट्रिक प्रणाली उपयोग करता है, और 1957 से पहले अंग्रेज़ी प्रणाली उपयोग करता था।
| माप की मीट्रिक प्रणाली | माप की अंग्रेज़ी प्रणाली |
|---|---|
| 1 कि.मी. = 1,000 मीटर | 1 मील = 8 फर्लांग |
| 1 मीटर = 100 सेंटीमीटर | 1 फर्लांग = 220 यार्ड |
| 1 सेंटीमीटर = 10 मिलीमीटर | 1 यार्ड = 3 फुट |
| 1 फुट = 12 इंच |
मीट्रिक प्रणाली आज भारत तथा विश्व के अधिकांश देशों में प्रयुक्त होती है। अंग्रेज़ी प्रणाली संयुक्त राज्य अमेरिका तथा इंग्लैंड, दोनों में प्रचलित है; भारत भी रैखिक दूरियाँ मापने और दिखाने के लिए 1957 से पहले इसी प्रणाली का उपयोग करता था।
3मापनी व्यक्त करने की तीन विधियाँ
मानचित्र और धरातल के बीच का संबंध कम से कम तीन तरीकों से दिखाया जा सकता है। हर एक का अपना एक लाभ है, और अपनी एक सीमा भी।
मापनी का प्रकथन मानचित्र की मापनी को लिखित वाक्य के रूप में दिखाने की विधि है, जैसे “1 सेंटीमीटर, 10 किलोमीटर को दर्शाता है” या “1 इंच, 10 मील को दर्शाता है”। यह तीनों विधियों में सबसे सरल है।
इसकी दो सीमाएँ परीक्षा में बार-बार पूछी जाती हैं: जो व्यक्ति उस माप-पद्धति से परिचित नहीं, वह इसे समझ नहीं पाता, और मानचित्र को बड़ा या छोटा करते ही यह प्रकथन ग़लत हो जाता है, नई मापनी निकालनी पड़ती है।
आलेखी मापनी (बार मापनी भी कहलाती है) मानचित्र दूरी तथा उससे संबंधित धरातल दूरी को एक रेखा-बार पर प्राथमिक व द्वितीयक विभाजनों सहित दिखाती है, जिससे पाठक दूरियाँ सीधे बार पर से माप सकता है। मापनी के प्रकथन के विपरीत, मानचित्र बड़ा या छोटा होने पर भी यह मान्य रहती है, क्योंकि बार भी मानचित्र के साथ ही बड़ा-छोटा हो जाता है।
निरूपक भिन्न (R.F.) मानचित्र दूरी तथा धरातल दूरी के बीच का संबंध बिना किसी इकाई के, केवल भिन्न के रूप में दिखाती है, जैसे 1 : 24,000। कोई विशेष इकाई न बताए जाने के कारण यह सबसे उपयुक्त, सार्वत्रिक रूप से उपयोगी विधि है।
| विधि | लाभ | सीमा |
|---|---|---|
| मापनी का प्रकथन | लिखने और पढ़ने में सबसे सरल | केवल उसी पद्धति से परिचित व्यक्ति समझता है; मानचित्र बड़ा/छोटा होने पर अमान्य |
| आलेखी/बार मापनी | मानचित्र बड़ा या छोटा होने पर भी मान्य रहती है | फिर भी केवल उसी को उपयोगी जो बार पर अंकित इकाई से परिचित हो |
| निरूपक भिन्न | कोई इकाई न होने के कारण हर पाठक इसे अपनी पसंद की पद्धति में बदल सकता है: यह सार्वत्रिक है | जब तक प्रकथन में न बदला जाए, वास्तविक दूरी का सीधा अंदाज़ा नहीं देती |
प्रश्न: दिखाएँ कि R.F. 1 : 36,000 को मीट्रिक प्रणाली वाला और अंग्रेज़ी प्रणाली वाला व्यक्ति, दोनों सही ढंग से पढ़ सकते हैं।
मीट्रिक पाठ: 1 इकाई = 1 सेंटीमीटर मान लें। तो 36,000 इकाई = 36,000 सेंटीमीटर। 100 (1 मीटर में सेंटीमीटर) से भाग दें: 36,000 ÷ 100 = 360 मीटर। प्रकथन: “1 सेंटीमीटर, 360 मीटर को दर्शाता है”।
अंग्रेज़ी पाठ: 1 इकाई = 1 इंच मान लें। तो 36,000 इकाई = 36,000 इंच। 36 (1 गज में इंच) से भाग दें: 36,000 ÷ 36 = 1,000 गज। प्रकथन: “1 इंच, 1,000 गज को दर्शाता है”।
दोनों प्रकथन एक ही R.F. से निकले हैं। “1 : 36,000” में किसी भी पद्धति का नाम नहीं लिया गया, और यही बात दोनों पाठकों को इसे सही ढंग से उपयोग करने देती है। यही “सार्वत्रिक” होने का अर्थ है।
“मापनी की कौन-सी विधि सार्वत्रिक है?” एक बहुत सामान्य एक-अंक बहुविकल्पी प्रश्न है। उत्तर हमेशा निरूपक भिन्न होता है, क्योंकि तीनों में से यह अकेली विधि है जो कोई इकाई नहीं बताती।
4मापनी का रूपांतरण
हर विधि के लाभ और सीमा समझने के बाद, मापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में, और निरूपक भिन्न को वापस प्रकथन में बदलना, केवल सावधानीपूर्ण इकाई-रूपांतरण का काम है।
4.1 मापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में बदलना
दिया है
मापनी का प्रकथन: 1 इंच, 4 मील को दर्शाता है
ज्ञात करना है
निरूपक भिन्न
चरण 1: मील को इंच में बदलें। 1 मील = 63,360 इंच, तो 4 मील = 4 × 63,360 = 253,440 इंच।
चरण 2: प्रकथन अब पढ़ें: “1 इंच, 253,440 इंच को दर्शाता है”।
चरण 3: दोनों ओर “इंच” के स्थान पर तटस्थ शब्द “इकाई” रखें: “1 इकाई, 253,440 इकाइयों को दर्शाती है”।
उत्तर: निरूपक भिन्न = 1 : 253,440
4.2 निरूपक भिन्न को मापनी के प्रकथन में बदलना
दिया है
निरूपक भिन्न = 1 : 253,440
ज्ञात करना है
मीट्रिक प्रणाली में मापनी का प्रकथन
चरण 1: निरूपक भिन्न 1 : 253,440 का अर्थ है, मानचित्र की 1 इकाई दूरी, धरातल की 253,440 इकाइयों को दर्शाती है।
चरण 2: इकाई को सेंटीमीटर मानें: 1 सेंटीमीटर, 253,440 सेंटीमीटर को दर्शाता है।
चरण 3: सेंटीमीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए 100,000 (1 कि.मी. में सेंटीमीटर) से भाग दें: 253,440 ÷ 100,000 = 2.5344 कि.मी.।
चरण 4: दो दशमलव अंकों तक पूर्णांकित करें।
उत्तर: 1 सेंटीमीटर, 2.53 कि.मी. को दर्शाता है
छात्र अक्सर चरण 3 भूल जाते हैं और उत्तर “1 सेंटीमीटर, 253,440 सेंटीमीटर को दर्शाता है” ही लिख देते हैं, जो तकनीकी रूप से सही तो है पर एक उपयोगी मापनी-प्रकथन नहीं है। अंतिम उत्तर देने से पहले धरातल वाली इकाई को हमेशा किसी उपयोगी इकाई (कि.मी., मील) में बदलें।
5आलेखी मापनी की रचना
दी गई निरूपक भिन्न या मापनी के प्रकथन के लिए एक बार मापनी बनाते समय, पहले बार की लंबाई चुनी जाती है, फिर देखा जाता है कि वह लंबाई कौन-सी पूर्णांक वास्तविक दूरी दर्शाती है।
बार की लंबाई के लिए कोई निश्चित सूत्र नहीं है: परिपाटी के अनुसार, मीट्रिक प्रणाली में पढ़ी जाने वाली मापनी लगभग 15 सेंटीमीटर लंबी बनाई जाती है, तथा अंग्रेज़ी प्रणाली वाली लगभग 6 इंच लंबी। दोनों लंबाइयाँ केवल सुविधाजनक पठनीयता के लिए चुनी जाती हैं।
5.1 किलोमीटर और मीटर में मापनी की रचना
दिया है
निरूपक भिन्न 1 : 50,000 पर बना मानचित्र
ज्ञात करना है
किलोमीटर और मीटर पढ़ने वाली आलेखी मापनी
चरण 1: निरूपक भिन्न 1 : 50,000 का अर्थ है, 1 सेंटीमीटर धरातल पर 50,000 सेंटीमीटर को दर्शाता है।
चरण 2: 15 सेंटीमीटर की परिपाटी अनुसार: 15 सेंटीमीटर, 50,000 × 15 ÷ 100,000 = 7.5 कि.मी. को दर्शाता है।
चरण 3: 7.5 पूर्णांक नहीं, इसलिए इसे 5 कि.मी. के रूप में पूर्णांकित करें।
चरण 4: ठीक 5 कि.मी. के लिए बार की नई लंबाई निकालें: 15 × 5 ÷ 7.5 = 10 सेंटीमीटर।
चरण 5: 10 सेंटीमीटर की रेखा खींचें। इसे 5 बराबर मुख्य भागों में बाँटें। दाईं ओर के 4 भागों को शून्य से 1, 2, 3, 4 कि.मी. का मान दें। बचे हुए एक बाएँ भाग को 10 बराबर उप-भागों में बाँटकर 100 मीटर के चरणों में चिह्नित करें (या 2, 4 या 5 भागों में बाँटकर 500, 250 या 200 मीटर के चरणों में)।
5.2 मील और फर्लांग में मापनी की रचना
दिया है
मापनी का प्रकथन: 1 इंच, 1 मील को दर्शाता है
ज्ञात करना है
मील और फर्लांग पढ़ने वाली आलेखी मापनी
चरण 1: 6 इंच की परिपाटी अनुसार: 6 इंच, 6 मील को दर्शाता है।
चरण 2: 6 इंच की रेखा खींचें तथा इसे 6 बराबर भागों में बाँटें। दाईं ओर के 5 भागों को शून्य से 1, 2, 3, 4, 5 मील का मान दें।
चरण 3: बचे हुए एक बाएँ भाग को 4 बराबर उप-भागों में बाँटकर हर एक को 2 फर्लांग के मान से चिह्नित करें, क्योंकि 1 मील = 8 फर्लांग तथा 8 ÷ 4 = 2।
अंग्रेज़ी NCERT PDF के text-extraction में इस अंतिम चरण में “हर भाग को 2 मील का मान दें” जैसा प्रतीत होता है। यह सही नहीं हो सकता: एक मील को 4 उप-भागों में बाँटकर फिर से मील पढ़ना व्यर्थ है, और इस बाएँ विस्तार का पूरा उद्देश्य ही एक मील से छोटी दूरियाँ पढ़ना है। इसी अंश का हिंदी संस्करण स्पष्ट है: हर भाग को 2 फर्लांग का मान देता है, जो अंकगणित से भी पूरी तरह मेल खाता है (1 मील ÷ 4 = 2 फर्लांग)। ये नोट्स 2 फर्लांग का उपयोग करते हैं।
5.3 एक बेढब लंबाई: रेखा को ज्यामितीय रूप से बराबर भागों में बाँटना
दिया है
निरूपक भिन्न = 1 : 50,000
ज्ञात करना है
मील और फर्लांग पढ़ने वाली आलेखी मापनी
चरण 1: 1 इंच, धरातल पर 50,000 इंच को दर्शाता है।
चरण 2: 6 इंच की परिपाटी अनुसार: 6 इंच, 50,000 × 6 ÷ 63,360 = 4.73 मील को दर्शाता है (पूर्णांक नहीं)।
चरण 3: 5 मील के रूप में पूर्णांकित करें। ठीक 5 मील के लिए बार की नई लंबाई निकालें: 6 × 5 ÷ 4.73 = 6.34 इंच, एक बेढब लंबाई जिसे आँख से 5 बराबर भागों में बाँटना कठिन है।
बेढब रेखा खींचें। एक सिरे से किसी भी सुविधाजनक कोण पर एक सहायक किरण खींचें। रूलर से इस किरण पर उतने ही बराबर चरण चिह्नित करें जितने बराबर भाग चाहिए (चरण की लंबाई मूल रेखा से मेल खाने की ज़रूरत नहीं)। अंतिम चरण को मूल रेखा के दूसरे सिरे से मिला दें। फिर शेष बचे प्रत्येक चरण से होकर उसी मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखाएँ खींचें: हर एक मूल रेखा को उसके किसी एक बराबर विभाजन पर काटती है।
लिखित परीक्षा में चित्र 4 की रचना को चरण-दर-चरण खींचने के लिए सामान्यतः नहीं कहा जाता, पर इस तकनीक का नाम या इसकी आवश्यकता समझाने को कहा जा सकता है। एक पंक्ति में कहें: क्योंकि 6.34 इंच को साधारण रूलर से 5 बराबर भागों में नहीं बाँटा जा सकता।
- मापनी = मानचित्र दूरी : धरातल दूरी, उन्हीं दो बिंदुओं के बीच; बिना मापनी केवल रेखाचित्र
- मीट्रिक: 1 कि.मी. = 1,000 मी. = 100,000 सें.मी.। अंग्रेज़ी: 1 मील = 8 फर्लांग = 63,360 इंच
- तीन विधियाँ: मापनी का प्रकथन (सबसे सरल, आकार बदलने पर टूट जाती है), आलेखी/बार मापनी (आकार बदलने पर भी टिकी रहती है), निरूपक भिन्न (सार्वत्रिक, कोई इकाई नहीं)
- R.F. 1 : 36,000 को “1 सें.मी. = 360 मी.” तथा “1 इंच = 1,000 गज” दोनों रूप में सही पढ़ा जा सकता है: एक ही भिन्न, दो सही पाठ
- प्रकथन से R.F.: धरातल इकाई को मानचित्र की इकाई में बदलें, फिर इकाई के नाम की जगह “इकाई” शब्द रखें
- R.F. से प्रकथन: दोनों ओर एक ही इकाई में पढ़ें, फिर धरातल वाली इकाई को कि.मी. या मील में बदलें
- बार मापनी की परिपाटी: मीट्रिक पाठ के लिए लगभग 15 सेंटीमीटर, अंग्रेज़ी पाठ के लिए लगभग 6 इंच
- जब पूर्णांक लंबाई बेढब निकले (जैसे 6.34 इंच), तो बराबर चरणों वाली एक सहायक किरण, मिलाने और समांतर खींचने की विधि, उसे ठीक-ठीक बाँट देती है
- 1 अंकमापनी की निम्नलिखित में से कौन-सी विधि एक सार्वत्रिक विधि है?
(क) मापनी का प्रकथन(ख) आलेखी मापनी(ग) निरूपक भिन्न(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं - 1 अंकमापनी में मानचित्र दूरी को और किस नाम से जाना जाता है?
(क) हर(ख) मापनी का प्रकथन(ग) निरूपक भिन्न(घ) अंश - 1 अंकमापनी 1 : 50,000 में “हर” किसे दर्शाता है?
(क) मानचित्र दूरी(ख) धरातल दूरी(ग) दोनों दूरियाँ(घ) कोई नहीं - 1 अंकफर्लांग और यार्ड किस माप-पद्धति से संबंधित हैं?
(क) मीट्रिक प्रणाली(ख) SI प्रणाली(ग) दशमलव प्रणाली(घ) अंग्रेज़ी प्रणाली - 1 अंकमापनी का प्रकथन तब अमान्य हो जाता है जब मानचित्र को:
(क) बड़ा या छोटा किया जाए(ख) रंगा जाए(ग) मोड़ा जाए(घ) समान आकार में फोटोकॉपी किया जाए - 1 अंकR.F. 1 : 24,000 का अर्थ है, मानचित्र की 1 इकाई धरातल की कितनी इकाइयों को दर्शाती है?
(क) 24,000(ख) 2,400(ग) 240(घ) 1 - 1 अंकमील में पढ़ी जाने वाली आलेखी मापनी परिपाटी के अनुसार लगभग कितनी लंबी बनाई जाती है?
(क) 15 सेंटीमीटर(ख) 1 मीटर(ग) 6 इंच(घ) 1 फुट - 1 अंकभारत ने रैखिक दूरियों के लिए अंग्रेज़ी माप-पद्धति किस वर्ष तक उपयोग की?
(क) 1947(ख) 1957(ग) 1950(घ) 1972
कारण (R): निरूपक भिन्न अनुपात को केवल संख्याओं में दिखाता है, बिना किसी इकाई का नाम लिए, इसलिए इसे किसी भी माप-पद्धति में बदला जा सकता है।
कारण (R): मानचित्र को बड़ा या छोटा करने से मानचित्र दूरी और धरातल दूरी का संबंध बदल जाता है, इसलिए नई मापनी निकालनी पड़ती है।
कारण (R): मानचित्र को बड़ा या छोटा करने के बाद भी मापनी का प्रकथन मानचित्र का सही विवरण बना रहता है।
- 1 अंकमापनी व्यक्त करने में प्रयुक्त दो माप-पद्धतियों के नाम लिखें।
- 2 अंकमीट्रिक तथा अंग्रेज़ी, दोनों प्रणालियों में मापनी के प्रकथन का एक-एक उदाहरण दें।
- 1 अंकनिरूपक भिन्न में सेंटीमीटर या मील जैसी नामित इकाई के स्थान पर क्या लिखा जाता है?
- 2 अंकमापनी के प्रकथन की तुलना में आलेखी/बार मापनी का सबसे बड़ा लाभ क्या है?
- 1 अंकभिन्न 1 : 40,000 में अंश क्या है?
- 1 अंकमानचित्र की मापनी व्यक्त करने की तीन विधियों के नाम लिखें।
- 3 अंकमापनी के प्रकथन तथा आलेखी मापनी में अंतर बताएँ, हर एक का एक लाभ तथा एक सीमा सहित।
- 3 अंकमानचित्र बड़ा या छोटा करने पर मापनी का प्रकथन अमान्य क्यों हो जाता है, जबकि आलेखी मापनी मान्य रहती है?
- 3 अंकR.F. 1 : 36,000 के हल किए उदाहरण की सहायता से दिखाएँ कि निरूपक भिन्न को सार्वत्रिक विधि क्यों कहा जाता है।
- 2 अंकमापनी के संदर्भ में अंश और हर क्या हैं? भिन्न 1 : 50,000 की सहायता से समझाएँ।
- 2 अंकमीट्रिक प्रणाली तथा अंग्रेज़ी प्रणाली में पढ़ी जाने वाली आलेखी मापनी की लंबाई की परिपाटी क्या है?
- 2 अंकनिरूपक भिन्न का अंश हमेशा 1 क्यों लिखा जाता है?
- 5 अंकमानचित्र की मापनी व्यक्त करने की तीन विधियों का वर्णन करें, हर एक का एक लाभ तथा एक सीमा सहित।
- 5 अंकएक उपयुक्त संख्यात्मक उदाहरण की सहायता से समझाएँ कि मापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में कैसे बदला जाता है।
- 5 अंकएक उपयुक्त संख्यात्मक उदाहरण की सहायता से समझाएँ कि निरूपक भिन्न को मापनी के प्रकथन में कैसे बदला जाता है।
- 5 अंककिसी दी गई निरूपक भिन्न पर बने मानचित्र के लिए आलेखी मापनी चरण-दर-चरण कैसे बनाई जाती है, एक हल किए उदाहरण सहित वर्णन करें।
- 2 अंकमापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में बदलें: 5 सेंटीमीटर, 10 किलोमीटर को दर्शाता है।
- 2 अंकमापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में बदलें: 2 इंच, 4 मील को दर्शाता है।
- 2 अंकमापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में बदलें: 1 इंच, 1 गज को दर्शाता है।
- 2 अंकमापनी के प्रकथन को निरूपक भिन्न में बदलें: 1 सेंटीमीटर, 100 मीटर को दर्शाता है।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 100,000 को किलोमीटर में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 31,680 को फर्लांग में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 126,720 को मील में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 50,000 को मीटर में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 2 अंकमापनी के प्रकथन “1 सेंटीमीटर, 5 किलोमीटर को दर्शाता है” को निरूपक भिन्न में बदलें।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 250,000 को किलोमीटर में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 2 अंकनिरूपक भिन्न 1 : 63,360 को मील में मापनी के प्रकथन में बदलें।
- 3 अंकएक मानचित्र R.F. 1 : 20,000 पर बना है। 15 सेंटीमीटर की परिपाटी अनुसार पता करें कि बार कितने किलोमीटर दर्शाता है, तथा बताएँ कि पूर्णांक संख्या पाने के लिए इसे किसी अन्य लंबाई में फिर से बनाने की ज़रूरत है या नहीं।