Class 10 Mathematics Chapter 4 Notes in Hindi: द्विघात समीकरण

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1भूमिका: बहुपद से समीकरण तक

2द्विघात समीकरण और उसका मानक रूप

3वास्तविक जीवन को द्विघात समीकरण में बदलना

4गुणनखंडन विधि से द्विघात समीकरण का हल

5प्रार्थना कक्ष: शुरुआत से हल तक

6द्विघाती सूत्र और विविक्तकर

7वृत्ताकार पार्क में खंभा: पाइथागोरस + विविक्तकर

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

द्विघात समीकरण की पहचान करना और उसे मानक रूप $ax^2+bx+c=0$ में लिखना
वास्तविक जीवन की स्थितियों (आयु, चाल, क्षेत्रफल, उत्पादन-लागत) को द्विघात समीकरण में बदलना
गुणनखंडन विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना
द्विघाती सूत्र और विविक्तकर (discriminant) से मूलों की प्रकृति पहचानना, बिना मूल निकाले

द्विघात समीकरणमानक रूपमूलगुणनखंडन विधिद्विघाती सूत्रविविक्तकरमूलों की प्रकृति

1भूमिका: बहुपद से समीकरण तक

अध्याय 2 में आपने बहुपदों का अध्ययन किया, जिसमें एक प्रकार था द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) $ax^2+bx+c$ । जब हम इस बहुपद को शून्य के बराबर रख देते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण (quadratic equation) मिलती है। यह समीकरण रोज़मर्रा की कई स्थितियों में अपने आप बनती है।

मान लीजिए एक धर्मार्थ ट्रस्ट 300 वर्ग मीटर क्षेत्रफल का एक प्रार्थना कक्ष बनाना चाहता है, जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दुगुनी से एक मीटर अधिक हो। यदि चौड़ाई $x$ मीटर मान लें, तो लंबाई $(2x+1)$ मीटर होगी, और क्षेत्रफल की शर्त से:

(2x+1)\cdot x = 300 \;\Rightarrow\; 2x^2+x-300=0

यही एक द्विघात समीकरण है। इस अध्याय में हम ऐसे समीकरणों को हल करने की विधियाँ सीखेंगे, और आगे इसी प्रार्थना कक्ष की लंबाई-चौड़ाई भी निकालेंगे।

2द्विघात समीकरण और उसका मानक रूप

कंठस्थ करेंपरिभाषा: द्विघात समीकरण

चर $x$ में एक समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के रूप की हो, जहाँ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a\neq0$ , तो उसे द्विघात समीकरण कहते हैं। इसे समीकरण का मानक रूप कहा जाता है।

उदाहरण के लिए $2x^2+x-300=0$ , $2x^2-3x+1=0$ , $4x-3x^2+2=0$ और $1-x^2+300=0$ सभी द्विघात समीकरण हैं। वास्तव में, कोई भी समीकरण $p(x)=0$ , जहाँ $p(x)$ घात 2 का एक बहुपद है, द्विघात समीकरण कहलाती है। जब हम $p(x)$ के पद घातों के घटते क्रम में लिखते हैं, तो समीकरण का मानक रूप $ax^2+bx+c=0$ मिलता है।

आम गलती

कोई समीकरण देखने में द्विघात लगे, यह ज़रूरी नहीं कि वह सचमुच द्विघात हो। पहले समीकरण को पूरी तरह सरल (simplify) कीजिए, तभी तय कीजिए कि $x^2$ का पद बचा है या नहीं।

हल किया उदाहरण 1: दो जाल वाले प्रश्न

प्रश्न: जाँच कीजिए कि निम्न द्विघात समीकरण हैं या नहीं: (क) $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$ (ख) $(x+2)^3=x^3-4$ (ग) $(x-2)^2+1=2x-3$ (घ) $x(2x+3)=x^2+1$

हल (क): बायाँ पक्ष $=x^2+x+8$ , दायाँ पक्ष $=x^2-4$ । बराबर रखने पर $x^2+x+8=x^2-4$ , यानी $x+12=0$ । दोनों तरफ़ से $x^2$ कट गया, इसलिए यह द्विघात समीकरण नहीं है (देखने में द्विघात लगा था, पर सरल करने पर रैखिक निकला)।

हल (ख): बायाँ पक्ष $=(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ । बराबर रखने पर $x^3+6x^2+12x+8=x^3-4$ , यानी $6x^2+12x+12=0$ , या $x^2+2x+2=0$ । दोनों तरफ़ से $x^3$ कट गया, इसलिए यह द्विघात समीकरण है (देखने में घन/त्रिघात समीकरण लगा था, पर सरल करने पर द्विघात निकला)।

हल (ग): बायाँ पक्ष $=(x-2)^2+1=x^2-4x+5$ । बराबर रखने पर $x^2-4x+5=2x-3$ , यानी $x^2-6x+8=0$ । यह द्विघात समीकरण है।

हल (घ): बायाँ पक्ष $=x(2x+3)=2x^2+3x$ । बराबर रखने पर $2x^2+3x=x^2+1$ , यानी $x^2+3x-1=0$ । यह द्विघात समीकरण है।

3वास्तविक जीवन को द्विघात समीकरण में बदलना

इस अध्याय का एक मुख्य कौशल है: किसी कहानी वाले प्रश्न को पढ़कर एक चर मान लेना और उससे द्विघात समीकरण बनाना। नीचे पाँच स्थितियाँ हैं, पाँचों में एक ही तरीका है: एक अज्ञात राशि को $x$ मान लीजिए, बाकी सब चीज़ों को $x$ में लिखिए, फिर दी गई शर्त को समीकरण बनाइए।

हल किया उदाहरण 2: गुणनफल आधारित समस्या (कंचे)

प्रश्न: जॉन और जीवंती के पास मिलाकर कुल 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं, और अब उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। आरंभ में दोनों के पास कितने-कितने कंचे थे, इसे द्विघात समीकरण के रूप में लिखिए।

हल: माना जॉन के पास आरंभ में $x$ कंचे थे। तब जीवंती के पास $45-x$ कंचे थे। पाँच-पाँच खोने के बाद जॉन के पास $x-5$ और जीवंती के पास $45-x-5=40-x$ कंचे बचे। शर्त के अनुसार इनका गुणनफल 124 है:

(x-5)(40-x)=124 \;\Rightarrow\; -x^2+45x-200=124 \;\Rightarrow\; x^2-45x+324=0

हल किया उदाहरण 3: आयु आधारित समस्या

प्रश्न: रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। अब से तीन वर्ष बाद उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 360 हो जाएगा। रोहन की वर्तमान आयु के लिए समीकरण बनाइए।

हल: माना रोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है। तब माँ की वर्तमान आयु $(x+26)$ वर्ष। तीन वर्ष बाद रोहन की आयु $(x+3)$ वर्ष और माँ की $(x+29)$ वर्ष होगी। शर्त से:

(x+3)(x+29)=360 \;\Rightarrow\; x^2+32x+87=360 \;\Rightarrow\; x^2+32x-273=0

(गुणनखंडन से $(x+39)(x-7)=0$ , और आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए रोहन की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।)

हल किया उदाहरण 4: उत्पादन/लागत आधारित समस्या

प्रश्न: एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने बनाता है। प्रत्येक खिलौने की कीमत (₹ में), उस दिन बने खिलौनों की संख्या को 55 में से घटाने पर बराबर है। किसी दिन कुल निर्माण लागत ₹750 थी। उस दिन बने खिलौनों की संख्या के लिए समीकरण बनाइए।

हल: माना उस दिन $x$ खिलौने बने। तब हर खिलौने की कीमत $(55-x)$ रुपये, और कुल लागत $x(55-x)$ रुपये। शर्त से:

x(55-x)=750 \;\Rightarrow\; -x^2+55x-750=0 \;\Rightarrow\; x^2-55x+750=0

हल किया उदाहरण 5: चाल-समय-दूरी आधारित समस्या

प्रश्न: एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि चाल 8 किमी/घंटा कम होती, तो वही दूरी तय करने में 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी की चाल के लिए समीकरण बनाइए।

हल: माना रेलगाड़ी की चाल $x$ किमी/घंटा है। समय $=\dfrac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$ के नियम से, सामान्य समय $=\dfrac{480}{x}$ घंटे। यदि चाल $(x-8)$ किमी/घंटा होती, तो समय $\dfrac{480}{x-8}$ घंटे लगता, जो सामान्य समय से 3 घंटे अधिक है:

\dfrac{480}{x-8}-\dfrac{480}{x}=3

दोनों भिन्नों को एक जैसा हर देकर सरल करने पर यह एक द्विघात समीकरण बन जाती है: $3x^2-24x-3840=0$ , यानी $x^2-8x-1280=0$ । (इसे हल करने पर चाल $x=40$ किमी/घंटा मिलती है, जो महत्वपूर्ण प्रश्न वाले पोस्ट में पूरा दिखाया गया है।)

हल किया उदाहरण 6: क्षेत्रफल आधारित समस्या

प्रश्न: एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है। भूखंड की लंबाई, चौड़ाई की दुगुनी से एक मीटर अधिक है। लंबाई और चौड़ाई के लिए समीकरण बनाइए।

हल: माना चौड़ाई $x$ मीटर है। तब लंबाई $(2x+1)$ मीटर। क्षेत्रफल की शर्त से:

x(2x+1)=528 \;\Rightarrow\; 2x^2+x-528=0

4गुणनखंडन विधि से द्विघात समीकरण का हल

कक्षा 9 में आपने द्विघात बहुपद के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करना सीखा था। हम उसी ज्ञान का उपयोग द्विघात समीकरण का मूल (root) ज्ञात करने में करेंगे।

कंठस्थ करेंपरिभाषा: मूल (root)

एक वास्तविक संख्या $\alpha$ द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ ( $a\neq0$ ) का मूल कहलाती है, यदि $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ हो। इसे ही समीकरण का हल भी कहते हैं। द्विघात बहुपद $ax^2+bx+c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल एक ही होते हैं (अध्याय 2 से जुड़ाव)। चूँकि एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं, इसलिए किसी भी द्विघात समीकरण के भी अधिकतम (अधिक से अधिक) दो मूल हो सकते हैं।

उदाहरण: $2x^2-3x+1=0$ में $x=1$ रखने पर $2(1)^2-3(1)+1=0$ , इसलिए 1 इस समीकरण का एक मूल है।

तरीका

ax^2+bx+c

को दो रैखिक गुणनखंडों में तोड़िए, फिर हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखिए

मध्य पद

bx

को दो ऐसे पदों में तोड़ा जाता है जिनका योग

bx

हो और गुणनफल

ax^2

और

c

के गुणनफल (

acx^2

) के बराबर हो

हल किया उदाहरण 7: पूर्णांक मूल

प्रश्न: गुणनखंडन विधि से $2x^2-5x+3=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल: मध्य पद $-5x$ को $-2x-3x$ में तोड़िए, क्योंकि $(-2x)\times(-3x)=6x^2=(2x^2)\times3$ और $(-2x)+(-3x)=-5x$ :

2x^2-5x+3 = 2x^2-2x-3x+3 = 2x(x-1)-3(x-1) = (2x-3)(x-1)

इसलिए $(2x-3)(x-1)=0$ , यानी $2x-3=0$ या $x-1=0$ । अतः मूल $x=\dfrac{3}{2}$ और $x=1$ हैं।

जाँच: $x=\dfrac32$ रखने पर $2\cdot\dfrac94-5\cdot\dfrac32+3=\dfrac92-\dfrac{15}{2}+3=0$ , और $x=1$ रखने पर $2-5+3=0$ । इसलिए ये ही दिए गए समीकरण के मूल हैं।

हल किया उदाहरण 8: भिन्नात्मक मूल

प्रश्न: $6x^2-x-2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल: $6x^2-x-2 = 6x^2+3x-4x-2 = 3x(2x+1)-2(2x+1) = (3x-2)(2x+1)$ ।
अतः $3x-2=0$ या $2x+1=0$ , इसलिए मूल $x=\dfrac{2}{3}$ और $x=-\dfrac{1}{2}$ हैं।

हल किया उदाहरण 9: पुनरावृत्त (दोहरा) मूल

प्रश्न: $3x^2-2\sqrt6\,x+2=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल: $3x^2-2\sqrt6\,x+2 = 3x^2-\sqrt6\,x-\sqrt6\,x+2 = \sqrt3x(\sqrt3x-\sqrt2)-\sqrt2(\sqrt3x-\sqrt2) = (\sqrt3x-\sqrt2)(\sqrt3x-\sqrt2)$ (क्योंकि $\sqrt6=\sqrt3\cdot\sqrt2$ )। अतः $(\sqrt3x-\sqrt2)(\sqrt3x-\sqrt2)=0$ । दोनों गुणनखंड एक जैसे हैं, इसलिए मूल $x=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$ दो बार आता है, यानी यह एक पुनरावृत्त मूल है।

परीक्षा संकेत

जब गुणनखंडन में दोनों गुणनखंड एक जैसे निकलें (जैसे ऊपर), तो समीकरण के दो मूल बराबर हैं। यह संकेत आगे विविक्तकर के साथ जुड़ता है: विविक्तकर शून्य होने पर भी यही होता है।

5प्रार्थना कक्ष: शुरुआत से हल तक

अब भाग 1 की समस्या पूरी करते हैं। हमने पाया था कि चौड़ाई $x$ मीटर समीकरण $2x^2+x-300=0$ को संतुष्ट करती है। गुणनखंडन विधि से:

2x^2-24x+25x-300=0 \;\Rightarrow\; 2x(x-12)+25(x-12)=0 \;\Rightarrow\; (x-12)(2x+25)=0

अतः $x=12$ या $x=-12.5$ । चूँकि $x$ चौड़ाई है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए चौड़ाई $=12$ मी और लंबाई $=2x+1=25$ मी।

परीक्षा संकेत

द्विघात समीकरण के दोनों मूल गणितीय रूप से सही हो सकते हैं, पर भौतिक स्थिति में एक मूल अस्वीकार्य हो सकता है (यहाँ ऋणात्मक चौड़ाई)। लंबाई, चौड़ाई और आयु जैसी राशियाँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए ऐसे प्रश्नों में दोनों मूल जाँचिए और जो मूल उस स्थिति में संभव न हो उसे छोड़िए।

6द्विघाती सूत्र और विविक्तकर

गुणनखंडन विधि हमेशा आसान नहीं होती, खासकर जब मूल पूर्णांक या सरल भिन्न न हों। इसलिए एक व्यापक सूत्र है, जो हर द्विघात समीकरण पर लागू होता है; वास्तविक मूल तभी मिलते हैं जब $b^2-4ac\geq0$ हो।

कंठस्थ करेंद्विघाती सूत्र (Quadratic Formula)

द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ ( $a\neq0$ ) के मूल इस सूत्र से मिलते हैं:

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

यह सूत्र तभी वास्तविक मूल देता है जब $b^2-4ac\geq0$ हो।

कंठस्थ करेंपरिभाषा: विविक्तकर (Discriminant)

राशि $b^2-4ac$ को द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का विविक्तकर कहते हैं, और इसे प्रायः $D$ से दर्शाया जाता है। यही राशि तय करती है कि समीकरण के मूल वास्तविक हैं या नहीं, इसलिए यह हर मूल निकाले बिना ही “मूलों की प्रकृति” बता देती है।

तीनों संभावनाओं पर सोचिए: $D=b^2-4ac$ धनात्मक हो सकता है, शून्य हो सकता है, या ऋणात्मक हो सकता है, और हर स्थिति मूलों के बारे में अलग बात कहती है।

मूलों की प्रकृति: तीन स्थितियाँ

D \gt 0

⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल:

\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}

और

\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}

D = 0

⇒ दो बराबर (संपाती) वास्तविक मूल: दोनों

-\dfrac{b}{2a}

के बराबर

D \lt 0

⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं (क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता)

चित्र 1: विविक्तकर की ज्यामितीय तस्वीर, परवलय y=ax²+bx+c का x-अक्ष से मिलना ही मूलों की प्रकृति है। D>0 पर परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है (दो भिन्न मूल), D=0 पर ठीक एक बिंदु पर छूता है (दो बराबर मूल), और D<0 पर परवलय पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर (या नीचे) रहता है, कभी नहीं छूता (कोई वास्तविक मूल नहीं)। — **चित्र 1**: विविक्तकर की ज्यामितीय तस्वीर, परवलय $y=ax^2+bx+c$ का x-अक्ष से मिलना ही मूलों की प्रकृति है। $D\gt0$ पर परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है (दो भिन्न मूल), $D=0$ पर ठीक एक बिंदु पर छूता है (दो बराबर मूल), और $D\lt0$ पर परवलय पूरी तरह x-अक्ष के ऊपर (या नीचे) रहता है, कभी नहीं छूता (कोई वास्तविक मूल नहीं)।

परीक्षा संकेत

कुछ प्रश्न मूल निकालने को नहीं कहते, केवल “मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए” कहते हैं। ऐसे प्रश्नों में पूरा सूत्र लगाने की ज़रूरत नहीं, $b^2-4ac$ का चिह्न (धनात्मक/शून्य/ऋणात्मक) देखना काफ़ी है।

हल किया उदाहरण 10: केवल प्रकृति ज्ञात कीजिए

प्रश्न: $2x^2-4x+3=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और मूलों की प्रकृति बताइए।

हल: यहाँ $a=2$ , $b=-4$ , $c=3$ । $D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=16-24=-8$ । चूँकि $D\lt0$ , दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

हल किया उदाहरण 11: बराबर मूल, फिर मूल भी निकालिए

प्रश्न: $3x^2-2x+\dfrac{1}{3}=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए, प्रकृति बताइए, और यदि वास्तविक हों तो मूल भी ज्ञात कीजिए।

हल: यहाँ $a=3$ , $b=-2$ , $c=\dfrac13$ । $D=(-2)^2-4(3)\left(\dfrac13\right)=4-4=0$ । चूँकि $D=0$ , समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं, दोनों $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ के बराबर।

7वृत्ताकार पार्क में खंभा: पाइथागोरस + विविक्तकर

हल किया उदाहरण 12

प्रश्न: 13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा पर एक खंभा इस तरह गाड़ना है कि पार्क के एक व्यास के दोनों सिरों पर बने फाटक A और B से खंभे की दूरियों का अंतर 7 मीटर हो। क्या यह संभव है? यदि हाँ, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरी पर?

हल: माना खंभे की स्थिति P है और फाटक B से इसकी दूरी $x$ मी है, यानी $BP=x$ । दिया है $AP-BP=7$ , इसलिए $AP=(x+7)$ मी। चूँकि AB एक व्यास है, कोण $\angle APB=90°$ (अर्धवृत्त में बना कोण)। पाइथागोरस प्रमेय से:

AP^2+BP^2=AB^2 \;\Rightarrow\; (x+7)^2+x^2=13^2 \;\Rightarrow\; 2x^2+14x-120=0 \;\Rightarrow\; x^2+7x-60=0

यह संभव है या नहीं, यह जानने के लिए विविक्तकर देखिए: $D=b^2-4ac=7^2-4(1)(-60)=49+240=289\gt0$ । चूँकि $D\gt0$ , दो वास्तविक मूल हैं, इसलिए खंभा गाड़ना संभव है। द्विघाती सूत्र से:

x=\dfrac{-7\pm\sqrt{289}}{2}=\dfrac{-7\pm17}{2} \;\Rightarrow\; x=5 \text{ या } x=-12

चूँकि $x$ एक दूरी है, यह धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए $x=-12$ अस्वीकार्य है। अतः खंभा फाटक B से 5 मी और फाटक A से 12 मी दूरी पर गाड़ा जाएगा।

क्या आप जानते हैं?

द्विघात समीकरण हल करने का इतिहास बहुत पुराना है। अधिकांश लोग मानते हैं कि बेबीलोनवासियों ने ही सबसे पहले द्विघात समीकरण हल किए थे। यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने लंबाइयाँ ज्ञात करने की एक ज्यामितीय विधि विकसित की, जो आज की भाषा में द्विघात समीकरण के हल जैसी ही है। व्यापक रूप में, द्विघात समीकरणों को हल करने का श्रेय बहुधा प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को जाता है। भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (ई. 598-665) ने $ax^2+bx=c$ प्रकार के समीकरण हल करने का स्पष्ट सूत्र दिया। बाद में श्रीधराचार्य (ई. 1025) ने वर्ग पूर्ण करने (completing the square) की विधि से वह सूत्र निकाला जिसे आज द्विघाती सूत्र कहा जाता है, जैसा भास्कर द्वितीय ने लिखा। अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज़्मी (लगभग ई. 800) ने भी विभिन्न प्रकार के द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया, और अब्राहम बार हिय्या हा-नासी ने अपनी पुस्तक लिबर इंबाडोरम (यूरोप, ई. 1145) में द्विघात समीकरणों के पूर्ण हल दिए।

ध्यान दें

इस पुस्तक में वर्ग पूर्ण करने की विधि (completing the square) पर कोई अलग भाग नहीं है, और द्विघाती सूत्र की व्युत्पत्ति भी नहीं दी गई है; पुस्तक सूत्र सीधे देती है। CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में इस अध्याय के लिए हल की दो विधियाँ हैं, गुणनखंडन और द्विघाती सूत्र; वर्ग पूर्ण करने की विधि उसमें नहीं है। इतिहास में श्रीधराचार्य ने इसी विधि से सूत्र प्राप्त किया था (ऊपर देखिए)। आपको द्विघाती सूत्र का प्रयोग करना आना चाहिए।

इस अध्याय की सभी परिभाषाएँ और सूत्र, एक जगह

द्विघात समीकरण

ax^2+bx+c=0

, जहाँ

a,b,c

वास्तविक और

a\neq0

मूल (root)वह वास्तविक संख्या

\alpha

जिसके लिए

a\alpha^2+b\alpha+c=0

; बहुपद के शून्यक के बराबर

गुणनखंडन विधि

ax^2+bx+c

को दो रैखिक गुणनखंडों में तोड़कर, हर गुणनखंड को शून्य के बराबर रखना

द्विघाती सूत्र

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

, जब

b^2-4ac\geq0

विविक्तकर

D=b^2-4ac

; मूलों की प्रकृति तय करता है

दो भिन्न वास्तविक मूल

D\gt0

होने पर

दो बराबर (संपाती) वास्तविक मूल

D=0

होने पर, मूल

=-\dfrac{b}{2a}

कोई वास्तविक मूल नहीं

D\lt0

होने पर

त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहली रात के लिए

मानक रूप: $ax^2+bx+c=0$ , $a\neq0$ ; पहले समीकरण सरल करके ही तय करें कि यह द्विघात है या नहीं
शब्द समस्या में हमेशा एक अज्ञात राशि को $x$ मानें, फिर दी गई शर्त से समीकरण बनाएँ
गुणनखंडन: मध्य पद को इस तरह तोड़ें कि दोनों नए पदों का योग मध्य पद के बराबर हो और गुणनफल, पहले और आखिरी पद के गुणनफल के बराबर हो
द्विघाती सूत्र: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , हर द्विघात समीकरण पर लागू; वास्तविक मूल तभी जब $b^2-4ac\geq0$
विविक्तकर $D=b^2-4ac$ : $D\gt0$ दो भिन्न मूल, $D=0$ दो बराबर मूल, $D\lt0$ कोई वास्तविक मूल नहीं
भौतिक स्थितियों (लंबाई, आयु, चाल) में ऋणात्मक या असंभव मूल को छोड़ दें
वर्ग पूर्ण करने की विधि CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं है; इस पुस्तक में वह केवल इतिहास वाले अंश में आती है

परीक्षा से पहले स्वयं जाँच लीजिए

क्या मैं किसी भी समीकरण को सरल करके बता सकता हूँ कि वह द्विघात है या नहीं?
क्या मैं आयु, चाल, क्षेत्रफल और उत्पादन-लागत की कहानी वाले प्रश्न से समीकरण बना सकता हूँ?
क्या मैं गुणनखंडन विधि से किसी भी द्विघात समीकरण के मूल निकाल सकता हूँ?
क्या मुझे द्विघाती सूत्र बिना देखे याद है?
क्या मैं केवल विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति बता सकता हूँ, बिना पूरा सूत्र लगाए?
क्या मैं जानता हूँ कि भौतिक स्थिति में कौन-सा मूल अस्वीकार्य होगा?

अभ्यास प्रश्न

1 अंक $x^2-5=0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
2 अंकगुणनखंडन विधि से $x^2-3x-10=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।
3 अंक $2x^2-6x+3=0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक हों तो मूल भी निकालिए।
5 अंकदो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो (समीकरण बनाकर, द्विघाती सूत्र से हल कीजिए)।

इसी अध्याय की बाक़ी सामग्री

महत्वपूर्ण प्रश्न MCQ / वस्तुनिष्ठ प्रश्न NCERT समाधान शॉर्ट नोट्स