Class 10 Mathematics Chapter 2 Notes in Hindi: बहुपद (Polynomials)

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1बहुपद की घात और प्रकार

2बहुपद का मान और शून्यक

3बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

3.1 रैखिक बहुपद का ग्राफ

3.2 द्विघात बहुपद का ग्राफ: तीन स्थितियाँ

3.3 त्रिघात बहुपद का ग्राफ

4शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

4.1 द्विघात बहुपद

4.2 त्रिघात बहुपद

इस अध्याय में आप सीखेंगे

रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद को उनकी घात से पहचानना
किसी बहुपद का किसी बिंदु पर मान और उसका शून्यक निकालना
ग्राफ को देखकर बहुपद के शून्यकों की संख्या बताना
द्विघात और त्रिघात बहुपद के शून्यकों और उनके गुणांकों के बीच का संबंध लगाना
दिए गए योग और गुणनफल से एक द्विघात बहुपद बनाना

बहुपदघातशून्यकपरवलयगुणांकα, β, γ

1बहुपद की घात और प्रकार

कक्षा 9 में आपने एक चर वाले बहुपद और उनकी घात पढ़ी थी। याद कीजिए, बहुपद p(x) में x की सबसे बड़ी घात (power) ही उस बहुपद की घात कहलाती है। इसी घात के आधार पर बहुपदों के तीन नाम रखे जाते हैं।

याद रखेंपरिभाषा 1

रैखिक बहुपद (Linear polynomial) घात 1 का बहुपद है। इसका व्यापक रूप $ax + b$ है, जहाँ $a \ne 0$ । उदाहरण: $2x – 3$ , $3z + 4$ .

याद रखेंपरिभाषा 2

द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) घात 2 का बहुपद है। इसका व्यापक रूप $ax^2 + bx + c$ है, जहाँ $a \ne 0$ । “quadratic” शब्द “quadrate” से बना है, जिसका अर्थ है वर्ग। उदाहरण: $x^2 – 3x – 4$ .

याद रखेंपरिभाषा 3

त्रिघात बहुपद (Cubic polynomial) घात 3 का बहुपद है। इसका व्यापक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ है, जहाँ $a \ne 0$ । उदाहरण: $x^3 – 4x$ .

परीक्षा संकेत

व्यापक रूप में हमेशा शर्त लिखें $a \ne 0$ , क्योंकि $a = 0$ होने पर बहुपद की घात बदल जाती है।

2बहुपद का मान और शून्यक

बहुपद $p(x)$ में $x$ की जगह किसी वास्तविक संख्या $k$ रखने पर जो संख्या मिलती है, उसे $p(x)$ का $x = k$ पर मान कहते हैं और $p(k)$ लिखते हैं।

दिया है

$p(x) = x^2 – 3x – 4$

ज्ञात करना है

$p(2)$ , $p(0)$ , $p(-1)$ , $p(4)$

हल

$p(2) = 2^2 – 3(2) – 4 = 4 – 6 – 4 = -6$
$p(0) = 0 – 0 – 4 = -4$
$p(-1) = 1 + 3 – 4 = 0$
$p(4) = 16 – 12 – 4 = 0$

याद रखेंपरिभाषा 4

यदि किसी वास्तविक संख्या $k$ के लिए $p(k) = 0$ हो, तो $k$ को बहुपद $p(x)$ का शून्यक (zero) कहते हैं। ऊपर के हल में $-1$ और $4$ , $x^2 – 3x – 4$ के शून्यक हैं क्योंकि इन पर बहुपद का मान शून्य है।

सूत्र

\text{रैखिक बहुपद } ax + b \text{ का शून्यक} = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-(\text{अचर पद})}{(x \text{ का गुणांक})}

व्युत्पत्ति: यदि

k

शून्यक है तो

ak + b = 0

, अतः

k = -b/a

आम ग़लती

शून्यक को $b/a$ लिखना ग़लत है, इसमें ऋण चिह्न छूट जाता है। सही सूत्र है $-b/a$ ।

3बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

किसी बहुपद $p(x)$ का ग्राफ खींचकर, उसके शून्यक सीधे ग्राफ से पढ़े जा सकते हैं। $y = p(x)$ का ग्राफ जहाँ-जहाँ x-अक्ष को काटता है, वहाँ के x-निर्देशांक ही $p(x)$ के शून्यक होते हैं।

3.1 रैखिक बहुपद का ग्राफ

$a \ne 0$ के लिए $y = ax + b$ का ग्राफ एक सरल रेखा होती है, जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु $\left(\dfrac{-b}{a},\ 0\right)$ पर काटती है। इसीलिए रैखिक बहुपद $ax + b$ , $a \ne 0$ का ठीक एक ही शून्यक होता है।

ग्राफ़ 1: y = 2x + 3 की सरल रेखा, बिंदुओं (−2,−1) और (2,7) से होकर जाती है और x-अक्ष को (−3/2, 0) पर काटती है, जो इसका शून्यक भी है — **ग्राफ़ 1:** $y = 2x + 3$ की सरल रेखा, बिंदुओं $(-2,-1)$ और $(2,7)$ से होकर जाती है और x-अक्ष को $(-3/2, 0)$ पर काटती है, जो इसका शून्यक भी है

परीक्षा संकेत

“रैखिक बहुपद का ग्राफ कितनी बार x-अक्ष को काटेगा?” जैसे प्रश्न में सीधा उत्तर है: ठीक एक बार, चाहे बहुपद कोई भी हो।

3.2 द्विघात बहुपद का ग्राफ: तीन स्थितियाँ

$y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है। यह $a > 0$ होने पर ऊपर की ओर खुलता है और $a \lt 0$ होने पर नीचे की ओर। इस परवलय के x-अक्ष से मिलने के तीन ही तरीके संभव हैं।

पुस्तक की पाद-टिप्पणी: “द्विघात या त्रिघात बहुपदों के ग्राफ खींचना विद्यार्थियों के लिए अपेक्षित नहीं है और न ही इनका मूल्यांकन से संबंध है।” आपको दिए गए ग्राफ को पढ़कर शून्यकों की संख्या बतानी आनी चाहिए।

दो भिन्न शून्यक

परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं A और A′ पर काटता है। दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांक ही दो शून्यक हैं।

एक शून्यक (बराबर शून्यक)

परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है, मानो दो बिंदु एक-दूसरे पर आकर मिल गए हों। यही एक शून्यक है।

III

कोई शून्यक नहीं

परवलय पूरा का पूरा x-अक्ष के ऊपर या पूरा नीचे रहता है, उसे कहीं छूता ही नहीं। इस बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

ग्राफ़ 2, स्थिति I: y = x² − 3x − 4 x-अक्ष को दो बिंदुओं (−1,0) और (4,0) पर काटता है, अतः इसके दो भिन्न शून्यक −1 और 4 हैं — **ग्राफ़ 2, स्थिति I:** $y = x^2 – 3x – 4$ x-अक्ष को दो बिंदुओं $(-1,0)$ और $(4,0)$ पर काटता है, अतः इसके दो भिन्न शून्यक $-1$ और $4$ हैं

ग्राफ़ 3, स्थिति II: y = (x−2)² x-अक्ष को केवल बिंदु (2,0) पर स्पर्श करता है, अतः इसका केवल एक शून्यक 2 है — **ग्राफ़ 3, स्थिति II:** $y = (x-2)^2$ x-अक्ष को केवल बिंदु $(2,0)$ पर स्पर्श करता है, अतः इसका केवल एक शून्यक $2$ है

ग्राफ़ 4, स्थिति III: y = x² + 2 पूरा x-अक्ष के ऊपर रहता है, उसे कभी छूता नहीं, अतः इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है — **ग्राफ़ 4, स्थिति III:** $y = x^2 + 2$ पूरा x-अक्ष के ऊपर रहता है, उसे कभी छूता नहीं, अतः इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है

याद रखने की तरकीब

काटे तो 2, छुए तो 1, न मिले तो 0

द्विघात बहुपद के शून्यकों की संख्या हमेशा इन तीन में से एक ही होती है, इसलिए द्विघात बहुपद के अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं।

3.3 त्रिघात बहुपद का ग्राफ

त्रिघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है, इसलिए इसके अधिकतम तीन शून्यक होते हैं। तीन उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं।

बहुपद	शून्यक	शून्यकों की संख्या
$x^3 – 4x$	$-2,\ 0,\ 2$	3 (तीनों भिन्न)
$x^3$	$0$	1 (ग्राफ x-अक्ष से केवल मूल बिंदु पर मिलता है)
$x^3 – x^2 = x^2(x-1)$	$0,\ 1$	2 (केवल $0$ और $1$ )

ग्राफ़ 5: y = x³ − 4x x-अक्ष को तीन बिंदुओं (−2,0), (0,0) और (2,0) पर काटता है, अतः इसके तीन शून्यक −2, 0 और 2 हैं — **ग्राफ़ 5:** $y = x^3 – 4x$ x-अक्ष को तीन बिंदुओं $(-2,0)$ , $(0,0)$ और $(2,0)$ पर काटता है, अतः इसके तीन शून्यक $-2$ , $0$ और $2$ हैं

व्यापक नियम

घात $n$ के किसी भी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम $n$ बिंदुओं पर काटता है। इसलिए घात $n$ के बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।

हल किया उदाहरण

प्र. एक ग्राफ में वक्र x-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। बहुपद के शून्यकों की संख्या बताइए।

हल: ग्राफ जितनी बार x-अक्ष को काटता है, बहुपद के उतने ही शून्यक होते हैं। यहाँ ग्राफ तीन बिंदुओं पर कटता है, इसलिए शून्यकों की संख्या 3 है। (यह भी बताता है कि बहुपद की घात कम से कम 3 है।)

परीक्षा से पहले स्वयं जाँचें

क्या मैं रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप बिना देखे लिख सकता हूँ?
क्या मैं किसी दिए गए ग्राफ से शून्यकों की संख्या तुरंत बता सकता हूँ?
क्या मैं द्विघात बहुपद की तीनों स्थितियाँ (2, 1, 0 शून्यक) ग्राफ देखकर पहचान सकता हूँ और शब्दों में समझा सकता हूँ?

4शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

हमने देखा कि रैखिक बहुपद $ax + b$ का शून्यक $-b/a$ होता है, यानी शून्यक सीधे गुणांकों से जुड़ा है। क्या यही बात द्विघात और त्रिघात बहुपद पर भी लागू होती है? हाँ, और यह संबंध बहुत काम का है क्योंकि बिना शून्यक निकाले भी गुणांकों से शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात किया जा सकता है; शून्यक निकालकर इसकी जाँच की जा सकती है।

4.1 द्विघात बहुपद

हल किया उदाहरण

प्र. $p(x) = 2x^2 – 8x + 6$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और योग-गुणनफल जाँचिए।

हल: मध्य पद विभाजन से: $2x^2 – 8x + 6 = 2x^2 – 6x – 2x + 6 = 2x(x-3) – 2(x-3) = (2x-2)(x-3) = 2(x-1)(x-3)$
शून्यक: $x = 1$ और $x = 3$
योग $= 1 + 3 = 4 = \dfrac{-(-8)}{2}$ , गुणनफल $= 1 \times 3 = 3 = \dfrac{6}{2}$ . दोनों सूत्र से मेल खाते हैं।

इसी तरीके से $p(x) = 3x^2 + 5x – 2$ के शून्यक $1/3$ और $-2$ निकलते हैं, और योग $-5/3$ , गुणनफल $-2/3$ भी सूत्र से मेल खाते हैं। इन दोनों उदाहरणों से एक व्यापक नियम बनता है, जिसे $\alpha$ , $\beta$ (यूनानी अक्षर, उच्चारण अल्फा-बीटा) मानकर सिद्ध किया जाता है: यदि $\alpha, \beta$ , $p(x) = ax^2+bx+c$ के शून्यक हों, तो $ax^2+bx+c = k(x-\alpha)(x-\beta) = kx^2 – k(\alpha+\beta)x + k\alpha\beta$ । दोनों ओर के $x^2$ , $x$ के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर $a = k$ , $b = -k(\alpha+\beta)$ और $c = k\alpha\beta$ मिलते हैं; अतः $\alpha+\beta = \dfrac{-b}{a}$ और $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ ।

सूत्र

\alpha + \beta = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-(x \text{ का गुणांक})}{x^2 \text{ का गुणांक}} \qquad\qquad \alpha\beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}

जहाँ

\alpha, \beta

द्विघात बहुपद

ax^2+bx+c

के दो शून्यक हैं,

a \ne 0

इन चिह्नों का मतलब

\alpha

पहला शून्यक (अल्फा)–

\beta

दूसरा शून्यक (बीटा)–

\gamma

तीसरा शून्यक, त्रिघात में (गामा)–

हल किया उदाहरण

प्र. $x^2 + 7x + 10$ के शून्यक ज्ञात कर संबंध जाँचिए।

हल: $x^2+7x+10 = (x+2)(x+5)$ , शून्यक $-2, -5$
योग $= -7 = -7/1$ ✓, गुणनफल $= 10 = 10/1$ ✓

हल किया उदाहरण

प्र. $x^2 – 3$ के शून्यक ज्ञात कर संबंध जाँचिए।

हल: सर्वसमिका $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ से: $x^2 – 3 = (x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ , शून्यक $\sqrt3, -\sqrt3$
योग $= 0 = 0/1$ ✓, गुणनफल $= -3 = -3/1$ ✓

हल किया उदाहरण

प्र. एक द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यकों का योग $-3$ और गुणनफल $2$ हो।

हल: $\alpha+\beta=-3=-b/a$ और $\alpha\beta=2=c/a$ । $a=1$ लेने पर $b=3$ , $c=2$ ।
अतः बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है। इस शर्त को पूरा करने वाला हर बहुपद $k(x^2+3x+2)$ के रूप का होगा, जहाँ $k$ कोई अशून्य वास्तविक संख्या ( $k \ne 0$ ) है।

4.2 त्रिघात बहुपद

त्रिघात बहुपद $ax^3+bx^2+cx+d$ के तीन शून्यक $\alpha, \beta, \gamma$ हों, तो तीन संबंध बनते हैं, यानी योग, दो-दो लेकर गुणनफलों का योग, और तीनों का गुणनफल।

सूत्र

\alpha+\beta+\gamma = \dfrac{-b}{a} \qquad\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \dfrac{c}{a} \qquad\quad \alpha\beta\gamma = \dfrac{-d}{a}

जहाँ

\alpha, \beta, \gamma

त्रिघात बहुपद

ax^3+bx^2+cx+d

के तीन शून्यक हैं,

a \ne 0

हल किया उदाहरण

प्र. $p(x) = 2x^3 – 5x^2 – 14x + 8$ के शून्यक $4, -2, 1/2$ दिए हैं। तीनों संबंध जाँचिए।

हल: योग $= 4+(-2)+\tfrac12 = \tfrac52 = \dfrac{-(-5)}{2}$ ✓
दो-दो का गुणनफल-योग $= (4)(-2)+(-2)(\tfrac12)+(\tfrac12)(4) = -8-1+2 = -7 = \dfrac{-14}{2}$ ✓
तीनों का गुणनफल $= 4\times(-2)\times\tfrac12 = -4 = \dfrac{-8}{2}$ ✓

परीक्षा संकेत (परीक्षा की दृष्टि से नहीं)

पुस्तक में उदाहरण 5 (यानी $3x^3-5x^2-11x-3$ के शून्यक $3, -1, -1/3$ का सत्यापन) पर पुस्तक की पाद-टिप्पणी है: “यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।” इसे समझने के लिए एक बार देखें। CBSE 2026-27 पाठ्यक्रम में शून्यकों और गुणांकों का संबंध द्विघात बहुपदों के लिए दिया गया है।

त्वरित दोहराव: मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र

रैखिक बहुपद ( $ax+b$ ) का ठीक 1 शून्यक होता है = $-b/a$
द्विघात बहुपद ( $ax^2+bx+c$ ) के 0, 1 या 2 शून्यक हो सकते हैं, अधिकतम 2
त्रिघात बहुपद ( $ax^3+bx^2+cx+d$ ) के अधिकतम 3 शून्यक हो सकते हैं
घात $n$ के बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक होते हैं (ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम $n$ बार काटता है)
द्विघात: $\alpha+\beta = -b/a$ , $\alpha\beta = c/a$
त्रिघात: $\alpha+\beta+\gamma = -b/a$ , $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = c/a$ , $\alpha\beta\gamma = -d/a$

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