त्रिकोणमिति का परिचय

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1भूमिका (Introduction)
कुतुब मीनार
बालकनी से नदी
उड़ता गुब्बारा
2त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
2.1 अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करते
3कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
3.1 45° के अनुपात (समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से)
3.2 30° और 60° के अनुपात (समबाहु त्रिभुज से)
3.3 0° और 90° के अनुपात (सीमांत तर्क)
4त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)
इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे
  • समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण के छह त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan, cosec, sec, cot) पहचानना और लिखना
  • एक अनुपात दिए जाने पर शेष सभी अनुपात पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से निकालना
  • 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद नहीं, ज्यामिति से व्युत्पन्न करना
  • तीन मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना और व्यंजकों को सरल करने में उनका उपयोग करना
  • मान निकालने और सर्वसमिका सिद्ध करने वाले प्रश्न हल करना
त्रिकोणमितीय अनुपातसम्मुख भुजासंलग्न भुजाकर्ण
sin cos tancosec sec cotत्रिकोणमितीय सर्वसमिका

1भूमिका (Introduction)

पिछली कक्षाओं में आपने त्रिभुज और विशेष रूप से समकोण त्रिभुज के बारे में पढ़ा है। अपने आस-पास
ऐसी कई स्थितियाँ मिलती हैं जहाँ समकोण त्रिभुज बनता हुआ कल्पना किया जा सकता है:

1

कुतुब मीनार

कोई विद्यार्थी मीनार की चोटी को देख रहा है, देखने की रेखा, मीनार की ऊँचाई और ज़मीन मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

2

बालकनी से नदी

एक लड़की अपनी बालकनी से नदी के दूसरे किनारे पर स्थित मंदिर की एक निचली सीढ़ी पर रखे गमले को देख रही है, यहाँ भी एक समकोण त्रिभुज बनता है।

3

उड़ता गुब्बारा

आकाश में उड़ते गुब्बारे को ज़मीन से देखने पर बनने वाला कोण भी एक समकोण त्रिभुज की कल्पना कराता है।

इन सभी स्थितियों में दूरी या ऊँचाई कुछ गणितीय विधियों से ज्ञात की जा सकती है, जो गणित की एक
शाखा ‘त्रिकोणमिति’ (trigonometry) के अंतर्गत आती हैं।

याद रखेंपरिभाषा 1

त्रिकोणमिति शब्द ग्रीक भाषा के तीन शब्दों से बना है: ‘tri’ (तीन), ‘gon’ (भुजाएँ) और
‘metron’ (मापना)। त्रिकोणमिति वास्तव में किसी त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन है।

क्या आप जानते हैं?

प्राचीन काल में त्रिकोणमिति पर किए गए कार्य का उल्लेख मिस्र और बेबीलॉन में मिलता है। प्राचीन खगोलविद इसका
उपयोग तारों और ग्रहों की पृथ्वी से दूरी ज्ञात करने के लिए करते थे। “There is perhaps nothing which so
occupies the middle position of mathematics as trigonometry.” (संभवतः त्रिकोणमिति के अतिरिक्त गणित की कोई ऐसी शाखा
नहीं है, जो उसकी मध्य स्थिति का स्थान ले सके।) J.F. Herbart (1890)।

2त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)

समकोण त्रिभुज ABC लीजिए, जिसका कोण B समकोण है। कोण A एक न्यून कोण है। कोण A के सापेक्ष
त्रिभुज की तीनों भुजाओं के अलग-अलग नाम हैं, नीचे की आकृति देखिए।

चित्र 1: समकोण त्रिभुज ABC (कोण B समकोण) में कोण A के सापेक्ष कर्ण, सम्मुख भुजा और संलग्न भुजा
चित्र 1: समकोण त्रिभुज ABC (कोण B समकोण) में कोण A के सापेक्ष कर्ण, सम्मुख भुजा और संलग्न भुजा
याद रखेंपरिभाषा 2

कर्ण (hypotenuse): समकोण के सामने वाली भुजा, त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा (AC)।
सम्मुख भुजा (opposite side): कोण A के सामने वाली भुजा (BC)।
संलग्न भुजा (adjacent side): कोण A से लगी हुई भुजा, जो कर्ण नहीं है (AB)।

कोण A के छह त्रिकोणमितीय अनुपात
sin⁡A=BCAC\sin A = \dfrac{BC}{AC}   cos⁡A=ABAC\cos A = \dfrac{AB}{AC}   tan⁡A=BCAB\tan A = \dfrac{BC}{AB}
cosec⁡A=ACBC\operatorname{cosec} A = \dfrac{AC}{BC}   sec⁡A=ACAB\sec A = \dfrac{AC}{AB}   cot⁡A=ABBC\cot A = \dfrac{AB}{BC}
यानी हर अनुपात = सम्मुख भुजा/कर्ण, संलग्न भुजा/कर्ण या सम्मुख भुजा/संलग्न भुजा में से कोई एक (या उसका व्युत्क्रम)

इन छह अनुपातों को संक्षेप में sin A, cos A, tan A, cosec A, sec A और cot A लिखा जाता है।
ध्यान दीजिए कि cosec A, sec A और cot A क्रमशः sin A, cos A और tan A के व्युत्क्रम (reciprocal) हैं।

व्युत्क्रम संबंध
cosec⁡A=1sin⁡A\operatorname{cosec} A = \dfrac{1}{\sin A}   sec⁡A=1cos⁡A\sec A = \dfrac{1}{\cos A}   cot⁡A=1tan⁡A\cot A = \dfrac{1}{\tan A}
tan⁡A=sin⁡Acos⁡A\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}   cot⁡A=cos⁡Asin⁡A\cot A = \dfrac{\cos A}{\sin A}
आम ग़लती

‘sin A’ में ‘sin’ अकेला कोई अर्थ नहीं रखता, यह ‘sin’ और ‘A’ का गुणनफल नहीं है, बल्कि
“कोण A की sine” के लिए एक संक्षिप्त संकेत है। यही बात cos A, tan A आदि सभी पर लागू होती है।

सुविधा के लिए (sin⁡A)2(\sin A)^2 को sin⁡2A\sin^2 A लिखते हैं। परंतु cosec⁡A=(sin⁡A)−1≠sin⁡−1A\operatorname{cosec} A = (\sin A)^{-1} \ne \sin^{-1} A:
sin⁡−1A\sin^{-1} A (इसे ‘साइन इनवर्स A’ कहा जाता है) का एक अलग अर्थ होता है, जिस पर चर्चा उच्च कक्षाओं में होगी।
इसी प्रकार की परंपराएँ अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों पर भी लागू होती हैं।

2.1 अनुपात त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करते

यदि कर्ण AC पर कोई बिंदु P लेकर AB पर लंब PM डाला जाए, तो त्रिभुज PAM और त्रिभुज CAB
AA समरूपता कसौटी से समरूप होते हैं (अध्याय 6)। इसीलिए दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती
होती हैं, और कोण A के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात दोनों त्रिभुजों में बराबर आते हैं। इससे यह स्पष्ट
होता है कि किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पर नहीं, केवल कोण के
मान पर निर्भर करते हैं।

परीक्षा संकेत

यदि कोई एक अनुपात (जैसे sin A या tan A) दिया हो, तो भुजाओं को उभयनिष्ठ गुणक k से मान
लीजिए (जैसे tan A = 4/3 हो तो सम्मुख भुजा = 4k, संलग्न भुजा = 3k), फिर पाइथागोरस प्रमेय से तीसरी भुजा
निकालकर शेष सभी अनुपात ज्ञात कीजिए। k हमेशा रद्द हो जाता है।

हल किया उदाहरण 1

प्र. यदि tan⁡A=43\tan A = \dfrac{4}{3} है, तो कोण A के शेष त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए सम्मुख भुजा BC = 4k, संलग्न भुजा AB = 3k, जहाँ k एक धनात्मक संख्या है।
पाइथागोरस प्रमेय से: AC=AB2+BC2=(4k)2+(3k)2=25k2=5kAC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{(4k)^2+(3k)^2} = \sqrt{25k^2} = 5k
अतः sin⁡A=4k5k=45\sin A = \dfrac{4k}{5k} = \dfrac{4}{5}, cos⁡A=3k5k=35\cos A = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5}
cot⁡A=34\cot A = \dfrac{3}{4}, cosec⁡A=54\operatorname{cosec} A = \dfrac{5}{4}, sec⁡A=53\sec A = \dfrac{5}{3}

हल किया उदाहरण 2

प्र. त्रिभुज ACB में, जिसका कोण C समकोण है, AB = 29 इकाई, BC = 21 इकाई और
∠ABC=θ\angle ABC = \theta है। cos⁡2θ+sin⁡2θ\cos^2\theta + \sin^2\theta और cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos^2\theta – \sin^2\theta के मान ज्ञात कीजिए।

हल: AC=AB2−BC2=292−212=(50)(8)=20AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{29^2-21^2} = \sqrt{(50)(8)} = 20 इकाई
sin⁡θ=2029\sin\theta = \dfrac{20}{29}, cos⁡θ=2129\cos\theta = \dfrac{21}{29}
cos⁡2θ+sin⁡2θ=441+400841=841841=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = \dfrac{441+400}{841} = \dfrac{841}{841} = 1
cos⁡2θ−sin⁡2θ=441−400841=41841\cos^2\theta – \sin^2\theta = \dfrac{441-400}{841} = \dfrac{41}{841}

हल किया उदाहरण: बराबर sine, बराबर कोण

प्र. यदि ∠B\angle B और ∠Q\angle Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin⁡B=sin⁡Q\sin B = \sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B=∠Q\angle B = \angle Q।

हल: दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR लीजिए (कोण C और कोण R समकोण), जहाँ sin⁡B=sin⁡Q\sin B = \sin Q।
यहाँ sin⁡B=ACAB\sin B = \dfrac{AC}{AB} और sin⁡Q=PRPQ\sin Q = \dfrac{PR}{PQ}, इसलिए ACPR=ABPQ=k\dfrac{AC}{PR} = \dfrac{AB}{PQ} = k (मान लीजिए) … (1)
पाइथागोरस प्रमेय से BC=AB2−AC2BC = \sqrt{AB^2-AC^2} और QR=PQ2−PR2QR = \sqrt{PQ^2-PR^2}, अतः
BCQR=k2PQ2−k2PR2PQ2−PR2=k\dfrac{BC}{QR} = \dfrac{\sqrt{k^2PQ^2-k^2PR^2}}{\sqrt{PQ^2-PR^2}} = k … (2)
(1) और (2) से ACPR=ABPQ=BCQR\dfrac{AC}{PR} = \dfrac{AB}{PQ} = \dfrac{BC}{QR}। प्रमेय 6.4 (SSS समरूपता) से △ACB∼△PRQ\triangle ACB \sim \triangle PRQ, अतः ∠B=∠Q\angle B = \angle Q।

हल किया उदाहरण: tan A = 1

प्र. समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan⁡A=1\tan A = 1 हो, तो सत्यापित कीजिए कि 2sin⁡Acos⁡A=12\sin A\cos A = 1।

हल: tan⁡A=BCAB=1\tan A = \dfrac{BC}{AB} = 1, अर्थात् BC=ABBC = AB। मान लीजिए AB=BC=kAB = BC = k (kk एक धन संख्या)।
तब AC=k2+k2=k2AC = \sqrt{k^2+k^2} = k\sqrt2, इसलिए sin⁡A=BCAC=12\sin A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt2} और cos⁡A=ABAC=12\cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt2}।
अतः 2sin⁡Acos⁡A=2⋅12⋅12=12\sin A\cos A = 2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt2} = 1।

क्या आप जानते हैं?

क्योंकि कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए sin A और cos A का मान कभी भी
1 से अधिक नहीं हो सकता (अधिकतम 1)। इसके विपरीत sec A और cosec A का मान सदैव 1 के बराबर
या उससे अधिक होता है।

3कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

ज्यामिति से आप 30°, 45°, 60° और 90° के कोण बनाना पहले से जानते हैं। इस भाग में हम इन्हीं
कोणों (और 0° के भी) त्रिकोणमितीय अनुपात याद करने के बजाय, ज्यामितीय रचना से व्युत्पन्न (derive)
करना सीखेंगे, ताकि भूल जाने पर भी दोबारा निकाला जा सके।

3.1 45° के अनुपात (समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से)

चित्र 2: कोण A = कोण C = 45° हो तो BC = AB = a, पाइथागोरस से AC = a√2
चित्र 2: कोण A = कोण C = 45° हो तो BC = AB = a, पाइथागोरस से AC = a√2

त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है। यदि कोण A = 45° हो, तो कोण C भी 45° होगा (कोण B = 90° है और त्रिभुज के कोणों का योग 180° है, इसलिए C=180°−90°−45°=45°C = 180° – 90° – 45° = 45°),
इसलिए BC = AB = a मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय से AC=a2+a2=a2AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}।

45° के अनुपात
sin⁡45°=aa2=12\sin 45° = \dfrac{a}{a\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}   cos⁡45°=12\cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt2}   tan⁡45°=1\tan 45° = 1

3.2 30° और 60° के अनुपात (समबाहु त्रिभुज से)

चित्र 3: शीर्षलंब AD, समबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटता है, ∠BAD = 30°, ∠ABD = 60°
चित्र 3: शीर्षलंब AD, समबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटता है, ∠BAD = 30°, ∠ABD = 60°

समबाहु त्रिभुज ABC में सभी कोण 60° के होते हैं। शीर्ष A से भुजा BC पर लंब AD डालिए। त्रिभुज
ABD और ACD सर्वांगसम हैं (RHS), इसलिए BD = DC और कोण BAD = कोण CAD = 30°। मान लीजिए
AB = 2a, तो BD=aBD = a और पाइथागोरस से AD=(2a)2−a2=a3AD = \sqrt{(2a)^2-a^2} = a\sqrt3।

30° और 60° के अनुपात
sin⁡30°=12\sin 30° = \dfrac{1}{2}  cos⁡30°=32\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}  tan⁡30°=13\tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt3}
    sin⁡60°=32\sin 60° = \dfrac{\sqrt3}{2}  cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}  tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt3

3.3 0° और 90° के अनुपात (सीमांत तर्क)

समकोण त्रिभुज ABC में कोण A को धीरे-धीरे छोटा करते जाएँ। जैसे-जैसे कोण A शून्य के पास पहुँचता है,
भुजा BC की लंबाई भी शून्य के पास पहुँचती जाती है, और AC लगभग AB के बराबर हो जाती है। इसी सीमांत
स्थिति से परिभाषित किया जाता है: sin⁡0°=0\sin 0° = 0 और cos⁡0°=1\cos 0° = 1। इसी तरह जब कोण A को 90° के पास
बड़ा करते जाएँ, तो भुजा AB शून्य के पास पहुँचती है और AC लगभग BC के बराबर हो जाती है, इसलिए
sin⁡90°=1\sin 90° = 1 और cos⁡90°=0\cos 90° = 0 परिभाषित किया जाता है।

आम ग़लती

cot⁡0°\cot 0°, cosec⁡0°\operatorname{cosec} 0°, tan⁡90°\tan 90° और sec⁡90°\sec 90° ये चारों अपरिभाषित (not defined) हैं, शून्य नहीं।
क्योंकि इनके हर (denominator) में sin 0° = 0 या cos 90° = 0 आ जाता है, और किसी संख्या को शून्य से
विभाजित करना अपरिभाषित होता है।

सारणी 8.1: विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
∠A 0° 30° 45° 60° 90°
sin A 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt2} 32\dfrac{\sqrt3}{2} 11
cos A 11 32\dfrac{\sqrt3}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt2} 12\dfrac{1}{2} 00
tan A 00 13\dfrac{1}{\sqrt3} 11 3\sqrt3 अपरिभाषित
cosec A अपरिभाषित 22 2\sqrt2 23\dfrac{2}{\sqrt3} 11
sec A 11 23\dfrac{2}{\sqrt3} 2\sqrt2 22 अपरिभाषित
cot A अपरिभाषित 3\sqrt3 11 13\dfrac{1}{\sqrt3} 00
याद रखने की तरकीब

0, 1, 2, 3, 4 को याद रखें

sin की पंक्ति के लिए 0°,30°,45°,60°,90° पर 0/2,1/2,2/2,3/2,4/2\sqrt{0}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{4}/2
लिखें, यही क्रमशः 0,12,12,32,10, \tfrac12, \tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, 1 है। cos की पंक्ति इसी क्रम को उल्टा
लिखने से मिल जाती है।

हल किया उदाहरण 3

प्र. त्रिभुज ABC में कोण B समकोण है, AB = 5 सेमी और कोण ACB = 30° है। BC और AC ज्ञात कीजिए।

हल: ABBC=tan⁡C⇒5BC=tan⁡30°=13⇒BC=53\dfrac{AB}{BC} = \tan C \Rightarrow \dfrac{5}{BC} = \tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt3} \Rightarrow BC = 5\sqrt3 सेमी
sin⁡30°=ABAC⇒12=5AC⇒AC=10\sin 30° = \dfrac{AB}{AC} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{AC} \Rightarrow AC = 10 सेमी

हल किया उदाहरण: अनुपात से कोण

प्र. △PQR\triangle PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PQ = 3 सेमी और PR = 6 सेमी है। ∠QPR\angle QPR और ∠PRQ\angle PRQ ज्ञात कीजिए।

हल: sin⁡R=PQPR=36=12\sin R = \dfrac{PQ}{PR} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12, इसलिए ∠PRQ=30°\angle PRQ = 30° (सारणी 8.1 में sin⁡30°=12\sin 30° = \dfrac12)।
तब ∠QPR=180°−90°−30°=60°\angle QPR = 180° – 90° – 30° = 60°।

यदि एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा और कोई एक अन्य भाग (जो या तो न्यून कोण हो या कोई एक भुजा हो) ज्ञात हो,
तो त्रिभुज की शेष भुजाएँ और कोण ज्ञात किए जा सकते हैं।

हल किया उदाहरण: दो कोण ज्ञात करना

प्र. यदि sin⁡(A−B)=12\sin(A-B) = \dfrac12, cos⁡(A+B)=12\cos(A+B) = \dfrac12, 0°<A+B≤90°0° \lt A+B \le 90°, A>BA \gt B, तो A और B ज्ञात कीजिए।

हल: sin⁡(A−B)=12=sin⁡30°\sin(A-B) = \dfrac12 = \sin 30°, इसलिए A−B=30°A – B = 30° … (1)
cos⁡(A+B)=12=cos⁡60°\cos(A+B) = \dfrac12 = \cos 60°, इसलिए A+B=60°A + B = 60° … (2)
(1) और (2) को जोड़ने पर 2A=90°2A = 90°, अर्थात् A=45°A = 45°; और तब B=60°−45°=15°B = 60° – 45° = 15°।

4त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)

याद रखेंपरिभाषा 3

किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों वाला समीकरण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (trigonometric identity)
कहलाता है, यदि वह कोण के उन सभी मानों के लिए सत्य हो जिनके लिए अनुपात परिभाषित हैं।

समकोण त्रिभुज ABC में (कोण B समकोण), पाइथागोरस प्रमेय से: AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2 … (1)

दोनों पक्षों को AC2AC^2 से भाग दें
AB2AC2+BC2AC2=1⇒(cos⁡A)2+(sin⁡A)2=1\dfrac{AB^2}{AC^2} + \dfrac{BC^2}{AC^2} = 1 \Rightarrow (\cos A)^2 + (\sin A)^2 = 1
↓
सर्वसमिका 1sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1  (सभी 0°≤A≤90°0° \le A \le 90° के लिए सत्य)
समीकरण (1) को AB2AB^2 से भाग दें
1+BC2AB2=AC2AB2⇒1+tan⁡2A=sec⁡2A1 + \dfrac{BC^2}{AB^2} = \dfrac{AC^2}{AB^2} \Rightarrow 1 + \tan^2 A = \sec^2 A
↓
सर्वसमिका 21+tan⁡2A=sec⁡2A1 + \tan^2 A = \sec^2 A  (A=90°A=90° पर tan A, sec A अपरिभाषित)
समीकरण (1) को BC2BC^2 से भाग दें
AB2BC2+1=AC2BC2⇒cot⁡2A+1=cosec⁡2A\dfrac{AB^2}{BC^2} + 1 = \dfrac{AC^2}{BC^2} \Rightarrow \cot^2 A + 1 = \operatorname{cosec}^2 A
↓
सर्वसमिका 3cot⁡2A+1=cosec⁡2A\cot^2 A + 1 = \operatorname{cosec}^2 A  (A=0°A=0° पर cot A, cosec A अपरिभाषित)

इन तीनों सर्वसमिकाओं की सहायता से एक त्रिकोणमितीय अनुपात को दूसरे अनुपात के पदों में व्यक्त
किया जा सकता है, अर्थात यदि कोई एक अनुपात ज्ञात हो तो शेष सभी सर्वसमिकाओं की सहायता से
भी निकाले जा सकते हैं।

हल किया उदाहरण 4

प्र. अनुपात cos A, tan A और sec A को sin A के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल: sin⁡2A+cos⁡2A=1⇒cos⁡A=1−sin⁡2A\sin^2A+\cos^2A=1 \Rightarrow \cos A = \sqrt{1-\sin^2A}
tan⁡A=sin⁡Acos⁡A=sin⁡A1−sin⁡2A\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{\sin A}{\sqrt{1-\sin^2A}},  
sec⁡A=1cos⁡A=11−sin⁡2A\sec A = \dfrac{1}{\cos A} = \dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2A}}

हल किया उदाहरण 5: सर्वसमिका सिद्ध करना

प्र. सिद्ध कीजिए कि sec⁡A (1−sin⁡A)(sec⁡A+tan⁡A)=1\sec A\,(1-\sin A)(\sec A+\tan A)=1

हल: बायाँ पक्ष =1cos⁡A(1−sin⁡A)(1+sin⁡Acos⁡A)=(1−sin⁡A)(1+sin⁡A)cos⁡2A=1−sin⁡2Acos⁡2A=cos⁡2Acos⁡2A=1= \dfrac{1}{\cos A}(1-\sin A)\left(\dfrac{1+\sin A}{\cos A}\right) = \dfrac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{\cos^2 A} = \dfrac{1-\sin^2A}{\cos^2A} = \dfrac{\cos^2A}{\cos^2A} = 1
= दायाँ पक्ष (सिद्ध हुआ)

परीक्षा संकेत

सर्वसमिका सिद्ध करने का एक उपयोगी तरीका: जिस पक्ष में जोड़/घटाव ज़्यादा हो, उसे पहले एक
उभयनिष्ठ हर (common denominator) में लाकर सरल कीजिए, और दोनों पक्षों को sin A और cos A के पदों में
लिखकर sin²A+cos²A=1 का प्रयोग कीजिए।

इतिहास बॉक्स

शब्द ‘sine’ का सबसे पहला प्रयोग, जिस रूप में आज हम करते हैं, 500 ई. में आर्यभट्ट (476-550 सा.यु.)
द्वारा लिखित पुस्तक आर्यभट्टीयम में मिलता है। आर्यभट्ट ने अर्ध-जीवा के लिए शब्द ‘अर्ध-ज्या’ का प्रयोग किया,
जो समय के साथ ‘ज्या’ या ‘जीवा’ के संक्षिप्त रूप में बदल गया। आर्यभट्टीयम के अरबी अनुवाद में ‘जीवा’ यथावत
रखा गया, और अरबी रूपांतर के लैटिन अनुवाद में यह ‘sinus’ (अर्थ: वक्र) बना, जहाँ से आज का ‘sine’ शब्द आया।
खगोलविद् के एक अंग्रेज़ी प्रोफ़ेसर एडमंड गुंटर (1581-1626) ने पहले-पहल संक्षिप्त संकेत ‘sin’ का प्रयोग किया।
‘cosine’ का उद्गम बहुत बाद में हुआ: आर्यभट्ट ने इसे ‘कोटिज्या’ नाम दिया था, ‘cosinus’ नाम का उद्गम
एडमंड गुंटर के साथ हुआ, और 1674 में अंग्रेज़ गणितज्ञ सर जोनास मूरे ने पहले-पहल संक्षिप्त संकेत ‘cos’ का प्रयोग किया।

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचिए
  • क्या मैं समकोण त्रिभुज बनाकर छहों त्रिकोणमितीय अनुपात बिना देखे लिख सकता/सकती हूँ?
  • क्या मैं 30°, 45°, 60° के अनुपात बिना रटे, ज्यामिति से निकाल सकता/सकती हूँ?
  • क्या मैं तीनों सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से स्वयं व्युत्पन्न कर सकता/सकती हूँ?
  • क्या मुझे पता है cot 0°, cosec 0°, tan 90°, sec 90° क्यों अपरिभाषित हैं?
सभी परिभाषाएँ एक साथ
त्रिकोणमितित्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन
कर्ण (Hypotenuse)समकोण के सामने वाली, त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा
सम्मुख भुजा (Opposite)दिए गए न्यून कोण के सामने वाली भुजा
संलग्न भुजा (Adjacent)दिए गए न्यून कोण से लगी हुई, कर्ण के अतिरिक्त भुजा
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकासमकोण त्रिभुज में हर मान्य कोण के लिए सत्य समीकरण
त्वरित दोहराव: परीक्षा से पहली रात यही पढ़ें
  • sin A = सम्मुख भुजा/कर्ण, cos A = संलग्न भुजा/कर्ण, tan A = सम्मुख भुजा/संलग्न भुजा = sin A/cos A
  • cosec A, sec A, cot A क्रमशः sin A, cos A, tan A के व्युत्क्रम हैं
  • अनुपात त्रिभुज के आकार पर नहीं, केवल कोण पर निर्भर करते हैं
  • 45° का मान समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से; 30°/60° समबाहु त्रिभुज बीच से बाँटकर; 0°/90° सीमांत तर्क से
  • sin²A + cos²A = 1, 1 + tan²A = sec²A, cot²A + 1 = cosec²A, तीनों पाइथागोरस प्रमेय से
  • sin A, cos A कभी 1 से अधिक नहीं; sec A, cosec A सदैव ≥ 1
  • cot 0°, cosec 0°, tan 90°, sec 90° ये चारों अपरिभाषित हैं
  • sin²A = (sin A)², पर sin⁻¹A का अर्थ cosec A नहीं है
स्वयं जाँचें: कुछ अभ्यास प्रश्न
  1. 1 अंकयदि sin A = 3/4 है, तो cos A का मान ज्ञात कीजिए।
  2. 2 अंकtan 45° और cot 45° का मान ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि दोनों बराबर हैं।
  3. 3 अंकसिद्ध कीजिए कि (cosec A − cot A)² = (1 − cos A)/(1 + cos A)।

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